精品解析：吉林市地区2024-2025学年高一上学期期末调研测试数学试题

吉林地区2024-2025学年度第一学期高一年级期末调研测试 数学试题 说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上.字体工整，笔迹清楚. 3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. “角为第二象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（，且）图象经过定点，若正数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 莱洛三角形也叫圆弧三角形，它是由德国机械学家莱洛首先发现的.其画法如下：先画等边三角形，再分别以三个顶点为圆心、以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为莱洛三角形.如图所示，若莱洛三角形的周长为，则其面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数部分图象如图所示，则（ ） A. B C. 函数的对称轴方程为 D. 将的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数的图象 11. 切比雪夫多项式是以俄国著名数学家切比雪夫（Tschebyscheff，又译契贝雪夫等，1821-1894）的名字命名的重要的特殊函数，第一类切比雪夫多项式和第二类切比雪夫多项式（简称切比雪夫多项式）源起于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是与棣莫弗定理有关、以递推方式定义的多项式序列，是计算数学中的一类特殊函数.有许多良好的结论，例如：①，，对于正整数时，有成立；②，成立.若函数在上有3个不同的零点，分别记为，，，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分. 12. 已知命题，，写出命题的否定：_____. 13. 已知，则的值为_____. 14. 已知函数，则关于的方程的解的个数为_____；若关于的方程有8个不相等实数根，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）当时，求的最值以及取得最值时的集合. 16. 如图，在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为. （1）求，的值； （2）将角的终边绕原点逆时针旋转角与单位圆交于点，求的值. 17. 吉林位于“冰雪黄金带”，拥有世界上顶级的“粉雪”资源，是冰雪运动的理想之地，吸引了无数滑雪爱好者.吉林市拥有两个优质的滑雪胜地：“北大湖滑雪场”“万科松花湖滑雪场”.北大湖滑雪场是符合国际标准的滑雪场，曾在这里举办过“中国第六届冬季运动会”“中国第二届青年冬季运动会”“中国跳台滑雪锦标赛”和省、市不同等级雪上项目的比赛.北大湖滑雪场接待了多届“中国·吉林国际雾凇冰雪节”游客，并被国家体育总局评为冰雪旅游类“国家体育产业示范单位”.万科松花湖滑雪场是距离城市最近的大型滑雪场之一，曾获得“中国最佳滑雪旅游度假区”殊荣.这两个滑雪场多年以来在推动中国的滑雪运动、冰雪旅游、带动城市周边农村经济发展等方面都做出了重要贡献.近几年，这两个滑雪场接待总人次的年增长速度越来越快，经统计发现，2021至2023年的年接待总人次近似值如下表所示： 年份 2021 2022 2023 年份代码x 1 2 3 年接待总人次y/万 10 12 16 根据以上数据，两个滑雪场的年接待总人次与年份代码有以下两种函数模型可供选择：①，②（，，且）. （1）试判断哪种函数模型更适合刻画两个滑雪场的年接待总人次的增长趋势，请简述理由，并利用表格中后两组数据求出相应的函数解析式； （2）根据（1）中选择函数模型，按表格中的数据增长趋势，预测在哪一年两个滑雪场的年接待总人次达到25万?（参考数据：，，，） 18. 已知二次函数. （1）若函数的图象如图所示，直接写出实数的值和不等式的解集，并写出集合的真子集； （2）解关于的不等式； （3）若函数，，求实数的取值范围. 19. 在物理学和几何学中，悬链线是指理想化的悬挂链条或电缆在均匀重力场中仅在其两端受到支撑时，在自身重量的作用下呈现的曲线.悬链线呈形，表面上看起来类似于抛物线，但实际上并不是.笛卡尔坐标系中的悬链线方程为.当时，是双曲余弦函数，类似的，也有双曲正弦函数. （1）求的值； （2）令. （ⅰ）证明函数奇偶性，并求关于的不等式的解集； （ⅱ）若对恒成立，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 吉林地区2024-2025学年度第一学期高一年级期末调研测试 数学试题 说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上.字体工整，笔迹清楚. 3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求解. 【详解】,故， 故选：B 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系弦化切计算即可. 【详解】因为， 所以， 故选：C 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：C. 4. “角为第二象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦和余弦函数在各个象限的函数值的正负，结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】当角为第二象限角，，所以，充分性成立； 反过来，当时，角为第二或第四象限角，必要性不成立， 所以“角为第二象限角”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为，， ， 所以， 故选：B 6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数单调性的性质，结合指数函数和二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】令， 因为函数是实数集上的增函数，又在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 因为二次函数的对称轴为， 所以有，即， 故选：B. 7. 已知函数（，且）图象经过定点，若正数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数型函数过定点结合基本不等式“1”的妙用方法求解即可. 【详解】因为函数（，且）图象经过定点， 所以， 所以，， 所以. 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故选：C 8. 莱洛三角形也叫圆弧三角形，它是由德国机械学家莱洛首先发现的.其画法如下：先画等边三角形，再分别以三个顶点为圆心、以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为莱洛三角形.如图所示，若莱洛三角形的周长为，则其面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解. 【详解】由条件可知，弧长， 等边三角形的边长， 则以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积为， 中间等边的面积. 所以莱洛三角形的面积是. 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用不等式的性质，赋值法和作差法进行判断解决即可. 【详解】对于A，若，当时，不成立，故A错误； 对于B，若，由不等式性质，，故B正确； 对于C，若，取，则，故C错误； 对于D，若，则，所以，故D正确； 故选：BD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 函数的对称轴方程为 D. 将的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象得出振幅及周期可判断AB，再由特殊点代入求出，得出函数解析式求对称轴判断C，由图象平移判断D. 【详解】由图象可知，，故A正确； 又，所以，解得，故B正确； 所以，由， 即，又，故， 所以，令，解得， 即函数对称轴方程为，故C错误； 将的图象向左平移个单位长度得到函数，函数为偶函数，故D正确. 故选：ABD 11. 切比雪夫多项式是以俄国著名数学家切比雪夫（Tschebyscheff，又译契贝雪夫等，1821-1894）的名字命名的重要的特殊函数，第一类切比雪夫多项式和第二类切比雪夫多项式（简称切比雪夫多项式）源起于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是与棣莫弗定理有关、以递推方式定义的多项式序列，是计算数学中的一类特殊函数.有许多良好的结论，例如：①，，对于正整数时，有成立；②，成立.若函数在上有3个不同的零点，分别记为，，，则（ ） A B. C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，令代入，结合题意求解，对于B，利用，结合得到答案，对于C，结合B项，可得，进而判断C，对于D，将函数在上有3个不同零点，转换为方程在上有3个不同的实根，令，结合C选项，，得到，进而得到答案. 【详解】对于A，因为，所以， 又因为，，所以，， 所以，故A正确； 对于B，因为， ，故B正确； 对于C，若，，所以， 即，结合C选项，所以，故C错误； 对于D， 函数在上有3个不同的零点， 即方程在上有3个不同的实根， 所以令，则，由C选项可知，，而， 则或或， 于是， 则 ，故D正确， 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：D选项，将函数在上有3个不同的零点，转换为方程在上有3个不同的实根，令，结合C选项，，则或或，得到求得答案. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分. 12. 已知命题，，写出命题的否定：_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据全称命题的否定求解. 【详解】由全称命题的否定知， 命题，的否定为：， 故答案为： 13. 已知，则的值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】依题意，结合余弦函数的图象求出的所有可能取值，再结合的取值范围进行取舍即可. 【详解】因为，所以或， 又因为， 所以， 所以， 故答案为：. 14. 已知函数，则关于的方程的解的个数为_____；若关于的方程有8个不相等实数根，则实数的取值范围是_____. 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】①画出函数的图象，函数图象与轴交点的个数即为方程实数根的个数； ②令，根据题设并结合图像将方程的实数根的问题转化为方程的根的问题，构建关于参数的不等式求解即可. 【详解】①作出函数的图象，如图， ∵函数的图象与轴有3个交点， ∴关于的方程有3个实数解. ②令, 由图可知，当，有4个不相等的实数根， 若关于的方程有8个不相等实数根， 则方程有两个大于零且不大于2的不等的实根, 因此 ，解得. 故答案为：①3个；②. 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）当时，求的最值以及取得最值时的集合. 【答案】（1）， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用二倍角降幂公式以及辅助角公式将函数的解析式化简为，利用周期公式求最小正周期，根据正弦型函数的单调性可得出函数的单调递增区间； （2）由，可计算出的取值范围，利用正弦函数的性质可得出函数的最大值和最小值及对应的的值. 【小问1详解】 ， 所以，函数的最小正周期为. 令，得， 因此，函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 当时，. 当，即时，函数有最大值，最大值为. 当，即时，函数有最小值，且最小值为. 16. 如图，在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为. （1）求，的值； （2）将角的终边绕原点逆时针旋转角与单位圆交于点，求的值. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角函数定义求得，再根据同角三角函数的基本关系可求得，，利用两角和的正切公式即可求得； （2）先利用三角函数定义求出的正弦值、余弦值，再通过配角将转化为，结合两角差的余弦公式可求得. 【小问1详解】 ∵角的终边与单位圆的交点为，∴， 又∵，∴， ∴，∴. 【小问2详解】 因为将角的终边绕原点逆时针旋转角与单位圆交于点， 所以， 所以 . 17. 吉林位于“冰雪黄金带”，拥有世界上顶级的“粉雪”资源，是冰雪运动的理想之地，吸引了无数滑雪爱好者.吉林市拥有两个优质的滑雪胜地：“北大湖滑雪场”“万科松花湖滑雪场”.北大湖滑雪场是符合国际标准的滑雪场，曾在这里举办过“中国第六届冬季运动会”“中国第二届青年冬季运动会”“中国跳台滑雪锦标赛”和省、市不同等级雪上项目的比赛.北大湖滑雪场接待了多届“中国·吉林国际雾凇冰雪节”游客，并被国家体育总局评为冰雪旅游类“国家体育产业示范单位”.万科松花湖滑雪场是距离城市最近的大型滑雪场之一，曾获得“中国最佳滑雪旅游度假区”殊荣.这两个滑雪场多年以来在推动中国的滑雪运动、冰雪旅游、带动城市周边农村经济发展等方面都做出了重要贡献.近几年，这两个滑雪场接待总人次的年增长速度越来越快，经统计发现，2021至2023年的年接待总人次近似值如下表所示： 年份 2021 2022 2023 年份代码x 1 2 3 年接待总人次y/万 10 12 16 根据以上数据，两个滑雪场的年接待总人次与年份代码有以下两种函数模型可供选择：①，②（，，且）. （1）试判断哪种函数模型更适合刻画两个滑雪场的年接待总人次的增长趋势，请简述理由，并利用表格中后两组数据求出相应的函数解析式； （2）根据（1）中选择的函数模型，按表格中的数据增长趋势，预测在哪一年两个滑雪场的年接待总人次达到25万?（参考数据：，，，） 【答案】（1）选择更合适；. （2）2025年. 【解析】 【小问1详解】 选择更合适，因为年接待总人次随年份的增长呈爆炸增长趋势. 依题意，，解得，， . 【小问2详解】 由（1）可知， 设在年份代码为时，两个滑雪场的年接待总人次达到25万，则， 所以， 所以预测在年份代码为5，即2025年两个滑雪场的年接待总人次达到25万. 18. 已知二次函数. （1）若函数的图象如图所示，直接写出实数的值和不等式的解集，并写出集合的真子集； （2）解关于的不等式； （3）若函数，，求实数的取值范围. 【答案】（1），, （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）分解因式后根据函数图象直接求出及不等式的解得出A，求B得其真子集； （2）分解因式后分类讨论求不等式的解； （3）分离参数后，对分式变形化简后利用对勾函数的单调性求出最大值得解. 【小问1详解】 因为， 所以由图可知，， 当时，，即不等式解集为， 所以，其真子集为. 【小问2详解】 由 ①当时，不等的解为； ②当时，不等式的解为或； ③当时，不等式的解为或， 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【小问3详解】 由可得， 由，可得， 令，则在上单调递减，在上单调递增， 又时，时，， 所以当时，，所以有最大值， 故只需即可 【点睛】关键点点睛，存在性问题转化为不等式能成立，再利用对勾函数得出函数的最大值即可得解. 19. 在物理学和几何学中，悬链线是指理想化的悬挂链条或电缆在均匀重力场中仅在其两端受到支撑时，在自身重量的作用下呈现的曲线.悬链线呈形，表面上看起来类似于抛物线，但实际上并不是.笛卡尔坐标系中的悬链线方程为.当时，是双曲余弦函数，类似的，也有双曲正弦函数. （1）求的值； （2）令. （ⅰ）证明函数的奇偶性，并求关于的不等式的解集； （ⅱ）若对恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析，解集为；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用指数运算计算可得出的值； （2）（i）化简函数的解析式，利用函数奇偶性的定义可证得结论成立，并分析函数的单调性，可得出关于的不等式，解之即可； （ii）当时，由所求不等式结合参变量分离法可得出，令，利用参变量分离法得出，令，求出函数在上的最小值，即可得出实数的最大值. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， （i）对任意的，，故函数的定义域为， ，故函数为奇函数， 且， 任取、且，则， 所以， ，所以，，所以，函数在上为增函数， 由可得， 所以，，可得， 所以，，解得， 所以，不等式的解集为； （ii）当时，， 由可得， 即， 可得， 当时，令，可得， 所以， ， 令，其中， 因为函数在上为增函数，则， 函数在上单调递减，所以，， 所以，， 函数在上为增函数， 所以，，故，解得， 因此，实数的最大值为. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4）， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$