上海市桃浦中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

桃浦中学高二期末数学试卷 2025.01 一.填空题 1.已知等差数列{an}中，a1=1,a,=13,则公差d=_ 2.己知向量ā=(2,5,1)，b=(4,m,5),若ā.万=3，则实数m的值为 3.若球的半径为1，则其表面积为 4.在(x+)°的二项展开式中，常数项为 5.若A、B、C、D、E五人站成一排，如果A、B必须相邻，那么排法共 种 6.已知数列{an}是递减的等比数列，若a,a4=8,a2+a3=6,则ao= 7.己知某圆锥的侧面展开图是圆心角为√2π，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面 所成角的大小为 8.在(1+x)”的二项展开式中，若各项系数和为32，则正整数n的值为 9.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若2a,+3a,=20,则S,的值为 10.从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人）， 其中甲不参加测温的分配方案有种（结果用数值表示） I1.在正四面体ABCD中，点N是△ABC的中心，若DN=DA+uDB+vBC(、H、 v∈R),则+4+v= 12.上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（左图）的屋檐下常系挂风铃（中图），风吹铃动， 悦耳清脆，亦称惊鸟铃.一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成.为了知道一个 惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量 因此我们需要作出一些合理的假设： 假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥： 假设2：两圆锥的轴在同一条直线上： 假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计」 截面图如图（右图），其中O,O3=20cm,O,O3=18cm,AB=16cm,则制作100个这样 的惊鸟铃的铃身至少需要 千克铜.（铜的密度为8.9g/cm3,结果精确到个位） 二，选择题 13.若点P(a,b,c)(abc≠0)关于平面xOy的对称点为A,关于z轴的对称点为B, 则A、B两点() A.关于坐标原点O对 B.关于x轴对称 C.关于y轴对称 D.关于平面xOz对称 14.设m、n为两条直线，a、B为两个平面，且x∩B=n.下述四个命题中为假命题 的是() A.若m⊥a,则m⊥n B.若m∥a,则m∥n C.若m∥a且m∥B,则m∥n D.若m∥n,则m∥a或m∥B 15.在正方体ABCD-AB,C,D中，下列结论错误的是() A.(A4+AD+4B)2=34B B.向量AD,与AB的夹角是120° C.AC·(4B-4)=0 D.这个正方体的体积为AB.AA·AD引 16.如图，正四棱柱ABCD-AB,CD的底面ABCD边长为1， E为AD上任意一点，F为CC中点，若棱CD上至少存在一 点P使得PE⊥PF,则棱长AA的最大值为() A. √2 B.1 C.√2 D.2 D E 三.解答题 17.已知数列{an}满足a1=1,an=3an-1+4(n≥2). (1)求证：数列{an+2}是等比数列： (2)求数列{a,}的通项公式：写出∑a的具体展开式，并求其值. 18.如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆 锥的侧面上)，圆锥的母线长为4，AB、CD是底面的两条直径，且AB=4,AB⊥CD, 圆柱与圆锥的公共点F恰好为其所在母线PA的中点，点O是底面的圆心， (1)求圆柱的侧面积： (2)求异面直线OF和PC所成的角的余弦值. 0% 19.在无穷数列{an}中，an均为正整数，且an+1= an是偶数 记{an}的前n项 an+3,an是奇数 和为Sn· (1)若a=10,求S,的值：(2)若S3=17,求a的值. 20.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形. (1)求证：CD∥平面PAB; (2)求证：平面PBD⊥平面PAC; (3)设AB=2,若四棱锥P-ABCD的体积为 求点A到平面PBD的距离. 21.如图所示，已知三棱柱ABC-AB,C的侧棱与底面垂直，AA=AB=AC=1, AB⊥AC,M是CC的中点，N是BC的中点，点P在直线AB上，且满足AP=元AB. (1)证明：PN⊥AM; (2)当2取何值时，直线PN与平面ABC所成的角B最大？并求该角取得最大值时的正 切值： (3)若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置. --- 参考答案 一.填空题 1.2 2.-2 3.4π 4.20 5.48 6.1 7.45° 8.5 9.52 10.96 64 4-3 11. 12.120(119也对) 二.选择题 13.A 14.B 15.D 16.A 三.解答题 17.(1)证明：由a,=30+4得a,+2=3(a1+2列，即n≥2时8+2=3 an-1+2 且a+2=3≠0，所以数列{an+2}是等比数列.，7分 (2)由(1)知数列{an+2}是等比数列，公比为3，且首项a,+2=3…8分 从而an+2=3.3-=3”,所以数列{an}的通项公式为an=3”-2..11分 含4*4*4+a+%-6434+99-25-0g 1-9 10=22133. 18.(1)设圆柱上底面的圆心为O,在△PAO中，F是PA的中点， F011A0,0A=2,.F0=l,00=V5,…2分，S#侧=2πh=2W3元 (2)F,O分别是PAAB的中点，∴.FO//PB ∴.异面直线OF和PC所成的角等于PB和PC的夹角∠BPC.·8分 PB=PC=4,BC=22,CosLBPC=16+16-8_3 2×4×44 …14分 19.解：(1)当a1=10时，{an}中的各项依次为10,5,8,4,2,1,4,2,1，…， 所以S,=10+5+8+(4+2+1)×2=37. (2)①若a是奇数，则4=4+3是偶数，4，==4+3 22 三7，得a+(0+3)+=17,解得a=5,适合题意… ②若a,是偶数，不妨设a=2k(k∈N),则a,=g=k. 是偶数，则4二=，由S=17,得2k+北+217，此方程无整数 若k是奇数，则a=k+3,由S3=17,得2k+k+k+3=17，此方程无整数解. 综上，41=5.…14分 20.解(1)CD/AB,AB在平面PAB上，CD不在平面PAB上，所以CD//平面PAB (2),PA⊥平面ABCD,BD是平面ABCD上的直线，∴，PA⊥BD, 6分 ,·ABCD是正方形，.对角线AC⊥BD. :PA,AC是平面PAC上的两条相交直线.BD⊥平面PAC 9分 ,·平面PBD经过直线BD,∴.平面PBD⊥平面PAC. 11分 g):w写x5cnwPA-号PA=2. 13分 设点A到平面PAD的距离为h,在三棱锥P-ABD中，V,-AD='-PD 由ABCD是正方形可知AD=AB=2,BD=2√2； 由勾股定理有PB=PD=2√2；从而△PBD是正三角形， 4 17分 34 3 23-4 h即h=2 .综上所述，点P到平面PBD的距离为2 18分 3 21.(1)以AB,AC,A4分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， a,N0a》m-分m-(0 (2)平面ABC的一个法向量n=(0,0,1), PN. sin=cosa= IPN G周wa- 当s血9最大时，0最大，由上式得2=如9)-25，此时an9=2. 5 3》员=双=@0，设平面Pw的法向量为=c-(2-》】 --2 +2=0 22+1 NP=0 Y= 0 mMP=0 x-y+2=0 20-0x 3 令x=3得m=(3,21+1,21-),平面PMN与平面ABC所成的二面角为严， 4 cos0 =m 121-)川 2→1=- 1m川V9+(21+1)2+41-2)2 2 2 ：点P在B4的延长线上，且4=2