广东省东莞市、揭阳市、韶关市2024-2025学年高三上学期期末质量检查数学试题

东莞市、揭阳市、韶关市2024-2025学年度第一学期期末教学质量检查 高三数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑： 1.已知集合A={-1,0,2,3,4},B-{x2<9},则C(A∩B)= A.{-1 B.{4) C.{-1,0,2,3} D.{0,2,3,49 2.已知向量a=(5,),五=(0，m),若(a-⊥a,则m= A.-2 B.2 C.4 D.-4 3.在复平面内，点Z6,)对应的复数为2，则+24 A站 B时 4.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,若S=So,43+ao=2,则{an}的公差为 A.-2 B.-1 c.1 D.2 5.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位， 共移动4次，则质点位于原点左侧的概率为 二6二4二3二2二1012345 5 A D 16 16 6方程如2x+?-c08x=0在x∈0,4标]的解的个数为 A.10 B.9 C.8 D.4 7已知，B分别为双曲线C:若-茶=1a>0b>0)的左、右焦点，过B作C的两条荷近战的 平行线分别交两条渐近线于A,B两点。若△AB为等腰直角三角形，则C的离心率为 A.2 B.5 C.3 D.10 8.设函数f(x)=(e-an(x-2b),若f(x)≥0，则ab的最小值为 A.- C.0 D.e 高三数学第页（共4页） 扫描全能王创建 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把正确选项在答题 卡中的相应位置涂黑， 9.已知圆台的上、下底面半径分别为1,3，母线长为4，则下列正确的有 A.圆台的侧面积为16x B.圆台的体积为26√5π C.母线与底面所成角为60 D.存在相互垂直的母线 10.某同学投掷一枚骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）5次， 并将每次向上的点数记录下来，计算出平均数和方差，若这5个点数的平均数为2，方差小于4， 则关于这5个点数，下列正确的有 A.极差小于4 B.一定不会出现6 C.众数可能为1 D.中位数可能为3 11,已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域为R,若∫(x)为奇函数，f(2)=一f()≠0，且对任 意xy∈R,f(x+y)=f(x)f'y)+'(x)fy),则下列正确的有 A.f0=-2 B.f(9)=0 C. D. f=1 =l 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 12.已知M是抛物线C:y2=4x上的一个点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若 |MF=2,则|MO= B已知a-m=语需名-则e+ 14.甲，乙，丙，丁4人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能 地将球传给另外三个人中的任何一人，经过两次传球后，球在乙手中的概率为 经过n次传球后，球在甲手中的概率Pn为 (用含有n的式子表示). 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分， 共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定 的区域内，超出指定区域的答案无效. 高三数学第2页（共4页） 扫描全能王创建 15.(本小题满分13分) 已知△MBC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin2C=二sinC. (l)求sinC的值： (2)若△MBC的面职为正，且a+h=26】 C,求△ABC的周长， 2 3 16.(本小题满分15分) 己知函数f()=lnx+2-a. (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(I)处的切线方程： (2)若函数f(x)有极小值，且f(x)的极小值小于1-a2,求实数a的取值范围. 17.(本小题满分15分) 如图，已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC. (1)证明：BC⊥平面PAB: (2)若B=BC=2,且平面PAC与平面PBC的夹角的余弦值为 ,求PA的长. 10 高三数学第3页（共4页） 扫描全能王创建 18.(本小题满分17分) ② 已知椭圆C名+片1(Q>b>0)的左、右焦点分别为月，乃，下顶点为4，离心率2日 2 P,O是椭圆C上的动点，且当PR⊥FF时，|PR=1. (1)求椭圆C的方程： (2)若∠PAQ的平分线经过点F, ①证明：直线PQ恒过定点；②求△APQ面积的最大值， 19.(本小题满分17分) 记数列{an}的前k项的最小值为b,称数列{亿}为{an}的“M数列”. (1)若an=(n-4)3”，求由数列{a,}的“M数列"{亿，}的所有项组成的集合： (2)若数列{a},{,}都只有4项，{亿}是{a}的“M数列”，满足a∈{L,2,3,4}k=1,2,3,4), 且存在ieL,2,3,4},使得b,=1,求符合条件的数列{b}的个数： 3)若a=mcos1匹，a,}的M数为6}，记S,6+b,+b,,从S,品， 2 S,,S4.(m≥3)中任取3个，记其中能被2整除且不能被4整除的个数为X,求E(X) 高三数学第4页（共4页） 扫描全能王创建东莞市、揭阳市、韶关市2024-2025学年度第一学期期末教学质量检查 高三数学参考答案 一、单项选择题 题号 2 3 4 6 > 8 答案 B c D A C D ⊙ 二、多项选绿题（全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 AC BC ABD 三、填空题 12.√5 13.75 10 4号-（月门第室2分，第=空3分） 四、解答题 15.解：(1)因为sin2C= sinC,即2 sin C cosC= -sin C …1分 因为sinC>0, 2分 所以cosC= 4 …3分 因为sin2C+cos2C=1, 4分 即imC+(学=1， 小…5分 所以sinC= 5 6分 4 (2)因为SMBC= ab sinC= …7分 2 所以ab=4,… ………8分 因为a2+b2-2 ab cos C=c2, 9分 即(a+b)2-2ab-2 abcosC=c2,… 10分 因为cosC==4,a+b26 所以25。-10=c2,得c=6, … 11分 所以a+b= 2W 3c4, 12分 所以△4BC的周长为4+√6 …13分 高三数学参考答案第1页共6页 16解：（1)当a=2时，f()=mx+2-2,所以f0=0,…1分 f(x)=1-2 ……3分 所以在(1，f0)切线f(们)=-1，… …5分 所以切线方程为y=-(x-1),即x十y-1=0… …6分 (2)因为f(x)=hx+日a,其中x>0,则f(m)=是=二2 …7分 ①当a≤0时，∫'(x)>0恒成立，此时函数f(x)在(0，+0)上单调递增，无极小值，8分 ②当a>0时，令f'(x)=0,可得x=a,列表如下： (0,a) a (a,+∞) f'(x） 0 + f(x) 递减 极小值 递增 所以f(x)能本m=f(a)=na+l-a, …10分 由题意可得lna+1-a<1-d2,即d+na-a<0.…11分 令g(a)=a2+ha-a(a>0),则g(I)=0 因为g(a)=2a+1-1=2a-a+1 >0,…13分 a 所以函数g(a)在(0，+o)单调递增， …14分 所以由g(a)<g(1)=0,得0<a<1,所以实数a的取值范围是(0,1).…15分 17.(1)证明：过点A作AD⊥PB,垂足为D. …1分 因为平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC=PB,ADC平面PAB, 所以AD⊥平面PBC,…3分 因为BCC平面PBC,所以AD⊥BC,…4分 又因为PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以PA⊥BC,5分 又因为PA∩AD=A,PAC平面PAB,ADC平面PAB,所以BC⊥平面PAB,…6分 (2)解：（方法一）因为BC⊥平面PAB,所以BC⊥AB,又因为PA⊥平面ABC,所以如图，以 点A为坐标原点，分别以AB,过A点且平行BC的直线，AP所在直线为x,y,z轴建立空间 直角坐标系A一Xz,…7分 高三数学参考答案第2页共6页 D B 设PA=a,因为AB=BC=2,所以A(00,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,ad, 则PA=(0,0,-a),AC=(2,2,0),PB=(2,0,-a,BC=(02,0),…8分 设平面PAC的法向量为n=(xy,), .PA=-E=0 则 ,得=0，x+y=0, …9分 AC=2x+2y=0 令x=1,y=-1,则平面PAC的一个法向量为1=0，-1,0)，…10分 设平面PBC的法向量为m=(x,y,=): mPB=2x-a=0 则 m-BC=2y=0 ，得=0，= 2 …11分 令：=2，x=a,则平面PBC的一个法向量为m=(a,0,2)。…12分 设平面PAC与平面PBC的夹角为0， 则cos8cos<n,m>H -1 1,-1,0)-(a,0,2) v10 mP++02xa2+0+2 F2xNG+410,…14分 解得a=1,即PA的长为1，… …15分 (方法二)取AC中点E,在△PAC中，过点E作EF⊥PC交PC于点F,连接BF,,7分 B 因为PA⊥平面ABC,BEC平面ABC,所以PA⊥BE, 因为AB=BC,E为AC中点，所以BE⊥AC, 又PA∩AC=C,PAC平面PAC,ACC平面PAC, 所以BB⊥平面PAC。… …8分 因为BE⊥平面PAC,PCC平面PAC,所以BE⊥PC, 又EF⊥PC,BE∩EF=E,BEC平面BEF,EFC平面BEF, 所以PC⊥平面BBF…9分 又因为BFC平面BEF,所以PC⊥BF, 又因为EF⊥PC,所以∠EFB为平面PAC与平面PBC的夹角.…10分 在RtA4BC中，AB=BC=2,E为AC中点，因为BB=EC=√2，…11分 高三数学参考答案第3页共6页 因为平面PAC与平面PBC的夹角的余弦值为 10 即FB=,所以m∠Bm=3,所以即- …12分 10 3 在RtNEFC中，FC= 3 …13分 在RIAPAC和△EFC中，tam∠ACP= PAEF反 …14分 AC FC 4 所以PA=1,即PA的长为1。………………………15分 18(1)因为离心率e=S= ，所以c= ……1分 a 2 b=Va-ci- …2分 所议号分1.期特a=26=,…3分 所以椭圆C的方程为二+上 =1生…4分 42 (2) 由∠PAQ的平分线经过点F,得到AP,AQ的斜率都存在且不相等，点A的坐标为(O,-√2)， AP:y=kx-v2,A0:y=kx-2, ……5分 点的坐标为(V巨，0.所以V5-V回 上2k,-迈 化简得到kk2=1,…6分 +1 Vk2+1 由已知得直线P2的不平行于x轴，设P2的方程为x=y+t,P(x,y),Q2,y), 高三数学参考答案第4页共6页 x=my+t 联立方程组 父+=1得+2w+2mw+-40,①…7分 4+2 △=(2m°-4(m+20-4小0，y+y=m+24= -2mt t2-4 8分 m2+2 由k=1,得到，(0y+V2)y,+V2)=xx …9分 所以(y+V2)0y2+V2)=(%+0(%,+), 得yy+V20g+)+2=m+m0+)+P, …10分 报据韦达定理得-4+5-2+2=m- m2+2m2+2 2+2 +m-2mt t, m2+2 化简得6m2-2√2mt-2=0,即t=√2m或-3m. …11分 又当t=√2m时，直线P经过点A,不符合题意， 12分 所以t=-3√2m,直线Pe经过定点N(0,32), 将t=-3V2m代入方程①得(m2+2)y2-6V2my+18m2-4=0, 由△=72m-4m+218m2-4>0,解得m<月 …13分 Sae=ANk-x=2Am-m.… …14分 =25mG+)-4=16mM-4m 2+2 ………15分 9m2+2-8m 则g=8W巨.3到mV2-8m85 2 4W2 ，…16分 3 m2+2 3 m2+2 3 当且仅当3m非2-8m，,即m=54 时取等号， 17 所以△AP巴面积的最大值为4W2 …17分 19.解：(1)因为an=(n-4)3, 所以a1-a=(0n-3)31-(n-④3”=(21-5)-3”， 当n23时，aH-a>0,当n≤2时，a1-a,<0, 所以4>4>4，a3<a4<4<，… …2分 所以么=4=-9，b2=4=-18当n23时，bn=43=-27，…3分 所以数列{a}的“M数列”{扬}所有项组成的集合为{-9，-18，-2刀；…4分 (2)①若4=1，则bn=1,}有1个，… …5分 ②若a≠1且a=1,则b,=b=b=1,有C种可能，b}有3个， …6分 ③若a≠1且a≠1,4=1，则b=b,=1,b,b两者相同有C种，两者不同，则6>b共有C 种，所以共有C+C种可能，}有6个。… …7分 高三数学参考答案第5页共6页 ④若a,4,4均不为1，则4=1，b=1,b,b,b三者全相同，共有C种，b,b,b三 者有2个相同，因为顺序确定，共有CC种，么，6，b三者全不相同，因为顺序确定，有C 种，共有C+CC+C种可能，他.}有10个，…8分 综上，符合条件的b}共有1+3+6+10=20，综上得符合条件的b}有20个.…9分 0,n=2k,k∈N", (3)由题意得an=-n,n=4k-3,k∈N, 10分 n,n=4k-1,k∈N 所以bn=-4h+3,4k-3≤n≤4k,keN, 所以，|bn=4k-3,4h-3≤n≤4k,keN,… ……11分 所以S=41+5++4h-3)=4k(2k-1),能被4整除， S1=St-b+=4k(2k-1)-4h+3=8k(k-)+3,为奇数，不能被2整除， S-2=S-b1-1b,上S-2(4k-3)=4(2k-0k-1)+2,能被2整除，不能被4整除， S-3=S4-bb1b-2卡St-3(4k-3)=8G-1)41,不能被2整除，…13分 所以S,S,…,S.中能被2整除，但不能被4整除的有n个，…14分 X=0-C PCX=1)-ciCi,PX-2)-CiC=,PX=3)- C …16分 E()0CC CC3C2-133 C C32m2-24n+441 …17分 高三数学参考答案第6页共6页