海南省海口市2024-2025学年高三上学期期末调研考试数学试题

数学试题 第 1页共 4页 机密 启用前 海口市 2025届高三年级调研考试 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知复数 2i 1 i z   ，则复数 z的虚部为 A．1 B．－1 C．i D．－i 2．下列各式中，值为 1 2 的是 A． 2 2cos 30 sin 30  B． 21 2cos 30  C． 2sin30 cos30  D． 2 tan 22.5 1 tan 22.5   3．已知直线 a， b和平面 满足 a∥ ， b  ，则“ a∥ b”是“b∥ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．已知函数 ( ) log ( )xaf x a b  （ 0a  ，且 a  1）的值域为 R，则 b的范围是 A． (0, )  B． [0, )  C． ( , 0) D． ( , 0] 5．随机变量 (0 1)X N ， ， (0 4)Y N ， ，则下列关系正确的是 A． ( 1) ( 2)P X P Y   B． ( 1) ( 2)P X P Y   C． ( 1) ( 1)P X P Y   D． ( 1) ( 1)P X P Y   6．已知 O是平行四边形 ABCD所在平面内一点，且 2AB ， 1AD ，则有 A．OA OB OC OD   uur uuur uuur uuur B．OA OB OC OD   uur uuur uuur uuur C． 3AC BD  uuur uuur D． 2 2 10AC BD  uuur uuur 数学试题 第 2页共 4页 7．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点到准线距离为 2，直线 l过抛物线的焦点 F 交C于 A， B两点，且 6AB  ，点 A关于原点的对称点为 D，则 DB ABk k  A． 1 4 B． 3 4 C．2 D．1 8．已知曲线 3 2( ) 3f x x x  的对称中心为点M ，曲线 ( )f x 上两个不重合的动点 1 1( )A x y， ， 2 2( )B x y， 关于点M 对称，则 2 2 1 2x x 的取值范围是 A． [2, ) B． (2, ) C． 1 2     ， D． 1 , 2      二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9．已知一组数据共有 6个数，其中 5个数为 2，1，4，1，0．下列叙述正确的是 A．这组数据的标准差一定不为 0 B．这组数据的众数一定不为 3 C．这组数据的中位数一定小于平均数 D．这组数据的极差可能小于平均数 10．在忽略阻尼等因素的理想情况下，音叉的振动是典型的简谐振动，某音叉发出的纯音 振动可以近似用三角函数表达，其位移 )(tx （单位：cm）随时间 t（单位：s）的变化 可以用函数 1( ) sin(880 ) 2 x t t   ) 2 0(   来描述，已知该音叉在 110 1 t s时的位移 为 4 1 cm．下列选项正确的是 A． 6   B．该音叉每秒钟往复振动 880次 C．该音叉离开平衡位置的最大距离为 2 1 cm D．该音叉在 1760 1 t s时的位移为 3 4 cm 11．在棱长为 2正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， E F、 分别为棱 1AB AA、 的中点，过直线 EF 的平面截该正方体外接球所得的截面面积为 S．下列选项正确的是 A． 1AD与 EF 所成的角为 4  B． S的最大值为 3 C．当 S取最大值时，该截面与正方体表面的交线是一个正六边形 D．S的最小值为 3 2  数学试题 第 3页共 4页 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．已知集合 { | 2 1}A x x    ， { | }B x x m  ．若 A B ，则m的取值范围为 ． 13． 6 1(2 )x x  展开式的常数项为 ． 14．已知数列 na 满足 1 2a  ， 1 1 3 1 n n n a a a      （ n *N ），则使 20252na  成立的 n的最小 值是 ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数 2( ) ln( 1)f x x a x   ． （1）当 1 2 a  时，证明： ( )f x 是增函数； （2）若曲线 ( )f x 在点 (0 (0))A f， 处的切线经过点 (1 4)B ， ，求函数 ( )f x 的最小值． 16．（15分） 已知 , ,a b c分别为△ ABC三个内角 , ,A B C的对边， 2 23 3 cos 3 cosa b ab C bc A   ， 6a  ． （1）求 bc的最大值； （2）若△ABC的面积为 3 2 2 ，D为 BC中点，求 sin ADC 的值． 17．（15分） 如图，四棱台 1 1 1 1ABCD A BC D 的上下底面分别是边长为 1和边长为 2的正方形， 1D D 平面 ABCD， 1 1D D  ，点 P为线段 1AC上的动点． （1）当 12CP PA   时，证明：DP 平面 1A AC ； （2）设点 E为 AD的中点，当二面角 P EB C  的余弦值为 2 3 时，求三棱锥 P EBC 的体积． A 数学试题 第 4页共 4页 18．（17分） 已知双曲线 2 2 2 2 1 0 0 x yC : a b a b    （ ， ）的实轴长为 2，点 P为圆 2 2 13O x y ： 与双 曲线 C在第一象限内的交点， 1F ， 2F 分别为曲线 C的左、右焦点，且 1 2 9PF PF = uuuv uuuv ，过点 1( 0) 2 N , 直线 l与C在第一象限交于 A， B两点，且点 B在点 A上方． （1）求双曲线 C的标准方程； （2）若点M为线段 2NF 的中点，直线 BM 交直线 2PF 于点 D． （i）求证：直线 AD平行于 x轴； （ii）若 5BMN AMNS S  ，求直线 AB的方程． 19．（17分） 设 *nN ， , ,i j k表示 n， 1n  ， 2n  的任意一个排列，如 2n  时， , ,i j k可以分别 表示 2， 3， 4，也可以表示 2， 4， 3等其它排列．若数列{ }na 满足： 0na  ，对任意的 *nN ， i j ka a a  ，则称数列{ }na 是“T—数列”．特别地，若集合 1 2{ , , , }nA p p p  满 足：对于一个含有 n项的有限数列{ }na ， na A ， (1 )q ta a q t n    ，必有{ }na 是“T— 数列”，则称集合 A为“T—数列集”． （1）设集合 *{ , 1, 2, , , 1}( , )nA i i i i n i n n i       N ，若对任意的 *nN ， nA 均 为“T—数列集”，求 i与 n的关系； （2）设{ }na 是含有 5项且每项互不相等的数列， {2, 3, 4, 5, 6}ia  ，求{ }na 是“T—数 列”的概率； （3）对于函数 ( )y f x 和“T—数列” { }na ，若{ ( )}nf a 仍为“T—数列”，则称 ( )f x 为数列{ }na 的一个“T—函数”． （i）设数列{ }na 是首项为 2025，公比为 4 5 的等比数列，证明：数列 { }na 是“T—数 列”； （ii）函数 ( ) lgf x x 是（i）中数列{ }na 的一个“T—函数”，则数列{ }na 项数 n是 否有要求？如果没有，请说明理由，如果有，请求出 n的最大值． （参考数据： lg 2 0.30 ， lg3 0.48 ， lg5 0.70 ） 海口市2025届高三年级调研考试 数学试题参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 5 6 8 答案 B A A D C D D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AB ACD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(-0,-2] 13.6014.11 7.解：设A(x,y),B(x2,y2)，则D(-x,-y) 由题知p=2,曲线C:y2=4x kkw=-,5+丛=片-y=g-红三4 x2-x+x-xxx |AB=x1+x2+p=x1+x2+2=6,x+x2=4 kt=4=l,救选D x2+x 8.解：方法一：因为f(x)+f(2-x)=x2-3x2+(2-x)'-3(2-x)}=-4, 得曲线f(x)的对称中心为ML,-2),所以x+x2=2,即x2=2-x, x2+22=x2+(2-x)2=2x2-4x+4=2(x-1)2+2又4，B两点不重合，故x≠x2,x≠1， 所以x2+x32e(2,+∞). 方法二：点A(,y),B2乃2)关于点M对称，由图知，曲线f(x)在点A(x,) B(x,y2)处的切线互相平行，又f"(x)=3x2-6x,所以3x2-6x=3x,2-6x 又x≠x,化简得x+2=2,后续同上. 14解：a1+1=(an+1)(an+3), an+2=(a+2}2=(a-2+2)=(a-3+2…=a+2) a,=4°-2=2-2>205,20=1024,2"=2048，最小值取11. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1)函数f(x)=x2+aln(x+1)的定义域为(-l,+o). 1分 a=号时，∫')=2x+ 2分 2(x+1) =4r+1) 14r2+4x+1_2x+之0 4分 2(x+)2(x+)2x+) 2(x+1) 所以f)=r+aln(x+)在定义域(-l+o)上单调递增， 所以得证f(x)是增函数. 5分 (评分说明：没有明确函数在定义域上单调递增而直接得到增函数扣1分，说明学生 对增函数的概念了解不清晰，最后没有说明得证f(x)是增函数也扣1分，两处最多扣 1分，不重复扣分.) (2)f(0)=02+aln(0+1)=0,所以曲线f(x)在点A(0,0)处的切线率k=-46分 又f)=2x+x4所以f0=0+a=4, 7分 所以a=-4,即f(x)=x2-4ln(x+l) 8分 fe)=2x-4-2r+2r-4_2r+2r-》,又xeL+o x+1x+1 x+1 令f"(x)=0,得x=1, 10分 x∈(-l,1)时，f"(x)<0,xe(1,+o)时，f"(x)>0, 11分 所以f(x)在x=1处取极小值，也为最小值. 12分 所以f(x)的最小值为f)=1-4ln2. 13分 16.(15分) 解：(I)由余弦定理c0SA= 2+c2-a2 1分 2bc 因为a2+3b2=3 bacosC-3 becos A, +=3baxtbi-3bebi+c-a 2ab 2bc 整理，得362+302=2a3,即6+c2.2a 3分 3 且BD=DC=3,则BC=a=6,则b+c2=24. 4分 2 :b2+c2≥2bc.bc≤12当且仅当b=c时，等号成立 6分 :bc的最大值为列2 7分 (2)由题知，2AD=AB+AC,CB=AB-AC 平方，联立得： 8+C=2D+月 BC 且BD=DC=3, 9分 即c2+b2=2AD2+9联立解出AD=√ 11分 由s=-absinC 12分 则SuE-号4 DxDCsin∠ADC=35 4 :.SMDC= 6x3a乙aoc- 14分 4 sim∠ADc=6 15分 6 17.(15分) 解：由题知D,D⊥平面ABCD,又ABCD为正方形，故DA、DCDD两两垂直，如图， 以D为坐标原点建立空间直角坐标系D-3z. 1分 则D0,0,0,4(2,0.0).B220),C02,0.A,0,1). 2分 0证明：-C+币-c号河=写号销 3分 所以又AA=1,0-1),AC=(-2,2.0), 42 D 所以Dm.Aa=名×1+径×0+名xe)=0 4分 3 3 3 DP.4C=2×(-2+2×2+名×0=0 2 5分 3 1 所以得DP⊥AADP⊥AC, 又AAc平面AAC,ACc平面AAC,AA∩AC=A,所以得DP⊥平面AAC,6分 (2)因为点E为AD的中点，所以E(L,0,0), 易知，平面EBC的一个法向量元=(0,0，)， 7分 CP=ACA(0sAsI),EP=EC+CP=EC+CA,=(4-1,2-24,) 8分 设平面EBP的一个法向量为m2=(x2,乃2,2)，EB=(1,2,0) 3 多 P=(2-0x+2-22y+西=0，令5=22，得为=-=41-. 2·EB=x2+2y2=0 所以m2=(22,-元，41-)， 10分 元·m=41-),园=1，=2+(2+161-=61-+52 41-) 2 cos<mh,n>= V161-)2+523' 12分 化简得0-=只，解得天-号现=2X合去)所以得P呢号行， 13分 3 又54c-8cAB-x2x2=2, 14分 2 所以m2号-号 15分 39 18.(17分) 解： (1)设Pxy)，F(-c,0),F(c,0)则有PE=(-x-C,-a),PF=(-x+c,-y) PF+PF=(xo+c)(xo-c)+yo=xo+yo-c2 2分 又P在圆0：x2+y2=13上，x+=13所以，PFP瓦x+-c2=13-c2=9 则c2=4,由题知a=1,则b2=3 3分 椭圆C的标准方程为r2-上=1。 4分 3 x6+y哈=13 (2)(i)由(1)知 3 5分 设直线AB所在方程为x=m+m>0.水y》,B(k,y),M三，0) 4 5 3 X2一 则直线BM:x=一 4y+2,当x=2时，得点D的纵坐标肠4 .5 3y2 4 4my,-3 x34 7分 4 3x2-y2-3=0 联立方程 9 1,消去x得(3m-Dy2+3my x=my+ =0 4 则有3m2-1≠0 △=(3m)2+93m2-1D>0.得4m2-1>0 9分 N M F 9 -3m (法1)韦达定理得：少=3m与片+43m一司 4 -9m、-9m 3y-=4my-3y+y2-3m-13m-⊥1=0 片-6=y-4my,-3 11分 4my2-3 4my2-3 乃=yD所以，直线AD平行于x轴 12分 9 -9 (法2，前面同上)由韦达定理得： 4则y=4(3m-1Dy2 y4=3m-了 -3m -9 -9+43m2-1) y+h=3m2-i43m2-1Dy3 +y=43m2-1)y 即12my2=9-43m2-1Dy 10分 3y2 -9 123m2-1)y+94my3-3) yp-= 4my-343m2-1Dy44my2-3)Gm2-1)y 27-36my,+9(4my-3）=0 11分 4(4my2-3)3m2-1)y2 乃=y。所以，直线AD平行于x轴 12分 (i)法1： 由Sw=5Sa4w得：1卡5，因为y>0,为>0，则五=5， 13分 +点=+2_+-2业=5+上26,9+2-2 +2=36 14分 为y2 2 55’5 5 9 9m2 4 -3m y+2-3m2- 4m2 36 代入4=3m片+片3m 3 -9 -(3m2.1) 4(3m2-1D 解得m2 9 m>0m= 3 16分 4W2 直线AB的方程为：4W2x-3y-2√2=0 17分 法2：由2)知片=y0,则有=5，过点B做x轴的垂线，垂足为E 13分 yp AMBE，中DF.BE,有GMEF子ME卡号 14分 ME 5 则E(5,0),B(5.62), 6N2_4W2 直线AB的斜率为kB 5-3 16分 2 直线AB的方程为：4W2x-3y-2√2=0 17分 19.(17分) 解：(1)若对任意的n∈N°，A均为“T一数列集”，即有集合A中的任意两个元素之和大 于另外一个元素， 1分 则有：i计+)>i+n+1 3分 解得：i>n(n,ieN) 4分 (2)记事件B=“{a,}是‘T-数列”.n(2)=A=5×4×3×2×1=120.5分 ①当2和3相邻时，必有2,3,4相邻，且2和3只能为第1第2项或第4第5项. 有A4=8种，又3,2,4,6,5和5,6,4,2,3不符，故共有8-2=6种。 ②当2和3中间含1项时，中间1项必为4. 数列{an}的可能有：2,4,3，×，×，共A=2种 3,4,2,×,×,共1种 ×,3,4,2,×,共1种 ×,2,4,3,×,共1种 ×,×,3,4,2,共A=2种 6 ×,×,2,4,3,共1种 共计8种 ③当2和3中间含2项时，若中间2项为4和5时，共有龙··A-2=6种 若中间2项为5和6时，共有·4·-2=6种， 共计12种 ④当2和3中间含3项时，共有(4-2)4=8种， 故n(B)=6+8+12+8=34. 8分 所以P(B)=B=34_17 9分 n(2)12060 (3)(i)易知：an=2025× 5 且a.>0 10分 因a。>am1>a-2 a4+an2-a=2025× 12分 =205x周)+号205×号0 所以数列a,}满足：a。>0,且对任意的n∈N”,均有a,+a,>a, 所以数列{a}是“T一数列” 13分 (ii)若函数f(x)=lgx是(i)中数列{a,}的一个“T一函数”， 则有gdlgdd2任意两项之和必大于第三项，且f({a,》>0,由(i)有 ga+lga2>Iga 14分 即lg 0x2025传>202s) 整理得： 所以得：(n+2)(2lg2-g5)>-(2lg5+4lg3),解得：n<31.2 16分 2025 所以2025×) >1显然成立，所以f({a})>0 又neN,综上得n的最大值为31. 17分 7