辽宁省抚顺德才高级中学（北大部）2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

2024年——2025学年度上学期期末考试 高二数学试卷 命题人：石林 校对人：韩娇 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知直线的方向向量为，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线，则与的距离为（   ） A．1 B．2 C． D． 3．直线和直线，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．某学生要从5门选修课中选择1门，从4个课外活动中选择2个，则不同的选择种数为（    ） A．11 B．10 C．20 D．30 5．圆和圆的公切线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 6．印章是中国传统文化的代表之一，古代的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．如图是某展览馆展示的一个金属印章摆件，可看作是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该印章摆件底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则该印章摆件的体积约为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 7．已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的两个焦点分别为、，点到其中一条渐近线的距离为，点是双曲线上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，选错或不答的得0分） 9．习近平总书记在党史学习教育动员大会上讲话强调，“要抓好青少年学习教育，着力讲好党的故事､革命的故事､英雄的故事，厚植爱党､爱国､爱社会主义的情感，让红色基因､革命薪火代代传承.”为了深入贯彻习近平总书记的讲话精神，我校积极开展党史学习教育，举行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲.现安排4名教师到高中3个年级进行宣讲，每个年级至少1名教师，则不同的选法有（    ） A． B． C． D． 10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，则下列说法正确的是（    ） A．准线l的方程为 B．若过焦点F的直线交抛物线C于两点，且，则 C．若，则的最小值为3 D．延长交抛物线C于点M，若，则 11．已知圆锥的顶点为为底面圆的直径，，点在圆上，点为的中点，与底面所成的角为，则（    ） A．该圆锥的侧面积为 B．该圆锥的休积为 C． D．该圆锥内部半径最大的球的表面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 12．若，则的值是 . 13．已知向量，，则 . 14．已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 . 四、解答题（本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）在的展开式中，求： (1)含的项； (2)展开式中常数项. 16．（15分）已知，，，，． (1)求； (2)若，求实数，的值． 17．（15分）已知直线，圆 (1)若，求直线l截圆M所得的弦长; (2)已知直线l过定点若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程. 18．（17分）如图，在四棱锥中，，  ，，平面平面． (1)求证：平面； (2)点Q在棱上，与平面所成角的正弦值为， 求平面与平面夹角的余弦值. 19．（17分）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B、点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，面积的最大值为2． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线、的斜率分别为、，且过定点 ①设和的面积分别为、，求的最大值； ②求证：为定值，并求出该定值． 第 2 页 共 3 页 高二北大数学试卷第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ID:3505478 第 1 页 共 2 页 2024年——2025学年度上学期期末考试 高二数学试卷答题卡（北大部） 学校： 班级： 姓名： 座号： 贴条形码区 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A B C D 7 A B C D 8 A B C D 9 A B C D 10 A B C D 11 A B C D 一.选择题(40分) 二.选择题(18分) 三.填空题(15分) 12 13 14 四.解答题 15 (13分） 16 (15分） ID:3505478 第 2 页 共 2 页 请使用2B铅笔填涂选择题答案等选项及考号 17 (15分） 18 (17分） 19 (17分） 2024年——2025学年度上学期期末考试高二数学试卷答案 1．A【详解】由题设，则的倾斜角为. 2.C【详解】由题意得，与的距离， 3．A【详解】因为直线和直线，若，则，解得或，因此，“”是“”的必要不充分条件. 4．D【详解】先从5门选修课中选择1门，有5种选法；再从4个课外活动中选择2个，有种选法. 所以该学生不同的选择种数为. 5．B【详解】由题意得，圆，即以为圆心，为半径的圆，圆，即以为圆心，为半径的圆， 则，故，因此两圆相交，则有2条公切线. 6．A【详解】如图，构造直角三角形得正四棱锥的高，则正四棱柱的高为，所以印章摆件的体积． 7．A【详解】. 8．D【详解】易知点，双曲线的渐近线方程为，即，所以，焦点到渐近线的距离为，设，，由双曲线的定义可得， 由余弦定理可得， 即，所以，. 9．BD【详解】将名教师分为三组，有种分组方法，再将三组分配到三个年级有种方法，所以共有种选法，故选项B正确；在三个年级中选出一个，安排名教师有种安排方法，再将剩下的人安排到两个年级有种方法，所以共有种选法，故选项D正确； 10． ACD【详解】因为抛物线C的方程为，所以，所以准线l的方程为，A正确；由题意可知焦点弦长，B错误；由抛物线C上的点到焦点F与到准线的距离相等可知，所以当Q，P，E三点共线时，取得最小值，即为点E到准线的距离，所以最小值为3，C正确；如图所示，不妨设P在第一象限，过P作轴于点H，过M作轴于点N，过M作准线的垂线，垂足为D，设准线与x轴的交点为G，则，，易知，则有，即，解得，则， 11.BCD【详解】由已知，，，易得等腰三角形的底边长， ，对于A，该圆锥的侧面积为，A错误；对于B该圆锥的体积为，B正确；对于C，如图，取中点为，连接，则为与底面所成角为，故，C正确；对于D，当球与圆锥内切时，表面积最大，此时球心在圆锥的高上，设为，球半径为，过向作垂线，垂足为，则，又，所以，所以，球的表面积为，D正确， 12．5【详解】由可得， 13．【详解】，所以. 14．【详解】设为右焦点，半焦距为，，， 为中点， 线段的垂直平分线经过坐标原点，为中点，则，由，， 则，，，所以，从而有， 故， 当且仅当，即时取等，所以的最小值为. 15、【详解】（1）展开式的通项公式为，----------5分 令，解得，所以展开式中含的项为-------------9分 （2） 令，解得，所以展开式中常数项为------------------13分 16、【详解】（1）， ，，；-----------------8分 （2），因为，所以设， 即，故，解得.------------------------------15分 17、【详解】（1）当时，直线，圆M的圆心为，半径为3， 则圆心M到直线l的距离为，则直线l截圆M所得的弦长为；---------6分 （2）由得，所以定点，由题意得切线的斜率存在， 则设切线的方程为，即，所以，解得， 故所求切线方程为，即或-----------15分 18、【详解】（1）若分别为中点，连接，由，，则为直角梯形，且为中位线，所以，且，由，则，又，可得，面面，面，面面，则面，面，故，则，由面，则，又，均在面内，所以面，面，可得，所以，故，即，由，则，而均在面内，所以平面.------------------7分 （2）建如上图所示的空间直角坐标系，所以， 令且，则，则，，，若是面的一个法向量，则，令，则，由题意， 整理得，故，则，若是面的一个法向量，则，令，则，所以平面与平面夹角的余弦值.------------17分 19、【详解】（1）当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值，且最大值为， 由题意可得，解得，所以，椭圆的标准方程为.-------4分 （2）①设点、.若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，不合乎题意. 设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点， 可得，，，， 所以， ，，则，因为函数在上单调递增，故，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为.-------14分 ②由， 所以，， 即为定值.---------------------------------17分 高二北大数学试卷答案第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$