1.3 全等三角形的判定 题型专练2026-2027学年苏科版八年级数学上册

苏科版（2024）八年级上册 1.3 全等三角形的判定 题型专练 【题型1】三角形的稳定性 【典例】如图，现在常用的衣架是三角形的，它比一根简单的横杆更能保持形状，防止在挂厚重衣物时变形，其中蕴含的数学原理是（ ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 【举一反三1】如图是一个起重机的示意图，在起重架中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是 （      ）  A．三角形两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之差小于第三边 D．直角三角形的性质 【举一反三2】下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是__________ . 【举一反三3】要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，那么要使一个n边形木架不变形，至少需要几根木条固定？ 【举一反三4】（1）萧县某中学计划为学生暑期军训配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是 　   　； （2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为38cm，则由以上信息可推得CB的长度是多少？请说明理由． 【题型2】手拉手构造全等模型 【典例】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB，AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连接DE，若BC＝4，则ED等于(　　) A．2 B．2 C．4 D．3 【举一反三1】如图，点在直线上，、都是等边三角形，和交于点，和交于点．有如下结论：（1）；（2）；（3）；（4）平分；（5）是等边三角形．其中正确结论有（ ）个. A． B． C． D． 【举一反三2】如图，在直线的同一侧分别作两个等边和，连接，有以下结论：①；②；③平分；④是等边三角形；以上结论正确的有__________ ． 【举一反三3】如图，已知在△ABE，△ACF中，AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M，连接BC. (1)求证：EC＝BF； (2)求证：EC⊥BF. 【举一反三4】【手拉手模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，这种模型称为“手拉手模型”． (1)如图1，在△和△中，，，，连接、，当点落在边上，且、、三点共线时，与△全等的三角形是__________ ，的度数为__________ ． (2)如图2，已知△和△为等腰直角三角形，其中，连接、，线段和交于点． 【题型3】用SAS判定三角形全等 【典例】如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是 A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 【举一反三1】如图，点P在∠AOB的平分线上，若能用SAS判定△AOP△BOP，则需添加的一个条件是__________.  【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC边上的中点． 求证：△DBC≌△ECB. 【题型4】SAS与全等三角形性质的综合 【典例】如图，AB=AD，∠1=∠2，以下条件中，不能推出△ABC≌△ADE 的是 （      ）  A．AE=AC B．∠B=∠D C．BC=DE D．∠C=∠E 【举一反三1】如图，是等边三角形，E、D分别为边上的动点，且，连接，交于点G，点F为线段上一点，连接，．当时，线段的长为__________ ． 【举一反三2】已知：如图，与中，与交于点，，．求证：． 【举一反三3】已知：如图，点C为AB中点，CD＝BE，CD∥BE． （1）求证：△ACD≌△CBE； （2）若∠D＝35°，求∠DCE的度数． 【题型5】SAS的实际应用 【典例】如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离．那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【举一反三1】如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB'的中点．只要量出A′B′的长度．就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（　　） A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两点之间线段最短 【举一反三2】在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务.小东同学想到这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，利用全等三角形的性质，只要测得C，D之间的距离，就可知内径AB的长度.此方案中，判定△AOB和△DOC全等的依据是(　　) A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【举一反三3】要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件 　__________　． 【举一反三4】在湖的两岸A，B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A，B两点间的距离．某数学兴趣小组采用以下方法进行测量：在湖岸上选一点O，连接BO并延长到点C，使得BO＝OC，连接AO并延长到点D，使OD＝AO，连接CD，则AB＝CD，测量DC的长度即为AB的长度． （1）请根据题意，画出测量图案； （2）该小组得出结论“CD的长度就是A，B两点间的距离”，请说明理由． 【举一反三5】如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并说明理由． 【题型6】用ASA判定三角形全等 【典例】如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 （      ）  A．BD=CD B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD 【举一反三1】根据下列条件，能画出唯一△ABC的是(　　) A．AB=3，BC=4，AC=8 B．AB=3，BC=4，∠A=30° C．∠A=60°，∠B=45°，AB=6 D．∠C=90°，AB=6 【举一反三2】如图，已知∠B=∠DEF，AB=DE，要证明△ABC≌△DEF， (1)若以“ASA”为依据，还缺条件__________ ； (2)若以“SAS”为依据，还缺条件__________ . 【举一反三3】如图，点C是AE中点，∠A=∠DCE，若想利用ASA判定 △ABC≌△CDE，则需要添加的条件是__________ . 【举一反三4】如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE．求证：△ABD≌△BCE． 【题型7】ASA与全等三角形性质的综合 【典例】如图，△ABC的面积为8，AP与∠ABC的平分线BP垂直，垂足为P，连接PC，则△PBC的面积为(　　) A．4 B．3.5 C．3 D．4.5 【举一反三1】如图，AD是△ABC的中线，CE∥AB交AD的延长于点E，AB＝5，AC＝7，则AD的取值可能是（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 【举一反三2】如图，已知AB＝AC，∠FBA＝∠ECA，∠EAF＝∠BAC，点C，D，E，F共线.则下列结论：①△AFB△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC.其中正确的是__________(填序号). 【举一反三3】已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD． 【题型8】ASA的实际应用 【典例】如图，一个三角形玻璃被摔成三小块，现要到玻璃店再配一块同样大小的玻璃，最省事的方法是（　　） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②去 【举一反三1】如图是嘉淇测量水池AB宽度的方案，下列说法不正确的是（　　） ①先确定直线AB，过点B作BF⊥AB； ②在BF上取C，D两点，使得△； ③过点D作DE⊥BF； ④作射线□，交DE于点M； ⑤测量☆的长度，即AB的长． A．△代表BC＝CD B．□代表AC C．☆代表DM D．该方案的依据是SAS 【举一反三2】小明沿一段笔直的人行道行走，在由A走到B的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语CD，具体信息如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD垂足为D.已知AB=20米.根据上述信息，可知标语CD的长度为__________米.  【举一反三3】如图，要测量水池的宽度AB，可从点A出发在地面上画一条线段AC，使AC⊥AB，再从点C观测，在BA的延长线上测得一点D，使∠ACD＝∠ACB，这时量得AD＝160m，则水池宽AB的长度是 __________m． 【举一反三4】如图，河对岸的E处有一棵树，甲同学站在F处，看向E处的视线与他自己身体的夹角为，乙同学站在C处，看向地面上点B处的视线与他自己身体的夹角为．已知，，点B、C、F、E在同一水平线上，于点C，于点F，图中所有的点都在同一平面内，于是甲同学说他所在位置与河对岸E处的树之间的距离等于乙所在位置到点B的距离（即），甲同学的说法是否正确，请说明理由． 【举一反三5】如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为两个排污口．已知AE＝BE，∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，AD＝150米，BC＝350米，求两个排污口之间的水平距离DC． 【题型9】用AAS判定三角形全等 【典例】如图，，则的依据是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC的中点，过点D分别向AB，AC作垂线段，则能够说明△BDE≌△CDF的理由是 （      ）  A．SSA B．SAS C．ASA D．AAS 【举一反三2】如图，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的图形是(　　) A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不是 【举一反三3】如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当的条件：__________ ，使△AEH≌△CEB. 【举一反三4】如图，AB，CD相交于点O，AO＝BO，AC∥DB.求证：△AOC△BOD. 【题型10】AAS与全等三角形性质的综合 【典例】如图，在△ABC和△CDE中，点B，C，E在同一条直线上，∠B=∠E=∠ACD，AC=CD，若AB=2，BE=6，则DE的长为 （      ）  A．8 B．6 C．4 D．2 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作经过点A的直线的垂线段BD，CE，若BD=6厘米，CE=8厘米，则DE的长为__________ . 【举一反三2】如图，在中，，过点C作，且，连接，，则的长为__________ . 【举一反三3】已知：如图，点E、F在线段BD上，BE＝DF，AB∥CD，∠A＝∠C． 求证：（1）△ABF≌△CDE． （2）AF∥CE． 【举一反三4】在等腰中，，，点在直线上.且于点，于点. （1）当直线处于图1位置时，若，，则___________，___________. （2）当直线处于图1位置时，求证：. （3）当直线处于图2位置时，猜想，，之间的数量关系，并证明. 【题型11】AAS的实际应用 【典例】如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（　　） A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm 【举一反三1】如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是45cm，当小敏从水平位置CD下降20cm时，小明离地面的高度是（　　） A．20cm B．45cm C．25cm D．65cm 【举一反三2】小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为1.5m，点B到OA的距离BD为1.7m，点C距离地面的高度是1.6m，∠BOC＝90°，则点C到OA的距离CE为（　　） A．1m B．1.6m C．1.4m D．1.8m 【举一反三3】如图，一个正方体箱子卡在了两面墙之间，已知砌墙所用的每块砖块的厚度（每块砖厚度相等）为，则两面墙之间的距离的长为__________ . 【举一反三4】已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN. (1)如图1，求∠AEB的度数； (2)如图2，过点E的直线交射线AM于点C，交射线BN于点D，求证：AC＋BD＝AB； (3)如图3，过点E的直线交射线AM的反向延长线于点C，交射线BN于点D，AB＝5，AC＝3，S△ABE－S△ACE＝2，求△BDE的面积. 【举一反三5】小乐在十一假期期间去方特乘坐海盗船游玩，如图，当静止时海盗船位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝10m，小乐在乘坐的过程中，当海盗船的A时，AC⊥BD，此时测得点A到地面的距离AE＝7m；当船头从A处摆动到A'处时，A′B⊥AB．求点A'到BD的距离． 【题型12】用SSS判定三角形全等 【典例】两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，已知AB＝AD，根据“SSS”只需补充条件 　__________　就可以判定△ABC≌△ADC． 【举一反三2】已知，如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线. 求证：△ABD△ACD. 【题型13】SSS与全等三角形性质的综合 【典例】用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A'O'B'=∠AOB的依据是 A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【举一反三1】如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，AC交BE于点F.若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，∠ACB＝50°，则∠AFB＝__________. 【举一反三2】如图，平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于点P．若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，则∠ACB的度数为 __________． 【举一反三3】如图，点E，F在BD上，且AB=CD，BF=DE，AE=CF，求证：∠AEO=∠CFO. 【举一反三4】如图，已知AC＝AD，BC＝BD，点E是AB上任意一点，求证：CE＝DE． 【题型14】SSS的实际应用 【典例】萧寒家有两块三角形的菜地，他想判断这两块三角形地的形状大小是否完全一样，他设想了如下四种方法，下列方法中，不一定判断两三角形全等的是（　　） A．测量两边及其夹角对应相等 B．测量两角及其夹边对应相等 C．测量三边对应相等 D．测量两边及除夹角外的另一角对应相等 【举一反三1】工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是　__________　． 【举一反三2】如图①是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE．如图②，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC 的平分线吗？请给出判断并说明理由． 【题型15】用HL判定直角三角形全等 【典例】下列条件中，能利用HL判定两个直角三角形全等的是(　　) A．一个锐角和这个角的对边对应相等 B．一个锐角和斜边对应相等 C．两直角边对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等 【举一反三1】下列选项错误的是 （      ） A．判定直角三角形全等的方法只有“HL” B．有两边及第三边上的高分别相等的两个锐角三角形全等 C．有一条直角边及斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等 D．全等三角形对应边上的高相等 【举一反三2】如图，已知AB⊥AC，DC⊥AC，AD=BC，可得△ABC≌△CDA，其判定定理是__________ .(填SAS，AAS或HL) 【举一反三3】如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AC＝BD，AE＝BF．求证：△AED≌△BFC． 【举一反三4】（1）锐角中，，O是的三边垂直平分线的交点，则______. （2）如图1，中，，将的边延长到点D，使，过D作的垂线，E为垂线上一点，且，若，，求的长. （3）如图2，的面积为，，，，求的周长. 【题型16】HL与全等三角形性质的综合 【典例】如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，BE=BC，连接BD，若AC=8 cm，则AD+DE等于 （      ）  A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．10 cm 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，DE⊥BC，AC=6，EC=6，∠ACB=60°，则∠ACD的度数为 （      ）  A．45° B．30° C．20° D．15° 【举一反三2】如图，是的角平分线，，垂足为F，，且和的面积分别是20和50，则的面积为（ ） A．10 B．15 C．18 D．20 【举一反三3】如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D，B，C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC=9，AD=EB，DE=EC，则AB=　　.  【举一反三4】如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，小明沿AC行走，小芳沿BD行走，并同时到达点C，D，若CB⊥AB，DA⊥AB，则DA与CB相等吗？为什么？ 【题型17】HL的实际应用 【典例】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，BC＝BD，若AC＝8 cm，则AE＋DE的值为(　　) A．7 cm B．8 cm C．9 cm D．10 cm 【举一反三1】在△ABC和△DEF中，∠B=∠E=30°，AB=DE=6，AC=DF=4.若∠C=n°，则∠F的度数为(　　) A．30° B．n° C．n°或° D．30°或150° 【举一反三2】两个全等的直角三角尺如图所示放置在∠AOB的两边上，其中直角三角尺的短直角边分别在∠AOB的两边上，两个直角三角尺的长直角边交于点P，连接OP，且OM＝ON，若∠AOB＝60°，OM＝6cm，则线段OP＝__________cm． 【举一反三3】鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，A、B两点分别为雕像底座的两端（其中A、B两点均在地面上）．因为A、B两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可． 乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可． （1）甲、乙两同学的方案哪个可行？__________（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由； （2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：　__________　． 【举一反三4】(人教课本P43练习T1)如图, 是路段 的中点，两人从 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达 两地，且 到路段 的距离相等吗? 为什么? 【题型18】添加适当条件判定三角形全等 【典例】如用，，点在上，点在上，若添加一个条件可使，则添加的这个条件不可以是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，给出下列四个条件，AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，∠C＝∠F，从中任选三个条件能使△ABC≌△DEF的共有 __________组． 【举一反三2】如图，已知，点，在线段上，且. 请从①；②；③中.选择一个合适的选项作为已知条件，使得.你添加的条件是：__________（只填写一个序号）.添加条件后，请证明. 【题型19】全等三角形的性质与判定的综合 【典例】如图，已知，，，点C，E，D，F共线．下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】小明设想用电脑模拟台球游戏，为增加难度，约定： ①台球桌面设计为腰长为4的等腰； ②小球撞击桌边后的反弹角等于入射角. 如图建立平面直角坐标系，小明希望球从点出发，撞击边上的M点后反弹，再撞击边上的点N反弹，最后回到点P.则M点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，在中，，点D是的中点，，交直线于点E，．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①④⑤ C．①③⑤ D．①②④ 【举一反三3】如图，中，，为的平分线．若点A到直线的距离为5，则长为 __________ ． 【举一反三4】如图，点A，C，D，E在同一条直线上，，，，且. (1)求证：； (2)若，，求的长. 【题型20】全等三角形与动点问题 【典例】如图所示，在长方形 中,,延长 到点 ,使 ,连接 ,动点 从点 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 向终点 运动，设点 的运动时间为 ,当 的值为(　　)时, 和△ 全等。 A．1 B．1 或 3 C．1 或 7 D．3 或 7 【举一反三1】如图，和都是等边三角形.点A是边上一个动点，若，则下列结论正确的是（ ） A． B．若连接，则 C． D．的最小值为 【举一反三2】如图，，．，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时点在射线上由点向点运动．设它们运动的时间为，点的运动速度为，若刚好使得以点A、C、P为顶点的与以点B、P、Q为顶点的全等．则可以求出__________ ． 【举一反三3】如图，在中，，，，点是边一个动点（包含，两点），以为边向左作等边，点在运动的过程中，的最小值是__________ ，最大值是__________ . 【举一反三4】如图①，AB＝10 cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，AC＝7 cm.点P在线段AB上以3 cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动.它们运动的时间为t(s)(当点P运动结束时，点Q运动随之结束). (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； (2)如图②，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其他条件不变，当点P，Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，请直接写出相应的x的值. 【举一反三5】如图，AB＝7cm，AC＝5cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上以x cm/s的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之停止）．问：x为何值时，△ACP与△BPQ全等？ 【题型21】倍长中线法 【典例】如图△ABC，AB=7，AC=3,AD是BC边上的中线则AD的取值范围为（ ） A．4<AD<10 B．2<AD<5 C．1<AD< D．无法确定 【举一反三1】如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 __________ ． 【举一反三2】如图， 在中，， 点D为边的中点， 点E，F分别在边上，， 则的长为__________ . 【举一反三3】如图，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接CE. (1)证明△ABD△ECD； (2)若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是　　　　. 【题型22】与尺规作图相关的全等三角形问题 【典例】如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【举一反三1】用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【举一反三2】如图，已知∠ABC，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于P，D；作一条射线FE，以点F圆心，BD长为半径作弧l，交EF于点H；以H为圆心，PD长为半径作弧，交弧l于点Q；作射线FQ．这样可得∠QFE＝∠ABC，其依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【举一反三3】如图，结合三角形全等的判定条件，用尺规作的依据是__________ ． 【举一反三4】已知下列条件，利用尺规作图，作出的三角形不唯一的是__________.(请填写序号)  ①已知三个角；②已知三条边；③已知两边和夹角；④已知两角和夹边. 【举一反三5】如图，四边形中，． (1)用直尺和圆规作的角平分线，交于点．（保留作图痕迹） (2)如果（1）中的点恰好是的中点，求证：． 【举一反三6】[教材呈现]如图是华师版八年级上册65页的部分内容． [探究问题]如图，∠A＝45°，AB＝3cm，请你用圆规在∠A的另一边找到点C，使BC＝2.5cm，这样的点C有 　  　个，说明符合条件的三角形有 　  　种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形 　   　全等． [拓展思考] 如图，已知△DEF，若△MNP≌△DEF且MN＝DE，NP＝EF，∠M＝∠D，那么△MNP一定是 　     　三角形（从“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”三个答案选择）． 【题型23】一线三等角模型 【典例】如图，在中，，，分别过点，作经过点的直线的垂线段，，若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，∠ABC＝∠ACD＝90°，BC＝2，AC＝CD，则△BCD的面积为（　　） A．2 B．4 C． D．6 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝50°，则∠A的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【举一反三3】如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°.直线l经过点A，过点B作BE⊥l于点E，过点C作CF⊥l于点F.若BE＝2，CF＝5，则EF＝__________. 【举一反三4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AC上，过点E作AC的垂线DE，连接AD．若AD⊥AB．AD＝AB，BC＝3，DE＝7，则CE的长为 __________． 【举一反三5】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.△BEC与△CDA全等吗？请说明理由. 【举一反三6】如图，点C在线段BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD． （1）求证：△ABC≌△CDE； （2）请写出线段AB、DE、BD之间的数量关系，并说明理由． 【题型24】平移模型 【典例】如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝6，DO＝2，平移距离为4，则阴影部分面积为（　　） A．20 B．24 C．28 D．30 【举一反三1】如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝8，DO＝3，平移距离为4，则阴影部分面积为（　　） A．18 B．24 C．26 D．32 【举一反三2】如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为__________． 【举一反三3】如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD=BE，AC=DF，AC∥DF.试说明：BC=EF. 【题型25】旋转模型 【典例】如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，的平分线交的延长线于点F，连接，若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，AD是△ABC的高，AD＝BD，DE＝DC，∠BAC＝65°，则∠ABE的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【举一反三2】如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，AD＜AB，∠BAC＝∠DAE＝49°，连接CE，BD，延长BD交CE于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②AD＝BD；③∠BFC＝49°；④AF平分∠BFE．其中正确的结论个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【举一反三3】如图，在等边△ABC中，D是AC边上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=10，BD=9，则△AED的周长是__________ . 【举一反三4】如图，是等边三角形，点和点分别是和上的点，连接和交于点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，有如下结论：①；②（代表面积）；③；④若，则，上述结论中，所有正确结论的序号是__________ 【举一反三5】如图，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE. 试说明：BD=CE. 苏科版（2024）八年级上册 1.3 全等三角形的判定 题型专练（参考答案） 【题型1】三角形的稳定性 【典例】如图，现在常用的衣架是三角形的，它比一根简单的横杆更能保持形状，防止在挂厚重衣物时变形，其中蕴含的数学原理是（ ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【解析】衣架是三角形的，它比一根简单的横杆更能保持形状，防止在挂厚重衣物时变形，其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性， 故选：A. 【举一反三1】如图是一个起重机的示意图，在起重架中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是 （      ）  A．三角形两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之差小于第三边 D．直角三角形的性质 【答案】B 【举一反三2】下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是__________ . 【答案】活动衣架 【举一反三3】要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，那么要使一个n边形木架不变形，至少需要几根木条固定？ 【答案】解　过n边形的一个顶点可以作(n-3)条对角线，把多边形分成(n-2)个三角形，所以要使一个n边形木架不变形，至少需要(n-3)根木条固定. 【举一反三4】（1）萧县某中学计划为学生暑期军训配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是 　   　； （2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为38cm，则由以上信息可推得CB的长度是多少？请说明理由． 【答案】解：（1）由题意得，这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性； 故答案为：三角形具有稳定性． （2）CB＝38cm． 理由如下：∵O是AB和CD的中点， ∴AO＝BO，CO＝DO， 在△AOD和△BOC中， ， ∴△AOD≌△BOC（SAS）， 又∵AD＝38cm， ∴BC＝AD＝38cm． 【题型2】手拉手构造全等模型 【典例】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB，AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连接DE，若BC＝4，则ED等于(　　) A．2 B．2 C．4 D．3 【答案】C 【解析】∵△ABD和△ACE均为等边三角形， ∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠BAD－∠CAD＝∠CAE－∠CAD， 即∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC△ADE(SAS)， ∴DE＝BC＝4. 【举一反三1】如图，点在直线上，、都是等边三角形，和交于点，和交于点．有如下结论：（1）；（2）；（3）；（4）平分；（5）是等边三角形．其中正确结论有（ ）个. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】、都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ，故（1）正确； 、都是等边三角形， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， 是等边三角形， 故（5）正确； ， ， ， ， ， ，故（2）错误； ，如图， ， , ，即， 在上取一点，使，则是等边三角形， ， ， ， ， ，故（3）正确； ， ，即， ， ， 平分，故（4）正确． 综上所述，（1）（3）（4）（5）正确， 故选：C． 【举一反三2】如图，在直线的同一侧分别作两个等边和，连接，有以下结论：①；②；③平分；④是等边三角形；以上结论正确的有__________ ． 【答案】①③④ 【解析】，都是等边三角形， ，，， ， ,即， 在和中， ， ，故①正确， ， 在和中， ， ， ， 故②错误； 过点B作于，于M， ， ， ，， ， ， 平分，故③正确； ， ， 又， 是等边三角形，故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故答案为：①③④． 【举一反三3】如图，已知在△ABE，△ACF中，AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M，连接BC. (1)求证：EC＝BF； (2)求证：EC⊥BF. 【答案】证明　(1)∵AE⊥AB，AF⊥AC， ∴∠BAE＝∠CAF＝90°， ∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAF＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAF， 在△ABF和△AEC中， ∴△ABF△AEC(SAS)， ∴EC＝BF. (2)如图，设AB与CE相交于点D， 由(1)知△ABF△AEC， ∴∠AEC＝∠ABF. ∵AE⊥AB， ∴∠BAE＝90°. ∴∠AEC＋∠ADE＝90°. ∵∠ADE＝∠BDM， ∴∠ABF＋∠BDM＝90°. 在△BDM中， ∠BMD＝180°－∠ABF－∠BDM＝180°－90°＝90°. ∴EC⊥BF. 【举一反三4】【手拉手模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，这种模型称为“手拉手模型”． (1)如图1，在△和△中，，，，连接、，当点落在边上，且、、三点共线时，与△全等的三角形是__________ ，的度数为__________ ． (2)如图2，已知△和△为等腰直角三角形，其中，连接、，线段和交于点． 【答案】(1) ； 【解析】(1)解：如图1中， 在△和△中， ， △△， ， ， ， 故答案为：△，； 【题型3】用SAS判定三角形全等 【典例】如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是 A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 【答案】A 【解析】因为AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB， 所以△ABC≌△DCB(SAS). 【举一反三1】如图，点P在∠AOB的平分线上，若能用SAS判定△AOP△BOP，则需添加的一个条件是__________.  【答案】OA=OB 【解析】∵OP平分∠AOB， ∴∠AOP=∠BOP， ∵OP是公共边，OA=OB， ∴△AOP△BOP(SAS). 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC边上的中点． 求证：△DBC≌△ECB. 【答案】证明：、是、边上的中点 ; ∴DB=EC 在△DBC和△ECB中. . . 【题型4】SAS与全等三角形性质的综合 【典例】如图，AB=AD，∠1=∠2，以下条件中，不能推出△ABC≌△ADE 的是 （      ）  A．AE=AC B．∠B=∠D C．BC=DE D．∠C=∠E 【答案】C 【举一反三1】如图，是等边三角形，E、D分别为边上的动点，且，连接，交于点G，点F为线段上一点，连接，．当时，线段的长为__________ ． 【答案】5 【举一反三2】已知：如图，与中，与交于点，，．求证：． 【答案】证明：在与中， ， ， ，． 【举一反三3】已知：如图，点C为AB中点，CD＝BE，CD∥BE． （1）求证：△ACD≌△CBE； （2）若∠D＝35°，求∠DCE的度数． 【答案】解：（1）∵C是AB的中点（已知）， ∴AC＝CB（线段中点的定义）． ∵CD∥BE（已知）， ∴∠ACD＝∠B（两直线平行，同位角相等）． 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（SAS）． （2）∵△ACD≌△CBE， ∴∠A＝∠BCE， ∴AD∥CE， ∴∠DCE＝∠D， ∵∠D＝35°， ∴∠DCE＝35°． 【题型5】SAS的实际应用 【典例】如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离．那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】B 【解析】由题意知CD＝CA，CE＝CB， 在△DCE和△ABC中， ， ∴△DCE≌△ABC（SAS）． 故选：B． 【举一反三1】如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB'的中点．只要量出A′B′的长度．就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（　　） A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两点之间线段最短 【答案】B 【解析】∵点O为AA'、BB'的中点， ∴OA＝OA'，OB＝OB'， 由对顶角相等得∠AOB＝∠A'OB'， 在△AOB和△A'OB'中， ， ∴△AOB≌△A'OB'（SAS）， ∴AB＝A'B'， 即只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度， 故选：B． 【举一反三2】在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务.小东同学想到这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，利用全等三角形的性质，只要测得C，D之间的距离，就可知内径AB的长度.此方案中，判定△AOB和△DOC全等的依据是(　　) A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【答案】B 【解析】∵O是AD，BC的中点， ∴OC=OB，OD=OA， 在△AOB和△DOC中， ∴△AOB△DOC(SAS)， ∴判定△AOB和△DOC全等的依据是SAS. 【举一反三3】要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件 　__________　． 【答案】SAS． 【解析】连接AB，CD，如图所示： ∵OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝∠DOC， ∴△AOB≌△DOC（SAS）， 故CD＝AB， 故答案为：SAS． 【举一反三4】在湖的两岸A，B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A，B两点间的距离．某数学兴趣小组采用以下方法进行测量：在湖岸上选一点O，连接BO并延长到点C，使得BO＝OC，连接AO并延长到点D，使OD＝AO，连接CD，则AB＝CD，测量DC的长度即为AB的长度． （1）请根据题意，画出测量图案； （2）该小组得出结论“CD的长度就是A，B两点间的距离”，请说明理由． 【答案】解：（1）如图所示：在湖岸上选一点O，连接BO并延长到点C，使得BO＝OC，连接AO并延长到点D，使OD＝AO，连接CD， （2）理由如下 ∵BO＝OC，OD＝AO，∠AOB＝∠DOC， ∴△AOB≌△DOC（SAS）， ∴AB＝CD， 即CD的长度就是A，B两点间的距离 【举一反三5】如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并说明理由． 【答案】解：测量出DE的长度即为AB的长． 理由如下：在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴AB＝ED． 【题型6】用ASA判定三角形全等 【典例】如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 （      ）  A．BD=CD B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD 【答案】B 【举一反三1】根据下列条件，能画出唯一△ABC的是(　　) A．AB=3，BC=4，AC=8 B．AB=3，BC=4，∠A=30° C．∠A=60°，∠B=45°，AB=6 D．∠C=90°，AB=6 【答案】C 【解析】A项，∵AB=3，BC=4，AC=8，而3+4<8，∴不能画出三角形； B项，∵AB=3，BC=4，∠A=30°，而∠A不是AB，BC的夹角，∴不能画出唯一的三角形； C项，∵∠A=60°，∠B=45°，AB=6，且AB是∠A，∠B的夹边，∴根据角边角可判断能画出唯一的三角形； D项，∵∠C=90°，AB=6，只有一个角和一条边，∴不能画出唯一的三角形. 【举一反三2】如图，已知∠B=∠DEF，AB=DE，要证明△ABC≌△DEF， (1)若以“ASA”为依据，还缺条件__________ ； (2)若以“SAS”为依据，还缺条件__________ . 【答案】∠A=∠D　； BC=EF或BE=CF 【举一反三3】如图，点C是AE中点，∠A=∠DCE，若想利用ASA判定 △ABC≌△CDE，则需要添加的条件是__________ . 【答案】∠ACB=∠E或BC∥DE 【解析】因为点C是AE中点，所以AC=EC.又因为∠A=∠DCE，所以添加∠ACB=∠E(或添加BC∥DE，可得到∠ACB=∠E)，从而利用ASA可判定△ABC≌△CDE. 【举一反三4】如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE．求证：△ABD≌△BCE． 【答案】证明：∵点B为线段AC的中点， ∴AB＝BC， ∵AD∥BE， ∴∠A＝∠EBC， ∵BD∥CE， ∴∠C＝∠DBA， 在△ABD与△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE．（ASA）． 【题型7】ASA与全等三角形性质的综合 【典例】如图，△ABC的面积为8，AP与∠ABC的平分线BP垂直，垂足为P，连接PC，则△PBC的面积为(　　) A．4 B．3.5 C．3 D．4.5 【答案】A 【解析】如图，延长AP交BC于点E， ∵AP与∠ABC的平分线BP垂直，垂足为P， ∴∠ABP=∠EBP，∠APB=∠EPB=90°， 在△ABP和△EBP中， ∴△ABP△EBP(ASA)， ∴S△ABP=S△EBP，AP=EP， ∴△APC和△CPE等底同高， ∴S△APC=S△CPE， ∴S△PBC=S△EBP+S△CPE=S△ABC=4. 【举一反三1】如图，AD是△ABC的中线，CE∥AB交AD的延长于点E，AB＝5，AC＝7，则AD的取值可能是（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【解析】∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， ∵CE∥AB， ∴∠DCE＝∠DBA， 在△CDE和△BDA中， ， ∴△CDE≌△BDA（ASA）， ∴EC＝AB＝5， ∵7﹣5＜AE＜7+5， ∴2＜2AD＜12， ∴1＜AD＜6， 故选：A． 【举一反三2】如图，已知AB＝AC，∠FBA＝∠ECA，∠EAF＝∠BAC，点C，D，E，F共线.则下列结论：①△AFB△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC.其中正确的是__________(填序号). 【答案】①②③ 【解析】∵∠EAF＝∠BAC， ∴∠FAB＋∠BAE＝∠BAE＋∠EAC， ∴∠FAB＝∠EAC， 在△AFB与△AEC中， ∴△AFB△AEC(ASA)，故①正确； ∴BF＝CE，故②正确； ∵∠FBA＝∠ECA，∠BDF＝∠CDA， 又∵∠FBA＋∠BDF＋∠BFD＝∠ECA＋∠CDA＋∠CAD＝180°， ∴∠BFD＝∠BAC， ∵∠EAF＝∠BAC， ∴∠BFC＝∠EAF，故③正确； 根据已知条件无法证明AB＝BC，故④错误. 【举一反三3】已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD． 【答案】证明：∵∠3＝∠4， ∴∠ACB＝∠ACD， 在△ACB和△ACD中， ， ∴△ACB≌△ACD（ASA）， ∴AB＝AD． 【题型8】ASA的实际应用 【典例】如图，一个三角形玻璃被摔成三小块，现要到玻璃店再配一块同样大小的玻璃，最省事的方法是（　　） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②去 【答案】C 【解析】③这一块中保留了一条边还有两个角，可以根据ASA定理得到一块完全一样的玻璃， 故选：C． 【举一反三1】如图是嘉淇测量水池AB宽度的方案，下列说法不正确的是（　　） ①先确定直线AB，过点B作BF⊥AB； ②在BF上取C，D两点，使得△； ③过点D作DE⊥BF； ④作射线□，交DE于点M； ⑤测量☆的长度，即AB的长． A．△代表BC＝CD B．□代表AC C．☆代表DM D．该方案的依据是SAS 【答案】D 【解析】①先确定直线AB，过点B作BF⊥AB； ②在BF上取C、D两点，使得BC＝CD； 故选项A正确； ③过点D作DE⊥BF； ④作射线AC，交DE于点M； 故选项B正确； ⑤测量DM的长度，即AB的长； 故选项C正确； ∵BF⊥AB，DE⊥BF， ∴∠ABC＝∠MDC＝90°． ∵BC＝CD，∠ACB＝∠MCD， ∴△ABC≌△MDC（ASA）． ∴AB＝DM． ∴该方案的依据是ASA； 故选项D错误； 故选：D． 【举一反三2】小明沿一段笔直的人行道行走，在由A走到B的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语CD，具体信息如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD垂足为D.已知AB=20米.根据上述信息，可知标语CD的长度为__________米.  【答案】20 【解析】∵AB∥CD， ∴∠BAO=∠DCO， ∵相邻两平行线间的距离相等，OD⊥CD，O，B，D三点共线， ∴OB⊥AB， ∴OB=OD， ∵∠AOB=∠COD， ∴△AOB△COD， ∴CD=AB=20米. 【举一反三3】如图，要测量水池的宽度AB，可从点A出发在地面上画一条线段AC，使AC⊥AB，再从点C观测，在BA的延长线上测得一点D，使∠ACD＝∠ACB，这时量得AD＝160m，则水池宽AB的长度是 __________m． 【答案】160 【解析】∵AC⊥BD， ∴∠CAD＝∠CAB＝90°， 在△ACD与△ACB中， ， ∴△ACD≌△ACB（ASA）， ∴AB＝AD＝160m， 故答案为：160． 【举一反三4】如图，河对岸的E处有一棵树，甲同学站在F处，看向E处的视线与他自己身体的夹角为，乙同学站在C处，看向地面上点B处的视线与他自己身体的夹角为．已知，，点B、C、F、E在同一水平线上，于点C，于点F，图中所有的点都在同一平面内，于是甲同学说他所在位置与河对岸E处的树之间的距离等于乙所在位置到点B的距离（即），甲同学的说法是否正确，请说明理由． 【答案】解：甲同学的说法正确． 理由：，， ． 在和中， ，，， ， ， 甲同学的说法正确． 【举一反三5】如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为两个排污口．已知AE＝BE，∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，AD＝150米，BC＝350米，求两个排污口之间的水平距离DC． 【答案】解：∵∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC， ∴∠AEB＝∠ADE＝∠BCE＝90°， ∴∠AED+∠DAE＝90°，∠AED+∠BEC＝90°，∠BEC+∠EBC＝90°， ∴∠DAE＝∠CEB，∠AED＝∠EBC， 在△ADE与△ECB中， ． ∴△ADE≌△ECB（ASA）， ∴AD＝CE，DE＝BC， 又∵AD＝150米，BC＝350米， ∴DC＝DE+CE＝BC+AD＝350+150＝500（米）． 答：两个排污口之间的水平距离DC为500米． 【题型9】用AAS判定三角形全等 【典例】如图，，则的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴，即， ∵，，∴， 故选：D． 【举一反三1】如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC的中点，过点D分别向AB，AC作垂线段，则能够说明△BDE≌△CDF的理由是 （      ）  A．SSA B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】D 【解析】在△BDE与△CDF中， 所以△BDE≌△CDF(AAS). 【举一反三2】如图，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的图形是(　　) A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不是 【答案】C 【解析】甲三角形夹b边的两角分别与已知三角形对应相等，故根据ASA可判定甲与△ABC全等； 乙三角形50°内角及其对边与△ABC对应相等且均有70°内角，可根据AAS判定乙与△ABC全等.则与△ABC全等的有乙和甲. 【举一反三3】如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当的条件：__________ ，使△AEH≌△CEB. 【答案】AH=CB（答案不唯一） 【举一反三4】如图，AB，CD相交于点O，AO＝BO，AC∥DB.求证：△AOC△BOD. 【答案】证明　∵AC∥DB， ∴∠A＝∠B，∠C＝∠D， 又∵AO＝BO， ∴△AOC△BOD(AAS). 【题型10】AAS与全等三角形性质的综合 【典例】如图，在△ABC和△CDE中，点B，C，E在同一条直线上，∠B=∠E=∠ACD，AC=CD，若AB=2，BE=6，则DE的长为 （      ）  A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【解析】因为∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∠B=∠E=∠ACD， 所以∠ACD+∠ACB+∠BAC=180°， 因为∠ACD+∠ACB+∠ECD=180°， 所以∠BAC=∠ECD， 在△ABC和△CED中， 所以△ABC≌△CED(AAS)， 所以BC=DE，AB=CE， 因为AB=2，BE=6， 所以DE=BC=BE-CE=BE-AB=6-2=4. 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作经过点A的直线的垂线段BD，CE，若BD=6厘米，CE=8厘米，则DE的长为__________ . 【答案】14厘米 【解析】因为∠BAC=90°， 所以∠DAB+∠EAC=90°， 因为BD⊥DE，CE⊥DE， 所以∠DAB+∠DBA=90°， 所以∠DBA=∠EAC， 在Rt△ADB与Rt△CEA中， 所以Rt△ADB≌Rt△CEA(AAS)， 所以DB=AE，DA=EC， 所以DE=DA+AE=EC+DB=8+6=14（厘米）. 【举一反三2】如图，在中，，过点C作，且，连接，，则的长为__________ . 【答案】4 【解析】过点D作交的延长线于点M， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（舍去）， 故答案为：4. 【举一反三3】已知：如图，点E、F在线段BD上，BE＝DF，AB∥CD，∠A＝∠C． 求证：（1）△ABF≌△CDE． （2）AF∥CE． 【答案】证明：（1）∵BE＝DF， ∴BE+EF＝DF+EF， 即BF＝DE， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠D， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（AAS）； （2）∵△ABF≌△CDE， ∴∠AFB＝∠CED， ∴AF∥CE． 【举一反三4】在等腰中，，，点在直线上.且于点，于点. （1）当直线处于图1位置时，若，，则___________，___________. （2）当直线处于图1位置时，求证：. （3）当直线处于图2位置时，猜想，，之间的数量关系，并证明. 【答案】（1）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，； （2）由（1）得，， ∴； （3）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴. 【题型11】AAS的实际应用 【典例】如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（　　） A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm 【答案】A 【解析】由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； 由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm， ∴DE＝DC+CE＝30（cm）， 答：两堵木墙之间的距离为30cm． 故选：A． 【举一反三1】如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是45cm，当小敏从水平位置CD下降20cm时，小明离地面的高度是（　　） A．20cm B．45cm C．25cm D．65cm 【答案】D 【解析】在△OCF与△ODG中， ， ∴△OCF≌△ODG（AAS）， ∴CF＝DG＝20（cm）， ∴小明离地面的高度是45+20＝65（cm）， 故选：D． 【举一反三2】小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为1.5m，点B到OA的距离BD为1.7m，点C距离地面的高度是1.6m，∠BOC＝90°，则点C到OA的距离CE为（　　） A．1m B．1.6m C．1.4m D．1.8m 【答案】D 【解析】∵点B距离地面的高度为1.5m，点C距离地面的高度是1.6m， ∴点D距离地面的高度为1.5m，点E距离地面的高度是1.6m， ∴DE＝1.6﹣1.5＝0.1（m）， ∵∠BDO＝∠BOC＝90°， ∴∠OBD+∠BOE＝∠BOE+COD＝90°， ∴∠OBD＝∠COD， 又由题意可知，OB＝OC， ∴△OBD≌△COE（AAS）， ∴OE＝BD＝1.7m，CE＝OD， ∴CE＝OD＝OE+DE＝1.7+0.1＝1.8（m）， ∴点C到OA的距离CE为1.8m， 故选：D． 【举一反三3】如图，一个正方体箱子卡在了两面墙之间，已知砌墙所用的每块砖块的厚度（每块砖厚度相等）为，则两面墙之间的距离的长为__________ . 【答案】45 【解析】∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45. 【举一反三4】已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN. (1)如图1，求∠AEB的度数； (2)如图2，过点E的直线交射线AM于点C，交射线BN于点D，求证：AC＋BD＝AB； (3)如图3，过点E的直线交射线AM的反向延长线于点C，交射线BN于点D，AB＝5，AC＝3，S△ABE－S△ACE＝2，求△BDE的面积. 【答案】(1)解　∵AM∥BN， ∴∠BAM＋∠ABN＝180°， ∵AE平分∠BAM，BE平分∠ABN， ∴∠BAE＝∠BAM，∠ABE＝∠ABN， ∴∠BAE＋∠ABE＝(∠BAM＋∠ABN)＝90°， ∴∠AEB＝90°. (2)证明　在AB上截取AF＝AC，连接EF，如图， ∵AE平分∠BAM， ∴∠CAE＝∠FAE， 在△ACE与△AFE中， ∴△ACE△AFE(SAS)， ∴∠AEC＝∠AEF， ∵∠AEB＝90°， ∴∠AEF＋∠BEF＝∠AEC＋∠BED＝90°， ∴∠FEB＝∠DEB， ∵BE平分∠ABN， ∴∠FBE＝∠DBE， 在△BFE与△BDE中， ∴△BFE△BDE(ASA)， ∴BF＝BD， ∵AB＝AF＋BF， ∴AC＋BD＝AB. (3)解　延长AE交BD于F，如图， ∵∠AEB＝90°， ∴∠FEB＝90°， ∵BE平分∠ABN， ∴∠FBE＝∠ABE， 在△ABE与△FBE中， ∴△ABE△FBE(ASA)， ∴AB＝FB，AE＝FE， ∵AB＝5， ∴FB＝5， ∵AM∥BN， ∴∠C＝∠EDF， 在△ACE与△FDE中， ∴△ACE△FDE(AAS)， ∴FD＝AC＝3， ∵FB＝5， ∴设S△BEF＝S△ABE＝5x，S△DEF＝S△ACE＝3x， ∵S△ABE－S△ACE＝2， ∴5x－3x＝2， ∴x＝1， ∴S△BDE＝S△BEF＋S△DEF＝8x＝8， ∴△BDE的面积为8. 【举一反三5】小乐在十一假期期间去方特乘坐海盗船游玩，如图，当静止时海盗船位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝10m，小乐在乘坐的过程中，当海盗船的A时，AC⊥BD，此时测得点A到地面的距离AE＝7m；当船头从A处摆动到A'处时，A′B⊥AB．求点A'到BD的距离． 【答案】解：如图，过点A′作A′F⊥BD于点F， ∵A′B⊥AB，AC⊥BD， ∴∠FBA′+∠FBA＝∠CAB+∠FBA， ∴∠FBA′＝∠CAB， 在△ACB与△BFA′中， ， ∴△ACB≌△BFA′， ∴FA′＝BC， ∵AC⊥BD，AE⊥ED，DE⊥BD， ∴CD＝AE＝7m， ∴FA′＝BC＝BD﹣CD＝BD﹣AE＝10﹣7＝3（m）． 【题型12】用SSS判定三角形全等 【典例】两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 所以A，B正确； ∵， ∴， 所以C正确； 不能确定之间的关系，所以D不正确. 故选：D. 【举一反三1】如图，已知AB＝AD，根据“SSS”只需补充条件 　__________　就可以判定△ABC≌△ADC． 【答案】CD＝BC． 【解析】在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）． 故答案为：CD＝BC． 【举一反三2】已知，如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线. 求证：△ABD△ACD. 【答案】证明　∵AD是中线， ∴BD=CD. 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD△ACD(SSS). 【题型13】SSS与全等三角形性质的综合 【典例】用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A'O'B'=∠AOB的依据是 A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】D 【解析】连接CD，C'D'（图略）， 由作图痕迹得OC=OD=O'C'=O'D'，CD=C'D'， 所以△C'O'D'≌△COD(SSS)， 所以∠A'O'B'=∠AOB. 【举一反三1】如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，AC交BE于点F.若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，∠ACB＝50°，则∠AFB＝__________. 【答案】100° 【解析】在△ABC和△DEB中， ∴△ABC△DEB(SSS)， ∴∠DBE＝∠ACB＝50°， ∴∠AFB＝∠ACB＋∠DBE＝50°＋50°＝100°. 【举一反三2】如图，平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于点P．若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，则∠ACB的度数为 __________． 【答案】50°． 【解析】在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SSS）， ∴∠BCE＝∠ACD， ∴∠BCA＝∠ECD， ∵∠ACE＝55°，∠BCD＝155°， ∴∠BCA+∠ECD＝100°， ∴∠BCA＝∠ECD＝50°， ∴∠ACB＝50°， 故答案为：50°． 【举一反三3】如图，点E，F在BD上，且AB=CD，BF=DE，AE=CF，求证：∠AEO=∠CFO. 【答案】证明　因为BF=DE， 所以BF-EF=DE-EF，即BE=DF， 在△ABE和△CDF中， 所以△ABE≌△CDF(SSS)， 所以∠AEB=∠CFD， 所以∠AEO=∠CFO. 【举一反三4】如图，已知AC＝AD，BC＝BD，点E是AB上任意一点，求证：CE＝DE． 【答案】证明：在△ACB和△ADB中， ， ∴△ACB≌△ADB（SSS）， ∴∠CAE＝∠DAE， 在△ACE和△ADE中， ， ∴△ACE≌△ADE（SAS）， ∴CE＝DE． 【题型14】SSS的实际应用 【典例】萧寒家有两块三角形的菜地，他想判断这两块三角形地的形状大小是否完全一样，他设想了如下四种方法，下列方法中，不一定判断两三角形全等的是（　　） A．测量两边及其夹角对应相等 B．测量两角及其夹边对应相等 C．测量三边对应相等 D．测量两边及除夹角外的另一角对应相等 【答案】D 【解析】A、可根据SAS定理判定两个三角形全等，故此选项不合题意； B、可根据ASA定理判定两个三角形全等，故此选项不合题意； C、可根据SSS定理判定两个三角形全等，故此选项不合题意； D、不能证明两三角形全等，故此选项符合题意， 故选：D． 【举一反三1】工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是　__________　． 【答案】SSS． 【解析】由图可知，CM＝CN，又OM＝ON， ∵在△MCO和△NCO中， ∴△COM≌△CON（SSS）， ∴∠AOC＝∠BOC， 即OC是∠AOB的平分线． 故答案为：SSS． 【举一反三2】如图①是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE．如图②，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC 的平分线吗？请给出判断并说明理由． 【答案】解：AP是∠BAC的平分线，理由如下： 在△ADF和△AEF中， ， ∴△ADF≌△AEF（SSS）． ∴∠DAF＝∠EAF， ∴AP平分∠BAC． 【题型15】用HL判定直角三角形全等 【典例】下列条件中，能利用HL判定两个直角三角形全等的是(　　) A．一个锐角和这个角的对边对应相等 B．一个锐角和斜边对应相等 C．两直角边对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等 【答案】D 【解析】A项 ，一个锐角和这个角的对边对应相等，根据AAS可证明两个直角三角形全等，故A选项不符合题意； B项 ，一个锐角和斜边对应相等，根据AAS可证明两个直角三角形全等，故B选项不符合题意； C项 ，两直角边对应相等，根据SAS可证明两个直角三角形全等，故C选项不符合题意； D项 ，一条直角边和斜边对应相等，根据HL可证明两个直角三角形全等，故D选项符合题意. 【举一反三1】下列选项错误的是 （      ） A．判定直角三角形全等的方法只有“HL” B．有两边及第三边上的高分别相等的两个锐角三角形全等 C．有一条直角边及斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等 D．全等三角形对应边上的高相等 【答案】A 【举一反三2】如图，已知AB⊥AC，DC⊥AC，AD=BC，可得△ABC≌△CDA，其判定定理是__________ .(填SAS，AAS或HL) 【答案】HL 【解析】因为AB⊥AC，DC⊥AC， 所以∠BAC=∠ACD=90°， 在Rt△ABC和Rt△CDA中， 所以Rt△ABC≌Rt△CDA(HL). 【举一反三3】如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AC＝BD，AE＝BF．求证：△AED≌△BFC． 【答案】证明：∵ED⊥AB，FC⊥AB， ∴∠ADE＝∠BCF＝90°， ∵AC＝BD， ∴AC+CD＝BD+CD， 即AD＝BC， 在Rt△ADE与Rt△BCF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）． 【举一反三4】（1）锐角中，，O是的三边垂直平分线的交点，则______. （2）如图1，中，，将的边延长到点D，使，过D作的垂线，E为垂线上一点，且，若，，求的长. （3）如图2，的面积为，，，，求的周长. 【答案】（1）如图， ∵O是的三边垂直平分线的交点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由题意知，， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得或， ∴的长为5或12； （3）如图2，过作于， ∵， ∴， ∴，， 设，，则，，， ∵的面积为， ∴， 整理得， ∵，， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∴的周长为. 【题型16】HL与全等三角形性质的综合 【典例】如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，BE=BC，连接BD，若AC=8 cm，则AD+DE等于 （      ）  A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．10 cm 【答案】C 【解析】因为DE⊥AB， 所以∠DEB=90°， 在Rt△BCD和Rt△BED中 所以Rt△BCD≌Rt△BED(HL)， 所以DC=DE， 所以AD+DE=AD+DC=AC=8(cm). 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，DE⊥BC，AC=6，EC=6，∠ACB=60°，则∠ACD的度数为 （      ）  A．45° B．30° C．20° D．15° 【答案】B 【解析】因为AC=6，EC=6， 所以AC=EC， 因为∠BAC=90°，DE⊥BC， 所以∠DAC=∠DEC=90°， 在Rt△ADC和Rt△EDC中， 所以Rt△ADC≌Rt△EDC(HL)， 所以∠1=∠2， 所以∠ACD=∠ACB=×60°=30°. 【举一反三2】如图，是的角平分线，，垂足为F，，且和的面积分别是20和50，则的面积为（ ） A．10 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【解析】如图，过D点作于H ， ∵是的角平分线，，， ， 在和中， ， ∴， ， 在和中， ∴， ， ∴， ∵和的面积分别是20和50， ∴， ∴． 故选：B． 【举一反三3】如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D，B，C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC=9，AD=EB，DE=EC，则AB=　　.  【答案】9 【解析】∵MN∥PQ，AB⊥PQ， ∴AB⊥MN， ∴∠DAE=∠EBC=90°， 在Rt△ADE和Rt△BCE中， ∴Rt△ADERt△BEC(HL)， ∴AE=BC， ∵AD+BC=9， ∴AB=AE+BE=AD+BC=9. 【举一反三4】如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，小明沿AC行走，小芳沿BD行走，并同时到达点C，D，若CB⊥AB，DA⊥AB，则DA与CB相等吗？为什么？ 【答案】解　DA=CB. 理由：由题意知BD=AC. 因为CB⊥AB，DA⊥AB， 所以∠DAB=∠CBA=90°. 在Rt△DAB和Rt△CBA中 所以Rt△DAB≌Rt△CBA(HL)， 所以DA=CB. 【题型17】HL的实际应用 【典例】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，BC＝BD，若AC＝8 cm，则AE＋DE的值为(　　) A．7 cm B．8 cm C．9 cm D．10 cm 【答案】B 【解析】∵DE⊥AB， ∴∠BDE＝90°， ∴∠C＝∠BDE＝90°， 在Rt△CBE和Rt△DBE中， ∴Rt△CBERt△DBE(HL)， ∴CE＝DE， ∴AE＋DE＝AE＋CE＝AC＝8 cm. 【举一反三1】在△ABC和△DEF中，∠B=∠E=30°，AB=DE=6，AC=DF=4.若∠C=n°，则∠F的度数为(　　) A．30° B．n° C．n°或° D．30°或150° 【答案】C 【解析】过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥EF于点H， ∵∠B=∠E=30°，AB=DE=6， ∴AG=DH=3， 当B，C在点G的两侧，E，F在点H的两侧时，如图， ∵AG=DH=3，AC=DF=4， ∴Rt△ACG≌Rt△DFH， ∴∠F=∠C=n°； 当B，C在点G的两侧，E，F在点H的同侧时，如图， 同理Rt△ACG≌Rt△DFH， ∴∠DFH=∠C=n°， ∴∠DFE=°， 综上，∠F的度数为n°或°. 【举一反三2】两个全等的直角三角尺如图所示放置在∠AOB的两边上，其中直角三角尺的短直角边分别在∠AOB的两边上，两个直角三角尺的长直角边交于点P，连接OP，且OM＝ON，若∠AOB＝60°，OM＝6cm，则线段OP＝__________cm． 【答案】见试题解答内容 【解析】在Rt△OMP和Rt△ONP中，OM＝ON，OP＝OP， ∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）， ∴∠MOP＝∠NOP， ∵∠AOB＝60°， ∴∠MOP＝∠NOP＝30°， ∵∠OMP＝90°， ∴OP＝2MP，OM＝MP＝6cm， ∴MP＝2cm， ∴OP＝4cm， 故答案为：4． 【举一反三3】鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，A、B两点分别为雕像底座的两端（其中A、B两点均在地面上）．因为A、B两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可． 乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可． （1）甲、乙两同学的方案哪个可行？__________（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由； （2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：　__________　． 【答案】（1）甲，理由见解析； （2）DB⊥AC． 【解析】（1）甲同学的方案可行． 理由：由题意得， 在△ABO与△CDO中， ， ∴△ABO≌△CDO（SAS）， ∴AB＝CD， 故甲同学的方案可行． （2）DB⊥AC； 理由： ∵DB⊥AC， ∠ABD＝∠CBD＝90° 在Rt△DBA与Rt△DBC中， ， ∴Rt△DBA≌Rt△DBC（HL）， ∴AB＝CB． 故答案为：DB⊥AC． 【举一反三4】(人教课本P43练习T1)如图, 是路段 的中点，两人从 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达 两地，且 到路段 的距离相等吗? 为什么? 【答案】解　, 到路段 的距离相等.理由: . 是 的中点, . 由题意可知 . 在 Rt 和 Rt 中, . 到路段 的距离相等. 【题型18】添加适当条件判定三角形全等 【典例】如用，，点在上，点在上，若添加一个条件可使，则添加的这个条件不可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A.添加， 在中 ∵ ∴， 故此选项正确，不符合题意； B.添加， 在中 ∵ ∴， 故此选项正确，不符合题意； C.添加 在中 ∵ ∴， 故此选项正确，不符合题意； D.添加，不符合任何一定判定定理， 无法证明， 故此选项错误，不合题意； 故选：D． 【举一反三1】如图，给出下列四个条件，AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，∠C＝∠F，从中任选三个条件能使△ABC≌△DEF的共有 __________组． 【答案】3． 【解析】第①组AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F，满足AAS，能证明△ABC≌△DEF． 第②组AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF满足SAS，能证明△ABC≌△DEF． 第③组∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F满足ASA，能证明△ABC≌△DEF． 所以有3组能证明△ABC≌△DEF． 故答案为：3． 【举一反三2】如图，已知，点，在线段上，且. 请从①；②；③中.选择一个合适的选项作为已知条件，使得.你添加的条件是：__________（只填写一个序号）.添加条件后，请证明. 【答案】证明：当选取①时， 在与中，， ， ， ， ， ， 在与中，， ， ， ； 证明：当选取②时， 在与中，， ， ，， ， ， 在与中，， ， ， ； 故答案为：①（或②） 【题型19】全等三角形的性质与判定的综合 【典例】如图，已知，，，点C，E，D，F共线．下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵， ∴， ∴ 故A正确； 又∵，， ∴， ∴，， 故B正确； ∵， 又∵，， ∴， 故D正确； 无法判断，∴无法判断， 故无法判断出C； 故选∶C． 【举一反三1】小明设想用电脑模拟台球游戏，为增加难度，约定： ①台球桌面设计为腰长为4的等腰； ②小球撞击桌边后的反弹角等于入射角. 如图建立平面直角坐标系，小明希望球从点出发，撞击边上的M点后反弹，再撞击边上的点N反弹，最后回到点P.则M点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，过点P作交直线于点D，延长交x轴于点C，连接， 由题意得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 同理可证明， ∵， ∴垂直平分， ∴； ∵是等腰直角三角形， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得， ∴点M的坐标为， 故选：B. 第二部分 非选择题 【举一反三2】如图，在中，，点D是的中点，，交直线于点E，．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①④⑤ C．①③⑤ D．①②④ 【答案】D 【解析】∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， 故①正确； ∴， ∵， ∴， ∵在四边形中，，， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 延长交于，设，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，整理得， ∴，，， ∵， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故③结论错误； ∵，， ∴； 故④结论正确； ∵，， ， ， ∴ ∴⑤结论错误， 综上所述，正确的结论有①②④． 故选：D． 【举一反三3】如图，中，，为的平分线．若点A到直线的距离为5，则长为 __________ ． 【答案】10 【解析】延长、交于点F， 平分，，， ，， ，， ，则. ∵，， 又∵ ∴， ， 又∵，， ， ． 故答案为：． 【举一反三4】如图，点A，C，D，E在同一条直线上，，，，且. (1)求证：； (2)若，，求的长. 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 在和中 ∴（）； (2)解：∵，， ∴， ∵， ∴. 【题型20】全等三角形与动点问题 【典例】如图所示，在长方形 中,,延长 到点 ,使 ,连接 ,动点 从点 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 向终点 运动，设点 的运动时间为 ,当 的值为(　　)时, 和△ 全等。 A．1 B．1 或 3 C．1 或 7 D．3 或 7 【答案】C 【解析】当点 在 边上运动时,。 因为 ，所以当 时，根据 “SAS” 可得。 由题意，得 ,所以 。 当点 运动到 边上时,。 因为 ，所以当 时，可得(SAS)， 所以 ，解得 。 所以当 的值为 1 或 7 时, 和 全等。 【举一反三1】如图，和都是等边三角形.点A是边上一个动点，若，则下列结论正确的是（ ） A． B．若连接，则 C． D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】如图1，连接，设交于点L， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ，故A符合题意； 在和中，， ， ， ， ，故B符合题意； ，， ， ， ， 当点A和点D重合时，，故C不符合题意； 点A是边上一动点， 当时，的长最小，此时的面积最小， 如图2，，设交于点T， 则，， ，， ，， ，， ， ， ， 的最小值为，故D符合题意. 综上，选项ABD正确. 【举一反三2】如图，，．，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时点在射线上由点向点运动．设它们运动的时间为，点的运动速度为，若刚好使得以点A、C、P为顶点的与以点B、P、Q为顶点的全等．则可以求出__________ ． 【答案】1或 【解析】， 当，时，， ，， ，； 当，时，， ，， ，． 综上，或，． 故答案为：1或1.5． 【举一反三3】如图，在中，，，，点是边一个动点（包含，两点），以为边向左作等边，点在运动的过程中，的最小值是__________ ，最大值是__________ . 【答案】. ； . 【解析】取的中点，作于，连接，， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴是等边三角形， 即：，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即：， ∴， ， 当时，即与重合时，最小， ∵， ∴， ∴， ， 即：的最小值是， 当与重合时最大， 此时， 即：的最大值是：. 故答案为：. 【举一反三4】如图①，AB＝10 cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，AC＝7 cm.点P在线段AB上以3 cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动.它们运动的时间为t(s)(当点P运动结束时，点Q运动随之结束). (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； (2)如图②，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其他条件不变，当点P，Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，请直接写出相应的x的值. 【答案】解　(1)△ACP△BPQ，线段PC和线段PQ的位置关系是PC⊥PQ，理由如下： ∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵当t＝1时，AP＝BQ＝3 cm， ∴BP＝7 cm， ∴BP＝AC， 在△ACP和△BPQ中， ∴△ACP△BPQ(SAS). ∴∠C＝∠BPQ. ∵∠C＋∠APC＝90°， ∴∠APC＋∠BPQ＝90°， 又∵∠APC＋∠BPQ＋∠CPQ＝180°， ∴∠CPQ＝90°， ∴PC⊥PQ. (2)由题意可得BQ＝xt cm，AP＝3t cm， ∴BP＝(10－3t)cm， ∵∠CAB＝∠DBA， ∴分两种情况讨论： ①若△ACP△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ， 可得7＝10－3t，3t＝xt， 解得t＝1，x＝3； ②若△ACP△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP， 可得7＝xt，3t＝10－3t， 解得t＝，x＝. 综上，当△ACP与△BPQ全等时，x的值为3或. 【举一反三5】如图，AB＝7cm，AC＝5cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上以x cm/s的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之停止）．问：x为何值时，△ACP与△BPQ全等？ 【答案】解：①若△ACP≌△BPQ， 则AC＝BP，AP＝BQ， 可得：5＝7﹣2t，2t＝xt， 解得：x＝2，t＝1； ②若△ACP≌△BQP， 则AC＝BQ，AP＝BP， 可得：5＝xt，2t＝7﹣2t， 解得：x＝，t＝． 综上所述，x的值为2或时，△ACP与△BPQ全等． 【题型21】倍长中线法 【典例】如图△ABC，AB=7，AC=3,AD是BC边上的中线则AD的取值范围为（ ） A．4<AD<10 B．2<AD<5 C．1<AD< D．无法确定 【答案】B 【解析】延长AD到E，使AD=DE，连接BE，如图所示： ∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC， ∴△ADC≌△EDB（SAS） ∴BE=AC=3， 在△AEB中，AB-BE＜AE＜AB+BE， 即7-3＜2AD＜7+3， ∴2＜AD＜5， 故选：B． 【举一反三1】如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 __________ ． 【答案】 【解析】如图，延长至E，使，连接， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ∵， ∴ ∴， 的取值范围是：． 故答案为：． 【举一反三2】如图， 在中，， 点D为边的中点， 点E，F分别在边上，， 则的长为__________ . 【答案】 【解析】∵， ∴， 如图，延长至G，使得，连接,,， 设， 则，， 点D为边的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：. 【举一反三3】如图，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接CE. (1)证明△ABD△ECD； (2)若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是　　　　. 【答案】(1)证明　∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ABD和△ECD中， ∴△ABD△ECD(SAS). (2)解　由(1)知△ABD△ECD， ∴CE＝BA， ∵AB＝5， ∴CE＝5， ∵ED＝AD，AD＝x， ∴AE＝2AD＝2x， 在△ACE中，AC＝3， 根据三角形的三边关系得，5－3<2x<5＋3， ∴1<x<4. 【题型22】与尺规作图相关的全等三角形问题 【典例】如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【答案】B 【解析】由尺规作图可知OM＝OD＝CN＝CE，MD＝NB， 在△OMD与△CEN中 ， ∴△OMD≌△CEN（SSS）； ∴∠O＝∠NCB， ∴CN∥OA． 故选：B． 【举一反三1】用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】D 【解析】设已知角为∠O，以顶点O为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边分别为A，B两点； 画一条射线b，端点为M； 以M为圆心，OA长为半径画弧，交射线b于C点；以C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D； 作射线MD． 则∠COD就是所求的角． 由以上过程不难看出两个三角形中有三条边对应相等， ∴证明全等的方法是SSS． 故选：D． 【举一反三2】如图，已知∠ABC，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于P，D；作一条射线FE，以点F圆心，BD长为半径作弧l，交EF于点H；以H为圆心，PD长为半径作弧，交弧l于点Q；作射线FQ．这样可得∠QFE＝∠ABC，其依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【解析】如图，连接DP，QH， 根据题意得，BP＝BD＝FQ＝FH，DP＝QH， 在△PBD和△QFH中， ， ∴△PBD≌△QFH（SSS）， ∴∠ABC＝∠QFE， 故选：A． 【举一反三3】如图，结合三角形全等的判定条件，用尺规作的依据是__________ ． 【答案】 【解析】由作图可得：，，， ∴， 故用尺规作的依据是， 故答案为：． 【举一反三4】已知下列条件，利用尺规作图，作出的三角形不唯一的是__________.(请填写序号)  ①已知三个角；②已知三条边；③已知两边和夹角；④已知两角和夹边. 【答案】① 【解析】①已知三个角可画出无数个三角形，故符合题意； ②符合全等三角形的判定SSS，能作出唯一确定三角形，故不符合题意； ③符合全等三角形的判定SAS，能作出唯一确定三角形，故不符合题意； ④符合全等三角形的判定ASA，能作出唯一确定三角形，故不符合题意. 【举一反三5】如图，四边形中，． (1)用直尺和圆规作的角平分线，交于点．（保留作图痕迹） (2)如果（1）中的点恰好是的中点，求证：． 【答案】(1)解：如图所示： (2)证明：延长，交于点， ， ∵点是中点， ， ， ， ∵， ∴， ，， 平分， ， ， ， ∵，且， ． 【举一反三6】[教材呈现]如图是华师版八年级上册65页的部分内容． [探究问题]如图，∠A＝45°，AB＝3cm，请你用圆规在∠A的另一边找到点C，使BC＝2.5cm，这样的点C有 　  　个，说明符合条件的三角形有 　  　种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形 　   　全等． [拓展思考] 如图，已知△DEF，若△MNP≌△DEF且MN＝DE，NP＝EF，∠M＝∠D，那么△MNP一定是 　     　三角形（从“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”三个答案选择）． 【答案】解：[探究问题]这样的点C有2个，说明符合条件的三角形有2种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形不一定全等． 故答案为：2，2，不一定． [拓展思考]∵△MNP≌△DEF，△DEF是钝角三角形， ∴△MNP一定是钝角三角形． 故答案为：钝角． 【题型23】一线三等角模型 【典例】如图，在中，，，分别过点，作经过点的直线的垂线段，，若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【举一反三1】如图，∠ABC＝∠ACD＝90°，BC＝2，AC＝CD，则△BCD的面积为（　　） A．2 B．4 C． D．6 【答案】A 【解析】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BAC+∠ACB＝90°， ∵∠ACD＝90°， ∴∠HCD+∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝∠HCD， 在△ABC和△CHD中， ， ∴△ABC≌△CHD（AAS）， ∴DH＝BC＝2， ∴△BCD的面积＝×BC×DH＝×2×2＝2， 故选：A． 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝50°，则∠A的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】D 【解析】在△FBD和△DCE中， ， ∴△FBD≌△DCE（SAS）， ∴∠BFD＝∠CDE， ∵∠FDE+∠CDE＝∠B+∠BFD， ∴∠B＝∠FDE＝50°， ∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°， 故选：D． 【举一反三3】如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°.直线l经过点A，过点B作BE⊥l于点E，过点C作CF⊥l于点F.若BE＝2，CF＝5，则EF＝__________. 【答案】7 【解析】∵BE⊥l，CF⊥l， ∴∠AEB＝∠CFA＝90°. ∴∠EAB＋∠EBA＝90°. 又∵∠BAC＝90°， ∴∠EAB＋∠CAF＝90°. ∴∠EBA＝∠FAC. 在△AEB和△CFA中， ∵ ∴△AEB△CFA. ∴AE＝CF，BE＝AF. ∴AE＋AF＝BE＋CF. ∴EF＝BE＋CF. ∵BE＝2，CF＝5， ∴EF＝2＋5＝7. 【举一反三4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AC上，过点E作AC的垂线DE，连接AD．若AD⊥AB．AD＝AB，BC＝3，DE＝7，则CE的长为 __________． 【答案】4． 【解析】∵AD⊥AB， ∴∠BAD＝∠BAC+∠EAD＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠BAC+∠B＝90°， ∴∠B＝∠EAD， ∵DE⊥AC， ∴∠AED＝∠C＝90°， 又∵AD＝AB， ∴△ABC≌△DAE（AAS）， ∴AC＝DE＝7，AE＝BC＝3 ∴EC＝AC﹣AE＝7﹣3＝4， 故答案为：4． 【举一反三5】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.△BEC与△CDA全等吗？请说明理由. 【答案】解　全等，理由如下： 因为BE⊥CE，AD⊥CE，∠ACB=90°， 所以∠BCE+∠DCA=90°，∠DAC+∠DCA=90°， 所以∠CAD=∠BCE， 在△BEC和△CDA中， 所以△BEC≌△CDA(AAS). 【举一反三6】如图，点C在线段BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD． （1）求证：△ABC≌△CDE； （2）请写出线段AB、DE、BD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE， ∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°， ∴∠BAC+∠BCA＝90°＝∠BCA+∠DCE， ∴∠BAC＝∠DCE， 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（ASA）； （2）解：线段AB、DE、BD之间的数量关系为BD＝AB+DE， 理由：由（1）可知，△ABC≌△CDE， ∴AB＝CD，BC＝DE， ∴BD＝BC+CD＝AB+DE． 【题型24】平移模型 【典例】如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝6，DO＝2，平移距离为4，则阴影部分面积为（　　） A．20 B．24 C．28 D．30 【答案】A 【解析】由平移性质得△ABC≌△DEF，BE＝4，DE＝AB＝6，AB∥DE， ∴S△ABC＝S△DEF，OE＝DE﹣DO＝4，∠ABC＝∠DEF＝90°， ∴S阴影面积＝S△DEF﹣S△OEC ＝S△ABC﹣S△OEC ＝S梯形ABEO ＝ ＝20， 故选：A． 【举一反三1】如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝8，DO＝3，平移距离为4，则阴影部分面积为（　　） A．18 B．24 C．26 D．32 【答案】C 【解析】由平移的性质可知，△ABC≌△DEF， ∴DE＝AB＝8，BE＝4，S△ABC＝S△DEF， ∴OE＝DE﹣DO＝8﹣3＝5， ∴阴影部分的面积＝S△ABC﹣S△OEC＝S梯形ABEO＝×（5+8）×4＝26， 故选：C． 【举一反三2】如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为__________． 【答案】48 【解析】由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10， ∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6， ∴S四边形ODFC＝S梯形ABEO＝（AB+OE）•BE＝（10+6）×6＝48． 故答案为48． 【解析】由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10， ∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6， ∴S四边形ODFC＝S梯形ABEO＝（AB+OE）•BE＝（10+6）×6＝48． 故答案为48． 【举一反三3】如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD=BE，AC=DF，AC∥DF.试说明：BC=EF. 【答案】解　因为AD=BE，所以AD+BD=BE+BD，即AB=DE. 因为AC∥DF，所以∠A=∠EDF. 在△ABC与△DEF中， 所以△ABC≌△DEF(SAS)，所以BC=EF. 【题型25】旋转模型 【典例】如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，的平分线交的延长线于点F，连接，若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】延长交于点G， 由旋转知，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，∵， ∴， ∵， ∴， ∵，∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得. ∴. 故选：A. 【举一反三1】如图，AD是△ABC的高，AD＝BD，DE＝DC，∠BAC＝65°，则∠ABE的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】B 【解析】∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在△BDE和△ADC中， ， ∴△BDE≌△ADC（SAS）， ∴∠DAC＝∠DBE， ∵∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝65°﹣45°＝20°， ∴∠DBE＝20°， ∴∠ABE＝∠ABD﹣∠DBE＝25°， 故选：B． 【举一反三2】如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，AD＜AB，∠BAC＝∠DAE＝49°，连接CE，BD，延长BD交CE于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②AD＝BD；③∠BFC＝49°；④AF平分∠BFE．其中正确的结论个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】∵∠BAC＝∠DAE＝49°， ∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE，故①符合题意； ∴∠ABD＝∠ACE， 如图，记AC，BF的交点为O， ∵∠AOB＝∠COF， ∴∠BFC＝∠BAO＝49°，故③符合题意； ∵D在BF上可以是个动点，仍然满足△ADE中AD＝AE，∠DAE＝49°， ∴AD不一定等于BD，故②不符合题意； 如图，作AK⊥BD于K，作AH⊥CE于H． ∵△BAD≌△CAE， ∴由全等三角形的对应高相等可得：AK＝AH， ∵AF＝AF，∠AKF＝∠AHE＝90°， ∴Rt△AFK≌Rt△AFH， ∴∠AFD＝∠AFE， ∴FA平分∠BFE，故④符合题意； 故选：B． 【举一反三3】如图，在等边△ABC中，D是AC边上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=10，BD=9，则△AED的周长是__________ . 【答案】19 【解析】∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE， ∴△BDC≌△BEA， ∴BE=BD，∠DBE=60°，AE=CD， ∴△DBE是等边三角形， ∴DE=BD=9， ∴△AED的周长=DE+AD+AE=DE+AC=19， 故答案为：19. 【举一反三4】如图，是等边三角形，点和点分别是和上的点，连接和交于点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，有如下结论：①；②（代表面积）；③；④若，则，上述结论中，所有正确结论的序号是__________ 【答案】①②③ 【解析】在等边三角形中，，， 在和中， ， ， ， ， 故①正确，符合题意； ， ， ，， ， ， 故②正确，符合题意； ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故③正确，符合题意； 过作于点， 过作于点， ， ，， 在等边三角形中，，， ，， ， ， ， ，，且， ， 故④错误，不合题意； 故答案为：①②③． 【举一反三5】如图，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE. 试说明：BD=CE. 【答案】解　因为AB⊥AC，AD⊥AE， 所以∠BAE+∠CAE=90°，∠BAE+∠BAD=90°. 所以∠BAD=∠CAE. 又AB=AC，∠ABD=∠ACE， 所以△ABD≌△ACE(ASA). 所以BD=CE. 学科网（北京）股份有限公司 $