精品解析：黑龙江省虎林市卫星学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024−2025学年虎林市卫星学校第一学期期中 九年级级数学试卷 一、选择题（每题3分，共计30分） 1. 下列图形中，既是中心对称又是轴对称的图形是（ ）． A. B. C. D. 2. 一个半径是的圆，其圆心到一直线的距离是，则该直线与圆的位置关系是（ ）． A. 外离 B. 内切 C. 相交 D. 外切 3. 抛物线y＝2x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线是（　　） A. y＝2（x﹣2）2+1 B. y＝2（x﹣1）2﹣2 C. y＝2（x+2）2﹣1 D. y＝2（x﹣2）2﹣1 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A. B. k＜1且k≠0 C. k≥﹣1且k≠0 D. 且 5. 如图， 别切⊙O于点A，B，，那么弦的长是（ ） A. 4 B. 8 C. D. 6. 桌面上放有6张卡片（卡片除正面的颜色不同外，其余均相同），其中卡片正面的颜色3张是绿色，2张是红色，1张是黑色．现将这6张卡片洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面颜色是绿色的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的弦，于点E，且，则的半径是（ ）． A. B. 2 C. 10 D. 5 8. 正六边形的边长为6cm，则该正六边形的内切圆面积为（　　） A. 48πcm2 B. 36πcm2 C. 24πcm2 D. 27πcm2 9. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为，．对于下列命题：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 某种型号的微机，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为3528元/台，则平均每次降价的百分率为______ 12. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y＝﹣1.2x2+48x，该型号飞机着陆后需滑行_____m才能停下来． 13. 圆锥的母线长是5 cm,底面半径长是3 cm,它的侧面展开图的圆心角是____. 14. 将一批数据分成5组，列出频率分布表，其中第一组与第五组的概率之和是0.2，第二与第四组的概率之和是0.25，那么第三组的概率是_____． 15. 挂钟分针的长10cm，经过45分钟，它的针尖转过的弧长是______cm 16. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 17. 已知x为实数，且满足，则的值为________． 18. 如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝3，那么BC＝_____． 19. 如图，在中，，，，两等圆、外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为_____． 20. 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90º，AB=AD，AE⊥BC于E，若线段AE=5，则S四边形ABCD＝_____． 三、解答题（本大题共8小题，共60分） 21. 先化简，再求值：，其中： 22. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）作出关于坐标原点O成中心对称的； （2）以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得，画出． （3）在（2）的旋转中，求线段扫过的面积． 23. 如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于C点，且． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断的形状，证明你的结论； 24. 一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的球各一个，从中先摸出一个球，记录下它的颜色，将它放回布袋，搅匀，再摸出一个球，记录下它的颜色． （1）试用树形图或列表法中的一种列举出这两次摸出球的颜色所有可能的结果； （2）求两次摸出球中至少有一个绿球的概率． 25. 如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E, （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 26. 如图，等腰直角中，，点D在上，将绕顶点B沿顺时针方向旋转后得到． （1）求的度数及的形状； （2）当，时，求的长． 27. 某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？ （2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 28. 如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点． （1）求这个抛物线的解析式； （2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年虎林市卫星学校第一学期期中 九年级级数学试卷 一、选择题（每题3分，共计30分） 1. 下列图形中，既是中心对称又是轴对称的图形是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：．既不是中心对称也不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ． 既是中心对称图形又是轴对称图形，故该选项符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 一个半径是的圆，其圆心到一直线的距离是，则该直线与圆的位置关系是（ ）． A. 外离 B. 内切 C. 相交 D. 外切 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系分析即可得解，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵一个半径是的圆，其圆心到一直线的距离是，， ∴该直线与圆的位置关系是相交， 故选：C． 3. 抛物线y＝2x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线是（　　） A. y＝2（x﹣2）2+1 B. y＝2（x﹣1）2﹣2 C. y＝2（x+2）2﹣1 D. y＝2（x﹣2）2﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝2x2向右平移2个单位所得抛物线是y＝2（x﹣2）2； 由“上加下减”的原则可知，抛物线y＝2（x﹣2）2向下平移1个单位所得抛物线是y＝2（x﹣2）2﹣1． 故选：D． 【点睛】此题主要考查二次函数的平移，解题的关键是熟知二次函数图像平移的特点. 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A. B. k＜1且k≠0 C. k≥﹣1且k≠0 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且△， 解得且． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 5. 如图， 别切⊙O于点A，B，，那么弦的长是（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，等边三角形的判定和性质，根据切线长定理，推出为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：∵ 别切⊙O于点A，B， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴； 故选B． 6. 桌面上放有6张卡片（卡片除正面的颜色不同外，其余均相同），其中卡片正面的颜色3张是绿色，2张是红色，1张是黑色．现将这6张卡片洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面颜色是绿色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵桌面上放有6张卡片，卡片正面的颜色3张是绿色，2张是红色，1张是黑色， ∴抽出的卡片正面颜色是绿色的概率是：． 故选A． 7. 如图，的弦，于点E，且，则的半径是（ ）． A. B. 2 C. 10 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，由垂径定理可得，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图：连接， ， ∵的弦，于点E， ∴， ∴， 故选：D． 8. 正六边形的边长为6cm，则该正六边形的内切圆面积为（　　） A. 48πcm2 B. 36πcm2 C. 24πcm2 D. 27πcm2 【答案】D 【解析】 【分析】连接、，作于点，正六边形的边长为6，则是等边三角形，由此可知，则可计算，由此可求出它的内切圆的面积． 【详解】解：连接、，作于点， ∵正六边形的边长为6， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴它的内切圆的面积， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形与其内切圆，三角函数，能够构造适合的辅助线是解决本题的关键． 9. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先由一次函数y=ax+1图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+a的图象相比较，看是否一致． 【详解】A．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，a＞0，二次项系数为负数，与二次函数y=x2+a矛盾，错误； C．由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，正确； D．由直线可知，直线经过（0，1），错误． 故选：C． 【点睛】正确理解一次函数和二次函数的性质是解答本题的关键. 10. 已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为，．对于下列命题：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由题意求出对称轴为直线，从而得出即可判断①；由图象可得抛物线开口向上，与轴交于负半轴，推出，即可判断②；求出，即可判断③；根据二次函数与轴的交点个数即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的两个交点分别为，． ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； 由图象可得：抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∴， ∴，故②错误； 由题意可得：， 解得：， ∴，故③正确； ∵二次函数图象与轴有两个交点， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有③④，共个， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 某种型号的微机，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为3528元/台，则平均每次降价的百分率为______ 【答案】30% 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为3528元/台，可列方程求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 7200（1-x）2=3528， x=30%或x=170%（舍去）． 平均每次降价的百分率为 30%． 故答案为：30%． 12. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y＝﹣1.2x2+48x，该型号飞机着陆后需滑行_____m才能停下来． 【答案】480 【解析】 【分析】要求飞机从滑行到停止的路程，即求出函数的最大值，因此将函数化为顶点式即可． 【详解】解：∵， ∴当时，该函数有最大值480， ∴飞机着陆后滑行480米才能停止． 故答案为：480． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键． 13. 圆锥的母线长是5 cm,底面半径长是3 cm,它的侧面展开图的圆心角是____. 【答案】216°. 【解析】 【详解】圆锥的底面周长为2π×3=6π(cm), 设圆锥侧面展开图的圆心角是n°,则=6π, 解得n=216. 故答案为216°. 【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 14. 将一批数据分成5组，列出频率分布表，其中第一组与第五组的概率之和是0.2，第二与第四组的概率之和是0.25，那么第三组的概率是_____． 【答案】0.55 【解析】 【分析】本题考查频数分布表以及概率； 根据一组数据总的概率是1，减去其他组的概率就可以得到第三组的概率． 【详解】解：由题意可得，第三组的概率是：， 故答案为：0.55． 15. 挂钟分针的长10cm，经过45分钟，它的针尖转过的弧长是______cm 【答案】 【解析】 【分析】先求出经过45分钟分针的针尖转过的圆心角的度数，再根据弧长公式，求得弧长． 【详解】∵分针经过60分钟，转过， ∴经过45分钟转过， 则分针的针尖转过的弧长是（cm）． 故答案为： 16. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． 17. 已知x为实数，且满足，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，将式子因式分解变形为，再求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴（无解，舍去）或， ∴， 故答案为：． 18. 如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝3，那么BC＝_____． 【答案】6 【解析】 【详解】∵OM⊥AB ∴AM=BM , ∵ON⊥AC ∴AN=CN, ∴MN是△ABC的中位线 ∴BC=2MN=6. 故答案为：6 19. 如图，在中，，，，两等圆、外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不规则图形的面积计算，根据题意可知阴影部分的面积为圆心角为的扇形的面积，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴阴影部分的面积等于圆心角为90°的扇形的面积． ∵，，， ∴根据勾股定理得：， ∴扇形的半径为5． ∴阴影部分的面积=． 故答案为：． 20. 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90º，AB=AD，AE⊥BC于E，若线段AE=5，则S四边形ABCD＝_____． 【答案】25 【解析】 【详解】过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，如图， ∵AE⊥BC，AF⊥CF， ∴∠AEC=∠CFA=90°，而∠C=90°， ∴四边形AECF为矩形， ∴∠2+∠3=90°， 又∵∠BAD=90°， ∴∠1=∠2， 在△ABE和△ADF中：∠1=∠2，∠AEB=∠AFD，AB=AD ∴△ABE≌△ADF， ∴AE=AF=5，S△ABE=S△ADF， ∴四边形AECF是边长为5的正方形， ∴S四边形ABCD=S正方形AECF=52=25． 三、解答题（本大题共8小题，共60分） 21. 先化简，再求值：，其中： 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再根据分母有理化的方法求值即可． 【详解】解： 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，分母有理化，正确计算是解题的关键． 22. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）作出关于坐标原点O成中心对称的； （2）以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得，画出． （3）在（2）的旋转中，求线段扫过的面积． 【答案】（1） 由题意可得，根据中心对称的性质找到点、、，连接、、，如图所示， （2） 如图，三角形如图所示， （3） 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质找到点、、，连接、、即可得到答案； （2）根据旋转的性质找到、，连接、、即可得到答案； （3）根据勾股定理求出，再根据扫过的面积即求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 扫过的面积为： 【点睛】本题主要考查了画中心对称图形， 画旋转图形，以及网格与勾股定了，扇形面积等知识，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的定义及旋转的性质． 23. 如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于C点，且． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断的形状，证明你的结论； 【答案】（1）， （2） 是直角三角形，证明如下： 在中，令，则，即， ∴， 令，则， 解得：，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、勾股定理、勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出函数解析式，再化为顶点式即可得解； （2）先求出，，再由勾股定理以及勾股定理逆定理判断即可得解． 【小问1详解】 解：将代入二次函数得， 解得：， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 24. 一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的球各一个，从中先摸出一个球，记录下它的颜色，将它放回布袋，搅匀，再摸出一个球，记录下它的颜色． （1）试用树形图或列表法中的一种列举出这两次摸出球的颜色所有可能的结果； （2）求两次摸出球中至少有一个绿球的概率． 【答案】 （1）列树状图如下： 故（红，红），（红，黄），（红，绿），（黄，红），（黄，黄），（黄，绿），（绿，红），（绿，黄），（绿，绿）共9种情况 （2） 【解析】 【分析】（1）利用树状图列举出所有可能，注意是放回小球再摸一次； （2）列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可． 【详解】（1）略． （2）由树状图可知共有3×3＝9种可能，“两次摸出球中至少有一个绿球”的有5种，所以概率是：. 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 25. 如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E, （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】 （1）证明：连接OD， ∵BC是⊙O的切线， ∴∠ABC=90°． ∵CD=CB， ∴∠CBD=∠CDB． ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB． ∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD⊥CD． ∵点D在⊙O上， ∴CD为⊙O的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，由BC是⊙O的切线，可得∠ABC=90°，由CD=CB，OB=OD，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD为⊙O的切线． （2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由，即可求得答案． 【详解】解：（1）略． （2）在Rt△OBF中， ∵∠ABD=30°，OF=1， ∴∠BOF=60°，OB=2，BF=． ∵OF⊥BD， ∴BD=2BF=2，∠BOD=2∠BOF=120°， ∴． 26. 如图，等腰直角中，，点D在上，将绕顶点B沿顺时针方向旋转后得到． （1）求的度数及的形状； （2）当，时，求的长． 【答案】（1），为等腰直角三角形 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，，，即可得解； （2）由等腰直角三角形的性质结合勾股定理可得，从而得出，，由旋转的性质可得，再由勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵等腰直角中，， ∴， 由旋转的性质可得：，，， ∴为等腰直角三角形，； 【小问2详解】 解：∵，等腰直角中，， ∴， ∵， ∴，， 由旋转的性质可得， ∴． 27. 某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？ （2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【答案】（1）65或85；（2）当售价定为75时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元． 【解析】 【分析】（1）如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件，可得销售量为100﹣2（x﹣60），销售量乘以利润即可得到等式[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=2250，解答即可； （2）将（1）中的2250换成y即可解答． 【详解】解：（1）[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=2250，解得：x1=65，x2=85． （2）由题意：y=[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=﹣2x2+300x﹣8800； y=﹣2（x﹣75）2+2450，当x=75时，y有最大值为2450元． 答：当售价定为75时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 28. 如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点． （1）求这个抛物线的解析式； （2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标． 【答案】（1）y=﹣x2+x+2（2）当t=2时，MN有最大值4（3）D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4） 【解析】 【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式． （2）求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值． （3）明确D点的可能位置有三种情形，如图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标． 【详解】解：（1）∵分别交y轴、x轴于A、B两点， ∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）． 将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2； 将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=． ∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x+2． （2）如图1， 设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4﹣t． ∵， ∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）×=2﹣t． 又∵N点在抛物线上，且xN=t， ∴yN=﹣t2+t+2． ∴． ∴当t=2时，MN有最大值4． （3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）． 如图2， 以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形． （i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）， 由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2， 从而D为（0，6）或D（0，﹣2）． （ii）当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点， 由D1（0，6），N（2，5）易得D1N的方程为y=x+6； 由D2（0，﹣2），M（2，1）易得D2M的方程为y=x﹣2． 由两方程联立解得D为（4，4）． 综上所述，所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）． 【点睛】本题考查了二次函数、锐角三角函数、平行四边形，解题的关键是求出函数的解析式，利用数形结合的思想求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $