精品解析：甘肃省平凉市静宁县六校联考2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题

甘肃省平凉市静宁县六校联考2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考场号，座位号，准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】在中，，一方面，若，则，所以； 另一方面，若，取，则； 所以““是““的充分不必要条件． 故选：B． 2. 函数为上的奇函数，则的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦函数的性质，列式求解并赋值得答案. 【详解】由函数为上的奇函数，得， 解得，当时，，所给其他均不存在整数使其成立. 故选：C 3. 已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的性质及函数单调性即可比较大小. 【详解】因为偶函数在区间上单调递减，所以在上单调递增， 因为，故自变量的绝对值越大，对应的函数值越大， 又，所以， 故选：D． 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、幂函数与对数函数的单调性，分别判断与1，2的大小关系即可. 【详解】因为， 所以． 故选：A． 5. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义及诱导公式求解. 【详解】因为角的终边过点，所以， 所以． 故选：A． 6. 已知函数，则函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的原则可得结果. 【详解】由得,或， ∴的定义域为． ∵二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴在上增函数， ∵函数在上单调递减， ∴根据复合函数单调性法则可知函数的单调递减区间是． 故选：C． 7. 已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件求出的范围，结合余弦函数的图象可求的取值范围. 【详解】当时，． 因为在上有且仅有2个零点， 所以，解得． 故选：C． 8. 已知函数，则（ ） A. 4048 B. 4049 C. 4051 D. 4052 【答案】C 【解析】 【分析】根据的解析式可得，由此可得答案. 【详解】∵，∴，， ∴， ∴． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论成立是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，用作差法比较大小即可；对于B，举特殊情况即可判断；对于C，用作差法比较即可；对于D，用作差法比较即可. 【详解】对于A，因为，所以，即，即，故，故A正确； 对于B，若则，故B错误； 对于C，，即，故C正确； 对于D，，故，故D错误． 故选：AC． 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用周期公式可得A正确；求出的取值范围与比较即可判断B，代入验证法可得C错误；由平移规则可知D正确. 【详解】的最小正周期为，A正确． 当时，在上单调递增，B正确． ，故的图象不关于直线对称，C错误． 函数的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数为，即，D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在定义域内单调递减 C. 的最大值为 D. 的图象关于直线对称 【答案】AD 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域判断A，应用对数及二次函数复合的单调性及值域判断B,C,根据二次函数的对称性判断复合函数的对称性判断D. 【详解】解得，即的定义域为，A选项正确． ，令，则． 二次函数的图象的对称轴为直线， 又的定义域为的图象关于直线对称．D选项正确． 由复合函数单调性法则知，在上单调递增，在上单调递减，B选项错误． 当时，有最大值，，C选项错误． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为第二象限角，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方关系以及角的范围求得正余弦，再根据商数关系得正切的值. 【详解】因为为第二象限角，所以， 由解得所以． 故答案为：． 13. 已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据幂函数过点求出函数，再结合函数的单调性列出不等式计算求解. 详解】设幂函数，由题意得，解得，故， 所以，则，即为. 令，解得. 根据在上为单调递增函数， 则有，解得或，故所求解集为， 故答案为:. 14. 函数，其中． （1）若，则的零点为___________； （2）若函数有两个零点，则的取值范围是____________． 【答案】 ① ②. 【解析】 【分析】若，直接解方程即可；若函数有两个零点，解方程结合基本不等式求最值. 【详解】当时，， 令，则，故，所以的零点为. （2）令，则，故， 由于，所以，因此， 由于， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号， 故的取值范围为． 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次不等式可得，再求解即可； （2）由题意可，再根据求解即可. 【小问1详解】 当时，由解得，即． 由解得，即， 或，则或 【小问2详解】 由题意可是的真子集， ， ， 由（1）知， 解得，即实数的取值范围是. 16. 已知函数． （1）判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； （2）设，若，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性定义证明即可； （2）由函数单调性求出函数值域，若，使得可转化为值域的包含关系，建立不等式求解即可. 【小问1详解】 在区间上单调递增． 证明如下：且， 则． 因为，所以， 所以，即， 所以在区间上单调递增． 【小问2详解】 由（1）知当时，， 即当时，的值域． 因为在时为减函数，所以 若，使得，则， 即，解得， 故实数的取值范围为． 17. 已知函数分别为定义在上的偶函数和奇函数，且满足． （1）求的解析式； （2）设函数，求在上最小值，并求对应的的值． 【答案】（1） （2）最小值为0， 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性特征，用方程组思法求解即可； （2）令，换元法，再结合二次函数的性质即可得解. 【小问1详解】 由题意得， 因为分别是上的偶函数和奇函数， 则解得． 【小问2详解】 由（1）可知， 令，当时，易知单调递增，故， 可得当时，取得最小值0， 此时，解得，即， 所以在上的最小值为0，此时． 18. 设函数． （1）求函数在上的最小值； （2）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （3）若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过换元法将函数变形为二次函数，同时利用分类讨论的方法求解最小值； （2）恒成立需要保证即可，对二次函数进行分析，根据取到最大值时的情况得到的范围； （3）通过条件将问题转化为二次函数在给定区间上有两个零点求的范围，这里将所有满足条件的不等式列出来，求解出的范围. 【小问1详解】 令， 则． ①当，即时，． ②当，即时，． ③当，即时，． 综上可知，； 【小问2详解】 令，由题意可知当时，，而的图象是开口向上的抛物线的一部分， 最大值一定在端点处取得，所以有， 解得，故的取值范围是； 【小问3详解】 令.由题意可知，当时， 关于的方程有两个不等实数解， 所以原题可转化为， 即在内有两个不等实数根， 令则有， 解得， 故的取值范围是. 19. 已知函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）求不等式的解集； （3）若对于恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，，则，函数转化为，，求出二次函数在上的值域，即为函数在上的值域； （2）令，可将所求不等式变形为关于的取值范围，再结合对数函数的单调性可得出的取值范围，即为所求； （3）令，，则，可得出对于恒成立，由参变量分离法可得对于恒成立，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为， 令，，则， 函数转化为，， 则二次函数， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值，即， 由，可知当时，取到最大值，即， 故当时，函数的值域为． 【小问2详解】 由题得， 令，则，即，解得或， 即或，解得或. 故不等式的解集为. 【小问3详解】 由于对于恒成立， 令，，则，即对于恒成立， 即对于恒成立，所以对于恒成立． 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，则时，， 故当时，对于恒成立． 所以，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 甘肃省平凉市静宁县六校联考2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考场号，座位号，准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，“”是“”（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 2. 函数为上的奇函数，则的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 3. 已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上有且仅有2个零点，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则（ ） A. 4048 B. 4049 C. 4051 D. 4052 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论成立的是（ ） A. B. 若，则 C 若，则 D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 11 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在定义域内单调递减 C. 的最大值为 D. 的图象关于直线对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知第二象限角，，则____________． 13. 已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为___________． 14. 函数，其中． （1）若，则的零点为___________； （2）若函数有两个零点，则的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； （2）设，若，使得，求实数的取值范围. 17. 已知函数分别为定义在上的偶函数和奇函数，且满足． （1）求的解析式； （2）设函数，求在上的最小值，并求对应的的值． 18. 设函数． （1）求函数在上的最小值； （2）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （3）若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）求不等式的解集； （3）若对于恒成立，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$