精品解析：海南省海口市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

海南省海口市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 （全卷满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共36分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑． 1. 化简的结果是（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，进行求解即可． 【详解】解：； 故选D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】解：A、，不是同类二次根式，不能合并，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算正确，符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选C． 3. 已知二次根式与是同类二次根式，则a的值可以是（ ）． A. 8 B. 9 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】把各选项的值依次代入计算即可得出答案． 【详解】解：A、当时，，与是同类二次根式，所以本选项符合题意； B、当时，，与不是同类二次根式，所以本选项不符合题意； C、当时，，与不是同类二次根式，所以本选项不符合题意； D、当时，，与不是同类二次根式，所以本选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，化成最简二次根式后的被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 4. 当x=-1时，代数式x2-1的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 2- D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】先把x的值代入x2-1中，然后利用完全平方公式计算． 【详解】当x=-1时， x2-1=（-1）2-1=3-2-1=2-2． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式． 5. 将一元二次方程化成的形式，则等于（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 对一元二次方程进行配方，然后作答即可． 【详解】解：， ∵将一元二次方程化成的形式， ∴． 故选：D． 6. 关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为﹣2和3，则( ) A. b＝1，c＝﹣6 B. b＝﹣1，c＝﹣6 C. b＝5，c＝﹣6 D. b＝﹣1，c＝6 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到﹣2+3＝﹣b，﹣2×3＝c，即可得到b与c的值. 【详解】由一元二次方程根与系数的关系得：﹣2+3＝﹣b，﹣2×3＝c， ∴b＝﹣1，c＝﹣6 故选：B. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根满足 ，是解题的关键. 7. 用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（ ） A. 20 B. 40 C. 100 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，由长方形的周长公式得出宽为（40÷2﹣x）cm，根据长方形的面积公式列出方程x（40÷2﹣x）=a，整理得x2﹣20x+a=0，由=400﹣4a≥0，求出a≤100，即可求解． 【详解】设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2﹣x）cm，依题意，得 x（40÷2﹣x）=a，整理，得 x2﹣20x+a=0， ∵=400﹣4a≥0， 解得a≤100， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及根的判别式，找到等量关系并列出方程是解题的关键． 8. 如图，为的角平分线，交于点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．首先证明为等腰三角形，易得，可设，，则，，证明，由相似三角形的性质可得，解得，然后计算的值即可． 【详解】解：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 可设，，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴． 故选：B． 9. 如图，在中，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质， 先作，构造出直角三角形，再结合余弦的定义. 【详解】过点A作，垂足为M， ∵， ∴． 在中，，. 故选：B． 10. 如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC边上的中点，若OE=2，AD=5，则□ABCD的周长为( ) A. 9 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC；又因为点E是BC的中点，所以OE是△ABC的中位线，由OE=2，即可求得AB=4，继而可得出▱ABCD的周长 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC； 又∵点E是BC的中点， ∴BE=CE， ∴AB=2OE=2×2=4 故▱ABCD的周长=2（AB+AD）=18 故选C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半． 11. 如图，矩形中，点是边上一动点（与点A、B不重合），连接，过点作交的延长线于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，过点作，易得四边形是矩形，得到，证明，证明，即可得出结果． 【详解】解：过点作， ∵矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 12. 如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ） A. 4.5米 B. 6米 C. 7.2米 D. 8米 【答案】B 【解析】 【分析】根据同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答． 【详解】解：如图所示，GC⊥BC，AB⊥BC， ∵， 当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即， 当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即， ∴， ∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米， 设AB＝x，BC＝y， ∴， 解得y＝3， 则， 解得，x＝6米． 即路灯A的高度AB＝6米． 故选：B． 【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 若，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 某药品经过两次降价，每瓶零售价比原来降低了，则平均每次降价的百分率_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设平均每次降价的百分率为，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 故答案为：． 15. 某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由改为（如图），若改动后电梯的坡面长为13米，则改动后电梯水平宽度增加部分长为_____________米． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据坡度等于铅直高与水平距离的比值，分别求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：当滚动电梯的坡面坡度为时，则：， ∴， 在中，， 解得：（负值舍去）， ∴， 当滚动电梯的坡面坡度为时，则：， ∴， ∴； 故答案为：3． 16. 如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质可知，，由平分，可知，故有，根据，可得，，在中，由勾股定理得，设，则，，根据求解的值，根据求出的值即可． 【详解】解：由折叠的性质可知， ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中，由勾股定理得 设，则 ∵ ∴ 解得 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，角平分线，勾股定理，正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 三、解答题（共72分） 17. 计算 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算，熟练掌握二次根式的四则运算法则，特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先将二次根式化为最简二次根式，再相减即可； （2）根据二次根式的四则运算法则计算即可； （3）先代入特殊角的三角函数值，再利用完全平方公式进行计算即可； 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ． 18. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设每千克水果应涨价元，依题意列方程得：，解方程得，要使顾客得到实惠，应取，即可得到答案． 【详解】解：设每千克水果应涨价元， 依题意列方程得： 整理，得 解这个方程，得 要使顾客得到实惠，应取， 答：每千克应涨价元． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、是的边上一点． （1）画出将向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的，并写出点A、P的对应点的坐标； （2）以原点为位似中心，在轴的左侧画出的一个位似，使它与的相似比为，并分别写出点A、P的对应点的坐标； （3）判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； 由图和题意，可知：； （2） 如图，即为所求； ∵与的相似比为， ∴ （3） 和关于某点为位似中心的位似图形，如图，位似中心即为所求； 由图可知：． 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换---平移和位似，熟练掌握平移规则，位似的性质，是解题的关键： （1）根据平移规则画出，进而写出对应点的坐标即可； （2）根据位似的性质，画出，进而写出对应点的坐标即可； （3）连接，并延长，交点即为点，进而写出点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球，除数字外其他都相同．甲先从袋中随机取出1个小球，记下数字后放回；乙再从袋中随机取出1个小球记下数字．用画树状图或列表的方法， （1）求取出的两个小球上的数字之和为3的概率； （2）求取出的两个小球上的数字之和大于4的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】解：（1）树状图如图所示： ∴P（和为3）=； （2）因为共有9种等可能的情况，和大于4的有3种，所以P（和大于4）=． 21. 小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西方向上，点A、B、C、D在同一平面内． （1）填空：________，________； （2）求点D到点A的距离； （3）求隧道的长．（结果保留根号） 【答案】（1）75，90 （2）点D到点A的距离为300米 （3）隧道的长为米 【解析】 【分析】（1）如图，过点D作于点E，根据方位图易得，，根据三角形内角和定理可得，，进而可得； （2）在中，，根据三角函数即可求出的长； （3）在中，根据三角函数求出的长，在中，根据三角函数求出的长，即可求出的长． 本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图 如图，过点D作于点E， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：，． 【小问2详解】 在中，， ． 答：点D到点A的距离为300米． 【小问3详解】 （3）如图1，过点D作于点E． ∵是东西走向， ∴，． 在中， ． 在中， ． ∴． 答：隧道的长为米． 22. 如图1，把两个全等的等腰直角和叠放在一起，使的锐角顶点与的斜边中点重合，其中．固定不动，将绕点沿顺时针方向旋转（旋转角满足条件：）．设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点． （1）如图1，当射线经过点，即点与点重合时，易证：．此时，的值为______________； （2）当旋转到图2的位置时， ①的值是否改变？请说明理由； ②与相似吗？请说明理由； （3）如图3，当时，线段交于点． ①求证：； ②若，求的值． 【答案】（1） （2）①如图1，的值不改变． 与是全等的等腰直角三角形，是的中点，， ． ， ． ， ； ②， ． ， ． ， ． （3）①如图2， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）由题意得：，根据点是的斜边中点，可得；由推出，，即可； （2）①仍然可证，故结论不变；②由得．根据得．结合即可求证； （3）①证即可；②由，得．过点作于点．推出即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得：， ∵点是的斜边中点， ∴； ∵． ∴， ∴， 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：① 略 ②由， ． 过点作于点． ， ∴， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识点，几何综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省海口市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 （全卷满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共36分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑． 1. 化简的结果是（ ） A. 2 B. C. D. 4 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次根式与是同类二次根式，则a的值可以是（ ）． A. 8 B. 9 C. 7 D. 6 4. 当x=-1时，代数式x2-1的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 2- D. -2 5. 将一元二次方程化成的形式，则等于（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 13 6. 关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为﹣2和3，则( ) A. b＝1，c＝﹣6 B. b＝﹣1，c＝﹣6 C. b＝5，c＝﹣6 D. b＝﹣1，c＝6 7. 用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（ ） A. 20 B. 40 C. 100 D. 120 8. 如图，为的角平分线，交于点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，则等于（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC边上的中点，若OE=2，AD=5，则□ABCD的周长为( ) A. 9 B. 16 C. 18 D. 20 11. 如图，矩形中，点是边上一动点（与点A、B不重合），连接，过点作交的延长线于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ） A. 4.5米 B. 6米 C. 7.2米 D. 8米 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 若，则的取值范围是_____________． 14. 某药品经过两次降价，每瓶零售价比原来降低了，则平均每次降价的百分率_____________． 15. 某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由改为（如图），若改动后电梯的坡面长为13米，则改动后电梯水平宽度增加部分长为_____________米． 16. 如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为 _____． 三、解答题（共72分） 17. 计算 （1）； （2）； （3）． 18. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、是的边上一点． （1）画出将向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的，并写出点A、P的对应点的坐标； （2）以原点为位似中心，在轴的左侧画出的一个位似，使它与的相似比为，并分别写出点A、P的对应点的坐标； （3）判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 20. 一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球，除数字外其他都相同．甲先从袋中随机取出1个小球，记下数字后放回；乙再从袋中随机取出1个小球记下数字．用画树状图或列表的方法， （1）求取出的两个小球上的数字之和为3的概率； （2）求取出的两个小球上的数字之和大于4的概率． 21. 小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西方向上，点A、B、C、D在同一平面内． （1）填空：________，________； （2）求点D到点A的距离； （3）求隧道的长．（结果保留根号） 22. 如图1，把两个全等的等腰直角和叠放在一起，使的锐角顶点与的斜边中点重合，其中．固定不动，将绕点沿顺时针方向旋转（旋转角满足条件：）．设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点． （1）如图1，当射线经过点，即点与点重合时，易证：．此时，的值为______________； （2）当旋转到图2的位置时， ①的值是否改变？请说明理由； ②与相似吗？请说明理由； （3）如图3，当时，线段交于点． ①求证：； ②若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $