2025年中考数学一轮复习专题18 分式讲义+练习

专题18 分式 一、选择题（共8小题） 1．（2024秋•房山区期末）若分式的值为0，则的取值是　　 A．2 B． C．1 D． 2．（2024秋•莱芜区期末）某校八年级的同学乘坐大巴车去研学，目的地距离该校14千米号车出发6分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达．已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.4倍，求2号车的平均速度．设1号车的平均速度为千米小时，可列方程为　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•北京期末）0.00025用科学记数法记为　　 A． B． C． D． 4．（2024秋•安阳期末）关于的方程无解，则的值为　　 A． B．3 C． D．无法确定 5．（2024秋•松江区期末）如果使分式有意义的和的值都扩大为原来的2倍，则分式的值也扩大为原来的2倍，那么整式可以是　　 A． B． C． D． 6．（2024秋•滦州市期末）下列分式化简正确的是　　 A． B． C． D． 7．（2024秋•望城区期末）若分式有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 8．（2024秋•南岗区校级期末）如果把分式中的与都扩大为原来的2倍，则分式的值　　 A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来的2倍 D．不变 二、填空题（共10小题） 9．（2024秋•顺义区期末）若分式的值为0，则的值为 　　． 10．（2024秋•越秀区期末）用科学记数法表示数： 　　． 11．（2024秋•北京期末）方程的解为 　　． 12．（2024秋•凉州区期末）当时，代数式的值为　　． 13．（2024秋•海伦市期末）若关于的分式方程无解，则的值是　　． 14．（2024秋•顺义区期末）若代数式有意义，则实数的取值范围是 　　． 15．（2024秋•宝山区期末）如果是关于的方程的增根，那么的值为 　　． 16．（2024秋•河西区期末）已知，则 　　， 　　． 17．（2024秋•长沙期末）定义一种新运算：对于任意非零实数，，，若★，则的值为 　　． 18．（2024秋•宁江区校级期末）方程的解为　　． 三、解答题（共7小题） 19．（2024秋•房山区期末）已知，求代数式的值． 20．（2024秋•静安区期末）化简：． 21．（2024秋•瓦房店市期末）先化简，再求值：，其中． 22．（2024秋•北川县期末）已知 （1）化简； （2）若，2，3恰好是的三边长，请选取合适的整数代入，求出的值． 23．（2024秋•南关区校级期末）解方程： （1）； （2）． 24．（2024秋•凉州区期末）根据规律答题： 小明同学在一次教学活动中发现：方程的解为，；方程的解为，；方程的解为，；，依此类推： （1）请你依据小明的发现，猜想关于的方程的解是 　　； （2）根据上述的规律，猜想由关于的方程得到 　　； （3）拓展延伸：由（2）可知，在解方程时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 25．（2024秋•顺义区期末）为了丰富学生的课后活动，促进学生的身心健康，某学校购进了，两种品牌的篮球，其中购买品牌蓝球共花费4500元，购买品牌蓝球共花费3600元，已知购买品牌蓝球的数量是购买品牌篮球的数量的1.5倍，且品牌蓝球的单价比品牌蓝球的单价便宜30元，求，两种品牌篮球的单价． 参 考 答 案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B． B C B A B 一、选择题（共8小题） 1．【答案】 【解答】解：分式的值为0， ， 解得， 故选：． 2．【答案】 【解答】解：根据题意可得：． 故选：． 3．【答案】． 【解答】解：． 故选：． 4．【答案】 【解答】解：原方程移项得：， 去分母得：， 合并同类项得：， 原方程无解， ，， 解得， 故选：． 5．【答案】 【解答】解：若整式是，将原分式中和的值都扩大为原来的2倍可得，分式的值不变，则不符合题意； 若整式是，将原分式中和的值都扩大为原来的2倍可得，分式的值不变，则不符合题意； 若整式是，将原分式中和的值都扩大为原来的2倍可得，分式的值扩大为原来的2倍，则符合题意； 若整式是，将原分式中和的值都扩大为原来的2倍可得，分式的值扩大为原来的8倍，则不符合题意； 故选：． 6．【答案】 【解答】解：、原式，原计算错误，不符合题意； 、原式，正确，符合题意； 、原式，原计算错误，不符合题意； 、原式，原计算错误，不符合题意， 故选：． 7．【答案】 【解答】接：由题意，得 ， 解得， 故选：． 8．【解答】解：分式中的与都扩大为原来的2倍， 分式中的分子扩大为原来的4倍，分母扩大为原来的2倍， 分式的值扩大为原来的2倍． 故选：． 二、填空题（共10小题） 9．【答案】． 【解答】解：分式的值为0， 且， 解得：． 故答案为：． 10．【答案】． 【解答】解：． 故答案为：． 11．【答案】． 【解答】解：原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 12．【答案】22． 【解答】解：， 解得：或， ， ，， ，， ， 原式， 故答案为：22． 13．【答案】1或． 【解答】解：原分式方程去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 当时，原方程无解， ， 当最简公分母， ， 当时，得， 综上的值为1或， 故答案为：1或． 14．【答案】． 【解答】解：代数式有意义， 故， 解得， 故答案为：． 15．【答案】． 【解答】解：分式方程去分母得：，即， 是关于的方程的增根， 把代入得到，即， 故答案为：． 16． 【解答】解：已知等式整理得：， 可得， ， 解得：． 故答案为：；． 17．【答案】1． 【解答】解：， ， ★， ， 解得， 经检验，是分式方程的根， 即的值为1． 故答案为：1． 18．【答案】． 【解答】解：方程两边都乘得： ， 解得． 检验：当时，． 是原方程的解． 三、解答题（共7小题） 19．【答案】1． 【解答】解：， ， ． 20．【答案】． 【解答】解：原式 ． 21．【答案】，． 【解答】解：原式 ， 当时，原式 ． 22．【答案】（1）； （2）当时，；当时，． 【解答】解：（1） ； （2），2，3恰好是的三边长， ， ， 又，， ，， 可以取得整数为3或4， 当时，； 当时，． 23．【答案】（1）； （2）无解． 【解答】解：（1）原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为； （2）原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 则是分式方程的增根， 故原方程无解． 24．【答案】（1），； （2）或； （3），． 【解答】解：（1）根据题意得，关于的方程的解是，， 故答案为：，； （2）根据题意得，由关于的方程得到或， 故答案为：或； （3）， ， ， ， 或， ，． 25．【答案】品牌蓝球的单价是150元，品牌蓝球的单价是180元． 【解答】解：设品牌蓝球的单价是元，则品牌蓝球的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元． 答：品牌蓝球的单价是150元，品牌蓝球的单价是180元． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 分式 模型1 分式的概念 7 模型2 分式有无意义、分式的值 9 模型3 分式的基本性质 11 模型4 分式的混合运算 13 模型5 用科学记数法表示较小的数 15 模型6 解分式方程 16 模型7 分式方程的增根问题 19 模型8 分式方程的参数问题 21 模型9 分式方程的应用 23 模型归纳 1．分式的定义： 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母． 2．分式有意义的条件： 分式的分母不等于0． 3．分式的值为0的条件： 当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0． 分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的，所以使分式的值为0的条件是A=0且B≠0，两者缺一不可． 4．分式的基本性质 （1）分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 用式子表示为：=（C≠0），其中A，B，C是整式． 分式的基本性质是分式变形的理论依据． （2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变． 用式子表示为： 或 5．约分、通分、最简分式 （1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． （2）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式． （3）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． （4）约分与通分的联系与区别： ①约分与通分恰好是相反的两种变形，约分与通分都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值． ②约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言． ③约分是将一个分式化简，通分则可能将一个分式化繁，使异分母分式化为同分母分式． （5）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． ①通分的关键是确定几个分式的最简公分母． ②分式的通分是恒等变形，通分前后分式的值不变． （6）确定最简公分母的方法： ①当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式； ②当各分母都是多项式时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法来确定． 6．分式的运算乘除 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 用式子表示为 （3）分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方． （4）分式的加减 ①同分母分式相加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为． ②异分母分式相加减法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 用式子表示为． （5）分式的混合运算 ①分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便． ②分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式的前边． 7．整数指数幂与科学记数法 （1）整数指数幂：若m，n为正整数，a≠0，则． 又因为，所以． 一般地，当n是正整数时，，这就是说，是的倒数． （2）整数指数幂的运算性质 ①； ②； ③； ④； ⑤． 上述式子中，m，n均为任意整数． （3）科学记数法（表示较小的数） 用科学记数法表示小于1的正数时，可表示为a×10-n的形式，其中n为原数左起第1个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0），1≤a<10． 8．分式方程 （1）定义：分母中含未知数的方程叫做分式方程． （2）解分式方程的一般方法和步骤： ①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程； ②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等； ③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解． 简称为一化，二解，三检验． （3）解分式方程产生不适合原方程解的原因： 在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解． 9．解分式方程应用题的一般步骤 一审：审清题意，弄清已知量和未知量； 二找：找出等量关系； 三设：设未知数； 四列：列出分式方程； 五解：解这个方程； 六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求； 七答：写出答案． 在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义． 方法归纳 1．分式 （1）分式的概念可类比分数得出，分式的形式和分数类似，分数的分子与分母都是整数，而分式的分子与分母都是整式，并且分母中含有字母，这也是分式的一个重要标志． （2）分式的基本性质中的A，B，C表示的都是整式，其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；C≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调C≠0这个前提条件． 应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义：一是要同时做“乘法”或“除法”运算（不是做“加法”或“减法”运算）；二是“乘”（或“除以”）的对象必须是同一个不等于0的整式． 若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一个整式C． 2．分式的乘法与分数的乘法类似，可类比分数的乘法学习． （1）分式与分式相乘时，①若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；②若分子、分母是多项式，先分解因式，看能否约分，然后再相乘． （2）当整式与分式相乘时，要把整式（看作是分母为1的式子）与分式的分子相乘作为积的分子，分式的分母作为积的分母．当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘． （3）分式除以分式，可以先确定商的符号，再转化为分式的乘法．也可先转化为分式的乘法后，再确定符号，这与实数的除法运算法则是一致的．当除式（或被除式）是整式时，可以看作是分母是“1”的式子，然后依照分式除法法则计算． （4）分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式． （5）分式的乘除混合运算，如果没有其他附加条件（如括号等），则应按照由左到右的顺序进行计算． 3．分式的混合运算 在进行分式的混合运算时可以灵活地运用运算律简化运算过程．先将分式的乘除法统一成分式的乘法，再利用乘法运算律、加法运算律计算． 分式混合运算的结果中，当分子或分母为多项式且首项的系数是负数时，或者当分子或分母为单项式且单项式的系数是负数时，要把负号提到分式的前面． 4．分母中含有字母的方程未必是分式方程． 如：（为非零常数），这里的是一个常数，不是未知数，该方程不是分式方程． 再如：，当时不是分数方程． 5．分式方程的增根使得最简公分母的值为0，它不是原分式方程的解，是去分母后的整式方程的解． 6．用分式方程解决实际问题时必须检验． 模型1 分式的概念 典例 （2024秋•滦州市期末）下列式子是分式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：根据分式的定义可知，是分式． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，而只需看原式的本来“面目”是否符合分式的定义，与分子中的字母无关．比如，就是分式． 2．分式需要满足三个条件，缺一不可： （1）形如的式子； （2）A，B都是整式（这里的整式，可以是单项式，也可以是多项式）； （3）分母B中含有字母（π是常数，不是定义中所说的字母）． 【变式练1】　（2024秋•长沙县期末）给出如下式子：①；②；③；④，其中是分式的是　　 A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①④ 【答案】 【解答】解：分式：①；③；共2个， 故选：． 【变式练2】　（2024秋•东坡区期末）在式子、、、中，分式的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式． ，的分母中含有字母，因此是分式． 故选：． 【变式练3】　（2024秋•康县期末）下列各式，，，中，分式有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【解答】解：，是分式． 故选：． 模型2 分式有无意义、分式的值 典例 （2024秋•普陀区期末）如果分式无意义，那么的值为　　 A．1 B． C． D． 【答案】 【解答】解：由题意得：， 则， 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的，所以使分式的值为0的条件是A=0且B≠0，两者缺一不可． 求解分式的值为0的条件的题目时，首先求出使分式的分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否是分母的值为0，当它使分母的值不为0时，就是所要求的字母的值，使分母为0的值必须舍去． 【变式练1】　（2024秋•武都区期末）要使分式有意义，则需满足的条件是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由分式有意义的条件可知：， ， 故选：． 【变式练2】　（2024秋•越秀区期末）若分式有意义，则的取值应满足　　 A． B． C． D．且 【答案】 【解答】解：由题意得：， 解得：． 故选：． 【变式练3】　（2024秋•东城区期末）若分式有意义，则的取值范围是 　　． 【答案】． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 模型3 分式的基本性质 典例 （2024秋•东城区期末）下列分式变形正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：，则不符合题意； 无法进行约分，则不符合题意； ，则不符合题意； ，则符合题意； 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 用式子表示为：=（C≠0），其中A，B，C是整式． 2．分式的基本性质是分式变形的理论依据． 3．运用分式的基本性质进行分式的变形是恒等变换，它不改变分式值的大小，只改变其形式． 【变式练1】　（2024秋•顺义区期末）如果把分式中的，同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值　　 A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小到原来的 D．扩大为原来的4倍 【答案】 【解答】解：把分式中的，同时扩大为原来的2倍可得， 即该分式的值不变， 故选：． 【变式练2】　（2024秋•石景山区期末）下列各式从左到右变形正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：，则符合题意； 无法约分，则不符合题意； ，则不符合题意； ，则不符合题意； 故选：． 【变式练3】　（2024秋•西城区期末）下列各式从左到右变形一定正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：无法约分，则不符合题意； 无法约分，则不符合题意； 无法约分，则不符合题意； ，则符合题意； 故选：． 模型4 分式的混合运算 典例 （2024秋•城关区期末）化简． 【答案】． 【解答】解：原式 ． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．分式的乘除运算应注意以下“四类问题”： （1）理解法则并能正确运用，若是除法运算，则先转化为乘法运算． （2）分子、分母能分解因式的先分解因式，然后约分． （3）运算的结果要化为最简分式或整式． （4）自选数值的代入求值问题，不要忽视分母不为0的条件． 2．异分母分式相加减，化异分母分式为同分母分式是解此类题的关键．在整式与分式进行加减运算时，把整式看作分母为1的式子，并按照异分母分式相加减的法则完成计算． 3．异分母分式相加减的一般步骤： （1）通分：将异分母分式转化成同分母分式； （2）加减：写成分母不变，分子相加减的形式； （3）合并：分子去括号，合并同类项； （4）约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．因此，异分母分式加减运算的关键是通分． 4．分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便． 5．分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式的前边． 6．分式混合运算应根据式子的特点，选择灵活简便的方法计算或化简，注意使用运算律，寻求合理的运算途径． 【变式练1】　（2024秋•北京期末）计算：． 【答案】． 【解答】解：原式 ． 【变式练2】　（2024秋•宽城区期末）计算：． 【答案】． 【解答】解：原式 ． 【变式练3】　（2024秋•烟台期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式． 模型5 用科学记数法表示较小的数 典例 （2024秋•韶关期末）截至2024年，世界上最先进的芯片已经达到了3纳米级别，3纳米就是0.000000003米，数据0.000000003用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】． 【解答】解：． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 用科学记数法表示小于1的正数时，要注意小数点位置的变化，即小数点向右移了几位，10的指数就是负几． 【变式练1】　（2024秋•东城区期末）在一些科学研究或工程实验中，对测量结果的误差分析是非常重要的．例如，某个测量值的误差范围是，用科学记数法表示这个误差值可以更直观地看出误差的大小和相对精度．0.00056用科学记数法表示应为　　 A． B． C． D． 【答案】． 【解答】解：． 故选：． 【变式练2】　（2024秋•长沙期末）“墙角数枝梅，凌寒独自开，遥知不是雪，为有暗香来”，某品种的梅花花粉直径为0.000022米，则数据0.000022用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】． 【解答】解：． 故选：． 【变式练3】　（2024秋•南关区校级期末）2024年，华为公司上市的手机采用了制程技术的手机芯片，系列的每颗芯片均具备国产能力，标志着华为手机实现了芯片国产化．0.000000007这个数用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】． 【解答】解：． 故选：． 模型6 解分式方程 典例 （2024秋•昌平区期末）解方程：． 【答案】． 【解答】解：原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．解分式方程的基本思想： 把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解． 2．检验的方法 （1）直接检验法：是将解的值分别代入原分式方程的左边和右边进行检验．直接检验法不仅能检验求得的解是不是原分式方程的解，而且能检验求得的解是否正确． （2）公分母检验法：是把求得的解代入最简公分母中进行检验，使最简公分母为0的解不是原分式方程的解．公分母检验法比较简单，因此被广泛运用． 【变式练1】　（2024秋•东城区期末）解分式方程：． 【答案】． 【解答】解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 【变式练2】　（2024秋•普陀区期末）解方程：． 【答案】． 【解答】解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解． 【变式练3】　（2024秋•河北区期末）解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）无解； （2）． 【解答】解：（1）， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 则是分式方程的增根， 故原方程无解； （2）， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故是原方程的解． 模型7 分式方程的增根问题 典例 （2024春•成都校级期中）若关于的分式方程有增根，则的值是　　 A． B．0 C．3 D．0或3 【答案】 【解答】解：分式方程有增根， ， 原方程去分母可得：， 把代入可得：， 解得：． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．增根的概念： 分式方程转化为整式方程，是整式方程的解，且使分式方程的分母等于0的未知数的值，就叫做分式方程的增根． 2．有增根求参数的方法： （1）求使分母为零的未知数的值（有几个是几个） ； （2）把分式方程转化为整式方程； （3）逐个把增根带入整式方程，分别求参数的值． 3．分式方程的增根必须满足两个条件： （1）增根是最简公分母为0； （2）增根是分式方程化成的整式方程的根． 【变式练1】　（2024春•大观区校级期末）若关于的分式方程有增根，则的值为　　 A．2 B．1 C．3 D． 【答案】 【解答】解： 去分母得：， 分式方程有增根， ，即， 把代入整式方程得：， 解得：， 故选：． 【变式练2】　（2024秋•沧县期中）如果关于的分式方程有增根，则的值为　　 A． B．3 C． D． 【答案】 【解答】解：原分式方程去分母得：， 解得， 原方程有增根， ， ， ， 故选：． 【变式练3】　（2024秋•双辽市期末）关于的分式方程有增根，则　　． 【答案】． 【解答】解：去分母，得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程，可得：， 解得：． 故答案为：． 模型8 分式方程的参数问题 典例 （2024秋•河北区校级期末）若关于的方程的解为非负整数，则所有符合条件的正整数的和为　　． 【答案】9． 【解答】解：， ， ， 该方程的解为非负整数，且，即， 且， 解得：且， 符合条件的正整数有2、3、4， ． 故答案为：9． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 角度1：已知分式方程的解求字母参数的值． 角度2：根据分式方程解的情况求字母参数的取值范围． 角度3：分式方程无解时求字母的值． 【变式练1】　（2024秋•崇川区校级月考）关于的方程的解是负数，则的取值范围是　　． 【答案】且． 【解答】解：， 方程两边同乘，得， 解得：， 分式方程的解是负数， ， ． 由分式有意义的条件可得，即， ， 解得：， 的取值范围是且． 故答案为：且． 【变式练2】　（2024秋•新邵县校级期中）若关于的分式方程无解，则的值是 　　． 【答案】1或． 【解答】解： 去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 当时，原方程无解， ， 最简公分母， ， 当时，得， 综上的值为1或． 故答案为：1或． 【变式练3】　（2024秋•龙口市期中）若关于的分式方程无解，则的值为 　　． 【答案】． 【解答】解：方程两边都乘以，得 ， 解得， 由题意得，当，即时该方程无解， 解得， 故答案为：． 模型9 分式方程的应用 典例 （2024秋•桂阳县校级期中）有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，收获小麦，第二块使用新品种，收获小麦，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少．如果设第一块试验田每公顷的产量为 ，根据题意列出分式方程正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设第一块试验田每公顷的产量为 ，则第二块试验田每公顷的产量为，则 ， 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．分式方程的应用基本思路和方法： 一审：审清题意，弄清已知量和未知量； 二找：找出等量关系； 三设：设未知数； 四列：列出分式方程； 五解：解这个方程； 六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求； 七答：写出答案． 2．（1）在实际问题中，有时题目中包含多个等量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部（或大部分）题意的等量关系列方程． （2）在一些实际问题中，有时直接设出题中所求的未知数可能比较麻烦，可以间接地设末知数；有时设一个未知数不容易表示等量关系，可设多个未知数，即设辅助未知数． 【变式练1】　（2023秋•玉州区期末）为响应“绿色出行”的号召，小李上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小李家距上班地点，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，小李乘公交车上班平均每小时行驶　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设小李乘公交车上班平均每小时行驶 ，则他自驾车平均每小时行驶的路程，根据题意列方程， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 小李乘公交车上班平均每小时行驶， 故选：． 【变式练2】　（2024•青岛三模）甲、乙两港口相距50千米，一艘轮船从甲港口顺流航行至乙港口，又立即从乙港口逆流返回甲港口，共用8小时，已知水流速度为，若设该轮船在静水中的速度为 ，则可列方程为 　　． 【答案】． 【解答】解：由题意可得，该轮船在静水中的速度为 ， 顺流时间为：，逆流时间为：， 所列方程为：． 故答案为：． 【变式练3】　（2024秋•昌平区期末）学校组织同学们参观博物馆，并为每位同学租了讲解器，同学们只要带着讲解器靠近文物，讲解器中就会自动播放讲解语音．同学们有90分钟的时间选择自己感兴趣的展馆参观，甲组和乙组同学分别选择参观馆和馆，馆的文物比馆多25个，馆平均每个文物的讲解语音时长是馆的1.5倍，两组同学认真地听完了馆内所有文物的语音讲解，甲组同学按时结束参观，乙组同学提前30分钟结束参观，求馆平均每个文物的讲解语音时长． 【答案】2分钟． 【解答】解：设馆平均每个文物的讲解语音时长为分钟，则馆平均每个文物的讲解语音时长为分钟， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：馆平均每个文物的讲解语音时长为2分钟． 学科网（北京）股份有限公司 $$