24.2.2勾股定理的逆定理的应用（分层练习）（题型专练）数学人教版五四制八年级下册

24.2.2勾股定理的逆定理的应用 分层练习  1．放学后，彬彬先去同学晓华家写了一个小时的作业，然后才回到家里．已知学校A．晓华家，彬彬家的两两之间的距离如图所示，且晓华家在学校的正东方向，则彬彬家在学校的（     ）    A．正南方向 B．正东方向 C．正西方向 D．正北方向 2．如图，四边形中，E为中点，于点E，，，，，则四边形 的面积为（　　）    A． B． C． D．无法求解 3．政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用．    4．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，两点之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，求出，两点间的距离． 1．党的十八大以来，各地积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山、某小区物业在小区拐角清理出了一块空地进行绿化改造，如图，，． (1)为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点A直通点C的小路，求小路的长度； (2)若该空地的改造费用为每平方米150元，试计算改造这片空地共需花费多少元？ 2．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站之间的距离为，且．    (1)求修建的公路的长； (2)一辆货车从点到点处走过的路程是多少？ 3．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．    (1)求的度数； (2)求取水点A到取水点D的距离． 4．某小区在创文工作中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，通过测量得到，，，，．    (1)求、两点之间的距离； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 5．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点A、，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（A，，在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米．    (1)是否为村庄到河边最近的道路，请通过计算加以说明； (2)已知新的取水点与原取水点A相距1千米，求新路比原路少多少千米． 6．在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图①，小明据此画出该岛的一个数学模型（如图②四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米．求四边形的面积．（结果保留根号）    7．高州市在创建全国文明城市期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知，，，，．    (1)求空地的面积； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 8．图1是某品牌婴儿推车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．    (1)该车是否符合安全标准； (2)请说明你的理由． 9．（1）如图1，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． （2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）    10．为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知，，，，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了．    (1)请写出施工人员测量的是哪两点之间的距离，以及确定的依据； (2)若平均每平方米的材料成本加施工费为110元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？ 1．定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 2．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 3．阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m²-1，c= m²+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗? 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c称为一组勾股数． 关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》． 【问题解答】 （1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数； （2）若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数； （3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.2.2勾股定理的逆定理的应用 分层练习  1．放学后，彬彬先去同学晓华家写了一个小时的作业，然后才回到家里．已知学校A．晓华家，彬彬家的两两之间的距离如图所示，且晓华家在学校的正东方向，则彬彬家在学校的（     ）    A．正南方向 B．正东方向 C．正西方向 D．正北方向 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，根据题意可求得即可求解． 【详解】解：由图可得：， ∴， ∴是直角三角形， ∴彬彬家在学校的正北方向， 故选：D． 2．如图，四边形中，E为中点，于点E，，，，，则四边形 的面积为（　　）    A． B． C． D．无法求解 【答案】C 【分析】连接，先求出的长，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：连接 ，    为 的中点，， 是的垂直平分线，， ， ， ， ， ，， ， 是直角三角形，， ∴四边形的面积， 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出 是直角三角形． 3．政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用．    【答案】够用，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用定理及其逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】   解：连接． ，，， ． ∵， 是直角三角形，且． ∴四边形的面积为： ． 所以所需费用为：（万元）． ， ∴投入的费用够用． 4．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，两点之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，求出，两点间的距离． 【答案】，两点间的距离为15米 【分析】本题考查了勾股定理逆定理及勾股定理，由勾股定理逆定理得出是直角三角形，从而得出，再由勾股定理进行计算即可，熟练掌握勾股定理逆定理及勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：米，米，米， ，， ， 是直角三角形，其中， ， 米， 在中，由勾股定理得，米， 答：，两点间的距离为15米． 1．党的十八大以来，各地积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山、某小区物业在小区拐角清理出了一块空地进行绿化改造，如图，，． (1)为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点A直通点C的小路，求小路的长度； (2)若该空地的改造费用为每平方米150元，试计算改造这片空地共需花费多少元？ 【答案】(1)小路的长度为15m (2)改造这片空地共需花费17100元 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理的实际应用． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）根据勾股定理逆定理，判断出为直角三角形，分割法求出四边形的面积，再乘以每平方米的改造费用即可． 熟练掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 答：小路的长度为15m； （2）∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴四边形的面积， 元； 答：改造这片空地共需花费17100元． 2．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站之间的距离为，且．    (1)求修建的公路的长； (2)一辆货车从点到点处走过的路程是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的应用； （1）根据勾股定理的逆定理可求，再根据三角形面积公式即可求解； （2）根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：，，， ， 是直角三角形，， ， （）． 故修建的公路的长是； （2）解：在中， （）， 故一辆货车从点到处的路程是． 3．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．    (1)求的度数； (2)求取水点A到取水点D的距离． 【答案】(1) (2)取水点A到取水点D的距离为千米 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理， （1）利用勾股定理逆定理证明为直角三角形，即有； （2）设千米，则千米，即有千米，根据，有，解方程即可求解． 【详解】（1）∵千米，千米，千米， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴； （2）设千米，则千米， ∴千米， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 答：取水点A到取水点D的距离为千米． 4．某小区在创文工作中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，通过测量得到，，，，．    (1)求、两点之间的距离； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】(1) (2)17100元 【分析】本题考查勾股定理及逆定理，勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：在一个三角形中，若两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形． （1）直接利用勾股定理得出； （2）利用勾股定理逆定理得出，再利用直角三角形面积求法得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，，， 且， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴（元）， 答：绿化这片空地共需花费17100元． 5．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点A、，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（A，，在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米．    (1)是否为村庄到河边最近的道路，请通过计算加以说明； (2)已知新的取水点与原取水点A相距1千米，求新路比原路少多少千米． 【答案】(1)为村庄C到河边最近的道路；见解析 (2)新路比原路少千米 【分析】（1）由勾股定理逆定理证得为直角三角形，，即可得到为村庄C到河边最近的道路； （2）利用勾股定理求出的长度，即可得到比原路少的长度． 【详解】（1）解：为村庄C到河边最近的道路，理由如下： ∵千米，千米，千米， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∴为村庄C到河边最近的道路； （2）解：在中，∵千米，千米， ∴(千米)， ∵千米， ∴新路比原路少千米． 【点睛】此题考查了勾股定理及逆定理的应用，正确掌握勾股定理，正确理解题意掌握勾股定理及逆定理的计算是解题的关键． 6．在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图①，小明据此画出该岛的一个数学模型（如图②四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米．求四边形的面积．（结果保留根号）    【答案】平方千米 【分析】在中，根据勾股定理可得千米，再由勾股定理逆定理可得，然后根据四边形的面积等于，即可求解． 【详解】解：在中，，千米， ∴千米， ∵千米，千米， ∴， ∴， ∴四边形的面积等于平方千米． 【点睛】本题主要查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 7．高州市在创建全国文明城市期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知，，，，．    (1)求空地的面积； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】(1) (2)17100元 【分析】（1）连接，直接利用勾股定理得出，进而利用勾股定理逆定理得出，即可计算面积； （2）将（1）中求得的面积乘以150即可得出答案． 【详解】（1）解：连接，如图，    ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， （2）（元）， 答：绿化这片空地共需花费17100元． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键． 8．图1是某品牌婴儿推车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．    (1)该车是否符合安全标准； (2)请说明你的理由． 【答案】(1)符合安全标准 (2)理由见解析 【分析】（1）根据题中要求，安全标准是，利用勾股定理及其逆定理验证即可得到答案； （2）由题中数据，利用勾股定理及其逆定理验证即可得得证． 【详解】（1）解：符合安全标准； （2）解：由（1）知，符合安全标准， 理由如下： ，，， 由勾股定理可得， 在中，，，，则，，， ，即是直角三角形，且， ，该车符合安全标准． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，读懂题意，灵活运用勾股定理及其逆定理求解是解决问题的关键． 9．（1）如图1，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． （2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）    【答案】（1）36；（2）船向岸边移动了米 【分析】（1）根据勾股定理，可以得到的长，再根据勾股定理的逆定理，可以判断是直角三角形由此解答即可； （2）在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴四边形的面积 ； 解：（2）在中， ∵， ∴， ∴米， ∴船向岸边移动了米 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意, 利用数形结合的思想解答． 10．为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知，，，，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了．    (1)请写出施工人员测量的是哪两点之间的距离，以及确定的依据； (2)若平均每平方米的材料成本加施工费为110元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？ 【答案】(1)施工人员测量的是AC的距离，见解析 (2)12540元 【分析】（1）直接利用勾股定理的逆定理分析得出答案； （2）直接利用勾股定理的逆定理得出，再利用直角三角形的面积公式求出答案． 【详解】（1）施工人员测量的是AC的距离．依据：若，则． 在中，，， ∴， ∴为直角三角形，且． （2）在中，，， ∴为直角三角形，且． ∴， ∴（元）． 答：该学校建成这块塑胶场地需花费12540元．    【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，正确应用勾股定理的逆定理是解题的关键． 1．定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （3）利用完全平方公式证明即可； （3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可． 【详解】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 有一个因式为， ， ∴另一个因式为． 2．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 3．阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m²-1，c= m²+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗? 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c称为一组勾股数． 关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》． 【问题解答】 （1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数； （2）若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数； （3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）答案不唯一，例如，等 【分析】（1）把直接代入，，即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理即可证明结论； （3）根据勾股数解答即可． 【详解】（1）把代入，，得： ，，， 这组勾股数为； （2）表示大于1的整数， ，，都是正整数，且是最大边， ， 是一组勾股数； （3），等，它们是勾股数，但柏拉图给出的勾股数公式不能够造出． 【点睛】本题考查了勾股数以及勾股定理的逆定理，弄清题意，理解勾股数的意义是解题的关键． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$