四川省绵阳市北川县2024—2025学年上学期九年级期末数学试卷

2024-2025学年四川省绵阳市北川县九年级（上）期末数学试卷 一．选择题（共12小题，36分） 1．（3分）下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x﹣3）2＝2 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣3）2＝11 D．（x+3）2＝9 3．（3分）如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径OA＝10m，则拱高CD为（　　） A．4m B．6m C．8m D．10m 4．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是6π（　　） A． B．3 C．6 D． 5．（3分）如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光．同时闭合两个开关小灯泡发光的概率是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为36πm2，圆柱高为4m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（　　） A． B．144πm2 C． D．216πm2 7．（3分）已知点A是反比例函数的图象上的一个动点，连接OA，则点B所在图象的函数表达式是（　　） A．y＝3x（x＞0） B．y＝﹣6x（x＜0） C． D． 8．（3分）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转，得到△CDE，且CD平分∠ACB，记线段BC与DE的交点为F．下列结论中（　　） A．CA＝CD B．△CDE≌△CDA C．∠BDF＝∠ACD D．DF＝EF 9．（3分）某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图），离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是（　　） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（　　） A． B． C． D． 11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1 12．（3分）二次函数y＝ax2+b的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，共24分） 13．（4分）如果一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个根为x1，x2，则x13+3x12﹣x1x2+2x2＝　 　． 14．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上，则∠AOC的度数是 　 　． 15．（4分）小红帮助母亲预算家庭4月份电费开支情况，下表是小红家4月初连续8天每天早上电表显示的读数： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 电表显示度数 21 24 28 33 39 42 46 49 若每度电收费0.42元，估计小红家4月份（按30天计）的电费是　 　元．（注：电表计数器上先后显示读数之差就是这段时间内消耗电能的度数） 16．（4分）用一根长60cm的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积为 　 　cm2． 17．（4分）如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝（x＞0），则点C的横坐标为　 　． 18．（4分）如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，AC＝6，将线段BC绕着点B逆时针旋转60°得到BC′，CC′，则△ABC′的面积为 　 　． 三．解答题（共90分） 19．（8分）解方程：2（x﹣1）2＝x﹣1． 20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，3），B（﹣1，2），C（﹣2，1）． （1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标； （2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标； （3）在（2）的旋转过程中，求点B旋转到点B2所经过的路线长（结果保留π）． 21．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0． （1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值． 22．（10分）中山市图书馆购进一批图书供学生阅读，为了合理配备各类图书，从全市学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A“艺术类”，C“科普类”，D“体育类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息 （1）此次被调查的学生人数为 　 　名，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是 　 　度； （3）李老师准备从甲、乙、丙、丁四位学生中随机选择两位进行访问．请用列表或画树状图的方法，求李老师选中乙、丙这两位同学的概率． 23．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，设点P运动的路程为x（x＞0），连接OP1． （1）直接写出y1与x的函数关系式为：　 　． （2）在给出的平面直角坐标系中画出y1的函数图象，并写出这个函数的一条性质：　 　； （3）如图2，的图象如图所示，根据函数图象1≤y2时x的取值范围是 　 　.（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 24．（12分）直角三角形的两条直角边的长相差2cm，面积是24cm2，求两条直角边的长． 25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F． （1）判断DF与是⊙O的位置关系，并证明你的结论． （2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积． 26．（14分）如图在平面直角坐标系中已知抛物线y＝x2+x﹣2交x轴于点A、B，交y轴于点C． （1）求线段BC的长； （2）点P为第三象限内抛物线上一点，连接BP，过点C作CE∥BP交x轴于点E，求△BPE面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，以y轴为对称轴x2+x﹣2对称，对称后点P的对应点为点P′，N为平面内一点，是否存在以点A、P′、M、N为顶点的四边形是菱形，直接写出点N的坐标，若不存在 2024-2025学年四川省绵阳市北川县九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C A B B A C B B A A 题号 12 答案 C 一．选择题（共12小题，36分） 1．（3分）下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【解答】解：A、是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合． 2．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x﹣3）2＝2 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣3）2＝11 D．（x+3）2＝9 【分析】根据配方法即可求出答案． 【解答】解：∵x2﹣6x﹣2＝0， ∴x2﹣2x＝2， ∴（x﹣3）8＝11， 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 3．（3分）如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径OA＝10m，则拱高CD为（　　） A．4m B．6m C．8m D．10m 【分析】根据垂径定理和勾股定理得出OA2＝AD2+OD2求解即可． 【解答】解：根据垂径定理可知AD＝8， 在直角△AOD中，根据勾股定理得： OA2＝AD7+OD2 则102＝22+（10﹣CD）2 解得：CD＝16或8， 根据题中OA＝10m，可知CD＝16不合题意， 所以取CD＝4m． 故选：A． 【点评】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，得出关于CD的等式是解题关键． 4．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是6π（　　） A． B．3 C．6 D． 【分析】连接OB、OC，根据⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径OB＝OC＝3，而六边形ABCDEF是正六边形，即知∠BOC＝＝60°，△BOC是等边三角形，即可得正六边形的边长为3． 【解答】解：连接OB、OC ∵⊙O的周长等于6π， ∴⊙O的半径OB＝OC＝＝3， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC＝＝60°， ∴△BOC是等边三角形， ∴BC＝OB＝OC＝4， 即正六边形的边长为3， 故选：B． 【点评】本题考查正多边形与圆的相关计算，解题的关键是掌握圆内接正六边形中心角等于60°，从而得到△BOC是等边三角形． 5．（3分）如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光．同时闭合两个开关小灯泡发光的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关， ∴小灯泡发光的概率为， 故选：B． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 6．（3分）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为36πm2，圆柱高为4m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（　　） A． B．144πm2 C． D．216πm2 【分析】设圆柱的底面圆的半径为r m，利用圆的面积公式得到πr2＝36π，解得r＝6，则利用勾股定理计算出圆锥的母线长为2m，由于圆柱的侧面展开图为矩形，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据矩形的面积公式和扇形的面积公式可计算出需要毛毡的面积． 【解答】解：设圆柱的底面圆的半径为r m， 根据题意得πr2＝36π， 解得r＝6， 所以圆锥的母线长为＝2， 所以需要毛毡的面积＝2π×5×4+×2π×6×3）πcm2． 故选：A． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 7．（3分）已知点A是反比例函数的图象上的一个动点，连接OA，则点B所在图象的函数表达式是（　　） A．y＝3x（x＞0） B．y＝﹣6x（x＜0） C． D． 【分析】设A（m，n），过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，得到AC＝n，OC＝﹣m，根据全等三角形的性质得到AC＝OD＝n，CO＝BD＝﹣m，于是得到结论． 【解答】解：∵点A是反比例函数的图象上的一个动点， 设A（m，n）， 过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D， ∴AC＝n，OC＝m， ∴∠ACO＝∠BDO＝90°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠CAO+∠AOC＝∠AOC+∠BOD＝90°， ∴∠CAO＝∠BOD， 在△ACO与△ODB中， ， ∴△ACO≌△ODB（AAS）， ∴AC＝OD＝n，CO＝BD＝m， ∴B（n，﹣m）， ∵mn＝3， ∴n（﹣m）＝﹣3， ∴点B所在图象的函数表达式为y＝﹣（x＞8）， 故选：C． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，反比例函数图形上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 8．（3分）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转，得到△CDE，且CD平分∠ACB，记线段BC与DE的交点为F．下列结论中（　　） A．CA＝CD B．△CDE≌△CDA C．∠BDF＝∠ACD D．DF＝EF 【分析】由旋转的性质可直接判断A选项正确；观察图形可直接判断B选项错误；由旋转可知旋转角∠ACD＝∠BCE，对应角∠B＝∠E，由角分平线可得∠ACD＝∠DCF，由三角形外角定理可证明C选项正确；证明△ACD≌△DCF（ASA）可得AD＝DF，利用D为AB中点以及AB＝DE，可证明D选项正确． 【解答】解：∵点D是△ABC旋转后点A的对应点， 故CA＝CD，故A正确； 由旋转可知△CDE≌△CAB，但△CAB与△CAD并不全等； 由旋转可知旋转角∠ACD＝∠BCE，对应角∠B＝∠E， 又CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCF， ∴∠ACD＝∠DCF＝∠BCE． ∵∠B+∠BDF＝∠DFC，∠E+∠BCE＝∠DFC， ∴∠BDF＝∠BCE＝∠ACD， 故C正确； 在△ACD和△DCF中， ， ∴△ACD≌△DCF（ASA）， ∴AD＝DF， ∵D为AB中点， ∴AD＝， 又AB＝DE， ∴DF＝， 即F为DE中点， ∴DF＝EF， 故D正确； 故选：B． 【点评】本题主要考查了图形的旋转变换的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角定理，有一定综合性，能够综合运用以上知识是解题的关键． 9．（3分）某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图），离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是（　　） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 【分析】以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，把题中已知点代入，求出解析式后，令y＝0，即可解答． 【解答】解：设抛物线解析式：y＝a（x﹣1）2+， 把点A（0，10）代入抛物线解析式得： a＝﹣， ∴抛物线解析式： y＝﹣（x﹣1）2+． 当y＝0时，x1＝﹣6（舍去），x2＝3． ∴OB＝7米． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线建模，在平面直角坐标系中求抛物线解析式，解决实际问题． 10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据二次函数的图象开口向下和对称轴可知b＜0，由抛物线交y的正半轴，可知c＞0，由当x＝﹣1时，y＜0，可知a﹣b+c＞0，然后利用排除法即可得出正确答案． 【解答】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴a＜0， ∵﹣＜3， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴相交于正半轴， ∴c＞0， ∴直线y＝bx+c经过一、二、四象限， 由图象可知，当x＝﹣6时， ∴a﹣b+c＞0， ∴反比例函数的图象必在一， 故B、C、D错误； 故选：A． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键． 11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1 【分析】设平移的距离为m，由半径为2的⊙P的圆心P在x轴上，且与y轴相切，可求得该圆心的坐标为（﹣2，0）或（2，0），则﹣3+m＝﹣2 或﹣3+m＝2，求出m的值即可得到问题的答案． 【解答】解：设平移的距离为m， ∵半径为2的⊙P的圆心P在x轴上，且与y轴相切， ∴圆心的坐标为（﹣2，7）或（2， ∴﹣3+m＝﹣5 或﹣3+m＝2， 解得m＝8或m＝5， ∴平移的距离为1或6， 故选：A． 【点评】此题重点考查直线与圆的位置关系、圆的切线的判定、平移的性质、图形与坐标等知识，确定半径为2、圆心在x轴上且与y轴相切的圆的圆心坐标是解题的关键． 12．（3分）二次函数y＝ax2+b的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用二次函数图象得出a，b的符号，进而利用一次函数的图象性质得出答案． 【解答】解：如图所示：抛物线开口向下，交y轴的正半轴，b＞0， 故一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限． 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数以及一次函数的图象，正确得出a，b的符号是解题关键． 二．填空题（共6小题，共24分） 13．（4分）如果一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个根为x1，x2，则x13+3x12﹣x1x2+2x2＝　﹣4　． 【分析】因为x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个根，所以x12+3x1﹣2＝0即x12+3x1＝2，x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣2，利用一元二次方程根的定义及根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：∵一元二次方程x2+3x﹣4＝0的两个根为x1，x8， ∴x12+7x1﹣2＝5即x12+3x1＝2，x2+x2＝﹣3，x2x2＝﹣2， ∴x43+3x62﹣x1x7+2x2＝x2（x12+7x1）+2x5﹣x1x2＝3（x1+x2）﹣x5x2＝2×（﹣8）+2＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根的判别式，找出x12+3x1＝2，x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣2是解题的关键． 14．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上，则∠AOC的度数是 　160°　． 【分析】首先根据圆内接四边形的性质得∠B＝∠ADE＝80°，再根据圆心角与圆周角的关系即可得出∠AOC的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADE＝80°， ∴∠B＝∠ADE＝80°， ∴∠AOC＝2∠B＝160°． 故答案为：160°． 【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆心角与圆周角之间的关系，熟练掌握圆内接四边形的一个外角等于它的内对角，理解圆心角与圆周角之间的关系是解答此题的关键． 15．（4分）小红帮助母亲预算家庭4月份电费开支情况，下表是小红家4月初连续8天每天早上电表显示的读数： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 电表显示度数 21 24 28 33 39 42 46 49 若每度电收费0.42元，估计小红家4月份（按30天计）的电费是　50.4　元．（注：电表计数器上先后显示读数之差就是这段时间内消耗电能的度数） 【分析】先计算出这七天一共用电的度数，再算出平均每天用电的度数，从而计算出这个家庭4月份用电度数，最后估计出小红家4月份（按30天计）的电费． 【解答】解：这七天每天用电的度数＝＝4， ∴小红家3月份（按30天计）的电费＝120×0.42＝50.4（元）． 故答案为：50.3． 【点评】考查了用样本估计总体的思想．总体平均数约等于样本平均数． 16．（4分）用一根长60cm的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积为 　225　cm2． 【分析】先设出矩形的长，即可得到宽，然后即可表示表示出面积，再化为二次函数的顶点式，即可求得该矩形的最大面积． 【解答】解：设矩形的长为x cm，则宽为（30﹣x）cm2， S＝x（30﹣x）＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣15）3+225， ∴该函数图象开口向下，当x＝15时， 故答案为：225． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是用二次函数表示出面积与矩形的长的函数关系式． 17．（4分）如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝（x＞0），则点C的横坐标为　　． 【分析】△OAB是等腰直角三角形，点A在反比例函数y＝图象上，可以求出点A的坐标，△BCD是等腰直角三角形，点C都在反比例函数y＝图象上，可以表示点C的坐标，求出待定的常数，进而确定点C的横坐标的值． 【解答】解：过点A、C分别作AE⊥x轴，垂足为E、F， ∵，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形， ∴OE＝AE＝EB，CF＝BF＝FD， ∵点A在y＝的图象上， ∴A（1，2） 设BF＝a则C（2+a，a）代入y＝， 解得：a＝﹣3， 又∵a＞0， ∴a＝， ∴OF＝2+＝，即点 C的横坐标为：． 故答案为：+1 【点评】考查等腰三角形、直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，设未知数，表示出点的坐标，代入求出未知数的值，进而确定点的坐标是常用的方法． 18．（4分）如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，AC＝6，将线段BC绕着点B逆时针旋转60°得到BC′，CC′，则△ABC′的面积为 　　． 【分析】延长AC至D，使AD＝BD，连接BD，可以证明△ABD为等边三角形，结合△BCC'为等边三角形可用“SAS”证明△DBC≌△ABC'，从而S△DBC＝S△C'AB．过点B作BE⊥AD于点E，由三角函数可求BE，又CD＝AD﹣AC，故S△DBC＝可求，即可得△ABC′的面积． 【解答】解：延长AC至D，使AD＝BD，如图， ∵∠CAB＝60°， ∴△ABD为等边三角形． ∵BC绕着点B逆时针旋转60°得到BC′， ∴△BCC'为等边三角形， ∴BC＝BC'，∠CBC'＝60°， ∵∠DBA﹣∠ABC＝∠CBC'﹣∠ABC， 即∠DBC＝∠ABC'． 在△DBC和△ABC'中， ， ∴△DBC≌△ABC'（SAS）． ∴S△DBC＝S△C'AB， 过点B作BE⊥AD于点E， ∴BE＝AB•sin60°＝10×＝6， ∴S△DBC＝＝＝10， ∴S△C'AB＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，解直角三角形，图形旋转的性质，全等三角形的判定与性质，构造等边三角形ABD，证明△DBC≌△ABC'是解决本题的关键． 三．解答题（共90分） 19．（8分）解方程：2（x﹣1）2＝x﹣1． 【分析】方程移项变形后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【解答】解：方程变形得：2（x﹣1）5﹣（x﹣1）＝0， 分解因式得：（x﹣8）（2x﹣2﹣6）＝0， （x﹣1）（3x﹣3）＝0， 可得x﹣5＝0或2x﹣5＝0， 解得：x1＝5，x2＝． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，3），B（﹣1，2），C（﹣2，1）． （1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标； （2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标； （3）在（2）的旋转过程中，求点B旋转到点B2所经过的路线长（结果保留π）． 【分析】（1）分别画出A、B、C关于原点O对称点A1、B1、C1即可； （2）分别画出A、B、C绕原点O顺时针方向旋转90°得到的对应点A2、B2、C2即可； （3）利用勾股定理求出OB，根据弧长公式计算即可； 【解答】解：（1）△ABC关于原点O对称的△A1B1C6如图所示，点B1的坐标（1，﹣7）； （2）△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C7如图所示，点A2的坐标（3，8）； （3）在（2）的旋转过程中，点B旋转到点B2所经过的路线长＝＝π． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换、轨迹、弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0． （1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值． 【分析】（1）先根据判别式的值得到Δ＝4，由此根据判别式的意义可得到一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）利用求根公式法解方程得到x1＝k+1＞0，x2＝k+3＞0，即Rt△ABC两直角边的长为k+1和k+3，斜边BC的长为10，然后根据勾股定理得到（k+1）2+（k+3）2＝102，解方程得到满足条件的k的值为5． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+4）]8﹣4（k2+4k+3） ＝4＞6， ∴不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：x2﹣（2k+6）x+k2+4k+3＝0， （x﹣k﹣1）（x﹣k﹣7）＝0， ∴x1＝k+8＞0，x2＝k+8＞0， ∴Rt△ABC两直角边的长为k+1和k+4，斜边BC的长为10， ∴（k+1）2+（k+5）2＝102， 解得k4＝﹣9（舍去），k2＝7， ∴k的值为5． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了勾股定理． 22．（10分）中山市图书馆购进一批图书供学生阅读，为了合理配备各类图书，从全市学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A“艺术类”，C“科普类”，D“体育类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息 （1）此次被调查的学生人数为 　100　名，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是 　36　度； （3）李老师准备从甲、乙、丙、丁四位学生中随机选择两位进行访问．请用列表或画树状图的方法，求李老师选中乙、丙这两位同学的概率． 【分析】（1）根据A类的人数和所占的百分比，可以计算出本次被调查的学生总数，然后计算出选择D类的学生数，即可将条形统计图补充完整； （2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数； （3）画出相应的树状图，然后即可计算出李老师选中乙、丙这两位同学的概率． 【解答】解：（1）此次被调查的学生人数为：20÷20%＝100（名）， 故答案为：100； 选择D的学生有：100﹣10﹣20﹣40﹣5＝25（名）， 补全的条形统计图如图所示； （2）在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是：360°×， 故答案为：36； （3）树状图如下所示： 由上可得，一共有12种等可能性、丙这两位同学的可能性有2种， ∴李老师选中乙、丙这两位同学的概率为＝． 【点评】本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，设点P运动的路程为x（x＞0），连接OP1． （1）直接写出y1与x的函数关系式为：　y1＝　． （2）在给出的平面直角坐标系中画出y1的函数图象，并写出这个函数的一条性质：　当0＜x≤4时，y1随x的增大而增大，当4＜x≤7时，y1随x的增大而减小（答案不唯一）　； （3）如图2，的图象如图所示，根据函数图象1≤y2时x的取值范围是 　0＜x≤2.3或6.4≤x≤7　.（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【分析】（1）当点P在AB上运动时，此时0≤x≤4，由y1＝AP×OH，即可求解；当点P在BC上运动时，同理可解； （2）取点绘制图象，再观察函数图象即可求解； （3）观察函数图象即可求解． 【解答】解：（1）∵AB＝4，BC＝3， 则AC＝3，AO＝OC＝； 当点P在AB上运动时，此时0≤x≤7， 过点O作OH⊥AB于点H，则OH＝， 则y1＝AP×OH＝＝x； 当点P在BC上运动时，此时，如图2， 则y7＝AO×PN＝×（4+4﹣x）； 故答案为：y1＝； （2）当x＝2时，y1＝0，当x＝5时，y1＝3，当x＝3时，y1＝0， 描绘上述各点绘制图象如下： 从图象看，当8＜x≤4时，y1随x的增大而增大，当3＜x≤7时，y1随x的增大而减小； 故答案为：当4＜x≤4时，y1随x的增大而增大，当4＜x≤7时，y1随x的增大而减小（答案不唯一）； （3）联立y8＝x和y7＝并解得：x＝， 联立y1＝4﹣x和y2＝并解得：x＝， 从图象看，当y1≤y4时x的取值范围是：0＜x≤2.5或6.4≤x≤2， 故答案为：0＜x≤2.3或6.4≤x≤4． 【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质，确定一次函数的表达式是解题的关键． 24．（12分）直角三角形的两条直角边的长相差2cm，面积是24cm2，求两条直角边的长． 【分析】可设较短的直角边为未知数，表示出较长的边，根据直角三角形的面积为24列出方程求正数解即可． 【解答】解：设一条直角边的长为xcm，则另一条直角边的长为（x+2）cm． 根据题意列方程，得x×（x+2）＝24． 解方程，得x1＝4，x2＝﹣8（不合题意，舍去）． 答：一条直角边的长为 5cm，则另一条直角边的长为8cm． 【点评】考查一元二次方程的应用；用到的知识点为：直角三角形的面积等于两直角边积的一半． 25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F． （1）判断DF与是⊙O的位置关系，并证明你的结论． （2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OD，先证∠ODB＝∠C，得OD∥AC，再由DF⊥AC，得DF⊥OD，即可得出结论； （2）连接OE，求出∠A＝45°，由等腰三角形的性质得出∠OEA＝45°，则∠AOE＝90°，由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出答案． 【解答】（1）解：DF与⊙O相切，证明如下： 连接OD，如图1所示： ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B， 又∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴DF⊥OD， ∵点D在⊙O上， ∴DF与⊙O的相切； （2）解：连接OE，如图2所示： ∵∠CDF＝22.5°，DF⊥AC， ∴∠C＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝67.4°， ∴∠A＝45°， 又∵OA＝OE＝4， ∴∠OEA＝45°， ∴∠AOE＝90°， ∴阴影部分的面积＝﹣×3×4＝4π﹣5． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、圆内接四边形的性质、扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的判定和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 26．（14分）如图在平面直角坐标系中已知抛物线y＝x2+x﹣2交x轴于点A、B，交y轴于点C． （1）求线段BC的长； （2）点P为第三象限内抛物线上一点，连接BP，过点C作CE∥BP交x轴于点E，求△BPE面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，以y轴为对称轴x2+x﹣2对称，对称后点P的对应点为点P′，N为平面内一点，是否存在以点A、P′、M、N为顶点的四边形是菱形，直接写出点N的坐标，若不存在 【分析】（1）对于y＝x2+x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2，即点C（0，2），令y＝x2+x﹣2＝0，则x＝4或1，即点B（﹣4，0），即可求解； （2）证明S△PBE＝S△PBC，进而求解； （3）当AP′为对角线时，由中点坐标公式和AM＝AN，列出方程组即可求解；当AN（AM）为对角线时，由中点坐标公式和AM＝AN（AP＝AN）即可求解． 【解答】解：（1）对于y＝x6+x﹣7，y＝﹣2，2）， 令y＝x2+x﹣2＝7，即点B（﹣4， 则BC＝＝6； （2）过点P作PF∥y轴于点F， ∵EC∥BP， ∴S△PBE＝S△PBC， 由点B、C的坐标得x﹣2， 设点P的坐标为：（m，m2+m﹣2），﹣m﹣2）， 则PF＝﹣m﹣2﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m， ∴S△PBE＝S△PBC＝S△PFB+S△PFC＝PF×OB＝m3﹣2m）＝﹣（m+2）3+4≤4， ∴△BPE面积的最大值为6，此时点P的坐标（﹣2； （3）存在，理由： 由题意得，点P′（2，对称后的抛物线的对称轴为x＝， 故设点M（，m），t）， 当AP′为对角线时，由中点坐标公式和AM＝AN得： ，解得：， 即点N的坐标为：（，﹣）和点M重合； 当AN（AM）为对角线时，由中点坐标公式和AM＝AN（AP＝AN）得： 或， 解得：或， 即点N的坐标为：（2.3，﹣3）或（7.5，﹣，）或（，﹣）． 综上，存在点N，﹣3）或（2.6，﹣，）或（，﹣）． 【点评】本题为二次函数综合题，涉及到平行线的性质、面积的计算、图象的平移、菱形的性质等，其中，分类求解是本题解题的难点． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/1/13 18:52:04；用户：王立研；邮箱：orFmNt_U77fScWxT8l0DTCmjLXRs@weixin.jyeoo.com；学号：25840186 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$