6.3用关系式表示变量之间的关系 教学设计 2024-2025学年北师大版数学七年级下册

《用关系式表示变量关系》教学设计 一、教学目标 1. 知识与技能目标 · 学生能深入理解用关系式表示变量之间关系的意义，明确关系式中自变量和因变量的对应关系。 · 熟练掌握根据具体情境建立变量之间的关系式，并能利用关系式进行简单的计算和预测。 2. 过程与方法目标 · 通过对实际问题的分析和探究，培养学生从具体情境中抽象出数学模型的能力，提升直观想象能力，让学生能直观地想象出变量在关系式中的变化情况。 · 经历建立关系式的过程，提高学生自主学习以及解决实际问题的能力。 3. 情感态度与价值观目标 · 体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生用数学思维思考生活现象的习惯。 · 在师生互动和小组合作中，增强学生的交流能力和团队协作精神。 二、教学重难点 1. 教学重点 · 理解并掌握用关系式表示变量关系的方法。 · 能根据实际问题准确建立变量之间的关系式，并运用关系式进行计算。 2. 教学难点 · 在复杂的实际情境中，正确分析变量之间的关系，建立恰当的关系式。 · 理解关系式中变量的取值范围以及关系式所表达的实际意义。 三、教学方法 讲授法、讨论法、探究法相结合 四、教学过程 （一）情境导入（5分钟） 1. 展示生活场景 · 教师通过多媒体展示以下生活场景： · 播放一段汽车在高速公路上行驶的视频，汽车以恒定速度行驶，随着时间的推移，行驶的路程不断增加。 · 呈现一个正在注水的圆柱形水箱，水位随着注入水的体积增加而上升。 · 展示商场促销活动的画面，商品打八折销售，随着购买商品数量的增多，所付金额也相应变化。 · 引导学生观察这些场景，思考每个场景中变量之间的变化关系。 2. 提问引发思考 · 教师提问：“同学们，在这些场景中，我们看到变量之间存在着一定的联系。比如汽车行驶场景中，时间和路程的变化有规律可循，那这种规律能否用一种数学式子来表示呢？同样，水箱注水和商场购物场景中的变量关系又该如何表示？” · 让学生自由发言，分享自己对如何表示变量关系的初步想法，从而引出本节课用关系式表示变量关系的主题。 （二）探究新知（20分钟） 1. 关系式的概念（5分钟） · 概念讲解：教师讲解关系式的概念，像用含有自变量的数学式子表示因变量的等式，就是表示变量之间关系的关系式。例如，在汽车以千米/小时的速度匀速行驶的情境中，设行驶时间为小时，行驶路程为千米，那么与的关系式为，其中是自变量，是因变量。 · 举例强化：教师再举一些简单例子，如正方形的边长为，周长与边长的关系式为，面积与边长的关系式为。让学生明确在这些关系式中，自变量和因变量分别是什么，加深对关系式概念的理解。 2. 建立关系式的方法（10分钟） · 实例分析：以注水的圆柱形水箱为例，假设水箱底面半径为米，设注入水的体积为立方米，水位高度为米。教师引导学生思考圆柱体积公式，在这个情境中，是常量，所以与的关系式为。教师详细讲解从实际情境到建立关系式的过程，强调要先分析变量之间的内在联系，再利用已有的数学知识（如公式等）来建立关系式。 · 小组讨论：将学生分成小组，讨论商场商品打八折销售的场景。设商品原价为元，购买数量为件，所付金额为元，让学生尝试建立与、之间的关系式。每个小组推选一名代表发言，分享小组讨论得出的关系式。教师对各小组的讨论结果进行点评，强调建立关系式时要准确把握变量之间的数量关系。 · 总结方法：教师引导学生总结建立关系式的一般方法：首先确定变化过程中的自变量和因变量，然后分析变量之间的内在联系，找到相关的数学知识或实际规律，最后用数学式子表示出因变量与自变量之间的关系。 3. 利用关系式进行计算（5分钟） · 教师引导学生再次看汽车行驶的关系式，提问：“如果汽车行驶了小时，行驶的路程是多少呢？”让学生将代入关系式中进行计算，得出千米。 · 教师进一步提问：“如果汽车行驶的路程是千米，行驶时间是多少呢？”引导学生将代入关系式，通过解方程，得出小时。通过这两个计算，让学生明白如何利用关系式，已知自变量的值求因变量的值，以及已知因变量的值求自变量的值。 （三）例题讲解（10分钟） 1. 例1：三角形面积问题（3分钟） · 题目：已知三角形的底边长为厘米，设高为厘米，面积为平方厘米。 · 讲解：教师引导学生回顾三角形面积公式（为底边长），在本题中，所以与的关系式为。教师提问：“当高厘米时，面积是多少？”让学生将代入关系式计算，得出平方厘米。通过这个例题，让学生巩固建立关系式以及利用关系式计算的方法。 2. 例2：话费计算问题（4分钟） · 题目：某手机套餐的收费标准是：每月固定月租费元，每分钟通话费用元。设每月通话时间为分钟，每月总话费为元。 · 讲解：教师引导学生分析，每月总话费由固定月租费和通话费用组成，通话费用为元，所以与的关系式为。教师提问：“如果某用户一个月通话分钟，他的总话费是多少？”学生计算元。教师进一步提问：“如果该用户一个月总话费是元，他的通话时间是多少分钟？”引导学生将代入关系式，解方程可得，分钟。通过这个例题，让学生学会在实际的话费计算情境中建立和运用关系式。 3. 例3：销售利润问题（3分钟） · 题目：某商店购进一批商品，每件进价为元，售价为元，设销售量为件，总利润为元。已知销售量与售价满足。 · 讲解：教师引导学生分析总利润的计算方法，总利润等于每件的利润乘以销售量，每件利润为元，所以与的关系式为，展开可得。教师提问：“当售价元时，总利润是多少？”学生将代入关系式计算，元。通过这个例题，让学生学会在复杂的销售利润情境中建立和运用关系式，提高学生分析和解决问题的能力。 （四）课堂练习（15分钟） 1. 基础练习 · 一个长方形的长为厘米，设宽为厘米，周长为厘米，面积为平方厘米。 · 写出与的关系式。 · 写出与的关系式。 · 当宽厘米时，分别计算周长和面积的值。 · 某城市的出租车起步价为元（千米以内），超过千米后，每千米收费元（不足千米按千米计）。设行驶路程为千米（），车费为元。 · 写出与的关系式。 · 若行驶路程千米，车费是多少？ · 若车费元，行驶路程是多少千米？ · 某工厂生产一种产品，每件成本为元，售价为元。设生产数量为件，总利润为元。 · 写出与的关系式。 · 若要获得元的利润，需要生产多少件产品？ 2. 提高练习 · 一个圆柱的高为厘米，设底面半径为厘米，体积为立方厘米。 · 写出与的关系式（取）。 · 当底面半径厘米时，计算圆柱体积。 · 若圆柱体积立方厘米，求底面半径的值。 · 某商场举办促销活动，一种商品的原价为元，现在按原价的销售，同时购买数量与销售额之间满足。 · 写出现在该商品的售价与购买数量的关系式。 · 当购买数量件时，销售额是多少？此时商品的售价是多少？ · 若销售额元，购买数量是多少？商品的售价是多少？ · 某农户种植水稻，水稻的亩产量（千克）与施肥量（千克/亩）之间的关系满足。 · 当施肥量千克/亩时，水稻亩产量是多少？ · 为了使水稻亩产量达到千克，施肥量应为多少？ 3. 拓展练习 · 某游泳馆推出两种收费方式：方式一，成人票每张元，儿童票每张元；方式二，办一张月卡元，当月凭卡游泳，成人和儿童票价均为元。设一个月内游泳次，成人游泳次，儿童游泳次。 · 分别写出两种收费方式下的费用、与、、的关系式。 · 当一个月内成人游泳次，儿童游泳次时，哪种收费方式更合算？ · 若一个月内成人和儿童游泳总次数为次，如何安排成人和儿童的游泳次数，使得方式二比方式一更合算？ · 某公司生产一种产品，每年的固定成本为元，每生产件产品，成本增加元。设年产量为件，产品的售价为元/件，且。 · 写出总成本与年产量的关系式。 · 写出总销售额与年产量的关系式。 · 当产量为多少时，公司的利润最大？最大利润是多少？（利润 = 总销售额 - 总成本） （五）课堂小结（5分钟） 1. 引导回顾：教师引导学生回顾本节课所学内容，提问：“今天我们学习了用关系式表示变量关系，哪位同学能说一说建立关系式的步骤，以及如何利用关系式进行计算？” 2. 学生总结：学生发言，总结建立关系式的方法，包括确定变量、分析关系、列出式子，以及利用关系式已知自变量求因变量或已知因变量求自变量的计算方法，分享自己在学习过程中的收获和困惑。 3. 教师补充：教师对学生的总结进行补充和完善，强调重点知识和易错点，如建立关系式时要准确分析变量关系，注意变量的取值范围；利用关系式计算时要仔细代入和计算等，进一步加深学生对本节课知识的理解。 （六）布置作业 1. 书面作业 · 一个梯形的上底为厘米，下底为厘米，设高为厘米，面积为平方厘米。 · 写出与的关系式。 · 当高厘米时，求梯形的面积。 · 若梯形面积平方厘米，求高的值。 · 某电信公司手机通话收费标准是：本地通话前分钟共收费元，超过分钟后每分钟收费元（不足分钟按分钟计）。设本地通话时间为分钟（），通话费用为元。 · 写出与的关系式。 · 若通话时间分钟，通话费用是多少？ · 若通话费用元，通话时间是多少分钟？ · 某商店购进一批商品，每件进价为元，售价为元，设销售量为件，已知销售量与售价之间的关系为。 · 写出总利润与售价的关系式。 · 当售价元时，求总利润的值。 · 当总利润元时，求售价的值。 2. 拓展作业 · 观察生活中某两个变量之间的关系，比如随着月份变化，当地的平均气温变化情况；或者随着行驶里程增加，出租车费用的变化等。收集相关数据，尝试建立它们之间的关系式，并根据关系式进行简单的预测，将整个过程记录下来，形成一篇小报告。 · 假设你要制作一个无盖的长方体盒子，现有边长为厘米的正方形硬纸板，在四个角上各剪去一个边长为厘米的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子。 · 写出这个长方体盒子的容积与的关系式（用含的代数式表示）。 · 当厘米时，计算盒子的容积。 · 思考的取值范围是多少，并说明原因。 （七）教学反思 在本次《用关系式表示变量关系》的教学过程中，通过多样化的生活场景导入，成功激发了学生的学习兴趣和探究欲望，让学生迅速进入学习状态，感受到数学与生活的紧密联系。在探究新知环节，通过详细的概念讲解、丰富的实例分析以及小组讨论活动，引导学生逐步理解并掌握用关系式表示变量关系的方法，大部分学生能够积极参与到课堂互动中，展现出较强的自主学习能力。 然而，在教学过程中也暴露出一些不足之处。在建立关系式的教学部分，尽管通过多个实例进行了讲解，但部分学生在面对复杂的实际情境时，分析变量关系并建立正确关系式仍存在困难。这可能是由于在实例讲解时，未能充分引导学生深入剖析变量之间的内在联系，导致学生在独立解决问题时，难以准确把握关键信息。在今后的教学中，应增加对复杂情境问题的分析引导，给予学生更多自主思考和讨论的时间，培养学生分析问题的能力。 在利用关系式进行计算的环节，部分学生在代入数值计算时容易出现粗心错误，这反映出学生对计算的重视程度和细心程度有待提高。后续教学中，需要加强对计算准确性的要求，并通过针对性练习，让学生养成认真计算和检查的习惯。 此外，在课堂时间把控上，由于对学生讨论环节的时间预估不够精准，导致最后的课堂小结略显仓促，未能充分让学生分享自己在学习过程中的全面收获和疑问。在今后的教学中，我将更加合理地安排教学环节的时间，确保每个教学环节都能达到预期效果，同时给予学生足够的时间进行总结和反馈，以便更好地了解学生的学习情况，及时调整教学策略。 学科网（北京）股份有限公司 $$