6.1现实中的变量 教学设计 2024-2025学年北师大版数学七年级下册

《现实中的变量》教学设计 一、教学目标 1. 知识与技能目标 · 学生能准确理解变量、常量的概念，清晰辨别生活实例中的变量与常量。 · 明确自变量与因变量的关系，能根据具体情境确定自变量和因变量。 2. 过程与方法目标 · 通过对大量生活实例的分析，培养学生观察、分析和归纳的能力，提升直观想象能力。 · 引导学生经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，发展学生自主学习和解决问题的能力。 3. 情感态度与价值观目标 · 体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生用数学眼光观察生活的习惯。 · 在师生互动和小组合作中，增强学生的交流能力与团队协作精神。 二、教学重难点 1. 教学重点 · 透彻理解变量、常量、自变量和因变量的概念。 · 熟练掌握在实际情境中确定变量以及它们之间关系的方法。 2. 教学难点 · 准确分析复杂实际情境中变量之间的相互关系，理解自变量的变化如何引起因变量的变化。 · 能将实际问题转化为数学问题，并用变量关系进行解释和预测。 三、教学方法 讲授法、讨论法、探究法相结合 四、教学过程 （一）情境导入（5分钟） 1. 展示生活场景 · 教师通过多媒体展示以下生活场景： · 汽车在公路上行驶，随着时间的推移，汽车行驶的路程不断变化。展示一段汽车行驶的视频，里程表上的数字随着时间跳动。 · 弹簧在悬挂重物时，重物的重量不同，弹簧伸长的长度也不同。展示动画，不同重量的物体挂在弹簧上，弹簧呈现不同的伸长状态。 · 电影院中，随着售出电影票数量的增加，票房收入也在增加。展示电影院售票窗口的场景，以及票房统计的相关数据。 · 引导学生观察这些场景，并思考每个场景中哪些量在发生变化，哪些量保持不变。 2. 提问引发思考 · 教师提问：“同学们，在这些场景中，我们看到一些量在不断改变，而有些量似乎没有变化。大家能说一说你们观察到的变化的量和不变的量分别是什么吗？” · 让学生自由发言，分享自己的观察结果，引出本节课关于现实中的变量的主题。 （二）探究新知（20分钟） 1. 变量与常量的概念（5分钟） · 概念讲解：教师讲解变量和常量的概念。在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量。例如在汽车行驶的场景中，时间和行驶路程是变量，因为它们的数值随着汽车行驶而改变；而汽车的型号、轮胎的规格等在这个过程中保持不变，就是常量。 · 举例强化：教师再举一些例子，如在烧水过程中，水的温度随着加热时间的增加而升高，这里加热时间和水的温度是变量，水的初始质量、水壶的材质等是常量。让学生模仿举例，同桌之间互相交流判断，教师巡视并进行指导，加深学生对变量和常量概念的理解。 2. 自变量与因变量（10分钟） · 概念引入：教师引导学生再次观察汽车行驶的例子，提问：“在汽车行驶过程中，时间和路程这两个变量，哪个变量的变化会引起另一个变量的变化呢？”学生思考后回答，时间的变化会引起路程的变化。教师接着讲解，在两个变量中，主动发生变化的量称为自变量，随着自变量的变化而发生变化的量称为因变量。在汽车行驶例子中，时间是自变量，路程是因变量。 · 小组讨论：将学生分成小组，讨论刚才展示的弹簧悬挂重物和电影院售票的例子中，哪些是自变量，哪些是因变量，并说明理由。每个小组推选一名代表发言，分享小组讨论结果。教师对各小组的发言进行点评和总结，强调判断自变量和因变量的关键在于分析哪个变量的变化导致另一个变量的变化。 · 实例分析：教师给出更多实例，如在购买苹果时，苹果的单价固定，购买苹果的数量和总价这两个变量，购买数量是自变量，总价是因变量，因为购买数量的改变会直接导致总价的改变。通过多个实例分析，让学生熟练掌握如何确定自变量和因变量。 3. 变量关系的表示（5分钟） · 表格表示：教师以汽车行驶为例，假设汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，展示如下表格： 时间（小时） 1 2 3 4 路程（千米） 60 120 180 240 讲解表格如何清晰地展示了自变量（时间）和因变量（路程）之间的对应关系，随着自变量时间的增加，因变量路程按照一定规律（速度×时间）增加。 语言描述：教师引导学生用语言描述变量之间的关系，如“路程随着时间的增加而增加，且路程等于速度乘以时间”。让学生对弹簧悬挂重物和电影院售票的例子也用语言描述变量关系，进一步强化对变量关系的理解。 （三）例题讲解（10分钟） 1. 例1：出租车计费问题（3分钟） · 题目：某市出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都需付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.5元（不足1千米按1千米计）。设某人乘坐出租车行驶的路程为千米（），应支付的车费为元。 · 讲解：教师引导学生分析题目，行驶路程是自变量，因为它的变化会引起车费的变化，所以是因变量。当时，车费。通过这个例子，让学生学会在实际的计费问题中确定自变量和因变量，并理解它们之间的数量关系。 2. 例2：弹簧伸长问题（4分钟） · 题目：已知一根弹簧原长为10厘米，在弹性限度内，每挂1千克重物，弹簧伸长0.5厘米。设所挂重物的质量为千克，弹簧的长度为厘米。 · 讲解：教师引导学生思考，所挂重物质量的变化会导致弹簧长度的变化，所以是自变量，是因变量。弹簧长度与重物质量的关系为。进一步提问学生，当千克时，弹簧长度是多少？让学生代入计算，强化对变量关系的应用。 3. 例3：圆的面积问题（3分钟） · 题目：圆的面积与半径之间存在关系。在这个问题中，哪些是变量，哪些是常量？当半径时，面积是多少？ · 讲解：教师引导学生分析，半径和面积是变量，因为它们的数值会随着圆的大小改变而改变，是常量，它的值始终固定。当时，。通过这个例子，让学生理解在数学公式中如何辨别变量和常量，并能根据给定的自变量值计算因变量的值。 （四）课堂练习（15分钟） 1. 基础练习 · 小明帮妈妈预算家庭一个月的电费，已知电费单价是0.5元/度，设这个月的用电量为度，电费总额为元。 · 指出其中的变量和常量。 · 写出与之间的关系式。 · 当度时，求电费总额。 · 一个梯形，上底长为4厘米，下底长为6厘米，设梯形的高为厘米，面积为平方厘米。 · 哪些是变量，哪些是常量？ · 写出与的关系式。 · 当厘米时，求梯形面积。 · 某商店进了一批货，每件成本为50元，若售价为元，销售量为件，根据市场调查，售价每提高1元，销售量就减少10件。 · 找出变量和常量。 · 写出与的关系式。 2. 提高练习 · 随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少。下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 入学儿童人数（人） 2520 2330 2140 1950 1760 上表中哪些是变量？哪个是自变量？哪个是因变量？ 你能大致预测2020年该地区入学儿童人数吗？请说明理由。 某城市居民用的天然气，1立方米收费2.8元。使用天然气时，所交费用（元）与使用天然气的体积（立方米）之间的关系如下表： 使用天然气的体积（立方米） 1 2 3 4 5 所交费用（元） 2.8 5.6 8.4 11.2 14 写出与之间的关系式。 若某用户一个月使用天然气30立方米，他应交多少费用？ 一水库的水位在最近6天内持续上涨，下表记录了这6天的水位高度： 第天 1 2 3 4 5 6 水位高度（米） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 由记录表推出水位高度（米）与天数（天）的关系式。 预测第10天水位的高度。 3. 拓展练习 - 小明骑自行车从家去学校，最初以某一速度匀速行驶，中途车子发生故障，停下来修车耽误了几分钟，为了按时到校，他加快了速度，但仍保持匀速行驶，结果准时到校。请你画出小明行驶路程（米）与时间（分钟）之间关系的大致图像。（提示：可以先分析每个阶段路程和时间的变化情况，再画图） - 研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量（千克/公顷） 0 34 67 101 135 169 202 259 336 404 471 土豆产量（吨/公顷） 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75 21.94 上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ 当氮肥施用量是101千克/公顷时，土豆产量是多少？ 根据表格中的数据，你认为氮肥施用量是多少时比较适宜？说说你的理由。 （五）课堂小结（5分钟） 1. 引导回顾：教师引导学生回顾本节课所学内容，提问：“今天我们学习了变量、常量、自变量和因变量等重要概念，还通过很多例子分析了它们之间的关系。哪位同学能来总结一下这些概念和我们学习的主要内容呢？” 2. 学生总结：学生发言，总结变量、常量、自变量和因变量的概念，以及在实际情境中确定变量关系的方法，分享自己在学习过程中的收获和困惑。 3. 教师补充：教师对学生的总结进行补充和完善，强调重点知识和易错点，如变量和常量的准确判断、自变量和因变量关系的分析等，进一步加深学生对本节课知识的理解。 （六）布置作业（5分钟） 1. 书面作业 · 某电影院共有座位排，第一排有18个座位，后面每排比前一排多2个座位。 · 写出第排座位数与排数的关系式。 · 求当时，第10排的座位数。 · 一个长方形的周长为20厘米，设长为厘米，宽为厘米。 · 写出与的关系式。 · 当厘米时，求宽的值。 · 某商店销售一种商品，进价为每件30元。市场调查发现，该商品的销售量（件）与销售单价（元）之间的关系满足一次函数。 · 当销售单价为40元时，求销售量。 · 当销售量为100件时，求销售单价。 2. 拓展作业 · 观察生活中一个与变量有关的现象，如气温随时间的变化、汽车行驶速度与耗油量的关系等。记录相关数据，分析其中的变量、常量、自变量和因变量，并尝试用表格或语言描述它们之间的关系，写一篇简短的报告。 · 自己设计一个包含变量关系的实际问题，要求能够确定自变量和因变量，并写出它们之间的关系式。然后将问题和解答过程整理出来，与同学交流分享。 学科网（北京）股份有限公司 $$