精品解析：宁夏回族自治区吴忠市第二中学2024—2025学年九年级上期中考试数学试题

吴忠市第二中学2024-2025学年第一学期九年级期中考试 数 学 试 卷 答案一律填写在答题卡相应位置，否则为无效答卷 一、选择题：(共8小题，每小题3分） 1. 下列App图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的方程（a+1）x2+2x﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A. a≠﹣1 B. a＞﹣1 C. a＜﹣1 D. a≠0 3. 点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（ ） A. （﹣2，1） B. （﹣2，﹣1） C. （﹣1，2） D. （1，﹣2） 4. 已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. 4 B. 1 C. 0 D. 5. 将函数进行配方正确的结果应为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数y＝kx2－6x－9的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（ ） A. k＞－1 B. k＞－1且k≠0 C. k≥－1 D. k＜－1且k≠0 7. 在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　） A. B. =10 C. D. =10 8. 如图，在中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P从点A 出发，以每秒1cm的速度，沿ABC的方向运动，到达点C时停止．设，运动时间为t秒，则能反映y与t之间函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每小题3分） 9. 一元二次方程的根是______． 10. 点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b＝_____． 11. 菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为______． 12. 如图，将△ABC的绕点A顺时针旋转得到△AED， 点D正好落在BC边上．已知∠C=80°，则∠EAB=____________°． 13. 某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______． 14. 若抛物线向下平移两个单位长度，向左平移一个单位长度后得到抛物线，则此抛物线解析式为______ 15. 如图为二次函数图象的一部分，其对称轴为直线．若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是_______． 16. 如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小；⑤ ．其中正确的结论有______． 三、解答题（本大题共10小题，满分72分) 17. 解方程 （1） （2）． 18. 二次函数图像的顶点坐标是(-2，3)，并经过点(1，2)，求这个二次函数的函数关系式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，各顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点的对称的图形； （2）将绕点顺时针旋转得到，请在网格中画出． 20. 已知抛物线y=x2﹣2x﹣8与x轴的两个交点为A，B（A在左边），且它的顶点为P． （1）求A、B两点的坐标 （2）求△PAB的面积． 21. 在等腰中，三边分别是，，，其中，若关于的方程有两个相等的实数根，求的周长． 22. 如图，在一块长为，宽为的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽为多少？ 23. 在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）求的长度． （2）求的面积． 24. 已知二次函数中的满足下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 3 … （1）的值为 ． （2）求出这个二次函数的解析式． （3）画出这个二次函数的图象． 25. 某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱． （1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？ 26. 已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），C（﹣1，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）如图，点P是二次函数图象的对称轴上的一个动点，二次函数的图象与y轴交于点B，当PB+PC最小时，求点P的坐标； （3）在第一象限内的抛物线上有一点Q，当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴忠市第二中学2024-2025学年第一学期九年级期中考试 数 学 试 卷 答案一律填写在答题卡相应位置，否则为无效答卷 一、选择题：(共8小题，每小题3分） 1. 下列App图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，中心对称图形的定义及识别，掌握轴对称图形，中心对称图形的定义，数形结合分析是解题的关键． 根据轴对称图形“在平面内,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合, 这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴”，中心对称图形“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心”，由此即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、既不是中心对称图形也不是轴对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，不符合题意； 故选：B ． 2. 若关于x的方程（a+1）x2+2x﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A. a≠﹣1 B. a＞﹣1 C. a＜﹣1 D. a≠0 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可得a+1≠0，即可得出答案. 【详解】解：由题意得：a+1≠0， 解得：a≠﹣1． 故选A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义：只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程. 3. 点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（ ） A. （﹣2，1） B. （﹣2，﹣1） C. （﹣1，2） D. （1，﹣2） 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接写出答案． 【详解】解：点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（﹣2，1）， 故选：A． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的特征，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4. 已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. 4 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的根得，即可得． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解题的关键是掌握一元二次方程的根． 5. 将函数进行配方正确的结果应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方凑成完全平方式，把一般式转化为顶点式，即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 6. 已知二次函数y＝kx2－6x－9的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（ ） A. k＞－1 B. k＞－1且k≠0 C. k≥－1 D. k＜－1且k≠0 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线与x轴有两个不同的交点可得出一元二次方程kx2-6x-9=0有两个不相等的解，得出判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】∵二次函数y=kx2-6x-9的图象与x轴有两个不同的交点， 令y=0，则kx2-6x-9=0． ∴一元二次方程kx2-6x-9=0有两个不相等的解， ∴ ， 解得：k＞-1且k≠0． 故选：B． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，牢记“△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点”是解本题的关键． 7. 在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　） A. B. =10 C. D. =10 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象一元二次方程的应用，关键是理清题意，找对等量关系，需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制． 设有 x人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手次，且其中任何两人的握手只有一次，即可列出方程． 【详解】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手次； 依题意，可列方程为：； 故选：B． 8. 如图，在中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P从点A 出发，以每秒1cm的速度，沿ABC的方向运动，到达点C时停止．设，运动时间为t秒，则能反映y与t之间函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接PC，作PD⊥BC于D，构造直角三角形后利用相似三角形用t表示出PD、CD的长，利用勾股定理表示出y，即可确定其图象． 【详解】①连接PC，作PD⊥BC于D， ∵∠ACB=90°， ∴△BPD∽△BAC， ∴  ， ∵AP=t，AB=5cm，BC=3cm， ∴BP=5-t，AC=4cm， ∴， 解得：PD=4-，BD=3-， ∴DC=， ∵y=PC2=PD2+DC2=（4-）2+（）2=t2-+16（t＜5）， ②当5≤t≤8时， PC2=（8-t）2=t2-16t+64． 故选：A． 【点睛】本题考查的函数图象与坐标系．由y=PC2可知函数为二次函数所以C、D不正确，观察P点的运动过程可知第一次减少的过程要比增加的过程长所以A符合．故A正确． 二、填空题（共8小题，每小题3分） 9. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 10. 点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，则a=4，b=-3，从而得出a+b． 【详解】根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数， ∴a=4且b=-3， ∴a+b=1． 故答案为1 11. 菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为______． 【答案】24 【解析】 【详解】解：x2﹣14x+48=0， 则有（x-6）(x-8)=0 解得：x=6或x=8． 所以菱形的面积为：（6×8）÷2=24． 菱形的面积为：24． 故答案为：24． 【点睛】本题考查菱形的性质．菱形的对角线互相垂直，以及对角线互相垂直的四边形的面积的特点和根与系数的关系． 12. 如图，将△ABC的绕点A顺时针旋转得到△AED， 点D正好落在BC边上．已知∠C=80°，则∠EAB=____________°． 【答案】20 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，再根据等边对等角可得，然后求出，，从而得解． 【详解】解：的绕点顺时针旋转得到， ，， 点正好落在边上， ， ， ，， ， ． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟记性质并确定出是等腰三角形． 13. 某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______． 【答案】20% 【解析】 【分析】根据降价前后的价格，列式计算即可. 【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率是x， 根据题意得25×（1-x）（1-x）=16， 整理得， 解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去）； 即该药品平均每次降价的百分率是20%， 故答案为：20%． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用.根据题意正确列出方程是解题的关键. 14. 若抛物线向下平移两个单位长度，向左平移一个单位长度后得到抛物线，则此抛物线解析式为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”．先将平移后的抛物线化为顶点式，再根据向右平移一个单位，再向上平移两个单位得到原抛物线即可求解． 【详解】解：平移后的抛物线为， 原抛物线的解析式为， 故答案为：． 15. 如图为二次函数图象的一部分，其对称轴为直线．若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了利用二次函数的图象求不等式的解集，根据二次函数与不等式的关系解答即可，正确掌握二次函数与不等式的关系是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，图象与x轴一交点为, ∴图象与x轴的另一交点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，即， 故答案为：． 16. 如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小；⑤ ．其中正确的结论有______． 【答案】②③④  【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，二次函数与坐标轴的交点等知识是解题的关键． 根据二次函数图象可得二次函数图象开口向下，与轴交于正半轴可得，，由此二次函数对称轴直线为，可得，再根据二次函数图象与坐标轴的交点等知识进行判定即可求解． 【详解】解：根据图示可得，二次函数图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数对称轴直线为， ∴，故①错误； ∴当时，二次函数有最大值，最大值为，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵二次函数对称轴直线为， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，故④正确； ∵二次函数与轴有两个交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，故⑤错误； 综上所述，正确的有②③④， 故答案为：②③④ ． 三、解答题（本大题共10小题，满分72分) 17. 解方程 （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．解一元二次方程的方法有直接开平方法，配方法，因式分解法以及换元法等，解方程时，根据方程的特点选择解方程的方法是解题的关键． （1）将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解； （2）方程利用公式法求解即可； 【小问1详解】 解：． 移项得，， 配方，得，，即， 开平方，得， 解得，，； 【小问2详解】 解： ， ，， ， ， ，． 18. 二次函数图像的顶点坐标是(-2，3)，并经过点(1，2)，求这个二次函数的函数关系式． 【答案】y=-(x+2)2+3 【解析】 【分析】已知抛物线的顶点坐标，可设顶点式，然后把（1，2）代入即可得到抛物线解析式． 【详解】解：设二次函数解析式为y＝a（x＋2）2＋3， 把（1，2）代入得9a＋3＝2，解得a＝， 所以二次函数解析式为：y＝(x+2)2+3． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 19. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，各顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点的对称的图形； （2）将绕点顺时针旋转得到，请在网格中画出． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和旋转变换，解题的关键是掌握相关知识． （1）分别作出点、、的对应点、、，再依次连接即可； （2）根据旋转的性质作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知抛物线y=x2﹣2x﹣8与x轴的两个交点为A，B（A在左边），且它的顶点为P． （1）求A、B两点的坐标 （2）求△PAB的面积． 【答案】（1）A（﹣2，0），B（4，0）；（2）27 【解析】 【详解】试题分析：（1）令y=0，则有x2－2x－8＝0，解这个方程即可得A、B两点的横坐标，从而得到这两点的坐标； （2）求出抛物线顶点P坐标，再根据A、B的坐标，即可解决问题． 试题解析：（1）当y＝0时， x2－2x－8＝1， x１=4，x２=－2， ∴A（－2，0），Ｂ（4，0）， （2）y＝x2－2x－8＝（x－１）2－9， ∴P（1，－9）， ∴S＝AB×｜yＰ ｜=×[4-（-2）]×9=27. 21. 在等腰中，三边分别是，，，其中，若关于的方程有两个相等的实数根，求的周长． 【答案】的周长是 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的情况与根的判别式的关系，等腰三角形的性质及三角形三边关系定理，掌握相关知识是解题的关键．先由关于的一元二次方程有两个相等的实数根，得出根的判别式，据此求出的值；再由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长． 【详解】解：关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得：或（不合题意舍去）， ①当为底，为腰时，则，构不成三角形，此种情况不成立； ②当为底，为腰时，则，能够构成三角形， 此时的周长为：； 的周长是． 22. 如图，在一块长为，宽为的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽为多少？ 【答案】道路的宽是2米 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．设道路的宽x米，然后根据矩形的面积公式列方程即可． 【详解】解：设道路的宽x米，则， 解得：，（舍去）， 答：道路的宽是2米． 23. 在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）求的长度． （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，于是可证得是等腰直角三角形，然后根据勾股定理即可求出的长度； （2）由（1）可知是等腰直角三角形，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，进而可得，然后利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【小问1详解】 解∵是旋转得到的，，， ∴，，，， ∴是等腰直角三角形， 在中，根据勾股定理可得： ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， 由（1）可知，，，，是等腰直角三角形， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的面积公式等知识点，由旋转的性质得出是等腰直角三角形并证明是直角三角形是解题的关键． 24. 已知二次函数中的满足下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 3 … （1）的值为 ． （2）求出这个二次函数的解析式． （3）画出这个二次函数的图象． 【答案】（1）0 （2） （3） 作图如下， 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及作图，掌握对称轴直线的计算，二次函数的顶点式，待定系数法求解析式及作图方法是解题的关键． （1）根据表格信息可得二次函数的对称轴直线为，则有的函数值与的函数值相等，由此即可求解； （2）根据题意，可得顶点坐标为，运用二次函数的顶点式，待定系数法即可求解； （3）运用描点，连线的方法即可作图． 【小问1详解】 解：当时，，当时，， ∴二次函数的对称轴直线为， ∴的函数值与的函数值相等， ∴， 故答案为：0； 【小问2详解】 解：二次函数的对称轴直线为， 当时，， ∴顶点坐标为， 设二次函数解析式为， 把，代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为； 【小问3详解】 略 25. 某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱． （1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y=60+10x，（2）超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元． 【解析】 【分析】（1）根据价格每降低1元，平均每天多销售10箱，由每箱降价x元，多卖10x，据此可以列出函数关系式； （2）由利润=（售价﹣成本）×销售量，列出函数关系式，求出最大值． 【详解】（1）根据题意，得：y=60+10x， 由36﹣x≥24，得x≤12， ∴1≤x≤12，且x为整数； （2）设所获利润为W元， 则W=（36﹣x﹣24）（10x+60）=﹣10x2+60x+720=﹣10（x﹣3）2+810， ∴当x=3时，W取得最大值，最大值为810，36-x=36-3=33（元） 答：超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的实际应用问题，正确理解题意，根据相关数量关系列出函数关系式是关键． 26. 已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），C（﹣1，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）如图，点P是二次函数图象的对称轴上的一个动点，二次函数的图象与y轴交于点B，当PB+PC最小时，求点P的坐标； （3）在第一象限内的抛物线上有一点Q，当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标． 【答案】(1)y=﹣x2+2x+3；(2)P（1，2）；(3)当m=时，S最大，此时Q（，）． 【解析】 【分析】（1）把点A（3，0）、C（-1，0）代入y=-x2+bx+c中，解方程即可得到结论； （2）连结AB，与对称轴交于点P，此时PB+PC最小．根据抛物线解析式求出B（0，3），利用待定系数法求出直线AB的解析式，于是得到结论； （3）设Q（m，-m2+2m+3），△QAB的面积为S，连接QA，QB，OQ，根据S=S△OBQ+S△AOQ-S△AOB求出S与m的关系式，利用函数的性质求出m的值，进而得到结论． 【详解】（1）把点A（3，0）、C（-1，0）代入y=-x2+bx+c中， 得，解得， 则抛物线的解析式为y=-x2+2x+3； （2）连结AB，与对称轴交于点P，此时PB+PC最小． 在y=-x2+2x+3中，当x=0时，y=3，则B（0，3）． 设直线AB的解析式为y=mx+n， ∵A（3，0），B（0，3）， ∴， ∴， ∴直线AB的解析式为y=-x+3， ∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴对称轴是直线x=1． 当x=1时，y=-1+3=2， ∴P（1，2）； （3）设Q（m，-m2+2m+3），△QAB的面积为S，如图，连接QA，QB，OQ． 则S=S△OBQ+S△AOQ-S△AOB =×3m+×3（-m2+2m+3）-×3×3 =-m2+m =-（m-）2+， ∴当m═时，S最大，此时Q（，）． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，抛物线的性质，函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，三角形的面积等知识，利用数形结合与方程思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $