精品解析：江苏省南京民办求真中学2024-2025学年八年级上学期数学期中考试卷

2024-2025学年第一学期期中测试（求真） 八年级 数 学 一、选择题（本题共6小题，每题2分，共12分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知△中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断△是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 按照下列各图所示的折叠过程，线段是中线的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这支铅笔在笔筒内部的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知在中，，下列的长度能够使唯一确定的是( ) A. 3 B. 6 C. 7 D. 9 二、填空题（本题共10小题，每题2分，共20分） 7. 为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是___________________ 8. 如图，，请你添加一个条件，使，你添加的条件是___________. 9. 若一个等腰三角形的周长为10，其中一边长为4，则该等腰三角形的腰长为___________． 10. 如图， 在中，边 的垂直平分线分别交 、 于点 、，，的周长为，则的周长是________． 11. 如图，中，于点，则的长为______． 12. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是__________． 13. 如图，在中，，是高，若，，则______． 14. 如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若比大，则的度数为________． 15. 如图，，，，则的面积为_____． 16. 如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接、、、，，给出下列结论：①；②是等边三角形；③平分；④的度数为120°．其中正确的结论为_______． 三、解答题（本题共10小题，共68分） 17. 如图，，，与交于点，． 求证：． 18. 如图，网格中的与为轴对称图形． （1）的面积为_______； （2）利用网格线作出与的对称轴l； （3）结合所画图形，在直线l上画出点P，使最小． 19. 如图所示的一块草坪，已知，若每铺1m2草坪需要花费40元，则铺这块草坪共需花费多少元？ 20. 如图，在等腰中，，点是斜边上一点，作等腰，且，连接． （1）求证：； （2）求证：． 21. 如图，已知锐角中，、分别是、边上的高，M、N分别是线段、的中点． （1）求证：； （2）若，，连接、，求的度数． 22. 如果三角形三边长a、b、c满足，那么我们就把这样的三角形叫做“均匀三角形”，如三边长分别为1、1、1或3、5、7……的三角形都是“均匀三角形”．如图，两条线段长分别为a、． （1）用含有a和c的代数式表示b，______． （2）求作均匀三角形，使得最短边、最长边（不写作法，保留作图痕迹）； （3）在（2）中的三角形内部求作一点P，使P点到此三角形三边距离相等． 23. 【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数，称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数才能满足关系式．设为一组勾股数，观察下表回答问题： 表1 表2 a b c a b c 3 4 5 6 8 10 5 12 13 8 15 17 7 24 25 10 24 26 9 40 41 12 35 37 （1）根据表1的规律写出勾股数（11，________，________）； 观察可得：表1中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） （2）根据表2的规律写出勾股数（16，________，________）； 观察可得：表2中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） （3）老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗？（请用勾股定理的形式直接写出结果，例如） 24. 已知：如图1，在中，，H是高、所在直线的交点． （1）求证：； （2）如图2，若改成钝角后，结论还成立吗？若成立，请补全图形并证明，若不成立，请说明理由． 25. 如图，在中，，，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为t秒（）． （1）若点P在上且满足，则此时________； （2）若点P恰好在的角平分线上且不与点B重合，求此时t的值； （3）在点P的运动过程中，当为等腰三角形时，t的值为________． 26. 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图1），怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图2）．于是，由，，可得． 【感知】 （1）①如图2，在中，若，则　　． ②如图2，在中，若，求证：； 【探究】 （2）若将图2中是角平分线的条件改成是高线，其他条件不变（图3），即在中，，请探索线段之间的等量关系，并说明理由． 【拓展】 （3）如图4，在中，，，点是边上的一个动点（不与重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以为顶点的三角形是直角三角形，直接写出的长度　　 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中测试（求真） 八年级 数 学 一、选择题（本题共6小题，每题2分，共12分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D． 【详解】解：由轴对称图形的性质得到，， ∴， ∴B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 3. 已知△中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断△是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用．由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理求解，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可． 【详解】解：A、， ， 是直角三角形，故选项A不符合题意； B、， 最大角， 不是直角三角形，故选项B符合题意； C、， ， ， ， 是直角三角形，故选项C不符合题意； D、设，，， ， ， 是直角三角形，故选项D不符合题意； 故选：B． 4. 按照下列各图所示的折叠过程，线段是中线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查图形折叠的性质，三角形中线的定义，根据作图分别分析选项可得，A选项不可得是的中线；B选项可得；C选项可得；D选项可得D是的中点；由此可判断D为正确答案． 【详解】解：A、沿折叠，点C落在边上的点E处，则D是的中点， ∴不是的中线，故A选项不符合题意； B、沿折叠，点C落在边上的点E处， ∴，不能得到，故B选项不符合题意； C、沿折叠，点C落在三角形外的点E处， ∴，不能得到， ∴C选项不符合题意； D、沿折叠使点C与点B重合， ∴， ∴D是的中点， ∴是的中线，故D选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这支铅笔在笔筒内部的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意，当笔斜放时，运用勾股定理可得的最大值，当笔竖立时可得最小值，由此即可求解． 【详解】解：当笔竖立时，； 当笔斜放时，， ∴， 故选：A ． 6. 已知在中，，下列的长度能够使唯一确定的是( ) A. 3 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，过点作垂直于于点，则是含度角的直角三角形；再延长到点，使，再分别讨论点的位置即可． 【详解】解：过点作垂直于于点，则是含度角的直角三角形；再延长到点，使， ①当点和点重合时，是含度角的直角三角形，，这个三角形是唯一的； ②当点和点重合时，三角形是等腰三角形，，这个三角形也是唯一的； ③当点在线段的延长线上时，即大于，也就是大于，这时，三角形也是唯一的； 综上所述，，，要使唯一确定，那么的长度满足的条件是：或． 故选：D． 二、填空题（本题共10小题，每题2分，共20分） 7. 为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是___________________ 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性的应用，用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 8. 如图，，请你添加一个条件，使，你添加的条件是___________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，添加条件是，根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：， 理由是：∵在和中 ∴， 故答案为：或或（答案不唯一） 9. 若一个等腰三角形的周长为10，其中一边长为4，则该等腰三角形的腰长为___________． 【答案】3或4##4或3 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系；分两种情况讨论：腰长为4、底边为4，先根据每种情况得到三条边长，再根据三角形三边关系判定三角形是否存在即可． 【详解】解：当腰长为4时，，则等腰三角形三边边长分别是4，4，2， ， 此时等腰三角形存在，腰长为4； 当底边为4时，，则等腰三角形三边边长分别是3，3，4， ， 此时等腰三角形存在，腰长为3； 故答案为：3或4． 10. 如图， 在中，边 的垂直平分线分别交 、 于点 、，，的周长为，则的周长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算公式，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再由线段垂直平分线的定义得到，根据三角形周长公式推出，据此可得答案． 【详解】解：∵边 的垂直平分线分别交 、 于点 、， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 11. 如图，中，于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用，根据勾股定理求得的长，再根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是__________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和和三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用三角形的外角及等腰三角形的性质表示出，求得的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由三角形的外角定理得，， ， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，是高，若，，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查的是含角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，通过直角三角形的性质求出，，根据含度角的直角三角形性质求出，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：8． 14. 如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若比大，则的度数为________． 【答案】##68度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、折叠的性质，根据平行线的性质、折叠的性质，可以计算出的度数，然后即可计算出的度数． 【详解】解：如图所示， ． 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， 由图可得，， ∵比大， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 15. 如图，，，，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先作，作交的延长线于F，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，证明，得出的高等于，即可求出面积． 【详解】解：作于E，作交的延长线于F. ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，的高即为， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是会作辅助线，构造全等三角形． 16. 如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接、、、，，给出下列结论：①；②是等边三角形；③平分；④的度数为120°．其中正确的结论为_______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用图形的对称性和全等三角形推导角度与线段关系。 通过等腰直角三角形的性质推导线段垂直平分线，利用全等三角形证明线段与角度关系，结合等边三角形、等腰三角形的角度计算判断结论。 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形，， ， ∴ 点在的垂直平分线上， ， ∴ 点在的垂直平分线上， ∴直线垂直平分，①正确； ， ， ， ， ，如图所示： ∴ 由三角形内角和定理得：， 平分，③正确； ， ， ∴是等边三角形，②正确； ， ， ，④错误， 正确的有①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题（本题共10小题，共68分） 17. 如图，，，与交于点，． 求证：． 【答案】 ∵AD⊥BD，AC⊥BC， ∴∠D=∠C=90°，△ABC、△BAD都是直角三角形． 在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∵， ∴△ABC≌△BAD（HL）， ∴∠DAB=∠CBA， ∴OA=OB． ∵AD=BC，∴OC=OD． 【解析】 【分析】利用HL证明△ABC≌△BAD，得出对应角相等∠DAB=∠CBA，证出OA=OB，由等腰三角形的判定方法得出OA=OB，即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 18. 如图，网格中的与为轴对称图形． （1）的面积为_______； （2）利用网格线作出与的对称轴l； （3）结合所画图形，在直线l上画出点P，使最小． 【答案】（1）3 （2） 利用网格线作出与的对称轴l； （3）点P如图所示， 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与轴对称的性质、两点之间线段最短． （1）结合网格，利用割补法得到长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得； （2）连接对应点，利用网格作出对应点连线的垂直平分线即可得； （3）连接，与直线l的交点即为点P． 【小问1详解】 解：， 故答案为：3； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，与直线l的交点即为点P，此时由对称可得，最小． 19. 如图所示的一块草坪，已知，若每铺1m2草坪需要花费40元，则铺这块草坪共需花费多少元？ 【答案】8640 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，然后根据求出面积，再乘以每平方米的费用可得答案． 【详解】连接， 根据勾股定理，得． 在中，， ∴是直角三角形， ∴ ， 则． 所以铺这块草坪共需要花费8640元． 20. 如图，在等腰中，，点是斜边上一点，作等腰，且，连接． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） ∵在等腰中，， ，， 是等腰三角形，且， ，， ， 在和中， ， ； （2） 由（1）知， ，， 在等腰中，， ， ，即， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形等知识点， （1）根据等腰直角三角形的性质及角的和差求出，，，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质及勾股定理即可得证； 熟记全等三角形的判定定理与性质定理及勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，已知锐角中，、分别是、边上的高，M、N分别是线段、的中点． （1）求证：； （2）若，，连接、，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图，连接、， ∵、分别是、边上的高，M是的中点， ∴，， ∴， 又∵N为中点， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，根据直角三角形斜边中线的性质得到，，则，然后根据等腰三角形的性质得出结论； （2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，结合平角的定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 22. 如果三角形三边长a、b、c满足，那么我们就把这样的三角形叫做“均匀三角形”，如三边长分别为1、1、1或3、5、7……的三角形都是“均匀三角形”．如图，两条线段长分别为a、． （1）用含有a和c的代数式表示b，______． （2）求作均匀三角形，使得最短边、最长边（不写作法，保留作图痕迹）； （3）在（2）中的三角形内部求作一点P，使P点到此三角形三边距离相等． 【答案】（1） （2） 解：如图所示，为所求作的三角形， （3） 如图所示，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作三角形，作垂线和角平分线，解题的关键是正确分析题意． （1）将变形求解即可； （2）先作线段，使，，作线段的垂直平分线，交于点E，以点B为圆心，线段a的长度为半径画弧，以点C为圆心，线段的长度为半径画弧，两弧交于点C，连接，，本题得以解决； （3）分别作出和的平分线交于点P即为所求． 【小问1详解】 ∵ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数，称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数才能满足关系式．设为一组勾股数，观察下表回答问题： 表1 表2 a b c a b c 3 4 5 6 8 10 5 12 13 8 15 17 7 24 25 10 24 26 9 40 41 12 35 37 （1）根据表1的规律写出勾股数（11，________，________）； 观察可得：表1中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） （2）根据表2的规律写出勾股数（16，________，________）； 观察可得：表2中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） （3）老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗？（请用勾股定理的形式直接写出结果，例如） 【答案】（1）60；61； （2）63；65； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，数字的变化类-规律型． （1）观察表1中的数据，可得，，先将代入得，再根据，可求得b、c的值； （2）观察表1中的数据，可得，，先将代入得，再根据，可求得b、c的值； （3）利用表1与表2的规律分别计算验证即可． 【小问1详解】 解：根据表格中的数据可知：当a为大于1的奇数，b、c的数量关系，b、c与之间的关系是：， ∴当时，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：60，61，； 【小问2详解】 解：根据表格中的数据可知：当a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是， b、c与之间的关系是， ∵， ∴， ∵， ∴，， 故答案为：63，65，； 【小问3详解】 解：由题意得， 如果满足表1的规律，那么，， ∴， ∴，符合题意； 如果满足表2的规律，那么，， ∴， ∴，符合题意； 综上所述，这组勾股数可能为或． 24. 已知：如图1，在中，，H是高、所在直线的交点． （1）求证：； （2）如图2，若改成钝角后，结论还成立吗？若成立，请补全图形并证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）成立，理由如下： 如图， ∵，， 又∵， ∴， ∵，， ∴三角形是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）证明，即可得出的结论． （2）同（1）的方法完全相同，也是通过证明和全等来证得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，在中，，，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为t秒（）． （1）若点P在上且满足，则此时________； （2）若点P恰好在的角平分线上且不与点B重合，求此时t的值； （3）在点P的运动过程中，当为等腰三角形时，t的值为________． 【答案】（1） （2）t的值为或 （3）或或或3 【解析】 【分析】（1）设，则，在中，依据，列方程求解即可得到t的值； （2）设，则，在中，依据，列方程求解即可得到t的值； （3）分四种情况：当P在上且时，当P在上且时，当P在上且时，当P在上且时，分别依据等腰三角形的性质即可得到t的值． 【小问1详解】 解：如图，设，则， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，过P作于D， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴， ∴， 综上所述，若点P恰好在的角平分线上且不与点B重合，t的值为； 【小问3详解】 解：分四种情况： ①如图，当P在上且时， ，而，， ∴， ∴， ∴P是的中点，即， ∴； ②如图，当P在上且时， ； ③如图，当P在上且时，过C作于D，则， ∴中，， ∴， ∴； ④如图，当P在上且时，， ∴． 综上所述，当或或或3时，为等腰三角形． 故答案为：或或或3． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键． 26. 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图1），怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图2）．于是，由，，可得． 【感知】 （1）①如图2，在中，若，则　　． ②如图2，在中，若，求证：； 【探究】 （2）若将图2中是角平分线的条件改成是高线，其他条件不变（图3），即在中，，请探索线段之间的等量关系，并说明理由． 【拓展】 （3）如图4，在中，，，点是边上的一个动点（不与重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以为顶点的三角形是直角三角形，直接写出的长度　　 【答案】（1）①； ②证明：∵折叠， ∴ ∵， 又， ∴， ∴， ∴， 即； （2） ，理由如下， 如图，将沿折叠， ∵， ∴点落在上的点处， ∴，，， ∵，， ∴ ∴， ∴， 即； （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据折叠的性质可得，根据三角形外角的性质，可得，即可求解； ②根据折叠的性质与三角形外角的性质得出，根据等角对等边得出，进而根据等量代换可得结论； （2）结论，根据（1）②的方法证明即可； （3）根据折叠的性质，结合图形可知点不能为直角顶点，分两种情况讨论，①若，过点作于点，在中，，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解；②若，根据等腰三角形的性质与判定得出，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， ∴， 故答案为：； ②略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意，∵点在上，以为顶点的三角形若为直角三角形，则点不能为直角顶点，分两种情况讨论， ①若，如图，过点作于点， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得， 即， ②若，如图， ∵， ∴ ∴，， ∴ ∴ ∴， 综上所述，或 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，掌握折叠的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $