江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

无锡市第一中学2024-2025学年度第一学期期末试卷 高 一 数学 2025.1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则＝(　　) A． B． C． D． 2．命题“∃x∈R，x2＋x＋2>0”的否定是(　　) A．不存在x∈R，x2＋x＋2<0 B．∀x∈R，x2＋x＋20 C．∀x∈R，x2＋x＋2≥0 D．∃x∈R，x2＋x＋20， 3．“φ＝”是“函数y＝cos(x＋φ)为奇函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若a＝sin ，b＝e0.5，c＝log2 0.2，则a、b、c的大小关系为(　　) A．b>a>c B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 5．函数的图象经过怎样的平移可得到函数y＝sin 2x的图象(　　) A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 6．函数的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝10，则此三角形面积的最大值为(　　) A.6 B．12 C.4 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． 设a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式成立的是(　　) A．ac2>bc2 B.< C．a－c>b－c D．e－a<e－b 10．下列关于函数的说法正确的是(　　) A．在区间上单调递增. B．最小正周期是. C．图象关于点成中心对称. D．图象关于直线对称. 11. 已知实数x1，x2为函数的两个零点，则下列结论正确的是(　　) A．(x1－2)(x2－2)∈(－∞，0) B．(x1－1)(x2－1)＝1 C．(x1－1)(x2－1)∈(0,1) D．(x1－1)(x2－1)∈(1,＋∞) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．__________. 13．函数的图象如图所示，则＝__________. 14．已知函数f(x)＝(x>0)，∀a，b，c>0，以f(a)，f(b)，f(c)的值为边长可构成一个三角形，则整数k的所有可能取值的和为______． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知角的终边经过点， (1)求值； (2)求的值. 16．已知函数. (1)求； (2)解关于的不等式； (3)若存在, 使得，且，求的最小值. 17. 校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2024年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月(每月月底)测量一次，通过一年的观察发现，自2024年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为k m2，二月底测得该水生植物的面积为24 m2，三月底测得该水生植物的面积为40 m2，该水生植物的面积y(单位：m2)与时间x(单位：月)的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的y＝kax(k>0，a>1)，另一个是同学乙提出的y＝p＋k(p>0，k>0)，记2024年元旦最初测量时间x的值为0. (1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式； (2)池塘里该水生植物面积应该在几月份起是2024年一月底该水生植物面积的10倍以上？(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771) 18．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的单调递增区间； (3)函数f(x)在区间上恰好有18个零点，求的取值范围. 19．已知函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数． (1)类比等式，请探究与之间的等量关系，并给出证明过程； (2)求函数的零点. (3)解关于的不等式：. 无锡市第一中学2025-2026学年度第一学期高一数学期末试卷 参考答案： 一单选题： 1.D 2.B 3.A 4.A 5.D 6.C 7.C 8.B 二多选题 9.CD 10.ABD 11.AC 三填空题 12.6 13. 14.15 四、解答题： 15．15．已知角的终边经过点， (1)求值； (2)求的值. （1） （2） 16．已知函数f(x)＝ (1)求f[f(－1)； (2)解关于x的不等式f(x)>2； (3)若存在,,使得，且，求的最小值. 解：(1)f(－1)＝0，f[f(－1)]＝f(0)＝log2(1)＝0. (2)当x<0时，f(x)＝x－2>2， 即x>4，得x<-2， 当x≥0时，f(x)＝log2(x＋1)>2， 所以x＋1>4，得x>3， 故原不等式解集为 (3) 由图象可知最小值为1. 证明如下：设, f(x)在上递减且，在上递增且所以，不妨设，由, ,; ,在上单调递增，所以 所以最小值为1 17 校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2024年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月(每月月底)测量一次，通过一年的观察发现，自2024年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为k m2，二月底测得该水生植物的面积为24 m2，三月底测得该水生植物的面积为40 m2，该水生植物的面积y(单位：m2)与时间x(单位：月)的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的y＝kax(k>0，a>1)，另一个是同学乙提出的y＝p＋k(p>0，k>0)，记2024年元旦最初测量时间x的值为0. (1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式； (2)池塘里该水生植物面积应该在几月份起是2024年一月底水生植物面积的10倍以上？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 解：(1)因为三月底面积增量几乎是二月份的一倍，所以选择同学甲提出的y＝kax(k>0，a>1)比较合适， 由题意得，解得， 所以y＝×x. (2)由(1)可知，一月底时水生植物的面积为×＝， 假设x月后水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上，即 ×x≥10×， 所以x≥， 所以xlg ≥1＋lg ， 因为lg >0，所以x≥1＋＝1＋≈5.5， 所以从6月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上. 18．已知函数f(x)＝2sin xcos－. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)在区间[0，π]上的单调递增区间． (3)函数f(x)在区间[0，π]上恰好有18个零点，求的取值范围. 解：(1)f(x)＝2sin x－ ＝sin 2x＋－ ＝sin 2x－cos 2x＝sin ， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)令z＝x∈[0，π]，则z∈， 因为y＝sin z，z∈的单调增区间是，， 由－≤2x－≤或≤2x－≤， 得0≤x≤或≤x≤π， 所以f(x)在[0，π]内的单调递增区间为，. (3)令,由题意得 所以 19． 【详解】（1）由条件类比得到， 证明如下：因为， ， 所以； （2）因为， 令，则，即， ，解得(舍)， 于是， 整理得，或 解得， 所以函数的零点为，； （3）因为， ， 所以原不等式可化为， 也即>0 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 当时 令可得或<0 原不等式的解集为； 当时， 原不等式的解集为； 综上所述不等式的解集是： 当时，原不等式的解集为； 当时, 原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 第 1 页 共 1 页（高一数学） 学科网（北京）股份有限公司 $$