6.1 现实中的变量（教学课件）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学课件聚焦常量、变量、自变量、因变量的概念及关系，通过时间与气温、超市购物等生活情境导入，引导学生观察变化现象，借助小组讨论和任务单梳理量的特征，搭建从具体情境到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以“生活情境→抽象概念→辨析应用”为主线，结合汽车刹车数据、温室种植等实例，培养学生抽象能力和推理意识，通过规范语言描述变量关系发展数学表达能力。采用情境探究与真题感知结合的教学方法，课堂小结明确核心概念与易错点，助力学生建立变量思维，也为教师提供结构化教学资源。

6.1 现实中的变量 第六章 变量之间的关系 北师大版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 结合具体现实情境，理解常量、变量、自变量、因变量的概念；能准确识别变化过程中的常量与变量，正确区分自变量和因变量；能用规范语言描述两个变量之间的依存关系，说明因变量随自变量的变化规律. 经历“生活情境→观察变化→抽象概念→辨析应用”的探究过程，积累变量关系的探究经验；通过举例、辨析、归纳，提升从实际问题中抽象数学概念、分析数量关系的能力； 初步学会用数学语言表达现实中的变化规律，发展符号意识与逻辑推理能力. 感受数学与现实生活的紧密联系，体会变量知识的实用性；在合作探究、表达交流中获得数学学习的成就感，激发学习代数知识的兴趣；感悟“变化中有规律、联系中有对应”的数学思想，养成严谨思考、规范表达的学习习惯. 深海潜水：压强与深度 潜水员下潜得越深，身体承受的海水压力就越大。在这里，下潜深度是主动变化的量，而水的压强是随之被动改变的量。 章前引言 生活中，一个量随着另一个量的变化而变化的现象大量存在。 生活中的变化：身高的秘密 章前引言 生活中，一个量随着另一个量的变化而变化的现象大量存在。 青春期我们的身高随年龄增长而变化。这里“年龄”是主动变化的自变量， “身高”是随之变化的因变量。 图形中的变化：三角形的面积 底 = 4cm 面积 = 20cm² 底 = 8cm 面积 = 40cm² 规律：三角形的高确定时，它的面积随着底边长的变化而变化 若三角形高为10cm时， 三角形面积 = 5 × 底边长 折线图清晰展现了男女生身高增长的不同节奏与趋势。 章前引言 本章将初步研究生活中变量之间的依赖关系，你将从简单情境中抽象出变量及变量之间的关系，并用不同方式予以表达，进而尝试对变化趋势进行简单预测，感悟用数学的眼光观察现实世界的意义，发展抽象能力等。 生活中，一个量随着另一个量的变化而变化的现象大量存在。 温室种植：光照与生长 在温室大棚中，延长光照时长能显著加快蔬菜的生长速度。其中，光照时长是可控的主动变量，生长速度则是随之变化的结果。 研究变量之间的关系，将有助于我们更好地了解自己、认识世界和预测未来。 描述规律，理解世界 做出预测，规划未来 解决问题，优化决策 章前引言 我们为什么要研究变量之间的关系?用数学的方式表示这些关系有什么意义? 在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题 变量之间的关系的不同表示方式各有什么特点?又有什么联系? 6 导入新课 时间推移，气温不断变化 观察这张天气预报温度图，随着时间的推移，气温是如何变化的？ 一辆汽车以每小时60公里的速度在公路上匀速行驶 时间每增加1小时，路程就增加60公里。这说明，时间和路程是两种相关联的量 时间与路程 时间与气温 这些现象有什么共同特点？ 导入新课 超市购物 去超市买同一种铅笔，购买的数量越多，所需要支付的总花费也就越多，数量与总价呈同步增长的关系。 水库放水 水库开闸持续放水，随着放水时间的不断增加，水库里的水位会逐渐降低，放水时长与水位高度呈反向变化。 这些现象有什么共同特点？ 都有数量随时间/其他量变化而变化 新知探究 探究点1 探究共性，梳理量的特征 议一议 学习任务单： ① 情境中有哪些量？ ② 哪些量的数值始终不变？ ③ 哪些量的数值不断变化？ 小组讨论：分组讨论以下４个情境 （1）一天之中，时间推移，气温不断变化； （2）汽车匀速行驶，行驶时间越长，行驶路程越远； （3）购买同一款文具，购买数量越多，总花费越多； （4）水库放水，放水时间越长，水位越低. 新知探究 探究点1 探究共性，梳理量的特征 议一议 小组讨论：分组讨论以下４个情境，成果展示 （1）一天之中，时间推移，气温不断变化； （2）汽车匀速行驶，行驶时间越长，行驶路程越远； （3）购买同一款文具，购买数量越多，总花费越多； （4）水库放水，放水时间越长，水位越低. （2）汽车速度匀速行驶的速度，行驶时间t(h)，行驶路程s(km). 不变的量：固定的速度 变化的量：行驶时间、行驶路程. （1）变化的量：时间、气温. （3）文具单价，数量，总花费 不变的量：文具单价 变化的量：购买数量、总花费. （4）变化的量：放水时间，水库水位 新知探究 探究点1 探究共性，梳理量的特征 议一议 汽车刹车时，其制动装置开始发挥作用的瞬间车速称为制动初速度；汽车从开始制动到完全停止所驶过的距离称为制动距离。 汽车刹车时，其制动装置开始发挥作用的瞬间车速称为制动初速度； 汽车从开始制动到完全停止所驶过的距离称为制动距离。 （1）这个情境中有哪些量? 制动初速度 制动距离 涉及的量 制动初速度 制动时间 制动距离 汽车有关的量 如汽车的质量、长度等 路面的摩擦系数 …… （2）随着车辆制动初速度的变化，其他量会发生变化吗? 随着车辆制动初速度的变化， 制动时间、制动距离会发生变化. 制动初速度的变化影响了制动距离的长短，制动时间的长短 新知探究 探究点1 探究共性，梳理量的特征 议一议 (3)下表呈现了一辆汽车在某种路而情况下的都分刹车实验数据，你能描述制动距离随制动初速度的变化而变化的情况吗? 制动初速度 v/ (km/h) 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 制动距离 s/m 1.40 3.60 6.42 9.96 14.79 19.59 25.58 32.37 39.98 48.37 57.57 67.65 78.36 *制动距离s随着制动初速度v的变大而变长。 *表中有制动初速度和制动距离两个变量。初速度增大，制动距离也随之增大。显然是制动初速度的变化影响了制动距离的长短。 * 制动距离不是固定值，它依赖于制动初速度的变化而变化。初速度是影响制动距离的关键变量，速度越快，所需制动距离越长。 尝试•交流 探究点2 归纳定义，形成概念 议一议 (1)这个情境中有哪些量? (2)随着水深k的变化，其他量会发生变化吗? (1)这个情境中的量有: 海水的压强p、水深h 、海水的密度p (2)随着水深h的增加，海水的压强会越来越大，海水的密度和系数9.8不变. 1.某海域海水的压强p(单位:Pn)与水深h(单位:m)之间的关系满足: p = 9.8ph (其中p为海水的密度，通常为1.03×103kg/m3). 在深海潜水的过程中，潜水员下潜得越深，受到的海水压强就越大。 这种“一个量随另一个量变化”的关系，正是我们要研究的核心。 探究点2 归纳定义，形成概念 议一议 2.下图反映了一个蔬菜大棚某日18:00到次日18:00棚内温度和棚外温度的变化情况。 （1）这个情境中有哪些量? 棚内温度 棚外温度 时间 尝试•交流 探究点2 归纳定义，形成概念 议一议 2.下图反映了一个蔬菜大棚某日18:00到次日18:00棚内温度和棚外温度的变化情况。 尝试•交流 （2）你能描述这个蔬菜大棚棚内温度随时间的变化而变化的情况吗?棚外温度呢? 大约18:00到次日3:00棚内温度缓慢下降， 次日3:00到14:00棚内温度快速上升， 次日14:00到18:00棚内温度逐渐下降; 棚内温度和棚外温度随着时间的变化逐渐升高，达到最大，然后下降，且这个时间段，棚内温度变化更加剧烈。 （3）你还有哪些发现?与同伴进行交流。 棚内温度一直比棚外温度高。 新知探究 探究点2 归纳定义，形成概念 议一议 制动距离 制动初速度 海水的压强 水深 棚内温度 棚外温度 时间 变量 水深 制动初速度 时间 自变量 制动距离 海水的压强 棚内温度 棚外温度 因变量 情境中有许多变化的量，这些量有什么关系？ 新知探究 探究点2 归纳定义，形成概念 议一议 常量与变量，自变量与因变量 变量 常量 自变量 因变量 量 常量：一个变化过程中，数值始终不变的量； 变量：一个变化过程中，数值发生变化的量. 自变量：在变化过程中，主动发生变化的量； 因变量：随着自变量变化，被动发生变化的量. 因变量随自变量的变化而变化. 新知探究 探究点2 归纳定义，形成概念 议一议 说一说下列问题中的自变量、因变量 （1）一天之中，时间推移，气温不断变化； 自变量：时间 因变量：气温 （2）汽车匀速行驶，行驶时间越长，行驶路程越远； 自变量：行驶时间 因变量：行驶的路程 在这个过程中，是时间在主动流逝，它的变化不受温度影响；而气温的变化，是随着时间的变化而产生的结果。 在这个过程中，是时间在主动流逝，它的变化不受路程影响；而路程的增加，是随着时间的变化而产生的结果。 新知探究 探究点2 归纳定义，形成概念 议一议 说一说下列问题中的自变量、因变量 （3）购买同一款文具，购买数量越多，总花费越多； 自变量：放水时长 因变量：购买文具的总费用 自变量：文具的数量 因变量：水库水位数值 （4）水库放水，放水时间越长，水位越低. 在这个过程中，数量是主动变化，而总费用是随着数量的变化而产生的结果。 在这个过程中，是放水时间在主动变化，而水位的降低是随着时间的变化而产生的结果。 新知探究 探究点2 归纳定义，形成概念 议一议 方法总结：如何快速判断自变量与因变量 方法一 因果法：谁是“因”，谁是“果”？ 思考变化的逻辑关系： 自变量是引起变化的“原因”， 因变量是随着自变量变化而产生的“结果”。 方法二 先后法：谁先变，谁后变？ 看变化的时间顺序： 在过程中先发生变化的量是自变量， 后跟着变化的量就是因变量。 典例分析 例1.下列各情境中，哪些是常量？哪些是变量？ （1）圆的周长公式，半径r变化，周长C变化； （2）电费单价固定，用电量越多，电费越高； （3）矩形周长固定，长变化，宽随之变化. 解： （1）常量：，变量：半径r，周长C； （2）常量：电费单价，变量：电量，电费； （3）常量：矩形周长，变量：矩形的长和宽. 典例分析 例2.说出下列情境中的自变量和因变量： （1）烧水时，水温随加热时间增加而升高； （2）步行上学，速度不变，路程随时间变化； （3）商品打折销售，总价随购买数量变化. 解： （1）自变量：加热时间；因变量：水温； （2）自变量：时间；因变量：路程； （3）自变量：购买数量；因变量：总价. 新知巩固 课本Ｐ146页 1.下列情境中有哪些变量，哪个是自变量，哪个是因变量? (1) 地表以下岩层的温度y (单位:℃)随所处深度x (单位:km)的变化而变化，在某地 y 与 x 之间的关系可以近似地表示为 y =35x +20。 解：(1) 变量有所处深度x，地表以下岩层的温度y。 自变量:深度 x，因变量:温度 y。 (2) 根据全国人口普查结果，1982-2020年全国总人口的变化情况如下(精确到 0.01亿人): 年份 1982 1990 2000 2010 2020 人口/亿人 10.32 11.60 12.95 13.71 14.43 (2) 变量有年份，人口。 自变量:年份，因变量:人口。 随 堂 练 习 拓展提升 1.太原北齐壁画博物馆是全国首座原址建设的壁画专题博物馆．周末聪聪和家人一起驾车从家出发去北齐壁画博物馆，在馆内参观了1个小时，随后驾车去姑妈家．如图折线表示他们离开家的距离与离开家的时间之间的关系．根据图象解答下列问题： (1)上述过程中，自变量是 ， 因变量是________ ； (2)聪聪家与博物馆的距离是________千米， 博物馆到姑妈家的距离是________千米； (3)图象中________； (4)求聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度（不含在博物馆参观的时间）． （1）解：上述过程中 自变量是时间， 因变量是离开家的距离， （2）解：由图象可知，聪聪家与博物馆的距离是15千米， 博物馆到姑妈家的距离是： （千米）， 时间 离开家的距离 15 25 拓展提升 1.太原北齐壁画博物馆是全国首座原址建设的壁画专题博物馆．周末聪聪和家人一起驾车从家出发去北齐壁画博物馆，在馆内参观了1个小时，随后驾车去姑妈家．如图折线表示他们离开家的距离与离开家的时间之间的关系．根据图象解答下列问题： (1)上述过程中，自变量是 ， 因变量是________ ； (2)聪聪家与博物馆的距离是________千米， 博物馆到姑妈家的距离是________千米； (3)图象中________； (4)求聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度（不含在博物馆参观的时间）． （3）解：， （4）解： （千米/时）． 答：聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度为60千米/时． 时间 离开家的距离 15 25 真题感知 1.（2025.南陵校考）水中涟漪（圈）不断扩大，形成了许多同心圆，圆的面积随着半径的改变而改变，记它的半径为r，圆面积为S．在等式中，常量是（    ） A．S B．3.14 C．r D． 解： ∵在变化过程中，数值固定不变的量叫做常量， 且在等式中，3.14的数值始终不变， S随的变化而变化，与的数值也会改变， ∴常量是3.14． B 真题感知 2.（2025.安康统考）西安的非遗文创产品丰富多样，这些非遗文创产品不仅具有艺术价值和收藏价值，还能让人深刻感受到西安的历史文化底蕴和地方特色．某店为了减少“送你一个长安”金花茯砖茶的积压，采取降价销售，其原价是每盒265元，市场调查发现，每降价10元，日销量增加15盒．该文创产品降价金额x（元）与日销量y（盒）之间的关系如下表： 降价金额（x/元） 10 30 40 50 60 日销量（y/盒） 60 90 105 120 135 (1)上表中， 自变量是________ ，因变量是________； (2)可以估计降价前的日销量是________盒； (3)若该文创产品的售价是185元，求该文创产品的日销量． （1）解：由题意得：自变量是降价金额x，因变量是日销量y； （2）解：由表格可知： 估计降价前的日销量是（盒）； （3）解：由题意得： （盒）； 答：该文创产品的日销量为165盒． 降价金额x 日销量y 45 课堂小结 （1） 核心概念： 常量：变化过程中数值不变的量； 变量：变化过程中数值变化的量； 自变量：主动变化的量； 因变量：随自变量被动变化的量. （２） 核心关系：因变量随自变量的变化而变化. （3） 研究对象：同一变化过程中，两个有依存关系的变量. 知 识 总 结 课堂小结 方 法 总 结 （1） 找常量、变量：看数值是否始终不变. （2）区分自、因变量： 找主动变化量（自变量），剩余依存变量为因变量. （3）描述变化规律： 先定变量，再用“随……增大/减小而……”规范表述. （4）数学学习思路： 生活情境→抽象概念→辨析应用. 课堂小结 易 错 提 醒 （1）单独一个量不能叫变量，变量至少两个，且存在依存关系. （2）混淆自变量、因变量，牢记“先变、主动变是自变量，后变、跟着变是因变量”. （3）描述变化规律时，脱离情境、语言不规范，要结合具体问题完整表述. （4）把固定不变的字母/定值（如π、固定速度）当成变量，实则为常量. 课后练习 教材p147页. 1.下图表示某港口某日从13:00到19:00水深变化的情况。 (1) 图中反映了哪两个变量之间的关系?其中，哪个是自变量，哪个是因变量? 解：(1) 图中反映了水深与时间之间的关系。其中时间是自变量，水深是因变量。 (2) 请描述水深随时间的变化而变化的情况。 (2) 13:00 到16:00，,水深逐渐上升，16:00 到19:00 ，水深逐渐下降。 课后练习 2.在某些情况下，可以按照体表面积计算用药剂量。有一种针对体重在 30 kg 以下儿童的计算方法: 儿童体表面积(单位：m2)=0.035×体重(单位:kg)+0.1，某种药儿童用药剂量=该药成人用药剂量×儿童体表面积÷1.73。 (1) 这个情境中有哪些变量?随着儿童体重的增加，其他量会发生怎样的变化? (2) 有一种药物，成人每次用药剂量为1g。按照上述方法，体重为15 kg的儿童每次用药剂量大约是多少? 解:(1) 变量有儿童体表面积，儿童的体重， 某种药的儿童用药剂量。 儿童体表面积随着儿童体重的变化而变化， 某种药的儿童用药剂量随着儿童体表面积变化而变化。 教材p148页. 课后练习 2.在某些情况下，可以按照体表面积计算用药剂量。有一种针对体重在 30 kg 以下儿童的计算方法: 儿童体表面积(单位：m2)=0.035×体重(单位:kg)+0.1，某种药儿童用药剂量=该药成人用药剂量×儿童体表面积÷1.73。 (1) 这个情境中有哪些变量?随着儿童体重的增加，其他量会发生怎样的变化? (2) 有一种药物，成人每次用药剂量为1g。按照上述方法，体重为15 kg的儿童每次用药剂量大约是多少? 教材p148页. (2) 儿童体表面积=0.035×15+0.1 = 0.625(m2)， 儿童每次用药剂量=1×0.625÷1.73 ≈ 0.36 (g)， 即体重为 15 kg 的儿童每次用药剂量大约是0.36 g 。 课后练习 举出3个生活中的变量关系实例，分别指出常量、变量，自变量、因变量. 实例 超市购物 驾车出行 手机充电 分析 常量：苹果单价； 自变量：购买数量； 因变量：支付总价 常量：行驶速度； 自变量：行驶时间； 因变量：行驶路程 常量：充电功率/电池容量； 自变量：充电时间； 因变量：电量百分比 谢谢聆听 $