第三章 图形的平移与旋转（8大题型68题）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（北师大版）

第三章 图形的平移与旋转 内容导航 知识点…………………………………………………………………………………2 类型一、图形平移的性质和应用……………………………………………………2 类型二、平面直角坐标系中的平移问题……………………………………………20 类型三、平移中的最值问题…………………………………………………………39 类型四、图形旋转的性质和应用……………………………………………………49 类型五、平面直角坐标系内的旋转问题……………………………………………82 类型六、图形旋转中的最值探究…………………………………………………106 类型七、图形旋转的规律探究……………………………………………………131 类型八、一次函数的平移与旋转问题……………………………………………138 知识点1．图形的平移 1、平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。 平移后，新图形与原图形的形状和大小完全相同。 2、平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 3、平移性质:平移前后两个图形中①对应点的连线平行（或共线）且相等；②对应线段相等③对应角相等 知识点2．图形的旋转 1、旋转 把一个平面图形绕着平面内的一点O转动一个角度。 2、旋转三要素 旋转中心、旋转方向、旋转角度 3、性质 ①对应点到旋转中心的距离相等 ②对应点到旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 ③旋转前后的图形全等 知识点3．中心对称 1、定义把一个图形绕着某一点O旋转180度，如果它能够与另一个图形重合，这两个图形关于这个点对称或中心对称 2、性质 ①对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心所平分 ②中心对称的图形是全等图形 3、中心对称图形 把一个图形绕着某一点O旋转180度后能与原图形重合 4、关于原点对称的坐标特征 P(x，y)→P（-x，-y） 类型一、图形平移的性质和应用 1．综合与实践——探索图形平移中的数学问题： 问题情境：如图1，已知是等边三角形，，点是边的中点，以为边，在外部作等边三角形． 操作探究：将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点、、的对应点分别为点、、； （1）如图2，善思小组的同学画出了时的情形，求此时平移的距离． （2）如图3，点是的中点，在平移过程中，连接交射线于点，敏学小组的同学发现始终成立，请你证明这一结论． 拓展延伸： （3）在平移的过程中，直接写出以、、为顶点的三角形成为直角三角形时，平移的距离是 ．    【答案】（1）；（2）见解析；（3）6或12 【分析】（1）连接，由是等边三角形，，点是边的中点，得，，根据平移可得，即可得，故平移的距离为； （2）证明，即可得； （3）分两种情况：当与重合时，可得，即以，，为顶点的三角形成为直角三角形，此时，即平移的距离是6；当时，可得，故平移的距离是12． 【详解】解：连接，如图   是等边三角形，，点是边的中点， ，， 将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点、、的对应点分别为点；；； ； ，， ， 平移的距离为； （2）证明：如图   是等边三角形，， ，， 将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点，，的对应点分别为点，，； ，； 是等边三角形，，点是边的中点， ，， ，， ， ， ； （3）当与重合时，如图   是等边三角形， ， ， ， ，即以，，为顶点的三角形成为直角三角形， 此时， 平移的距离是6； 当时，如图    ， ， ， ， ， 由（2）知， ， ， 平移的距离是12； 综上所述，以，，为顶点的三角形成为直角三角形时，平移的距离是6或12． 故答案为：6或12． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形的性质及应用，全等三角形的判定与性质，平移变换，分类讨论． 2．联想与探索： 如图1,将线段A1A2本向右平移1个单位长度至B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分)，在图2中，将折线A1A2A3向右平移1个单位长度至B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1(即阴影部分). (1)在图3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示； (2)请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积(设长方形水平方向长均为a,竖直方向长均为b) ：S1= ，S2= ，S3= ; (3)如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的小路(小路任何地方的水平宽度都是2个单位长度，长方形水平方向长为a,竖直方向长为b)，则空白部分表示的草地面积是多少？ (4)如图5，若在(3)中的草地上又有一条横向的曲小路(小路任何地方的宽度都是1个单位长度），则空白部分表示的草地面积是多少？ 【答案】 (1)见解析；(2)a(b-1)，a(b-1)，a(b-1)；(3) b(a-2)；(4)（a-2)(b-1)． 【分析】（1）根据题意，直接画图即可，注意答案不唯一，只要画一条有两个折点的折线，得到一个封闭图形即可． （2）结合图形，根据平移的性质可知，图1图2图3中空白部分的面积都可看作是以a﹣1为长，b为宽的长方形的面积． （3）结合图形，通过平移，空白部分可平移为以a﹣2米为长，b米为宽的长方形，根据长方形的面积可得草地部分所占的面积． （4）结合图形可知，空白部分所占的面积=（a﹣2）米为长，(b﹣1)米为宽的长方形的面积． 【详解】（1）画图如下： （2）S1=ab﹣b，S=ab﹣b，S2=ab﹣b，S3=ab﹣b 理由：1．将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；2．将左侧的草地向右平移一个单位；3．得到一个新的矩形．在新得到的矩形中，其纵向宽仍然是b．其水平方向的长变成了a﹣1，所以草地的面积就是：b（a﹣1）=ab﹣b． （3）∵纵向小路任何地方的水平宽度都是2个单位，∴空白部分表示的草地面积是（a﹣2）b； （4）∵纵向小路任何地方的水平宽度都是2个单位，横向小路任何地方的宽度都是1个单位，∴空白部分表示的草地面积是（a﹣2)(b﹣1)． 【点睛】本题考查了利用平移设计图案，用到的知识点是矩形的性质和平移的性质，能利用平移的性质把不规则的图形拆分或拼凑为简单图形来计算草地的面积是解题的关键． 3．某同学在一次课外活动中用硬纸片做了两个直角三角形，中，，，．中，，，．该同学将的直角边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动，在移动过程中，D、E两点始终在边上． (1)当移动至什么位置，即的长为多少时，F、C的连线与平行？ (2)当移动至什么位置，即的长为多少时，以线段、、的长为三边长的三角形是直角三角形？ (3)在的移动过程中，是否存在某个位置，使得？如果存在，求出的长；如果不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析． 【分析】本题主要考查平移的性质以及勾股定理的应用，结合已知条件应用相关性质解题即可． （1）因为，，所以，又因为，，，所以，连接，设，则可求证，故的长可求； （2）设，则，再分情况讨论∶为斜边；为斜边；为斜边，综合分析即可求得的长； （3）假设，因为，作的平分线，交于点P，则，所以，，则的值大于边长12，故不存在． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵中，，， ∴， 如图1，连接， 当时， ， ∴ ∴ ∴ ∴当时，． （2）设，在中， 当为斜边时， 由得， 解得：， 当为斜边时，由 得， 解得： ∵ ∴， ∴（不合题意舍去） 当为斜边时，由 得， ， 整理得出∶ ∵ ∴此方程无解， 综上所述：当时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形． （3）不存在这样的位置，使得 理由如下∶ 假设（如上图2） ∵ 作的平分线，交于点P， 则，， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴ ∴不存在这样的位置，使得． 【点睛】本题考查的是平移的性质、勾股定理的应用，以及角平分线的性质，平行的性质等等知识点，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键，解答时，注意勾股定理的应用和正确解出一元二次方程． 4．如图 1，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，． (1)请说明的理由． (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①如图 2，当时，求的度数； ②在整个运动中，当时，求的度数． ③在整个运动中，之间的等量关系为： ．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)①；②或；③或或． 【分析】本题主要考查了平移的性质、平行线的判定和性质等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，等量代换得到，再根据平行线的判定定理即可证明结论； （2）①如图2，过D作交于F，根据平行线的性质即可得到结论；②如图3：过D作交于F，根据平行线的性质即可得到结论．③结合①②即可得在整个运动中，之间的等量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解： ①如图2，过D作交于F， ∵线段沿着直线平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，如图3：过D作交于F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵,即, ∴，解得：； 如图4，过D作交于F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴； 综上所述，或； ③如图3，∵， ∴， ∴，即； 如图4，∵， ∴， ∴，即； 同理，当在下方时，． 综上所述，或或． 故答案为：或∠EDQ=∠Q−∠E或 5．如图1，在中，，，点为边的中点，（点在点的右侧），线段初始时与线段重合，将线段沿射线平移，连接. (1)________°； (2)当时，若，则________°； 当时，若当时，则________°； (3)如图2，连接，在线段平移的过程中，，与的角平分线所在的直线相交于点，请你用含有的代数式直接写出的度数. 【答案】(1) (2)；60 (3)或 【分析】本题考查了平移的性质、三角形的内角和、平行线的性质、角平分线的性质： （1）根据平移的性质及平行线的性质即可求解； （2）①由（1）得，根据即可求解； ②由（1）得，根据即可求解； （3）由平移的性质得：，，进而可得，再根据角平分线的性质得，，分两种情况即可求解； 熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ， 根据平移得：， ， ， 故答案为：． （2）①如图： 根据平移得：， ， ， ， ， ， ， ②，， ， 根据平移得：， ， ， 当时， ， ， ， 又， 即：， 解得：， 故答案为：10；60． （3）由平移的性质得：，， ，，， ， 由（1）得：， ，， 当点P在上时，如图：与相交于， 、分别是和的角平分线，且， ，， 由图可得：无论怎样平移，始终为的一个内角， ， ， ． 当点在点上时， 如图： 、分别是和的角平分线，且，， ，， ， ， 综上，的度数为：或． 6．如图，直线，直线与、分别交于点G、，．小新将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线、上，，； (1)填空： °； (2)若，的角平分线交直线于点O． ①如图②，当时，求α的度数； ②小新将三角板向右平移，直接写出的度数（用含a的式子表示）． 【答案】(1)90 (2)①；②或 【分析】本题考查平移，平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据平行线的性质得出即可； （2）①根据平行线的性质得出，根据，得出，根据角平分线定义得出，根据平行线的性质得出，即可求出求的度数； ②分两种情况进行讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：如图①，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：①，， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ； ②， ， 是的角平分线， ， ， 当点在点左侧时， ， ， ， ， ； 当点在点右侧时， ， ， ， ， 综上可知，的度数为或． 7．如图，在中，，线段是由线段平移得到的，点在边上，以为边构造，使，．过点作，垂足为，延长交于点． (1)如图，若点恰好在的延长线上，此时点与点A重合，点与点重合． ①求证：； ②若，，求的长； (2)如图，当点与点重合时，连接，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平移的性质、勾股定理等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）①由“”可证；②由平移的性质可得，然后运用勾股定理可求解即可； （2）由“”可证可得，再证明可得，通过证明，可得，然后根据等腰直角三角形的性质可求解即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ②∵， ∴， ∵线段EF是由线段AB平移得到的， ∴， ∴， ∵ ∴ ； （2）解：∵线段是由线段平移得到的， ∴， 如图：连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 类型二、平面直角坐标系中的平移问题 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在轴正半轴上，且，将线段平移至线段，点的对应点为点，点的对应点为点，连接是轴上一动点．    (1)点的坐标是________，点的坐标是________；与的关系是________； (2)当三角形的面积是三角形的面积的3倍时，求点的坐标； (3)若，，，判断，，之间的数量关系，简要叙述所得结论，不必证明． 【答案】(1)，，， (2)或 (3)当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时， 【分析】（1）由点，可得，即可得出点的坐标，由平移的性质可以得出点的坐标和与的关系； （2）由可得，是等高三角形，得到，由，得到，分两种情况：当点在线段上时，②当点在的延长线上时，分别求解即可得到答案； （3）分三种情况：当点在线段上时；当点在的延长线上时；当点在的延长线上时，分别求解即可得到答案． 【详解】（1）解：点，， ， ， ， ， 由平移的性质可得：，， ， 点可以看成点向右平移4个单位长度，点可以看成点向右平移4个单位长度， 可以看成向右平移4个单位长度， ， 故答案为：，，，； （2）解：∵， ∴，是等高三角形， ∴， ∵， ∴， 当点在线段上时，， ∴， ∴， ∴； ②当点在的延长线上时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的点的坐标为或； （3）解：如图，当点在线段上时，，    ， 理由：过点作， ，， ， ， ， 如图，当点在的延长线上时，，    ， 理由：过点作， ，， ， ， ； 如图，当点在的延长线上时，，    ， 理由：过点作， ，， ， ， ， 综上所述：当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时，． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、平移的性质、平行线的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是采用分类讨论的思想解题，属于中考常考题型． 9．对于平面直角坐标系xOy中的图形G和图形G上的任意点P（x，y），给出如下定义： 将点P（x，y）平移到P'（x+t，y﹣t）称为将点P进行“t型平移”，点P'称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平移”．例如，将点P（x，y）平移到P'（x+1，y﹣1）称为将点P进行“l型平移”，将点P（x，y）平移到P'（x﹣1，y+1）称为将点P进行“﹣l型平移”． 已知点A （2，1）和点B （4，1）． （1）将点A （2，1）进行“l型平移”后的对应点A'的坐标为　 　． （2）①将线段AB进行“﹣l型平移”后得到线段A'B'，点P1（1.5，2），P2（2，3），P3（3，0）中，在线段A′B′上的点是　 　． ②若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是　 　． （3）已知点C （6，1），D （8，﹣1），点M是线段CD上的一个动点，将点B进行“t型平移”后得到的对应点为B'，当t的取值范围是　 　时，B'M的最小值保持不变． 【答案】（1）（3，0）；（2）①P1；②或；（3） 【分析】（1）根据“l型平移”的定义解决问题即可． （2）①画出线段A1B1即可判断． ②根据定义求出t 最大值，最小值即可判断． （3）如图2中，观察图象可知，当B′在线段B′B″上时，B'M的最小值保持不变，最小值为． 【详解】（1）将点A （2，1）进行“l型平移”后的对应点A'的坐标为（3，0）， 故答案为：（3，0）； （2）①如图1中，观察图象可知，将线段AB进行“﹣l型平移”后得到线段A'B'，点P1（1.5，2），P2（2，3），P3（3，0）中， 在线段A′B′上的点是P1， 故答案为：P1； ②若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是﹣4≤t≤﹣2或t=1． 故答案为：﹣4≤t≤﹣2或t=1． （3）如图2中，观察图象可知，当B′在线段B′B″上时，B'M的最小值保持不变，最小值为，此时1≤t≤3． 故答案为：1≤t≤3． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，“t型平移”的定义等知识，解题的关键理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考创新题型． 10．问题呈现：在平面直角坐标系中，，，，点与原点重合．连，．点为线段上一动点（不与点，重合），点横坐标为．四边形沿方向平移，使点与点重合，得对应四边形，交轴于点，如图． （1）求四边形的面积； 数学思考：（2）若，按要求完成以下问题： ①直接写出点，，的坐标； ②求阴影部分（六边形）的面积． 拓展延伸：四边形内有任一点，当四边形沿方向自点向点运动．直接写出四边形的面积（用的式子表示）． 【答案】问题呈现：（1）； 数学思考：（2）①，，；②； 拓展延伸： 【分析】问题呈现：（1）根据题意确定，，的值，然后根据梯形面积公式求解即可； 数学思考：（2）①首先根据点的坐标确定平移方式，然后根据平移的性质确定点，，的坐标；②结合点，，的坐标，易得，，，进而求得四边形的面积，然后计算阴影部分面积即可； 拓展延伸：分别过作轴的垂线，垂足为，首先证明，结合点横坐标为及平移的性质，可得，，，，然后根据梯形面积公式求解即可． 【详解】解：问题呈现： （1）由题意可得，，，， ∴，，，且， ∴四边形的面积； 数学思考： （2）①∵，， ∴根据平移的性质，可得，，； ②∵，， ∴，，， ∴， ∴； 拓展延伸： 如下图，分别过作轴的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据题意，点横坐标为， 根据平移的性质，， 则，，， ． 【点睛】本题主要考查了平移的性质、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、平行的性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，且，满足．现将线段先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到线段，其中点的对应点为，点的对应点为，连接，． (1)求点，，，的坐标． (2)若是线段上的一个动点，是线段上的一个定点，连接，，当点在线段上移动时（不与点，重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由． (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着轴向上运动，设运动时间为 ．问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于若存在，请求出的值和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 (3)， 【分析】（1）根据非负数的性质求得的值，从而求得点的坐标，根据平移的性质即可求得的坐标； （2）过点.作直线，根据平行线的性质与判定即可得证； （3）根据题意先求得四边形的面积为28，进而可知点在点下方，结合图形可知，根据建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ，， 线段先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段，其中点对应点为，点对应点为， ， （2），理由如下， 如图，过点.作直线， ， 是由平移得到的， ， ， ， （3），， ， 四边形的面积为， 四边形的面积等于， 点在点下方，如图， 从点出发，以每秒个单位的速度沿着轴向上平移运动，设运动时间为秒 ， ， ， ， 解得， 此时， ． 【点睛】本题考查了非负数的性质，平移的性质，坐标与图形，平行线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，，，，，．    (1)如果四边形是长方形，请画出该长方形，并直接写出点的坐标； (2)将长方形向右平移个单位长度，得到长方形． ①当点落在线段上时，结合图形直接写出此时的值； ②横、纵坐标都是整数的点叫做整点，如果长方形和三角形重叠区域（不含边界）内恰好有3个整点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)画图见解析， (2)①；②或 【分析】（1）如图所示，根据题中所给，，及四边形是长方形，即可作出长方形，并得到点的坐标； （2）①将长方形向右平移个单位长度，得到长方形，当点落在线段上时，如图所示，线段过，列方程求解即可得到答案；②根据图形平移，结合长方形和三角形重叠区域（不含边界）内恰好有3个整点，作出图形，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，在图中标出，，，结合四边形是长方形，如图所示：    ； （2）解：①将长方形向右平移个单位长度，得到长方形，当点落在线段上时，如图所示：    ，即，解得； ②将长方形向右平移个单位长度，得到长方形，如图所示：    内部区域（不含边界）内有9个整点， 当长方形和三角形重叠区域右边界在过点且垂直于轴的直线上时，，如图所示：    长方形和三角形重叠区域（不含边界）内恰好有3个整点，的取值范围为； 当长方形和三角形重叠区域左边界在过点且垂直于轴的直线上时，，如图所示：    长方形和三角形重叠区域（不含边界）内恰好有3个整点，的取值范围为； 综上所述，如果长方形和三角形重叠区域（不含边界）内恰好有3个整点，的取值范围为或． 【点睛】本题考查坐标与图形，涉及图形平移，掌握平移法则，数形结合是解决问题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，，过点作轴，过点作轴，交点为，且，满足，，满足．      (1)求出，，三点的坐标； (2)将进行适当的平移得到，使平移后的的顶点落在轴上，顶点落在轴上，在平面直角坐标系中画出相应的，并直接写出点，的坐标； (3)在（2）的条件下，点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，，两点分别从点、点同时出发，点以每秒2个单位长度的速度从点沿线段向点运动，点以每秒1个单位长度的速度从点沿线段向点运动，设点，的运动时间为秒，当线段的长为2时，求出点与点的坐标． 【答案】(1)，， (2)图见解析，， (3)，或， 【分析】（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，进行求解可得，，，，根据平行线的性质即可求得； （2）根据（1）中求得的，，结合平移后的的顶点落在轴上，顶点落在轴上，即可得到向右平移6个单位，向上平移5个单位，即可求解； （3）根据点，相遇前和相遇后进行分类讨论即可， 【详解】（1）解：∵，， 且，，，， ∴，，，， ∴，， ∵轴，轴， ∴． （2）解：如图所示：          由（1）中可知：，， ∵平移后的的顶点落在轴上，顶点落在轴上， ∴点向右平移6个单位，向上平移5个单位得到点， 点向右平移6个单位，向上平移5个单位得到点, ∴，． （3）解：∵， ∴， ∴，，， 当点，未相遇时， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点，相遇后， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，，或，． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，平行线的性质，平移的性质，动点问题，熟练掌握算术平方根的非负性，绝对值的非负性是解题的关键． 14．对于平面直角坐标系中的图形和图形上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点进行“型平移”，点称为将点进行“型平移”的对应点；将图形上的所有点进行“型平移”称为将图形进行“型平移”．例如，将点平移到称为将点进行“1型平移”，将点平移到称为将点进行“型平移”．已知点和点． (1)将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为______． (2)①将线段进行“型平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是______． ②若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，则的取值范围是______． (3)已知点，，点是线段上的一个动点，将点进行“型平移”后得到的对应点为，当的取值范围是多少时，的最小值保持不变，并直接写出此最小值． 【答案】(1) (2)①，  ②或 (3)当的取值范围是，的最小值保持不变，最小值为 【分析】本题主要考查平移变换、“型平移”的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用图象法解决问题. （1）根据“型平移”定义求解即可； （2）①画出线段即可判断； ②分与轴由公共点和与轴有公共点两种情况得到临界值，进而求出的取值范围； （3）根据网格特点，得到点在线段上时满足条件，结合“型平移”的定义即可求解. 【详解】（1）将点进行“型平移”后的对应点的坐标为； 故答案为: ； （2）①将线段进行” 型平移”后得到线段，的坐标为，坐标是， 点，，中，在线段上的点是，， 故答案为： ，； ②点进行“型平移”后对应点的坐标为， 点进行“型平移”后对应点的坐标为， 当线段进行“型平移”后与轴有公共点时, ，解得：； 当线段进行“型平移”后与轴有公共点时, ， 解得：； 综上，若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，则的取值范围为：或； （3）当点在点时, 结合“型平移”的定义和方格特点可知，当时, 最小，要使的最小值保持不变，则过点作 如图， 观察图象可知， 当在线段上时，的最小值保持不变，此时 15．如图，在平面直角坐标系中，点，，且满足，． (1)如图，将线段平移至，点的对应点为，连接、． ①点的坐标为________； ②求面积是多少？ (2)如图，点，轴于，点以每秒个单位长度的速度从出发向运动，同时另一动点以每秒个单位长度的速度从出发，在射线上运动，当点运动到时两点都停止运动，当时，求运动时间的值（单位：秒）． 【答案】(1)；； (2)或． 【分析】（）利用非负数的性质求出的值，可得点坐标，再根据点坐标的变化即可求出点的坐标；如图，作长方形，根据即可求解； （）过点作于，利用三角形面积求出，即可得，再分点在线段上和点在的延长线上两种情况解答即可求解； 本题考查了非负数的性质，利用平移的性质求点的坐标，三角形的面积，一元一次方程的应用，掌握非负数的性质及应用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵将线段平移至，点的对应点为， ∴线段先向左移动个单位长度，再向上移动个单位长度， ∴点的坐标为，即， 故答案为：； 解：如图，作长方形， 则 ， ； （2）解：过点作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴轴， ∵轴， ∴，， ∴， 当点在线段上时，， ∴， ∵， ∴， 解得； 当点在的延长线上时，， ∴， ∵， ∴， 解得； 综上，的值或． 类型三、平移中的最值问题 16．如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，分如图，当点在上时，当点在延长线上时，两种情况种又分当时，当时，过点作，证明，得到，再通过角之间的关系建立方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作，    ∵由平移得到， ， ∵，， ， ， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在延长线上时，过点作，    同理可得， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 由于，则这种情况不存在； 综上所述，的度数可以为18度或36度或108度， 故选：C． 17．如图，是边长为2的等边三角形，将沿直线翻折，得到，再将在直线上平移，得到．连接，则的周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折，平移的性质，等边三角形的性质以及菱形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．作关于点的对称点，交于点，连接，利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：作关于点的对称点，交于点，连接， 由题意可知，将沿直线翻折，得到，再将在直线上平移，得到， 的周长的最小值转化为周长的最小值， 当三点共线时，最小为的长， 均为等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ， ， 在中，， 周长的最小值为， 故的周长的最小值为． 故答案为：． 18．如图，在边长为4的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，延长到点，使得，连接，证明当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为，是等边三角形，，边长为4，则，，则，，由勾股定理得到，即可得到的最小值． 【详解】解：如图，连接，延长到点，使得，连接，    ∵沿射线平移，得到， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵是等边三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为， ∵是等边三角形，，边长为4， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质、平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 19．如图，为等腰直角三角形，，点在的延长线上，且，将沿方向平移得到，连接，，则的周长的最小值为 ．      【答案】 【分析】作点关于点的对称点，连接、、、，由平移的性质可得：，，证明得到，由对称的性质可得：，，推出，，则，当、、在同一直线上时，的值最小，为，根据等腰直角三角形的性质及三角形内角和定理得出，由勾股定理计算出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，作点关于点的对称点，连接、、、，   ， 由平移的性质可得：，， ， ， ， ， ， 由对称的性质可得：，， ，， ， 当、、在同一直线上时，的值最小，为， 为等腰直角三角形，， ， ， 在中，，，， ， 的最小值为， 的周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短、平移的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造三角形全等是解此题的关键． 20．如图，在边长为的正方形网格纸中，三角形的顶点都在格点上． (1)三角形经过平移后变为三角形，其中点的对应点为，画出三角形； (2)已知，若点是线段上任意一点，连接，则线段CM长度的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】(1)作图见详解 (2)， 【分析】本题考查了平移变换，勾股定理的应用，垂线段最短，解题的关键是掌握平移的性质． （1）直接利用平移的性质得到对应点的位置，然后依次连接即可． （2）点到线段的垂线段最短，作，交于点，过点作的垂线，垂足为点，根据勾股定理可得和的值，利用，可求出最小值为，根据，当点与点重合时，最大为，即最大值为， 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求： （2）∵点到线段的垂线段最短， 故作，交于点， ∴此时最小， 过点作的垂线，垂足为点，如图所示， 由图可得，，，， 根据勾股定理可得， ∴， 代入数值可得， 解得：， 即最小值为． ∵，， ∴， 所以当点与点重合时，最大为，即最大值为， 故答案为，． 21．如图，平面直角坐标系中，点 的坐标分别为，是轴上的两个动点，且 为线段上一动点，则的最小值为 【答案】4 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平移的性质，如图所示，把点C向右平移2个单位长度得到点H，连接，则，据此可得可以看做是平移得到的，则，即可得到，故当且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，把点C向右平移2个单位长度得到点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∴可以看做是平移得到的， ∴， ∴， ∴当且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴此时有， ∴， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 类型四、图形旋转的性质和应用 22．如图，在中，，，点在的内部，，，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作，交延长线于点E，证明得，可证，得出，从而，将绕点C逆时针旋转至，求出，可证B，D，F三点共线，然后依次利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点B作，交延长线于点E，则， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 将绕点C逆时针旋转至， 则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴B，D，F三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 23．如图，在等边中有一点P，连结，将绕点B逆时针旋转得到，连结．给出下面四个结论：①；②是等边三角形；③；④若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由等边三角形的性质得，由旋转得，，可得是等边三角形，，即可证明；由已知条件无法得出，即无法得出；由全等三角形的性质得，，则可得，再由勾股定理得 【详解】为等边三角形， ， ， 由旋转得，， 是等边三角形，， ， 故结论①②正确； 是等边三角形， ， 由已知条件无法得出， 即无法得出， 故结论③不正确； ， ， 是等边三角形， ， ， 为直角三角形． 由勾股定理得，． 故结论④正确． 综上所述，正确结论的序号是①②④ 24．如图，在中，，现操作如下：将边绕点C顺时针旋转为，将边绕点C 逆时针旋转为，过点C 作于H，延长至E使，延长与交于F． 若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，难度较大，正确构造全等三角形是解决问题的关键． 过点作交延长线于点M，过点作于点N，则可证明，，，那么，则，在中，，求得，而均为等腰直角三角形，则，故，则，继而，则的面积即可求解． 【详解】解：过点作交延长线于点M，过点作于点N，则 由旋转得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 25．【问题提出】如图①，在等边内部有一点，已知，，，求的度数． 【类比探究】如图②，等腰内部有一点，已知，，，则_____． 【联想拓展】如图③，等腰外部有一点，已知，，，则_____． 【答案】（1），（2），（3） 【分析】（1）将绕点A逆时针旋转得到，连结，得到等边， 由勾股定理的逆定理可得，即可求解； （2）类似（1）的方法进行旋转，再由勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的性质可求解； （3类似（1）的方法进行旋转，再由勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：（1）如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连结，得到等边，， ∴， ∵， ∴． ∴ ． （2）将绕点B逆时针旋转得到，连结，得到等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． ∴， ， 故答案为： （3）将绕点B逆时针旋转得到，连结，得到等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． ∴， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理逆定理，解题关键是熟练运用旋转构建直角三角形． 26．如图1，绕点逆时针旋转得到，，直线与，分别相交于点，，平分． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由，，求得，而，由旋转得，则，所以，则； （2）由旋转得，，，，则，所以，即可根据证明； （3）由旋转得，，，则，，，所以，而，所以，则，因为，所以，所以，则． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是； （2）证明：由旋转得，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：由旋转得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识． 27．如图1，在中，，点分别在边上，，连接，过点作，垂足为与交于点． (1)求证：； (2)将图1中的绕点逆时针旋转，其他条件不变，如图2，（1）的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； (3)若，将绕点逆时针旋转一周，当三点共线时，直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，理由见解析 (3)的长为或 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质证出，得出，则可得出结论； （2）作交直线于点，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出； （3）分两种情况①当点在的延长线上时；②当点在上时；画出图形，由全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质及勾股定理求解即可得出答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立． 理由如下： 作交直线于点，如图所示： ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当点在的延长线上时，过点作于点，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在上时，过点作于点，如图所示： 同理可得，，， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查几何变换综合题，涉及三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形旋转变化的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、平行线的判定与性质等知识，根据问题正确作出辅助线是解题的关键． 28．（1）问题背景 如图1：在四边形中，，，．E，F 分别是上的点．且．探究图中线段之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G．使．连结．先证明；再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 请你帮他完成证明过程． （2）探索延伸： 如图2，若在四边形中，，．E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用： 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以40海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以50海里/小时的速度前进2小时后，指挥中心观测到甲，乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，此时两舰艇之间的距离_______． 【答案】（1），证明见解析；（2）仍然成立，理由见解析；（3）180海里 【分析】本题考查的是四边形知识的综合运用，掌握旋转的性质、三角形全等的判定和性质、理解方位角的概念是解题的关键，注意规律的总结和运用． （1）问题背景：延长到点，使，连接，证明，得到，证明，得到答案； （2）探索延伸：连接，延长，相交于点，利用全等三角形的性质证明． （3）实际应用：如图3，连接，延长，相交于点，首先证明，，利用结论求解即可． 【详解】解：（1）问题背景：由题意：，， ，， ． 故答案为：； （2）探索延伸：仍然成立． 理由：如图2，延长到点，使，连接 ，， ， 又， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ． 在和中， ， ， ， 又， ； （3）实际应用：如图3，连接，延长，相交于点， 在四边形中， ，， 又，，符合探索延伸中的条件， 结论成立． 即，（海里） 此时两舰艇之间的距离为180海里． 故答案为：180海里． 29．综合与实践 【基本模型】如图1和2所示，，直线l经过点O（不与，重合），过点A，B作l的垂线，垂足分别为C，D，可以很容易证得，进而得到：． 【模型应用】在图1的基础上，在射线上取一点M，把线段绕点O逆时针转得到、连接．交直线l于点P．    (1)如图3，当点M与点C重合时与的数量关系为______； (2)如图4，当点M在的延长线上时，试判断与的数量关系．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：过点N作直线l于E（见下图）．同学们，根据小颖的提示，请你判断与的数量关系，并给出证明． (3)如图5，当点M在线段上时的值为______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用证明，可得结论； （2）过点N作直线于E，证明，可得，再证明，可得结论； （3）过点N作直线于H，证明，可得，，证明，可得，，，设，，则，可得，即可求解． 【详解】（1）解：由旋转得，， ∵，点M与点C重合， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：， 证明：过点N作直线于E，    ∴，， 由旋转得，， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：过点N作直线于H，    同理得， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，掌握全等三角形的判定和性质是解本题的关键． 30．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图1，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，．小明发现不用测量也能知道的长． 【问题解决】： 请你应用所学的知识帮小明解答求长的过程． 【情景拓展】：在锐角中，，于点．点为射线上一动点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，交直线于点， （1）如图2：当点在线段上时，试猜想和的数量关系并证明． （2）当点在射线上运动时，若，请求出的值． 【答案】问题解决：；情景拓展：（1），证明见解析；（2）或 【分析】问题解决：证明，可得，，继而得到，再代入数据计算可得答案； 情景拓展：（1）过点Q作于H， 由旋转的性质可得，证明，得到；再证明是等腰直角三角形，得到，则，进一步证明，再根据线段的和差关系即可证明； （2）设，由（1）可知，当点P在上时，则，，可得；当点P在延长线上时，过点Q作交延长线于H，同理可证明，得到；再证明，得到，则，，即可得到． 【详解】解：问题解决：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴此时的长为； 情景拓展：（1），证明如下： 如图所示，过点Q作于H， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设， 由（1）可知，当点P在上时，则， ∴， ∴； 当点P在延长线上时，过点Q作交延长线于H， 同理可证明， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 31．在一次数学实践活动课上，老师了给一个，要求同学们利用旋转自己编题并解答： (1)第一小组编题如下： 将绕点A逆时针旋转得到，如图1，当点B，C的对应点D，E与点B在同一直线上，若，，求旋转角及的长． (2)第二小组受第一小组的启发，编题如下： 将中的线段绕点C逆时针旋转得到线段，当点A的对应点D与点A，B在同一直线上时，如图2，过C作于E，取的中点M，若（），将绕点M顺时针旋转得，连接． 求证：． 请完成以上（1）和（2）的解答过程 【答案】(1)旋转角为， (2)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质结合等腰三角形的性质即可求出旋转角，过点A作于点G，利用直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可得到，进而得以解答； （2）延长到点，使得，连接，先证明是的中位线，由旋转的性质结合等腰三角形的性质证明，推出，利用等腰三角形三线合一即可证明． 【详解】（1）解：∵将绕点A逆时针旋转得到，， ∴，旋转角为， ∴， ∵点D，E与点B在同一直线上， ∴， ∴， ∴； 如图1，过点A作于点G， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，延长到点，使得，连接， 则点N为的中点， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴， 由旋转的性质得：，， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴等腰三角形， ∵， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形中位线，正确作出辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 32．阅读材料题：有这样一个题目：已知，如图1，P是正方形内一点，连接，若，，，求的长． 小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，老师给出的提示是：将绕点A顺时针旋转得到，再利用勾股定理即可求解本题．请根据数学老师的提示帮小明求出图1中线段的长为______． 【方法迁移】：已知：如图2，为正三角形，P为内部一点，若，，，求的大小． 【能力拓展】：已知：如图3，等腰三角形中，D、E是底边上两点且，若，，求的长． 【答案】，， 【分析】阅读材料题：将绕点A顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质得，，从而可得，则由勾股定理即可求解； 【方法迁移】：把绕点C顺时针旋转得到，连接；由旋转的性质得是等边三角形，由勾股定理逆定理知是直角三角形，且，则可求得的度数，从而求得结果． 【能力扩展】：把绕点C逆时针旋转得到，连接，过点G作于点F，由旋转的性质得，从而得，则有，由勾股定理得，在中由勾股定理得；再证明，则；从而求得结果． 【详解】解：阅读材料题：如图，将绕点A顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质得： ，，， ∴，， ∴； 在中，由勾股定理得：； 故答案为：6． 解：【方法迁移】： 如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接； 由旋转的性质得：，，； ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴． 解：【能力拓展】： 如图，把绕点C逆时针旋转得到，连接，过点G作于点F； ∵， ∴； 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， ∴，由勾股定理得； ∵， 则在中，由勾股定理得； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是旋转的综合问题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质等知识，关键是旋转的运用． 33．定义：在四边形中，如果，那么我们把这样的四边形称为“对余四边形”． 【定义理解】如图，已知是对余四边形的对角线，，，则的度数为 ． 【问题探索】问题：如图，已知、是对余四边形的对角线，，． 求证：． 探索：小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法： 因为，，所以是等边三角形，将绕点顺时针方向旋转，连接，． …… 请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程． 【灵活运用】如图，已知、是对余四边形的对角线，，，若，，求的长． 【答案】【定义理解】；【问题探索】见解析；【灵活运用】 【分析】定义理解：由四边形是对余四边形，得，进而根据等腰三角形的性质即可得解； 问题探索：证明是等边三角形，为等边三角形，得，，进而得，证明，得，再证明，在中，利用勾股定理即可得证； 灵活运用：过点作，使，连接，，证明，得，有证（），得，由，，得，从而利用勾股定理即可得解． 【详解】解：定义理解：∵四边形是对余四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 问题探索 证明：如图，将绕点顺时针方向旋转，连接，． ∵，， ∴是等边三角形， ∵将绕点顺时针方向旋转， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为对余四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴； 灵活运用：过点作，使，连接，，如图所示： ∴在中，，， ∴， ∵四边形为对余四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（）， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边对等角，勾股定理，三角形的内角和定理，等边三角形的判定及性质，熟练掌握等边对等角，勾股定理，三角形的内角和定理，等边三角形的判定及性质是解题的关键． 34．在等边中，，点在边上，且，动点从点出发沿射线以每秒的速度运动，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，当点落在延长线上时，点停止运动．设点运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示、两点间的距离； (2)当与的一边平行时，求的值； (3)当与的一边垂直时，求的值； (4)在整个运动过程中，扫过的面积为________． 【答案】(1) (2)秒或9秒 (3)秒或15秒 (4)． 【分析】本题主要考查线段的和差，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识： （1）根据线段的和差可得结论； （2）分和两种情况讨论求解即可； （3）分和两种情况讨论求解即可； （4）根据题意得扫过的图形是，求出和即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴； （2）解：当时，如图1， ∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴ ∴（秒）； 当时，如图2， 则 而 ∴ ∴三点在一条直线上， 又点在上运动， ∴点与点重合， ∴ ∴（秒）； 综上，当秒或9秒时，与的一边平行； （3）解：当时，如图3， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴（秒）； 当时，如图4， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴（秒）， 综上，当秒或15秒时，与的一边垂直； （4）解：如图，在旋转的过程中，扫过的图形是， 当点与点重合时，点在上，此时，， ∴ ∴ 又 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 过点作于点， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 由勾股定理得， ∴； 过点作于点，则 又, ∴， ∴ 由勾股定理得， ∴ ∴ ∴ 即在旋转的过程中，扫过的图形的面积为． 故答案为：. 类型五、平面直角坐标系内的旋转问题 35．在平面直角坐标系中，等边的顶点在y轴正半轴上，顶点B，顶点C分别在第三象限和第四象限，且． (1)如图1，当时． ①点B的坐标为______，点C的坐标为______． ②点P在x轴上，点Q是平面内任意一点，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是矩形，求P点坐标； ③若点M在边上，点M绕O点顺时针旋转得到点，若点也在边上，请直接写出的坐标； (2)当时，点M是等边边上的一动点，若点M绕O点顺时针旋转得到点，直接写出所有点组成图形的面积． 【答案】(1)①，；②或或或；③ (2) 【分析】（1）①设交y轴于点D，根据等边三角形的性质，结合，证明得到，，进而求出，推出，利用直角三角形的特征即可得到，进而求出，即可得出结果；②分点在x轴正半轴上和负半轴上两种情况讨论，根据矩形的性质结合直角三角形的特征求解即可；③设与x轴交于点G，连接，证明是等边三角形，推出点与点重合，利用勾股定理求出，即可解答； （2）根据点与点重合时，点与点重合时，得到的运动轨迹为线段，同理得到所有点组成的图形为等边三角形，即可求解． 【详解】（1）解：①设交y轴于点D， 是等边三角形， ， ， ， ， 在与中，， ， 同理得： ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图，当点在x轴正半轴上，且为边时， 四边形是矩形， ， 由①知，则， ， ， ， ； 如图，当点在x轴正半轴上，且为对角线时，设点， 四边形是矩形， ， ，即， 解得：或（舍去）， ； 如图，当点在x轴负半轴上，且为边时，过点B作轴于点H， 轴， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 如图，当点在x轴负半轴上，且为对角线时，设点， 四边形是矩形， ， ，即， 解得：（舍去），或 ； 综上，以A，B，P，Q为顶点的四边形是矩形时，P点坐标为或或或； ③如图，设与x轴交于点G，连接， ， ， ， ，， 是等边三角形， ，， ， 在上， 是的中点， ， 点与点重合， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图， 点与点重合时， 由旋转的性质得：， 同理，点与点重合时， 由旋转的性质得：， 由（1）③可得，是等边三角形， 同理得：是等边三角形， ， ， ， 的运动轨迹为线段， ， ， ， 同理得：， 为等边三角形， 所有点组成的图形为等边三角形， 同理（1）①可得， ， ， 所有点组成图形面积为． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查旋转的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，直角三角形的特征，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，解题的关键是会用参数表示点的坐标，线段的长，学会用分类讨论的思想思考问题． 36．在平面直角坐标系中，点，点，且，满足，点是轴上一动点，将线段绕点顺时针旋转得线段． (1)如图，若，则点的坐标是________； (2)过点作，交直线于点，连接． 如图，若，求证：； 如图，若，求的值． 【答案】(1)； (2)证明见解析；． 【分析】（）过作轴于点，由，可得，点，故，当时，，由旋转性质可知：，，根据同角的余角相等得，然后证明，根据全等三角形的性质即可求解； （）过作交延长线于点，过作，交延长线于点，根据同角的余角相等得，证明，由性质得，再证明，根据全等三角形的性质和平行线的性质即可求证； 过作交延长线于点，过作，交延长线于点，同理即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作轴于点， ∴， ∵， ∴，， ∴，点， ∴， 当时，， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：； （2）证明：如图，过作交延长线于点，过作，交延长线于点， ∴， ∴， ∴， 由（）得：，点， ∴， 在和中， ∴， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 解：如图，过作交延长线于点，过作，交延长线于点， ∴， ∴， ∴， 由（）得：，点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 由旋转性质可知：，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，同角的余角相等，平行线的性质，线段和差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 37．如图，在中，将的边绕点顺时针旋转得到线段． (1)如图①，若为直角三角形，以直角顶点为原点，直角边，所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，已知点，，且，则 ，点坐标为 ； (2)如图②，若为等腰三角形，，，连接，请用含的式子表示的面积； (3)在（1）的条件下，点沿着轴负方向运动至点，求点运动路径的长度． 【答案】(1)； (2) (3)点运动路径的长度为6 【分析】（1）由非负性可求a，b的值，可得，由“”可证，可得，即可求解； （2）过点作于点，延长，过点作于点，由“”可证，可得，由三角形的面积公式可求解； （3）在上任取点，连接，过点作，且，连接，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点A，点B都在y轴和x轴的正半轴上， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图①，过点C作于H， ∵将的边绕点B顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点； （2）解：过点作于点， ∵， ∴为的中线， ∵， ∴， 延长，过点作于点， ∴， 根据旋转可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ∴， ∴， ∴． （3）解：在上任取点，连接，过点作，且，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动路径为平行轴的一条线段， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 38．对于平面直角坐标系中的图形W，直线l和点P，给出如下定义：先将图形W沿直线l对称得到对应图形，再将图形其绕点P逆时针旋转，得到图形，称为图形W的“旋轴变换图形”．其中，称直线l为“变换直线”，称点P为“变换点”．已知，点，“变换直线”为y轴，“变换点”为． (1)如图1， ①当时，点M的“旋轴变换图形”的坐标是 ； ②若点M的“旋轴变换图形”始终位于x轴上方，求m的取值范围； (2)已知点，随着点M的运动，在图2中画出线段MN的“旋轴变换图形”扫过的区域． 【答案】(1)（1）①② (2)见解析 【分析】（1）①根据轴对称的定义得到，作轴，由得到，，，即可求解，②同上得到，分情况进行讨论，得到，即可求解， （2）同上，得到，设，则，，即可求解， 本题考查了坐标轴内的对称，旋转，解题的关键是：根据一线三等角全等，得到旋转后的坐标． 【详解】（1）解：①当时，， 关于y轴的对称点为：， 连接、，作轴，垂足为， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ②，关于y轴的对称点为：， 连接、，作轴，垂足为， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 当时，， 当时， ， 当时，， ∴， 当时，，始终位于x轴上方， （2）解：由（1）可知， ，关于y轴的对称点为：， 连接、，作轴，垂足为，作轴，垂足为， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 当时，，，， ∴， 当时， ，，， ∴， 设，则，， ∴扫过的区域如图 39．如图1，在平面直角坐标系中，，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移a个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，且C点落在y轴上，连接，． (1)直接写出点C、D的坐标：C（_______），D（_______）； (2)如图1，若点Q为线段的中点，点P以每秒1个单位长度的速度在线段上从点O向C点运动，是否存在某个时刻t，使得，若存在，试求出该时刻和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，已知，射线以的速度绕点A顺时针旋转至停止，射线以的速度绕点C顺时针旋转，射线、同时开始旋转，同时停止运动．在射线到达之前，会与射线交于点M，过M作交于N，则在转动过程中，的值是否会改变，如果不变请求出这个定值；如果会变，请说明理由． 【答案】(1)0，2；5，2 (2)存在， (3)不会改变， 【分析】（1）由平移的性质可得出答案； （2）设，根据面积关系可得出的方程，解方程可得出答案； （3）求出由平移的性质求出则可得出答案． 【详解】（1）如图1，点向上移2个单位，向右平移a个单位得到， 则，， 此时C点坐标为， 同时上平移2个单位右平移2个单位得D点， 则D点坐标为， 故答案为：； （2）存在． 如图1，∵Q为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵P点在线段上， ∴设， ∵， ∴． ∴， 解得； 此时符合题意． （3）在转动过程中，的值不会改变．如图2， ∵， ∴， ∵射线以速度绕点A顺时针旋转至停止， ∴， 即， ∵射线、同时开始旋转，同时停止运动，设运动时间为， ∴此时，， 同时， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，为定值． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、平行线的判定与性质、三角形面积、梯形面积公式等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，平移的性质是解题的关键． 40．对称变换和平移变换在平面几何中有着广泛的应用，特别是在解决有关最值问题时，更是我们常用的思维方法，请你利用所学知识解决下列问题： （1）如图①，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），点B（2，1），点P在x轴上运动，当PA+PB的值最小时，点P的坐标是　　；（请直接写出答案） （2）如图②，AD⊥l于点D，BC⊥l于点C，且AD＝2，AB＝BC＝4，当点P在直线l上运动时，PA+PB的最小值是　　；（请直接写出答案） （3）如图③，直线a∥b，且a与b之间的距离为1，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为2，且AB＝，问：在直线a上是否存在点C，在直线b上是否存在点D，使得CD⊥a，且AC+CD+DB的值最小？若存在，请求出AC+CD+DB的最小值；若不存在，请说明理由． （4）如图④，在平面直角坐标系中，A（6，0），B（6，4），线段CD在直线y＝x上运动，且CD＝2，则四边形ABCD周长的最小值是　，此时点D的坐标为　．（请直接写出答案） 【答案】（1）（1，0）；（2）4；（3）存在，6；（4）6+4，（3，3） 【分析】（1）如图1，作点A关于x轴的对称点，连接 交x轴于点P，则点P为所求点，然后利用待定系数法求出直线的解析式，然后令 即可求出x的值，从而可确定P的坐标； （2）如图2，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，则点P为所求点，利用矩形的性质和勾股定理进而求解即可； （3）如图3，将点A向下平移1个单位得到，连接交直线b于点D，过点D作DC⊥a于点C，连接AC，则点C、D为所求点，然后利用勾股定理求出的长度，进而求解； （4）如图4，将点A沿y＝x方向向右平移2个单位得到，作点关于直线y＝x的对称点，连接交直线y＝x于点C，将点C沿直线向下平移2个单位得到点C，则点C、D为所求点，首先利用平行四边形的性质得出四边形ABCD周长＝4+2+为最小，然后利用勾股定理即可求出的值，进而可求出周长的最小值，然后利用待定系数法求出直线的解析式，进而可求出C的坐标，从而D的坐标可求 ． 【详解】解：（1）如图1，作点A关于x轴的对称点，连接交直线l于点P，则点P为所求点， ∵点 、A关于x轴对称，， ， ， ∴为最小； 设直线的表达式为：y＝kx+b， 将点 代入得 ，解得：， 故直线的表达式为：y＝x﹣1， 当y＝0时，x＝1，故点P（1，0）； 故答案为：（1，0）； （2）如图2，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，则点P为所求点，过点作交BC的延长线于点H， ∵点 、A关于x轴对称， ， ∴为最小； 过点A作AM⊥BC于点M， ， ∴ ， ∴四边形ADCM是矩形， ∴， 同理， ， ∴BM＝BC﹣CM＝BC﹣AD＝4﹣2＝2． 在Rt△ABM中，AM2＝AB2﹣BM2＝16﹣4＝12＝ ， BH＝CH+BC＝+BC＝2+4＝6， 在中， ； 即PA+PB的最小值为4， 故答案为：4； （3）存在，理由： 如图3，将点A向下平移1个单位得到，连接交直线b于点D，过点D作DC⊥a于点C，连接AC，则点C、D为所求点， ∵，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴ 为最小． 过点 、A分别作直线a的平行线，分别交过点B与a的垂线于点G、H，则四边形为矩形， ∵BH＝2+1+2＝5，AB＝，则AH＝＝3， 在中，，BG＝2+1+1＝4， ， ∴， ∴AC+CD+DB最小值为6； （4）如图4，将点A沿y＝x方向向右平移2个单位长度得到，作点关于直线y＝x的对称点，连接交直线y＝x于点C，将点C沿直线向下平移2个单位长度得到点D，则点C、D为所求点． 连接AD、， 设C的坐标为 ， ∵ ， ， ， ∴如果沿着直线向上平移个单位长度，相当于向右平移2个单位，再向上平移2个单位． ∵， ． ∵点和点关于对称， ． ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． ， ． ， ， ∴四边形ABCD周长＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+BC+＝4+2+为最小． ∵=＝4， 故四边形ABCD周长最小值为：64． 设直线的解析式为， 将代入解析式中得 解得 ∴直线解析式为 ． ，解得：， 故点C（5，5）， 而CD＝2， ∴点D可以看成点C向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的， ∴点D（3，3）， 故答案为：6+4；（3，3）． 【点睛】本题为一次函数的综合题，主要考查对称变换和平移变换在解决最值问题中的应用，掌握平行四边形的判定及性质，勾股定理，待定系数法是解题的关键． 类型六、图形旋转中的最值探究 41．如图，已知，的半径为2，点C在上，连接．并将线段绕点A顺时针旋转得到线段．当点C在上运动时，点D到直线距离的最大值是 ． 【答案】 【分析】将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，，，证明，推出，得到点D在以点为圆心，2为半径的上，当点在线段上时，点D到直线距离取得最大值，据此计算即可求解． 【详解】解：过点D作于点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，，，如图， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴点D在以点为圆心，2为半径的上， ∴当点在线段上时，点D到直线距离取得最大值，如图， 此时是等边三角形的高， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D到直线距离的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．判断出点D在以点为圆心，2为半径的上是解题的关键． 42．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点为轴上一点，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，得到等腰直角，且为直角，连接，请写出当最大时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等知识，过轴于点，过作轴于点，作点关于对称点，连接交于点，由旋转性质可知，，则有，证明，根据性质得出，则点在上运动，从而，由，则当三点共线时有最大值，即有最大值，设直线解析式为，求出直线解析式为，然后当时即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过轴于点，过作轴于点，作点关于对称点，连接交于点， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点， ∴， 则点在上运动， ∴的纵坐标为， ∴， ∵， ∴当三点共线时有最大值，即有最大值， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， 解得：， ∴， 故答案为：． 43．如图，在锐角中，，点E为线段中点，点P为线段上的动点，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，点P的对应点是点，在旋转的过程中，线段长度最小值是 ．    【答案】 【分析】根据垂线段最短，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质解答即可． 本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是找出线段长度的最小值的条件． 【详解】解：根据垂线段最短，得到且为的交点，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵点E为线段中点，， ∴， ∴， 故答案为：．    44．如图，等边三角形的边长为，是边上一动点（与不重合），是延长线上一点，且，交于．    (1)当时，__________； (2)当时，___________； (3)求证：； (4)如图，过点作于点，_________； (5)如图，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，则的最小值为_________． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 (4) (5) 【分析】（）由三线合一即可求解； （）由等边三角形的性质及可得，即得，，再根据角之间的关系可得，即得，得到，进而得到，据此即可求解； （）作交于点，证明即可求证； （）如图，作交于点，由三线合一可得，再根据得，即得，据此即可求解； （）由旋转的性质得，，进而可证明，得到，当时，的值最小，此时的值 最小，则的值最小，利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明：如图，作交于点，则，，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （4）解：如图，作交于点，    ∵，， ∴， 由（）得， ∴， ∴， 故答案为：； （5）解：∵将线段绕点顺时针旋转 得线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，的值最小，此时的值最小，则的值最小， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，旋转的性质，垂线段最短，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 45．已知在平面直角坐标系中，点． (1)如图，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论； (2)若P为x轴正半轴上异于原点O的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转至，直线交y轴于点Q， ①当P点在x轴上移动时，试判断线段的长是否会发生变化，如果不变求出线段的长，如果发生变化请说明理由； ②连接，直接写出线段的最小值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①为定值，理由见解析；② 【分析】（1）根据是等腰直角三角形，将绕点逆时针旋转得到，如图，根据旋转的性质、已知条件和等腰三角形的性质可利用证明，再根据全等三角形的性质和线段的和差关系即可推出结论； （2）①是定值，作于，在上截取，连接，如图，证，根据余角的性质可得，进而可根据推出，可得，从而可得，然后根据等腰直角三角形的性质和判定即可得到结论；②由①知点为定点，且，当时，线段有最小值，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）线段、、之间的数量关系为； 证明：， ， 将绕点逆时针旋转得到，如图， 则，，，， ， ，即、、三点共线， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 即； （2）是定值，且； 作于，在上截取，连接，如图，则， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即是定值； ②由①知点为定点，且，， ， 如图，当时，线段有最小值， ， ，即的最小值为． 【点睛】本题考查了图形与坐标、旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键． 46．在中，D为边上一点，连接，E为上一点，连接，． (1)如图1，若，，，求的面积； (2)如图2，连接，若，，点G为的中点，连接，求证：； (3)如图3，若是等边三角形，，D为直线上一点，将绕点A逆时针方向旋转到，连接，M为线段上一点，，P为直线上一点，分别连接，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意证明，根据，推出，求出，的长度，已知，再根据三角形的面积公式，即可解题． （2）根据题意延长到点F，使，连接，在上截取，连接，证明，由等边三角形的判定，证明是等边三角形，得出，再根据已知，证明，得到，即可解题． （3）根据题意，分析点的运动轨迹是垂直于的直线，直线分别交、的延长线于点、，作点关于的对称点，过作直线的垂线分别交于点P、交直线于点，此时的值最小，最小值为．求出的值，即可解题． 【详解】（1）解： ， ， 又， ， 在中，， ， ， 又， ， ， ． （2）证明：延长到点F，使，连接，在上截取，连接，如图所示： G为的中点， ， 在和中， ， ，， ， 即， 又，， 是等边三角形， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：过A作于H，，且，连接， 则， ∴，， 又，， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是垂直于的直线，直线分别交、的延长线于点、，作点关于的对称点，过作直线的垂线分别交于点P、交直线于点，此时的值最小，最小值为．过点B作的垂线，垂足为点I， 则， 是等边三角形，， ，， ∴ 由旋转性质可得，当点D与C重合时，K与重合，则，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ，，， ∴，， ， ， ， ， 由对称性质得，， ∴， ∴是等边三角形， ，，则， ， 的最小值是． 【点睛】本题考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、旋转的性质、最短路径问题、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用，（3）中得到k的运动轨迹是解答的关键． 47．如图1，在中，，，，点在轴上，以为一边，在外作等边三角形，是的中点，连接并延长交于． (1)①求点B的坐标； (2)如图2．将图1中的四边形折叠，使点与点重合，折痕为，求的长； (3)如图1，连接，在线段上有一动点，连接，，直接写出的最小值为______； (4)若去掉题干中这个条件，点为外一点，连接，，，若，，则当线段的长度最小时，______，的最小值是______． 【答案】(1)点的坐标为； (2)的长为； (3) (4)，4 【分析】（1）利用直角三角形性质和勾股定理即可求得答案； （2）设，则，运用勾股定理建立方程求解即可求得答案； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，可得，当、、、在同一条直线上时，为最小值，再运用勾股定理即可求得； （4）以为边在内部作等边三角形，连接，可证得，得出，当线段的长度最小时，最小，即可求得答案． 【详解】（1）解：在中，，，， ，， 点的坐标为； （2）解：如图，设， 是等边三角形， ， ， 由折叠得， 在中，， 即， 解得：， 的长为； （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， 则，，，， 是等边三角形， ， ， 当、、、在同一条直线上时，为最小值， 是的中点，， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， 点是的中点， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， ， 故答案为：； （4）解：如图，以为边在内部作等边三角形，连接， 则，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， 当线段的长度最小时，最小， ， 的最小值为4，此时点落在线段上，， 的最小值为4； 故答案为：，4． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠变换和旋转变换的性质，勾股定理，两点之间线段最短等，正确添加辅助线是解题关键． 48．在等边中，，垂足为点，点为直线上一动点，连接，以点为旋转中心，把线段顺时针旋转，得到线段，连接． (1)如图①，当点在线段上时，求证：． (2)如图②，当点在线段的延长线上时，连接，，若，求的大小． (3)若等边的边长是6，连接，在点运动过程中，直接写出线段的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质； （1）由旋转得到，，再证明，得到； （2）先证明，得到，，由等边三角形的性质可得，得到，由，得到是等腰直角三角形，即可得到，得到； （3）过作，则，，由（1）（2）可得点在直线上运动，过作于，则长度即为的最小值，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵等边， ∴，， 线段顺时针旋转，得到线段， ，， ， ，即， ， ； （2）解：同（1）可知，，， ，即， ， ，， 是等边三角形，， ，， ， ， ， ， ， ，即， ， 又， ， ； （3）解：过作，则， ∵， ∴，， 由（1）可得，当点在线段上时，，； 由（2）可得，当点在在线段的延长线上时，，； ∴点在直线上运动， 过作于，则长度即为的最小值，此时， ∵等边的边长是6， ∴， ∴， ∴中，，， ∴的最小值为． 49．在中，，过点作． (1)如图1，若点在点的左侧，连接，过点作交于点．若点是的中点，求证：； (2)如图2，若点在点的右侧，连接，点是的中点，连接并延长交于点，连接．过点作交于点平分交于点，求证：； (3)若点在点的右侧，连接，点是的中点，且．点是直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得到； （2）作出辅助线证明，得到； （3）通过手拉手模型证明点的运动轨迹是直线，从而根据垂线段最短确定点的位置． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； （2）证明：过点作于，连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴∠CAB＝∠ACB＝45°， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：过点作交延长线与，连接， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点，且， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， 设直线交于，则，， ∴， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴当点在线段上时，此时有最大值，最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质，折叠的性质，垂线段最短，矩形的性质与判定等等，掌握全等三角形的性质与判定，旋转的性质，垂线段最短，矩形的性质与判定等知识的综合运用，数形结合分析是解题的关键，难度较大． 类型七、图形旋转的规律探究 50．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径作圆，是上一动点，连接，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，连接．若点从点出发，按照逆时针方向以每秒个单位长度运动，则第2027秒时，点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的旋转，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，由题意可得点每秒运动一周，即得第秒时与第秒时的位置相同，过点作轴，垂足为点，证明可得，可得，，再根据点的坐标即可求解，由题意判断出点的位置是解题的关键． 【详解】解：如图，点沿逆时针方向运动，每秒走个单位长度，每秒运动一周， ， ∴第秒时与第秒时的位置相同， 过点作轴，垂足为点，则， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：D． 51．在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在的正方形网格图形中（如图1），从点经过一次跳马变换可以到达点，，，等处现有的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点经过跳马变换到达与其相对的顶点，最少需要跳马变换的次数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意画出F点,由图一计算出规律即可推出． 【详解】如图1，连接AC，CF，则AF=， ∴两次变换相当于向右移动3格，向上移动3格． 又∵MN=，∴（不是整数）， ∴按A﹣C﹣F的方向连续变换10次后，相当于向右移动了10÷2×3=15格，向上移动了10÷2×3=15格，此时M位于如图所示的5×5的正方形网格的点G处，再按如图所示的方式变换4次即可到达点N处． ∴从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是14次． 故选D． 【点睛】本题考查规律计算题,主要在于结合图形找出规律． 52．如图，在△ABC中,∠ACB=，∠B=，AC=1，BC=，AB=2，AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针转到位置①可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=3+…，按此顺序继续旋转，得到点P2016，则AP2016=(   ) A．2016+671 B．2016+672 C．2017+671 D．2017+672 【答案】B 【分析】利用题意得AP3＝3+，则易得AP6＝2（3+），AP9＝3（3+），则三角形旋转三次一个循环，一个循环3+，然后由2016＝3×672即可得到AP2016的长度． 【详解】解：∵AP1＝2，AP2＝2+，AP3＝3+， ∴AP6＝2（3+）， AP9＝3（3+）， 而2016＝3×672， ∴AP2016＝672（3+）＝2016+672． 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了规律型问题的解决方法． 53．如图所示，，，，．将折线绕点顺时针旋转得出新的折线，再将新的折线绕点顺时针旋转……以此类推，得到一个大的折线．现有一动点P从原点O出发，沿着折线以每秒1个单位的速度移动，设运动时间为t．当时，点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变化，勾股定理，规律型问题等知识，把点从运动到作为一个循环，寻找规律解决问题即可．解题的关键是学会探究规律的方法． 【详解】解：由勾股定理得：，， ∴点P从O运动到的路程， ∴， 把点P从O运动到作为一个循环， ∵， ∴把点向右平移个单位，可得时，点P的坐标， ∵，，， ∴时，点P的坐标， 故选：A． 54．如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的倍，得到线段．．．．．．如此下去，得到线段为正整数)，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】先根据伸长的变化规律求出OP2019的长度，再根据每8次变化为一个循环组，求出点P2019是第几组第几次的变化，然后确定出所在的位置即可解决问题． 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， ， ， ···， 则 ∵每一次都旋转45°，360°÷45°＝8， ∴每8次变化为一个循环组， 2019÷8＝252…3， 点是第组的第次变换对应的点，在轴的负半轴上 点的坐标为 故答案为 【点睛】本题考查了点的坐标的规律探寻，读懂题意，需要从伸长的变化规律求出OP2019的长度，从旋转的变化规律求出点P2019所在的象限两个方面考虑求解． 55．如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O 上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从 A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为 60°的方向运动到⊙O上的点A4处；……按此规律运动到点A2 017处，则点A2017与点A0间的距离是 【答案】4 【分析】由图分析可知，点与点重合，于是得到点与重合，依此规律即可得解． 【详解】由图分析可知，点与点重合， 2017÷6=336……1， 即点与重合， ∵⊙O的半径为 2 ， ∴点 与点 间的距离是4． 故答案是：4 【点睛】本题考查了图形的变化类，结合图形即可得到点与重合，依此规律即可解决问题． 56．如图所示，在平面直角坐标系中，，，是直角三角形，且，，到轴距离为，把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到，依此类推，则旋转第次后，得到的直角三角形的直角顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用含度角的直角三角形的性质可得，过点作轴于点，则依据题意可得，利用勾股定理可得，于是可得点的坐标，由旋转的性质可得点的坐标，点的坐标，，由图形规律以此类推，即可得出点的坐标． 【详解】解：在中，，，， ，， 如图，过点作轴于点， ， 到轴距离为， ， ， ， 根据旋转的性质可得： 的横坐标为：，纵坐标为， 由图形规律可得： 的横坐标为：，纵坐标为， ， 以此类推，可得： 的横坐标为：，纵坐标为， 的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与旋转规律问题，已知两点坐标求两点距离，含度角的直角三角形，垂线的性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，熟练掌握坐标在图形中的规律问题是解题的关键． 类型八、一次函数的平移与旋转问题 57．如图，直线与直线相交于点，将直线绕点A旋转后所得直线与x轴的交点坐标为 ． 【答案】或 【分析】（1）当直线绕点A逆时针旋转，令直线与x轴相交于点B，直线与x轴相交于点C，过点B作的垂线，交线绕点A逆时针旋转后所得直线于点D，过点D作轴于点F，过点A作于点E，通过证明，得出点D的坐标，再用待定系数法求出直线的表达式，即可得出与x轴交点坐标；（2）当直线绕点A顺时针旋转，令直线与x轴相交于点Q，延长交于点F，则，根据等腰三角形的性质即有，则点B为的中点，结合点B和点D的坐标即可求的点F的坐标，利用待定系数法求得的解析式为，即可求的点Q． 【详解】解：（1）当直线绕点A逆时针旋转，如图， 令直线与x轴相交于点B，直线与x轴相交于点C，过点B作的垂线，交线绕点A旋转后所得直线于点D，过点D作轴于点F，过点A作于点E， 则， ∵， ∴， 把代入得：， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴与x轴交点坐标为； （2）当直线绕点A顺时针旋转，如图， 令直线与x轴相交于点Q，延长交于点F， 则， ∵， ∴， ∴， 即点B为的中点， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点， 综上所述，将直线绕点A旋转后所得直线与x轴的交点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及点的平移，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法和性质，用待定系数法求解函数表达式的方法，以及分类讨论思想的应用． 58．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，点坐标为，连接． (1)求点的坐标及线段的长度； (2)将线段沿轴向下平移个单位至，连接． 当为直角三角形时，求的值； 当周长最小时，的值是 ；此时，最小周长等于 ． 【答案】(1)， (2)1或；， 【分析】（1）求出点坐标，再由勾股定理求的长即可； （2）先求平移后的点，分别可求，分三种情况讨论：当时，当时，当时，利用勾股定理建立方程，求出的值即可； 作点关于直线的对称点，连接，当三点共线时，的值最小，此时周长最小，由对称性求出，用待定系数法求出直线的解析式将点代入解析式即可求，从而确定，，再用两点间距离公式求出，则周长最小值为． 【详解】（1）解：令，则， ， 点坐标为， ； （2）解：令，则， ， 线段沿轴向下平移个单位至， ， ， 当时，， 解得， 当时，， 此时不存在实数根， 当时，， 解得， 综上所述：的值为1或； 作点关于直线的对称点，连接， ， ， 当三点共线时，的值最小，此时周长最小， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 将点代入，， ， ， 周长最小值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，直角三角形的性质，轴对称求最短距离的方法，线段平移的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 59．如图，一次函数与坐标轴交于，两点，将线段以点为中心逆时针旋转一定角度，点B的对应点落在第二象限的点处，且点坐标为． (1)求直线的表达式； (2)点是轴上一点，当最小时，请求出点的坐标； (3)把线段绕点旋转得到线段，连接，直线与直线相交于，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）作点C关于x轴的对称点H，连接，则，由轴对称的性质可得，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，故点M即为直线与x轴的交点，求出直线的解析式为，在中，当，据此可得答案； （3）分把线段绕点顺时针旋转得到线段和把线段绕点逆时针旋转得到线段，通过一线三垂直模型构造全等三角形求出点E的坐标，进而求出直线解析式，再联立直线解析式和直线解析式求出点D的坐标即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入中得：， 解得， 直线的表达式为； （2）解：如图所示，作点C关于x轴的对称点H，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， ∴点M即为直线与x轴的交点， 同理可得直线的解析式为， 在中，当时，， ∴； （3）解：当把线段绕点逆时针旋转得到线段时，如图所示，过点C、E分别作y轴的垂线，垂足分别为H、G， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立，解得， ∴ 当把线段绕点顺时针旋转得到线段时，如图所示，过点C、E分别作x轴的垂线，垂足分别为H、G， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立，解得， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 60．如图所示，在直角坐标系中，，，线段在轴上平移，且满足，连接、、．    (1)当时，__________； (2)当四边形的周长取得最小值时，求出此时点的坐标及四边形的最小周长； (3)在（2）的条件下，连接，当向下平移的过程中，轴上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)12 (2)点的坐标为，四边形的最小周长为； (3)存在，或或 【分析】（1）根据直角三角形的性质，即可求解； （2）作点C关于y轴的对称点E，连接，将沿y轴平移至点B交于点F，连接，则点，，，根据平移的性质可得当点E，B，F三点共线时，四边形的周长取得最小值，再求出直线的解析式，即可求解； （3）分三种情况讨论，结合全等三角形的判定和性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：12 （2）解：如图，作点C关于y轴的对称点E，连接，将沿y轴平移至点B交于点F，连接，则点，，，    ∵，， ∴轴，， ∴， ∴， ∴， 即当点E，B，F三点共线时，四边形的周长取得最小值， ∵，， ∴， ∴点F的坐标为， ∴， ∴四边形的周长的最小值为； 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点B的坐标为； （3）解：存在， 由（2）得：， 当时，如图，过点B作于点M，则，，    ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时点P的坐标为； 当时，如图，过点B作轴于点M，则，，    ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时点P的坐标为； 当时，如图，过点D作轴于点M，则，    ∴， ∴， 设此时点B的坐标为，则向下平移个单位，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 61．（1）阅读以下内容并回答问题： 问题：在平面直角坐标系xOy中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，求平移后直线的解析式． 小雯同学在做这类问题时经常困惑和纠结，她做此题的简要过程和反思如下． 在课堂交流中，小谢同学听了她的困惑后，给她提出了下面的建议：“你可以找直线上的关键点，比如点A（1，﹣2），先把它按要求平移到相应的对应点A′，再用老师教过的待定系数法求过点A′的新直线的解析式，这样就不用纠结了．” 小雯用这个方法进行了尝试，点A（1，﹣2）向上平移3个单位后的对应点A′的坐标为　 　，过点A′的直线的解析式为　 　． （2）小雯自己又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验此方法，请你也试试看： 将直线y＝﹣2x向左平移3个单位，平移后直线的解析式为　 　，另外直接将直线y＝﹣2x向　 　（“上”或“下”）平移　 　个单位也能得到这条直线． （3）请你继续利用这个方法解决问题： 对于平面直角坐标系xOy内的图形M，将图形M上所有点都向上平移3个单位，再向左平移3个单位，我们把这个过程称为图形M的一次“斜平移”．求将直线y＝﹣2x进行两次“斜平移”后得到的直线的解析式． 【答案】（1）（1，1），y＝﹣2x+3；（2）y＝﹣2x﹣6，下，6；（3）y＝﹣2x﹣6. 【分析】（1）由平移的性质可求点A'坐标，利用待定系数法可求解； （2）平移后的直线的解析式的k不变，设出相应的直线解析式，可求O（0，0）向左平移3个单位后的坐标，代入设出的直线解析式，即可求得m，也就求得了所求的直线解析式； （3）平移后的直线的解析式的k不变，设出相应的直线解析式，找到点A（1，-2）进行两次“斜平移”后的对应点的坐标，代入设出的直线解析式，即可求得n，也就求得了所求的直线解析式． 【详解】（1）点A（1，﹣2）向上平移3个单位后的点A′的坐标为（1，1）， 设平移后的直线解析式为y＝﹣2x+b， 代入得1＝﹣2×1+b，则b＝3， 所以过点A′的直线的解析式为y＝﹣2x+3； 故答案为：（1，1），y＝﹣2x+3； （2）可设新直线解析式为y＝﹣2x+m， ∵原直线y＝﹣2x经过点O（0，0）， ∴点O向左平移3个单位后点O'（﹣3，0）， 代入新直线解析式得：0＝6x+m， ∴m＝﹣6， ∴平移后直线的解析式为：y＝﹣2x﹣6， 由（1）可知，另外直接将直线y＝﹣2x向下平移6个单位也能得到直线y＝﹣2x﹣6； 故答案为：y＝﹣2x﹣6，下，6； （3）直线上的点A（1，﹣2），进行一次“斜平移”后的对应点的坐标为（﹣2，1），进行两次“斜平移”后的对应点的坐标为（﹣5，4）， 设两次斜平移后的直线的解析式为y＝﹣2x+n， 代入（﹣5，4）得，4＝﹣2×（﹣5）+n， 则n＝﹣6， 所以，两次斜平移后的直线的解析式为y＝﹣2x﹣6. 【点睛】本题考查了平移的性质，待定系数法求解析式，是一次函数综合题，解题的关键是得到平移后经过的一个具体点． 62．【阅读理解】已知M，N为平面内不重合的两点．给出以下定义：将M绕N顺时针旋转的过程记作变换．例如：在平面直角坐标系中，已知点，，则O经过变换后所得的点B的坐标为． 【迁移应用】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点，B，设A经过变换后得到C． (1)求点C的坐标； (2)过C作轴于D，点E是线段上一动点，设E经过变换后得到点F，连接，． （i）若的面积为3，求点F的坐标； （ii）设点O是y轴上一动点，当以A，B，F，M四点为顶点的四边形为平行四边形时，求点M的坐标． 【答案】(1)的坐标为 (2)ⅰ，；ⅱ的坐标为或或 【分析】（1）求出，，根据经过变换后得到，可知为的中点，即得的坐标为； （2）ⅰ过作轴于，过作轴于，交直线于，由经过变换后得到点，可证，有，，，的纵坐标都为1，设，则，根据的面积为3，得，，； ⅱ设，，分三种情况：当，为对角线时，，的中点重合，，当，为对角线时，，当，为对角线时，，分别解方程组可得答案． 【详解】（1）把代入得：， 解得， ， 令得， ， 经过变换后得到， ，，共线，且， 为的中点， ，， 的坐标为； （2）ⅰ过作轴于，过作轴于，交直线于，如图： 经过变换后得到点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，的纵坐标都为1， 在中，令得， 设，则， 的面积为3， ，即， 解得， ，； ⅱ由ⅰ知的纵坐标为1，设，， 又，， 当，为对角线时，，的中点重合， ， 解得， ； 当，为对角线时， ， 解得， ； 当，为对角线时， ， 解得， ； 综上所述，的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，三角形面积，平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 63． 如图，在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为，，在x轴的负半轴上有一点A，且满足，连接，． (1)求直线的函数表达式． (2)将线段沿y轴方向平移至，连接，． ①当线段向下平移2个单位长度时（如图所示），求的面积； ②当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①28，② 【分析】（1）先求得，从而求得，又，再用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）①根据平移规律求出，，再用待定系数法即可求出直线的函数表达式为，从而可求出其与y轴相交于点，即可根据三角形面积公式求解；②设将线段沿y轴方向平移m个单位长度至，则，．当时，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． 又∵点A在x轴的负半轴上， ∴． 设直线的函数表达式为． 将，代入上式， 得解得 ∴直线的函数表达式为． （2）①∵将线段向下平移2个单位长度， ∴，． 设直线的函数表达式为，把、代入，得 ，解得， ∴直线的函数表达式为． 如图，设直线与y轴相交于点C， 令，则， ∴． ∴． ②设将线段沿y轴方向平移m个单位长度至， 则，． ∴，，． 当时，， 解得，此时，； ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象平移，勾股定理，三角形面积．熟练掌握待定系数法求函数解析式和一次函数图象平移规律解题的关键． 64．如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线与x轴交于点C，与l1交于第四象限内的点D，已知点D到x轴的距离为，． (1)求直线的解析式； (2)如图2，将y轴向左平移2个单位长度得到直线，在x轴负半轴取一点，动点M，N分别在直线和y轴上运动，连接，求的最小值； (3)如图3，将绕点O逆时针旋转得到，点P为直线上一动点，点Q在x轴上，连接，当是以P或Q为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）求出点D的坐标，利用待定系数法即可求出答案； （2）由已知题意得作点E关于y轴的对称点,作点D关于的对称点，连接交直线于点，交y轴于点，当四点共线时，取得最小值，最小值为的长度，根据两点之间的距离公式可得即可， （3）求出，，得到直线的直线解析式为，设点P的坐标为，点Q的坐标为 ，分两种情况进行画图解答即可． 【详解】（1）解：∵直线与直线相交于点D，且点D到x轴的距离为，. ∴将代入直线：， 解得 ， 则D点坐标为 设直线的解析式为，将点D，点代入得： 解得 ∴直线的解析式为. （2）由已知题意得作点E关于y轴的对称点,作点D关于的对称点，连接交直线于点，交y轴于点，如图， 由已知得到为直线， 由对称性可知，， ∴， ∴当四点共线时，取得最小值，最小值为的长度， ∵， D点坐标为 ∴点， 根据两点之间的距离公式可得 ， ∴的最小值为 （3）直线：分别与x轴，y轴交于A，B两点， 当时，, 当时，，解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ∵将绕点O逆时针旋转得到， ∴， 设直线的直线解析式为，则 , ∴ ∴直线的直线解析式为， ∵点P为直线上一动点，点Q在x轴上， ∴设点P的坐标为，点Q的坐标为 ， ①若Q为直角顶点，且在左侧，过点P作轴于点M，过点D作轴于点H，如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ 解得， ∴ 若Q为直角顶点，且在右侧，过点P作轴于点M，过点D作轴于点H，如图， 同理 ∴， ∴ 解得， ∴ ②点P为直角顶点，且Q在右侧，过点P作轴于点R，过点D作轴交于点G，如图， 同理可证 ∴， ∴ 解得， ∴ 点P为直角顶点，且Q在作侧，过点P作轴于点R，过点D作轴交于点G，如图， 同理可证 ∴， ∴ 解得， ∴ 综上可知，点P的坐标为或或或 【点睛】此题考查一次函数的图象和性质、求一次函数解析式、轴对称的性质、旋转的性质、等腰三角形性质、全等三角形的判定和性质等知识，综合性强，分类讨论是解题的关键． 65．如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线与x轴、y轴分别交于B、A两点． (1)请直接写出点B、C的坐标：B______，C______； (2)如图2，点P为线段上一点，若，请求出点P的坐标； (3)如图3，在（2）的条件下，点M是所在直线上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转至，连接，线段是否存在最小值？若存在，请求出线段的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）分别令进而求得直线与坐标轴的交点坐标； （2）过点作于点，过点作轴，过分别作平行于轴，交于点，证明，可得，根据图形与坐标的关系，即可求得，设直线的直线解析式为，待定系数法求解析式即可，令，进而求得点的坐标； （3）如图，作直线，在直线上截取，过作轴于，连接，证明，，可得，可得在垂直于的直线上运动，当时，最短；证明，可得，，，再利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：直线与x轴、y轴分别交于B、C两点， 令，则，令，则， ； （2）解：如图，过点作交于点，过点作轴，过分别作平行于轴，交于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 轴，平行于轴， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线的直线解析式为，将，代入，则 ， 解得， 直线的直线解析式为， 令，则， 即； （3）解：如图，作直线，在直线上截取，过作轴于，连接， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴在垂直于的直线上运动， 当时，最短； ∵轴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ， 而， ∴， ∴， ， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，旋转的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，二次根式的运算，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊三角形和全等三角形是解题的关键． 66．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴相交于B，与y轴相交于点A．直线：经过原点，并且与直线l1相交于C点． (1)求的面积； (2)如图2，在x轴上有一动点E，连接．问是否有最小值，如果有，求出相应的点E的坐标及的最小值；如果没有，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，以为一边作等边，D点正好落在x轴上，将绕点D顺时针旋转，旋转角度为，记旋转后的三角形为，点C，E的对称点分别为．在旋转过程中，设所在的直线与直线相交于点M，与x轴正半轴相交于点N．当为等腰三角形时，求旋转角的度数？ 【答案】(1) (2)有最小值， (3)α的度数为或或 【分析】（1）求出点B、C的坐标，就可以求出的面积； （2）作点C关于x轴的对称点P，连接交x轴于点K，作射线，过点E作于点H，取中点I，连接．当C、E、H三点共线且时，的长度最小，即有最小值,求出答案即可； （3）为等腰三角形，分三种情况分别画图进行解答即可． 【详解】（1）解：如图1， 在直线：中， 令得， 解得：， ∴点， 联立和解析式得方程组：， 解得：； 故点， ∴． （2）如图2，作点C关于x轴的对称点P，连接交x轴于点K，作射线，过点E作于点H，取中点I，连接． ∴， 在中，令，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴当C、E、H三点共线且时，的长度最小，即有最小值； ∵，， ∴， ∴， 故有最小值为． 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）为等腰三角形，分三种情况： ①当时， ∵， ∴， ∴， 如图3，当时， ∴， 如图4，当时，， ∴旋转角（舍去）， ②如图5，当时，， 此时旋转角或， 当旋转角时，点N与O重合，与点N在x轴正半轴上矛盾，舍去； ③如图6，图7，当时， ∴， ∴或（舍去）， ④如图8，当时，， ∴，此时点N在x的负半轴上，不符合题意； 综上所述，旋转角α的度数为或或． 【点睛】此题考查一次函数性质和图象，等腰三角形性质、含角的直角三角形的性质、图形的旋转等知识．解题关键在于作辅助线和分情况讨论． 67．我们知道，点动成线，就是一条直线由无数个点组成的．在平面直角坐标系中，一条直线上的所有的点的横、纵坐标都满足一个固定的关系式，反过来，如果一个点的横、纵坐标满足这个关系式，那么这个点就在这条直线上．如果一个点在一条直线上，我们称这个点是这条直线的“在线点”． 如图，在平面直角坐标系中，直线上任意一点的横、纵坐标都满足．例如：点的横、纵坐标满足，所以点是直线的“在线点”． (1)请写出一个不同于点的直线的“在线点”的坐标为 ； (2)判断点是否是直线的“在线点”，并说明理由； (3)在平面直角坐标系中，将三角形平移得到三角形，点、、的对应点分别是点、、，它们的坐标如下表： 三角形三个顶点 三角形三个顶点 其中，点在第一象限，且是直线的“在线点”，． ①若点是直线的“在线点”，且三角形的面积为，求的值； ②若点在轴上，判断点是否是直线的“在线点”，并说明理由． 【答案】(1) (2)点是直线的“在线点”，见详解 (3)①3；②点是直线的“在线点”，见详解 【分析】本题考查了新定义，平面直角坐标系中点的平移，二元一次方程，解一元一次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据“在线点”的定义求解即可； （2）根据“在线点”的定义求解即可； （3）①根据“在线点”的定义以及点的平移得到，，，过点A作于点K，则，得到，则，求解即可；② 确定将三角形向右平移m个单位，向下平移b个单位得到点，则可得，由点向右平移m个单位，向下平移b个单位得到点，则，，将分别代入得，即可证明． 【详解】（1）解：当时，代入得，解得：， ∴是“在线点”， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：点是直线的“在线点”， ∵当时，， ∴点满足的关系式， ∴点是直线的“在线点”； （3）解：①∵点在第一象限， ∴， 又∵点是直线的“在线点”， ∴， ∴， ∴， ∵点是直线的“在线点”， ∴， 解得， ∴， 将三角形平移得到三角形，点的对应点分别是点，∵，， ∴是将三角形向右平移m个单位， ∴点A向右平移m个单位得到点D， ∴点， ∵， ∴轴，， 如图，过点A作于点K，则， ∵三角形的面积为， ∴， 则，由得； ②∵点F是直线直线的“在线点”，点E在x轴上， ∴，点平移得到点， ∵， ∴是将三角形向右平移m个单位，向下平移b个单位得到点， ∴， ∴， ∵点向右平移m个单位，向下平移b个单位得到点， ∴，， 将，代入得， ∴点满足，即点是否是直线的“在线点”． 68．创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数图象的平移实际上是图象上每个点沿着相同的方向平移，平移前后两个对应点之间的距离叫做平移距离． 【探究发现】 （1）以一次函数如何平移得到一次函数为例进行探究． ①请在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象，与轴交于点，与轴交于点； ②观察图象发现，将点、点分别向上平移 个单位，平移后的点在直线上．事实上，将一次函数图象上的每个点按上述方式平移，平移后的点都在直线上，平移距离为4个单位． ③请你尝试再写出另一种点的平移方式：将一次函数图象上的点向 平移，平移距离为 个单位，可得直线． ④若要使得平移距离有最小值，点，应该如何平移，请在平面直角坐标系中，作出平移后的对应点，． 【深入探究】 （2）将一次函数按平移距离最小值的方式平移到，则平移距离为 （用，表示）． 【拓展升华】 （3）如图，已知正方形各边平行于坐标轴，且边长为，点坐标为，若线段，且点，在直线上，平移线段使得线段端点恰好落在正方形的边上，则平移距离的最小值为 ． 【答案】（1）①见解析；②4；③左，4；④见解析；（2）；（3） 【分析】（1）①求出直线与坐标轴的交点即可作图；②由点向上平移4个单位与直线上的重合，即可确定平移距离；③同理可求直线与轴交点为，而，则向左平移4个单位与点重合，继而直线向左平移4个单位得到直线；④根据垂线段最短即可确定平移方式； （2）同上可求，，则，，为等腰直角三角形，则，设，则由勾股定理得：，即可求解； （3）同上可得，延长交于点，可得，则由上知当沿着方向平移时，落在正方形的边上时，平移距离最短，即为长， 在等腰中，，同上可得，可求，，由得，则， 那么． 【详解】解：（1）①当， 当，则， ∴， 则作图如图： ②对于直线，当， ∴点向上平移4个单位与重合，向上平移4个单位与重合， 故答案为：4； ③同理可求直线与轴交点为，而， ∴向左平移4个单位与点重合， ∴直线向左平移4个单位得到直线， 故答案为：左，4； ④点即为所求 过点分别作直线的垂线，垂足为，由垂线段最短得到直线沿射线方向平移，平移距离为； （2）记直线与与轴分别交于点，如图 同上可求， ∴， ∴， 同理， 由题意得， 则为等腰直角三角形， ∴， 设， 则由勾股定理得：， 解得：（舍负）， 即平移距离为 故答案为：； （3）同上可得，延长交于点， 由得， ∴， 同上可得， ∴， ∴ ∴由上知当沿着方向平移时，落在正方形的边上时，平移距离最短，即为长， 在等腰中，，同上可得， 由平移得， ∴， ∵四边形为正方形， ∴轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 同理为等腰直角三角形， ∴， 由得， ∴， ∴， ∴平移得最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的平移变化，难度较大，涉及勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识点，综合性较强． 试卷第2页，共182页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 图形的平移与旋转 内容导航 知识点…………………………………………………………………………………2 类型一、图形平移的性质和应用……………………………………………………2 类型二、平面直角坐标系中的平移问题……………………………………………20 类型三、平移中的最值问题…………………………………………………………39 类型四、图形旋转的性质和应用……………………………………………………49 类型五、平面直角坐标系内的旋转问题……………………………………………82 类型六、图形旋转中的最值探究…………………………………………………106 类型七、图形旋转的规律探究……………………………………………………131 类型八、一次函数的平移与旋转问题……………………………………………138 知识点1．图形的平移 1、平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。 平移后，新图形与原图形的形状和大小完全相同。 2、平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 3、平移性质:平移前后两个图形中①对应点的连线平行（或共线）且相等；②对应线段相等③对应角相等 知识点2．图形的旋转 1、旋转 把一个平面图形绕着平面内的一点O转动一个角度。 2、旋转三要素 旋转中心、旋转方向、旋转角度 3、性质 ①对应点到旋转中心的距离相等②对应点到旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 ③旋转前后的图形全等 知识点3．中心对称 1、定义把一个图形绕着某一点O旋转180度，如果它能够与另一个图形重合，这两个图形关于这个点对称或中心对称 2、性质 ①对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心所平分 ②中心对称的图形是全等图形 3、中心对称图形 把一个图形绕着某一点O旋转180度后能与原图形重合 4、关于原点对称的坐标特征 P(x，y)→P（-x，-y） 类型一、图形平移的性质和应用 1．综合与实践——探索图形平移中的数学问题： 问题情境：如图1，已知是等边三角形，，点是边的中点，以为边，在外部作等边三角形． 操作探究：将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点、、的对应点分别为点、、； （1）如图2，善思小组的同学画出了时的情形，求此时平移的距离． （2）如图3，点是的中点，在平移过程中，连接交射线于点，敏学小组的同学发现始终成立，请你证明这一结论． 拓展延伸： （3）在平移的过程中，直接写出以、、为顶点的三角形成为直角三角形时，平移的距离是 ．    2．联想与探索： 如图1,将线段A1A2本向右平移1个单位长度至B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分)，在图2中，将折线A1A2A3向右平移1个单位长度至B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1(即阴影部分). (1)在图3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示； (2)请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积(设长方形水平方向长均为a,竖直方向长均为b) ：S1= ，S2= ，S3= ; (3)如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的小路(小路任何地方的水平宽度都是2个单位长度，长方形水平方向长为a,竖直方向长为b)，则空白部分表示的草地面积是多少？ (4)如图5，若在(3)中的草地上又有一条横向的曲小路(小路任何地方的宽度都是1个单位长度），则空白部分表示的草地面积是多少？ 3．某同学在一次课外活动中用硬纸片做了两个直角三角形，中，，，．中，，，．该同学将的直角边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动，在移动过程中，D、E两点始终在边上． (1)当移动至什么位置，即的长为多少时，F、C的连线与平行？ (2)当移动至什么位置，即的长为多少时，以线段、、的长为三边长的三角形是直角三角形？ (3)在的移动过程中，是否存在某个位置，使得？如果存在，求出的长；如果不存在，说明理由． 4．如图 1，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，． (1)请说明的理由． (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①如图 2，当时，求的度数； ②在整个运动中，当时，求的度数． ③在整个运动中，之间的等量关系为： ．（直接写出答案） 5．如图1，在中，，，点为边的中点，（点在点的右侧），线段初始时与线段重合，将线段沿射线平移，连接. (1)________°； (2)当时，若，则________°； 当时，若当时，则________°； (3)如图2，连接，在线段平移的过程中，，与的角平分线所在的直线相交于点，请你用含有的代数式直接写出的度数. 6．如图，直线，直线与、分别交于点G、，．小新将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线、上，，； (1)填空： °； (2)若，的角平分线交直线于点O． ①如图②，当时，求α的度数； ②小新将三角板向右平移，直接写出的度数（用含a的式子表示）． 7．如图，在中，，线段是由线段平移得到的，点在边上，以为边构造，使，．过点作，垂足为，延长交于点． (1)如图，若点恰好在的延长线上，此时点与点A重合，点与点重合． ①求证：； ②若，，求的长； (2)如图，当点与点重合时，连接，请直接写出与的数量关系． 类型二、平面直角坐标系中的平移问题 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在轴正半轴上，且，将线段平移至线段，点的对应点为点，点的对应点为点，连接是轴上一动点．    (1)点的坐标是________，点的坐标是________；与的关系是________； (2)当三角形的面积是三角形的面积的3倍时，求点的坐标； (3)若，，，判断，，之间的数量关系，简要叙述所得结论，不必证明． 9．对于平面直角坐标系xOy中的图形G和图形G上的任意点P（x，y），给出如下定义： 将点P（x，y）平移到P'（x+t，y﹣t）称为将点P进行“t型平移”，点P'称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平移”．例如，将点P（x，y）平移到P'（x+1，y﹣1）称为将点P进行“l型平移”，将点P（x，y）平移到P'（x﹣1，y+1）称为将点P进行“﹣l型平移”． 已知点A （2，1）和点B （4，1）． （1）将点A （2，1）进行“l型平移”后的对应点A'的坐标为　 　． （2）①将线段AB进行“﹣l型平移”后得到线段A'B'，点P1（1.5，2），P2（2，3），P3（3，0）中，在线段A′B′上的点是　 　． ②若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是　 　． （3）已知点C （6，1），D （8，﹣1），点M是线段CD上的一个动点，将点B进行“t型平移”后得到的对应点为B'，当t的取值范围是　 　时，B'M的最小值保持不变． 10．问题呈现：在平面直角坐标系中，，，，点与原点重合．连，．点为线段上一动点（不与点，重合），点横坐标为．四边形沿方向平移，使点与点重合，得对应四边形，交轴于点，如图． （1）求四边形的面积； 数学思考：（2）若，按要求完成以下问题： ①直接写出点，，的坐标； ②求阴影部分（六边形）的面积． 拓展延伸：四边形内有任一点，当四边形沿方向自点向点运动．直接写出四边形的面积（用的式子表示）． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，且，满足．现将线段先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到线段，其中点的对应点为，点的对应点为，连接，． (1)求点，，，的坐标． (2)若是线段上的一个动点，是线段上的一个定点，连接，，当点在线段上移动时（不与点，重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由． (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着轴向上运动，设运动时间为 ．问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于若存在，请求出的值和点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，，，，，．    (1)如果四边形是长方形，请画出该长方形，并直接写出点的坐标； (2)将长方形向右平移个单位长度，得到长方形． ①当点落在线段上时，结合图形直接写出此时的值； ②横、纵坐标都是整数的点叫做整点，如果长方形和三角形重叠区域（不含边界）内恰好有3个整点，直接写出的取值范围． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，，过点作轴，过点作轴，交点为，且，满足，，满足．      (1)求出，，三点的坐标； (2)将进行适当的平移得到，使平移后的的顶点落在轴上，顶点落在轴上，在平面直角坐标系中画出相应的，并直接写出点，的坐标； (3)在（2）的条件下，点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，，两点分别从点、点同时出发，点以每秒2个单位长度的速度从点沿线段向点运动，点以每秒1个单位长度的速度从点沿线段向点运动，设点，的运动时间为秒，当线段的长为2时，求出点与点的坐标． 14．对于平面直角坐标系中的图形和图形上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点进行“型平移”，点称为将点进行“型平移”的对应点；将图形上的所有点进行“型平移”称为将图形进行“型平移”．例如，将点平移到称为将点进行“1型平移”，将点平移到称为将点进行“型平移”．已知点和点． (1)将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为______． (2)①将线段进行“型平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是______． ②若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，则的取值范围是______． (3)已知点，，点是线段上的一个动点，将点进行“型平移”后得到的对应点为，当的取值范围是多少时，的最小值保持不变，并直接写出此最小值． 15．如图，在平面直角坐标系中，点，，且满足，． (1)如图，将线段平移至，点的对应点为，连接、． ①点的坐标为________； ②求面积是多少？ (2)如图，点，轴于，点以每秒个单位长度的速度从出发向运动，同时另一动点以每秒个单位长度的速度从出发，在射线上运动，当点运动到时两点都停止运动，当时，求运动时间的值（单位：秒）． 类型三、平移中的最值问题 16．如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（   ） A． B． C． D．  17．如图，是边长为2的等边三角形，将沿直线翻折，得到，再将在直线上平移，得到．连接，则的周长的最小值是 ． 18．如图，在边长为4的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为 ． 19．如图，为等腰直角三角形，，点在的延长线上，且，将沿方向平移得到，连接，，则的周长的最小值为 ．      20．如图，在边长为的正方形网格纸中，三角形的顶点都在格点上． (1)三角形经过平移后变为三角形，其中点的对应点为，画出三角形； (2)已知，若点是线段上任意一点，连接，则线段CM长度的最大值为 ，最小值为 ． 21．如图，平面直角坐标系中，点 的坐标分别为，是轴上的两个动点，且 为线段上一动点，则的最小值为 类型四、图形旋转的性质和应用 22．如图，在中，，，点在的内部，，，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 23．如图，在等边中有一点P，连结，将绕点B逆时针旋转得到，连结．给出下面四个结论：①；②是等边三角形；③；④若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 24．如图，在中，，现操作如下：将边绕点C顺时针旋转为，将边绕点C 逆时针旋转为，过点C 作于H，延长至E使，延长与交于F． 若，，则的面积是 ． 25．【问题提出】如图①，在等边内部有一点，已知，，，求的度数． 【类比探究】如图②，等腰内部有一点，已知，，，则_____． 【联想拓展】如图③，等腰外部有一点，已知，，，则_____． 26．如图1，绕点逆时针旋转得到，，直线与，分别相交于点，，平分． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，若，求的值． 27．如图1，在中，，点分别在边上，，连接，过点作，垂足为与交于点． (1)求证：； (2)将图1中的绕点逆时针旋转，其他条件不变，如图2，（1）的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； (3)若，将绕点逆时针旋转一周，当三点共线时，直接写出的长． 28．（1）问题背景 如图1：在四边形中，，，．E，F 分别是上的点．且．探究图中线段之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G．使．连结．先证明；再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 请你帮他完成证明过程． （2）探索延伸： 如图2，若在四边形中，，．E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用： 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以40海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以50海里/小时的速度前进2小时后，指挥中心观测到甲，乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，此时两舰艇之间的距离_______． 29．综合与实践 【基本模型】如图1和2所示，，直线l经过点O（不与，重合），过点A，B作l的垂线，垂足分别为C，D，可以很容易证得，进而得到：． 【模型应用】在图1的基础上，在射线上取一点M，把线段绕点O逆时针转得到、连接．交直线l于点P．    (1)如图3，当点M与点C重合时与的数量关系为______； (2)如图4，当点M在的延长线上时，试判断与的数量关系．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：过点N作直线l于E（见下图）．同学们，根据小颖的提示，请你判断与的数量关系，并给出证明． (3)如图5，当点M在线段上时的值为______． 30．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图1，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，．小明发现不用测量也能知道的长． 【问题解决】： 请你应用所学的知识帮小明解答求长的过程． 【情景拓展】：在锐角中，，于点．点为射线上一动点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，交直线于点， （1）如图2：当点在线段上时，试猜想和的数量关系并证明． （2）当点在射线上运动时，若，请求出的值． 31．在一次数学实践活动课上，老师了给一个，要求同学们利用旋转自己编题并解答： (1)第一小组编题如下： 将绕点A逆时针旋转得到，如图1，当点B，C的对应点D，E与点B在同一直线上，若，，求旋转角及的长． (2)第二小组受第一小组的启发，编题如下： 将中的线段绕点C逆时针旋转得到线段，当点A的对应点D与点A，B在同一直线上时，如图2，过C作于E，取的中点M，若（），将绕点M顺时针旋转得，连接． 求证：． 请完成以上（1）和（2）的解答过程 32．阅读材料题：有这样一个题目：已知，如图1，P是正方形内一点，连接，若，，，求的长． 小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，老师给出的提示是：将绕点A顺时针旋转得到，再利用勾股定理即可求解本题．请根据数学老师的提示帮小明求出图1中线段的长为______． 【方法迁移】：已知：如图2，为正三角形，P为内部一点，若，，，求的大小． 【能力拓展】：已知：如图3，等腰三角形中，D、E是底边上两点且，若，，求的长． 33．定义：在四边形中，如果，那么我们把这样的四边形称为“对余四边形”． 【定义理解】如图，已知是对余四边形的对角线，，，则的度数为 ． 【问题探索】问题：如图，已知、是对余四边形的对角线，，． 求证：． 探索：小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法： 因为，，所以是等边三角形，将绕点顺时针方向旋转，连接，． …… 请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程． 【灵活运用】如图，已知、是对余四边形的对角线，，，若，，求的长． 34．在等边中，，点在边上，且，动点从点出发沿射线以每秒的速度运动，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，当点落在延长线上时，点停止运动．设点运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示、两点间的距离； (2)当与的一边平行时，求的值； (3)当与的一边垂直时，求的值； (4)在整个运动过程中，扫过的面积为________． 类型五、平面直角坐标系内的旋转问题 35．在平面直角坐标系中，等边的顶点在y轴正半轴上，顶点B，顶点C分别在第三象限和第四象限，且． (1)如图1，当时． ①点B的坐标为______，点C的坐标为______． ②点P在x轴上，点Q是平面内任意一点，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是矩形，求P点坐标； ③若点M在边上，点M绕O点顺时针旋转得到点，若点也在边上，请直接写出的坐标； (2)当时，点M是等边边上的一动点，若点M绕O点顺时针旋转得到点，直接写出所有点组成图形的面积． 36．在平面直角坐标系中，点，点，且，满足，点是轴上一动点，将线段绕点顺时针旋转得线段． (1)如图，若，则点的坐标是________； (2)过点作，交直线于点，连接． 如图，若，求证：； 如图，若，求的值． 37．如图，在中，将的边绕点顺时针旋转得到线段． (1)如图①，若为直角三角形，以直角顶点为原点，直角边，所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，已知点，，且，则 ，点坐标为 ； (2)如图②，若为等腰三角形，，，连接，请用含的式子表示的面积； (3)在（1）的条件下，点沿着轴负方向运动至点，求点运动路径的长度． 38．对于平面直角坐标系中的图形W，直线l和点P，给出如下定义：先将图形W沿直线l对称得到对应图形，再将图形其绕点P逆时针旋转，得到图形，称为图形W的“旋轴变换图形”．其中，称直线l为“变换直线”，称点P为“变换点”．已知，点，“变换直线”为y轴，“变换点”为． (1)如图1， ①当时，点M的“旋轴变换图形”的坐标是 ； ②若点M的“旋轴变换图形”始终位于x轴上方，求m的取值范围； (2)已知点，随着点M的运动，在图2中画出线段MN的“旋轴变换图形”扫过的区域． 39．如图1，在平面直角坐标系中，，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移a个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，且C点落在y轴上，连接，． (1)直接写出点C、D的坐标：C（_______），D（_______）； (2)如图1，若点Q为线段的中点，点P以每秒1个单位长度的速度在线段上从点O向C点运动，是否存在某个时刻t，使得，若存在，试求出该时刻和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，已知，射线以的速度绕点A顺时针旋转至停止，射线以的速度绕点C顺时针旋转，射线、同时开始旋转，同时停止运动．在射线到达之前，会与射线交于点M，过M作交于N，则在转动过程中，的值是否会改变，如果不变请求出这个定值；如果会变，请说明理由． 40．对称变换和平移变换在平面几何中有着广泛的应用，特别是在解决有关最值问题时，更是我们常用的思维方法，请你利用所学知识解决下列问题： （1）如图①，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），点B（2，1），点P在x轴上运动，当PA+PB的值最小时，点P的坐标是　　；（请直接写出答案） （2）如图②，AD⊥l于点D，BC⊥l于点C，且AD＝2，AB＝BC＝4，当点P在直线l上运动时，PA+PB的最小值是　　；（请直接写出答案） （3）如图③，直线a∥b，且a与b之间的距离为1，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为2，且AB＝，问：在直线a上是否存在点C，在直线b上是否存在点D，使得CD⊥a，且AC+CD+DB的值最小？若存在，请求出AC+CD+DB的最小值；若不存在，请说明理由． （4）如图④，在平面直角坐标系中，A（6，0），B（6，4），线段CD在直线y＝x上运动，且CD＝2，则四边形ABCD周长的最小值是　，此时点D的坐标为　．（请直接写出答案） 类型六、图形旋转中的最值探究 41．如图，已知，的半径为2，点C在上，连接．并将线段绕点A顺时针旋转得到线段．当点C在上运动时，点D到直线距离的最大值是 ． 42．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点为轴上一点，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，得到等腰直角，且为直角，连接，请写出当最大时点的坐标为 ． 43．如图，在锐角中，，点E为线段中点，点P为线段上的动点，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，点P的对应点是点，在旋转的过程中，线段长度最小值是 ．    44．如图，等边三角形的边长为，是边上一动点（与不重合），是延长线上一点，且，交于．    (1)当时，__________； (2)当时，___________； (3)求证：； (4)如图，过点作于点，_________； (5)如图，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，则的最小值为_________． 45．已知在平面直角坐标系中，点． (1)如图，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论； (2)若P为x轴正半轴上异于原点O的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转至，直线交y轴于点Q， ①当P点在x轴上移动时，试判断线段的长是否会发生变化，如果不变求出线段的长，如果发生变化请说明理由； ②连接，直接写出线段的最小值． 则，，，， ， ，即、、三点共线， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 即； 46．在中，D为边上一点，连接，E为上一点，连接，． (1)如图1，若，，，求的面积； (2)如图2，连接，若，，点G为的中点，连接，求证：； (3)如图3，若是等边三角形，，D为直线上一点，将绕点A逆时针方向旋转到，连接，M为线段上一点，，P为直线上一点，分别连接，，请直接写出的最小值． 47．如图1，在中，，，，点在轴上，以为一边，在外作等边三角形，是的中点，连接并延长交于． (1)①求点B的坐标； (2)如图2．将图1中的四边形折叠，使点与点重合，折痕为，求的长； (3)如图1，连接，在线段上有一动点，连接，，直接写出的最小值为______； (4)若去掉题干中这个条件，点为外一点，连接，，，若，，则当线段的长度最小时，______，的最小值是______． 48．在等边中，，垂足为点，点为直线上一动点，连接，以点为旋转中心，把线段顺时针旋转，得到线段，连接． (1)如图①，当点在线段上时，求证：． (2)如图②，当点在线段的延长线上时，连接，，若，求的大小． (3)若等边的边长是6，连接，在点运动过程中，直接写出线段的最小值． 49．在中，，过点作． (1)如图1，若点在点的左侧，连接，过点作交于点．若点是的中点，求证：； (2)如图2，若点在点的右侧，连接，点是的中点，连接并延长交于点，连接．过点作交于点平分交于点，求证：； (3)若点在点的右侧，连接，点是的中点，且．点是直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值． 类型七、图形旋转的规律探究 50．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径作圆，是上一动点，连接，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，连接．若点从点出发，按照逆时针方向以每秒个单位长度运动，则第2027秒时，点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 51．在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在的正方形网格图形中（如图1），从点经过一次跳马变换可以到达点，，，等处现有的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点经过跳马变换到达与其相对的顶点，最少需要跳马变换的次数是（    ） A． B． C． D． 52．如图，在△ABC中,∠ACB=，∠B=，AC=1，BC=，AB=2，AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针转到位置①可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=3+…，按此顺序继续旋转，得到点P2016，则AP2016=(   ) A．2016+671 B．2016+672 C．2017+671 D．2017+672 ∴AP6＝2（3+）， AP9＝3（3+）， 而2016＝3×672， ∴AP2016＝672（3+）＝2016+672． 故选B． 53．如图所示，，，，．将折线绕点顺时针旋转得出新的折线，再将新的折线绕点顺时针旋转……以此类推，得到一个大的折线．现有一动点P从原点O出发，沿着折线以每秒1个单位的速度移动，设运动时间为t．当时，点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 54．如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的倍，得到线段．．．．．．如此下去，得到线段为正整数)，则点的坐标为 ． 55．如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O 上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从 A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为 60°的方向运动到⊙O上的点A4处；……按此规律运动到点A2 017处，则点A2017与点A0间的距离是 56．如图所示，在平面直角坐标系中，，，是直角三角形，且，，到轴距离为，把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到，依此类推，则旋转第次后，得到的直角三角形的直角顶点的坐标为 ． 类型八、一次函数的平移与旋转问题 57．如图，直线与直线相交于点，将直线绕点A旋转后所得直线与x轴的交点坐标为 ． 58．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，点坐标为，连接． (1)求点的坐标及线段的长度； (2)将线段沿轴向下平移个单位至，连接． 当为直角三角形时，求的值； 当周长最小时，的值是 ；此时，最小周长等于 ． 59．如图，一次函数与坐标轴交于，两点，将线段以点为中心逆时针旋转一定角度，点B的对应点落在第二象限的点处，且点坐标为． (1)求直线的表达式； (2)点是轴上一点，当最小时，请求出点的坐标； (3)把线段绕点旋转得到线段，连接，直线与直线相交于，请直接写出点的坐标． 60．如图所示，在直角坐标系中，，，线段在轴上平移，且满足，连接、、．    (1)当时，__________； (2)当四边形的周长取得最小值时，求出此时点的坐标及四边形的最小周长； (3)在（2）的条件下，连接，当向下平移的过程中，轴上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 61．（1）阅读以下内容并回答问题： 问题：在平面直角坐标系xOy中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，求平移后直线的解析式． 小雯同学在做这类问题时经常困惑和纠结，她做此题的简要过程和反思如下． 在课堂交流中，小谢同学听了她的困惑后，给她提出了下面的建议：“你可以找直线上的关键点，比如点A（1，﹣2），先把它按要求平移到相应的对应点A′，再用老师教过的待定系数法求过点A′的新直线的解析式，这样就不用纠结了．” 小雯用这个方法进行了尝试，点A（1，﹣2）向上平移3个单位后的对应点A′的坐标为　 　，过点A′的直线的解析式为　 　． （2）小雯自己又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验此方法，请你也试试看： 将直线y＝﹣2x向左平移3个单位，平移后直线的解析式为　 　，另外直接将直线y＝﹣2x向　 　（“上”或“下”）平移　 　个单位也能得到这条直线． （3）请你继续利用这个方法解决问题： 对于平面直角坐标系xOy内的图形M，将图形M上所有点都向上平移3个单位，再向左平移3个单位，我们把这个过程称为图形M的一次“斜平移”．求将直线y＝﹣2x进行两次“斜平移”后得到的直线的解析式． 62．【阅读理解】已知M，N为平面内不重合的两点．给出以下定义：将M绕N顺时针旋转的过程记作变换．例如：在平面直角坐标系中，已知点，，则O经过变换后所得的点B的坐标为． 【迁移应用】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点，B，设A经过变换后得到C． (1)求点C的坐标； (2)过C作轴于D，点E是线段上一动点，设E经过变换后得到点F，连接，． （i）若的面积为3，求点F的坐标； （ii）设点O是y轴上一动点，当以A，B，F，M四点为顶点的四边形为平行四边形时，求点M的坐标． 63． 如图，在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为，，在x轴的负半轴上有一点A，且满足，连接，． (1)求直线的函数表达式． (2)将线段沿y轴方向平移至，连接，． ①当线段向下平移2个单位长度时（如图所示），求的面积； ②当时，求点的坐标． 64．如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线与x轴交于点C，与l1交于第四象限内的点D，已知点D到x轴的距离为，． (1)求直线的解析式； (2)如图2，将y轴向左平移2个单位长度得到直线，在x轴负半轴取一点，动点M，N分别在直线和y轴上运动，连接，求的最小值； (3)如图3，将绕点O逆时针旋转得到，点P为直线上一动点，点Q在x轴上，连接，当是以P或Q为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 65．如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线与x轴、y轴分别交于B、A两点． (1)请直接写出点B、C的坐标：B______，C______； (2)如图2，点P为线段上一点，若，请求出点P的坐标； (3)如图3，在（2）的条件下，点M是所在直线上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转至，连接，线段是否存在最小值？若存在，请求出线段的最小值，若不存在，请说明理由． 66．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴相交于B，与y轴相交于点A．直线：经过原点，并且与直线l1相交于C点． (1)求的面积； (2)如图2，在x轴上有一动点E，连接．问是否有最小值，如果有，求出相应的点E的坐标及的最小值；如果没有，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，以为一边作等边，D点正好落在x轴上，将绕点D顺时针旋转，旋转角度为，记旋转后的三角形为，点C，E的对称点分别为．在旋转过程中，设所在的直线与直线相交于点M，与x轴正半轴相交于点N．当为等腰三角形时，求旋转角的度数？ 67．我们知道，点动成线，就是一条直线由无数个点组成的．在平面直角坐标系中，一条直线上的所有的点的横、纵坐标都满足一个固定的关系式，反过来，如果一个点的横、纵坐标满足这个关系式，那么这个点就在这条直线上．如果一个点在一条直线上，我们称这个点是这条直线的“在线点”． 如图，在平面直角坐标系中，直线上任意一点的横、纵坐标都满足．例如：点的横、纵坐标满足，所以点是直线的“在线点”． (1)请写出一个不同于点的直线的“在线点”的坐标为 ； (2)判断点是否是直线的“在线点”，并说明理由； (3)在平面直角坐标系中，将三角形平移得到三角形，点、、的对应点分别是点、、，它们的坐标如下表： 三角形三个顶点 三角形三个顶点 其中，点在第一象限，且是直线的“在线点”，． ①若点是直线的“在线点”，且三角形的面积为，求的值； ②若点在轴上，判断点是否是直线的“在线点”，并说明理由． 68．创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数图象的平移实际上是图象上每个点沿着相同的方向平移，平移前后两个对应点之间的距离叫做平移距离． 【探究发现】 （1）以一次函数如何平移得到一次函数为例进行探究． ①请在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象，与轴交于点，与轴交于点； ②观察图象发现，将点、点分别向上平移 个单位，平移后的点在直线上．事实上，将一次函数图象上的每个点按上述方式平移，平移后的点都在直线上，平移距离为4个单位． ③请你尝试再写出另一种点的平移方式：将一次函数图象上的点向 平移，平移距离为 个单位，可得直线． ④若要使得平移距离有最小值，点，应该如何平移，请在平面直角坐标系中，作出平移后的对应点，． 【深入探究】 （2）将一次函数按平移距离最小值的方式平移到，则平移距离为 （用，表示）． 【拓展升华】 （3）如图，已知正方形各边平行于坐标轴，且边长为，点坐标为，若线段，且点，在直线上，平移线段使得线段端点恰好落在正方形的边上，则平移距离的最小值为 ． 试卷第2页，共182页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 $$