1.4  圆锥的体积（2个知识点+6类热点题型精讲+习题巩固）同步分层作业-2024-2025学年数学六年级下册（北师大版）

1.4 圆锥的体积 学习重难点 学习目标 1、重点：结合具体情境了解圆锥的体积的意义，经历探索圆锥的体积的计算方法的过程。 2、难点：采用“类比猜想--验证说明”的方式来探索圆锥的体积计算公式，能准确地掌握圆锥的体积计算方法，会正确计算圆锥的体积，并能解决一些简单的实际问题。 1、经历“类比猜想一验证说明”来探索圆锥体积计算方法的过程，渗透类比的思想方法。 2、掌握圆锥体积的计算方法，能正确计算圆锥的体积，并会解决一些简单的实际问题。 知识点一圆锥的体积计算公式 1、圆锥的体积计算公式。 圆锥的体积=底面积×高×，圆锥的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 知识点二圆锥体积公式的应用 1、圆锥体积的求法：①已知底面积和高，圆锥的体积V=Sh；②已知底面半径和高圆锥的体积 v=πr2h；③已知底面直径和髙，圆锥的体积 V=π()2h；④已知底面周长和高，圆锥的体积 V=π()2h。 题型一圆锥的体积（容积） 1．一个组合零件是由圆柱和圆锥粘合而成的（如下图），若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm2，那么原来这个组合零件的体积是（ ）cm3。 【分析】由图可知圆柱与圆锥等底，因此把圆柱和圆锥分开后，增加的表面积就是圆柱的一个底面面积和圆锥的底面面积的和，所以圆柱的底面积与圆锥的底面积均是50.24÷2＝25.12cm2；圆柱的高是6cm2，则圆锥的高是（12－6）cm，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，分别求出圆柱的体积和圆锥的体积，再把它们相加，即可解答。 【解答】50.24÷2＝25.12（cm） 25.12×6＋25.12×（12－6）× ＝150.72＋25.12×6× ＝150.72＋150.72× ＝150.72＋50.24 ＝200.96（cm3） 一个组合零件是由圆柱和圆锥粘合而成的（如下图），若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm²，那么原来这个组合零件的体积是200.96cm³。 2．已知圆柱的底面周长是18.84cm，高是10cm，它的侧面积是（ ）cm2，表面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3；与它等底等高的圆锥的体积是（ ）cm3。 【分析】根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，求出圆柱的侧面积；根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆柱底面半径；再根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积；代入数据，求出圆柱的表面积；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；代入数据，求出圆柱的体积；等底等高圆锥的体积是圆柱的，据此解答。 【解答】18.84×10＝188.4（cm2） 18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（cm） 3.14×32×2＋18.84×10 ＝3.14×9×2＋188.4 ＝28.26×2＋188.4 ＝56.52＋188.4 ＝244.92（cm2） 3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝28.26×10 ＝282.6（cm3） 282.6×＝94.2（cm3） 已知圆柱的底面周长是18.84cm，高是10cm，它的侧面积是188.4cm2，表面积是244.92cm2，体积是282.6cm3；与它等底等高的圆锥的体积是94.2cm3。 3．如图一个圆锥形容器中装4.5L水，水面高度正好是圆锥高度的一半。这个圆锥形容器一共能装水（ ）L。 【分析】水面高度正好是圆锥高度的一半，说明圆锥容器的高是容器内水面高的2倍，则圆锥容器的半径也水面半径的2倍，圆锥体积＝圆周率×底面半径的平方×高÷3，所以容器的容积是容器内水的体积的（22×2）倍，据此分析。 【解答】22×2＝4×2＝8 4.5×8＝36（L） 这个圆锥形容器一共能装水36L。 【点评】关键是掌握并灵活运用圆锥体积公式，理解圆锥容积和水的体积之间的关系。 题型二圆柱和圆锥体积的关系 4．如图，直角三角形绕着6cm的直角边旋转一周，形成的立体图形是（ ），它的底面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3，与它等底等高的圆柱的体积是（ ）cm3。 【分析】根据圆锥的特征可知，直角三角形绕着6cm的直角边旋转一周，形成圆锥，那么这条直角边6cm是圆锥的高，另一条直角边3cm是圆锥的底面半径。 根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积； 根据V锥＝Sh，求出圆锥的体积； 由V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，据此求出圆柱的体积。 【解答】圆锥的底面积： 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（cm2） 圆锥的体积：×28.26×6＝56.52（cm3） 圆柱的体积：56.52×3＝169.56（cm3） 填空如下： 直角三角形绕着6cm的直角边旋转一周，形成的立体图形是（圆锥），它的底面积是（28.26）cm2，体积是（56.52）cm3，与它等底等高的圆柱的体积是（169.56）cm3。 5．一个圆柱的底面直径是8cm，高是9cm，这个圆柱的侧面积是（ ）cm2，表面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3，和它等底等高的圆锥体积是（ ）cm3。 【分析】将数据代入圆柱的侧面积公式：S＝πdh，圆柱的表面积公式：S＝S侧＋2S底，S底＝πr2及圆柱的体积公式：V＝πr2h，求出这个圆柱的侧面积、表面积、体积；它等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，用圆柱的体积÷3即可求出和它等底等高的圆锥体积；据此解答。 【解答】3.14×8×9＝226.08（cm2） 226.08＋3.14×（8÷2）2×2 ＝226.08＋3.14×42×2 ＝226.08＋3.14×16×2 ＝226.08＋100.48 ＝326.56（cm2） 3.14×（8÷2）2×9 ＝3.14×42×9 ＝3.14×16×9 ＝452.16（cm3） 452.16÷3＝150.72（cm3） 这个圆柱的侧面积是226.08cm2，表面积是326.56cm2，体积是452.16cm3，和它等底等高的圆锥体积是150.72cm3。 6．等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是208立方厘米，那么圆柱的体积是（ ）立方厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米。 【分析】根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，可以把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积是3份，一共是（1＋3）份；用等底等高的圆柱和圆锥的体积之和除以总份数，求出一份数，即是圆锥的体积；再用圆锥的体积乘3，求出圆柱的体积。 【解答】圆锥的体积： 208÷（1＋3） ＝208÷4 ＝52（立方厘米） 圆柱的体积： 52×3＝156（立方厘米） 圆柱的体积是156立方厘米，圆锥的体积是52立方厘米。 7．一个圆锥和一个圆柱等底等高，它们的体积差是18立方厘米。圆柱的体积是（ ）立方厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米。 【分析】圆柱的体积＝，圆锥的体积＝，等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥体积看作1份，圆柱体积看作3份，体积差的18立方厘米就对应了两份，用18除以2可以算出圆锥体积，再乘3就是圆柱体积。 【解答】圆锥体积：18÷（3－1） ＝18÷2 ＝9（立方厘米） 圆柱体积：9×3＝27（立方厘米） 圆柱的体积是27立方厘米，圆锥的体积是9立方厘米。 题型三组合体的体积（含圆锥） 8．按要求计算。 求体积。 【分析】这个几何体是由一个底面直径为6cm，高为4cm的圆柱和一个底面直径为6cm，高为12－4＝8cm的圆锥组成的立体图形。根据圆柱的体积V＝πr²h，圆锥的体积V＝πr²h，求出这个几何体的体积即可。 【解答】圆锥体积： （cm3） 圆柱体积： （cm3） 立体图形体积：（cm3） 9．求下列图形的体积。（单位：厘米） 【分析】题干中的图形是正方体减去圆锥的体积，正方体的棱长为6厘米，圆锥的底面直径为6厘米，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，圆锥体积＝，图形的体积＝正方体体积－圆锥体积，据此可计算得出答案。 【解答】图形的体积为： （立方厘米） 10．求下面图形的体积。 【分析】观察图形可知，体积＝底面直径是4cm，高是5cm的圆柱的体积＋底面直径是6cm，高是5cm的圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×（4÷2）2×5＋3.14×（6÷2）2×5× ＝3.14×22×5＋3.14×32×5× ＝3.14×4×5＋3.14×9×5× ＝12.56×5＋28.26×5× ＝62.8＋141.3× ＝62.8＋47.1 ＝109.9（cm3） 图形的体积是109.9cm3。 11．求出下面形体的体积。 【分析】图形是由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱的体积，圆锥的体积，图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，将数据带入公式即可。 【解答】 （cm3） 题型四不规则物体的体积（含圆锥） 12．如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。 （1）圆柱形容器的高是多少厘米？ （2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？ 【分析】（1）把圆柱形容器的体积看作单位“1”，已知把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水，则剩下的水占容器里的（1－60%），用剩下的水除以剩下的水占总体积的分率，即可求出圆柱形容器的体积，再根据圆柱的高＝V圆柱÷r2÷π，代入数据解答即可； （2）看图可知，水面上升的体积就是圆柱和圆锥的体积之和，圆柱容器的底面积×水面上升的高度＝圆柱和圆柱的体积之和，再等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍。以体积之和为单位“1”，圆柱的体积占体积之和的。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用圆柱和圆锥的体积之和乘，即可求出圆柱的体积，再用体积之和减去圆柱的体积，即可求出圆锥的体积；最后根据圆柱的底面积＝V圆柱÷h，代入数据求出圆柱和圆锥的底面积。 【解答】（1）452.16毫升＝452.16立方厘米 452.16÷（1－60%） ＝452.16÷40% ＝1130.4（立方厘米） 1130.4÷（12÷2）2÷3.14 ＝1130.4÷62÷3.14 ＝1130.4÷36÷3.14 ＝31.4÷3.14 ＝10（厘米） 答：圆柱形容器的高是10厘米。 （2）（12÷2）2×0.5×3.14 ＝62×0.5×3.14 ＝36×0.5×3.14 ＝18×3.14 ＝56.52（立方厘米） 56.52×＝42.39（立方厘米） 56.52－42.39＝14.13（立方厘米） 42.39÷6＝7.065（平方厘米） 答：放到水里的圆柱的体积是42.39立方厘米，圆锥的体积是14.13立方厘米，它们的底面积是7.065平方厘米。 13．实践出真知。有一个圆柱形容器，从里面量得底面直径为6厘米。高为15厘米，里面装了10厘米高的水。将一个底面直径为4厘米的圆锥体铁块浸没到水中，水面升高了2厘米。这个圆锥体铁块的体积是多少立方厘米？ 【分析】根据题意可知，把圆锥铁块浸没到水中，上升部分水的体积就等于这个圆锥的体积，上升的部分恰好是一个圆柱，底面直径是6厘米，底面半径是3厘米，高是2厘米，再根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】 （立方厘米） 答：这个圆锥体铁块的体积是56.52立方厘米。 14．小丽家定制了一个底面直径为60厘米、高40厘米的无盖圆柱体鱼缸。（特别提示：此题中π的取值按照π＝3计算） （1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ （2）在这个鱼缸里装上水，把一个底面半径是10厘米的圆锥形玩具完全浸没在水中后，水面上升了1厘米（未溢出）。这个圆锥形玩具的高是多少厘米？ 【分析】（1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃，就是求圆柱形无盖鱼缸的表面积。底面是直径60厘米的圆，侧面积等于底面周长乘高，据此解答。 （2）圆锥形玩具的体积是上升的1厘米高度水的体积，变形后，据此解答。 【解答】（1） （平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要99平方分米的玻璃。 （2） （立方厘米） 答：这个圆锥形玩具的高是27厘米。 15．一个圆柱形鱼缸，底面半径6厘米，里面盛有一些水，把一个底面半径是3厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中（水未溢出），水面上升0.5厘米，这个铅锤的高是多少厘米？ 【分析】根据不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此求出铅锤的体积，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，即h＝3V÷πr2，据此进行计算即可。 【解答】3.14×62×0.5 ＝3.14×36×0.5 ＝113.04×0.5 ＝56.52（立方厘米） 56.52×3÷（3.14×32） ＝56.52×3÷（3.14×9） ＝56.52×3÷28.26 ＝169.56÷28.26 ＝6（厘米） 答：这个铅锤的高是6厘米。 题型五立体图形的切拼（含圆锥） 16．一个底面半径是6厘米的圆锥形木块，把它沿高分成完全相同的两个木块，表面积比原来增加了120平方厘米，原来这个圆锥形木块的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 【分析】从“沿高分成完全相同的两个木块”可知，切面是两个完全一样的等腰三角形。这个三角形的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高。从“表面积比原来增加了120平方厘米”可得一个三角形的面积是：120÷2＝60（平方厘米）。再根据三角形的高：h＝2S÷a，求出圆锥的高，根据圆锥的体积：V＝sh＝πr2h，求出圆锥的体积即可。 【解答】圆锥的高： 120÷2×2÷（6×2） ＝120÷12 ＝10（厘米） 圆锥的体积： （立方厘米） 答：原来这个圆锥形木块的体积是376.8立方厘米。 17．如图，圆柱形木料的上方挖空了一个圆锥形，求剩余木料的体积。 【分析】剩余木料的体积＝圆柱体积－圆锥体积，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此列式解答。 【解答】3.14×62×（5＋5）－×3.14×62×5 ＝3.14×36×10－×3.14×36×5 ＝1130.4－188.4 ＝942（立方厘米） 答：剩余木料的体积是942立方厘米。 18．把一个高15厘米的圆锥，沿着底面直径垂直切开，将圆锥平均分为两份，跟原来比表面积增加了300平方厘米，求这个圆锥的体积是多少？ 【分析】由于圆锥体是由三角形旋转得到的，把一个圆锥沿底面直径和高切开，剖面是三角形，表面积比原来增加了300平方厘米，即是两个三角形的面积之和；由此可以求出剖面三角形的面积，这个三角形的底就是圆锥底面直径，根据已知三角形的面积和高求底的方法，即可求出圆锥的底面直径，再利用圆锥的体积公式解答。 【解答】一个三角形的面积：300÷2＝150（平方厘米） 圆锥的底面直径：150×2÷15＝20（厘米） ×3.14×（20÷2）2×15 ＝314×5 ＝1570（立方厘米） 答：这个圆锥的体积是1570立方厘米。 【点评】本题考查圆锥的体积，明确沿着底面直径垂直切开，表面积增加即增加了两个三角形的面积是解题的关键。 题型六体积的等积变形（含圆锥） 19．一个圆柱形铁块的底面半径是6厘米，高是5厘米。把它熔铸成一个底面积是157平方厘米的圆锥形铁块，圆锥的高是多少厘米？ 【分析】根据“熔铸”前后体积不变。圆柱的体积＝底面积×高，其中圆柱的底面积＝，计算出圆柱的体积也就是圆锥的体积，再根据圆锥的体积＝底面积×高，则圆锥的高＝圆锥的体积×3÷底面积，代入数据据此解答即可。 【解答】（3.14×62×5）×3÷157 ＝（3.14×36×5）×3÷157 ＝（113.04×5）×3÷157 ＝565.2×3÷157 ＝1695.6÷157 ＝10.8（厘米） 答：圆锥的高是10.8厘米。 20．把一块棱长是5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面半径是5厘米的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高约是多少？（得数保留整厘米） 【分析】首先要理解把正方体铁块熔铸成圆锥形铁块，只是形状改变了，但体积不变。因此根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出铁块的体积；再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，代入数据，即可求出高。由此列式解答。 【解答】（5×5×5）÷（×3.14×52） ＝（5×5×5）÷（×3.14×25） ≈125÷26.17 ≈5（厘米） 答：这个圆锥形铁块的高约是5厘米。 【点评】此题主要考查正方体和圆锥的体积计算方法，理解体积没有发生变化是解答本题的关键。 一、选择题 1．一个圆锥的体积是36cm3，底面积是9cm，高是（    ）cm。 A．4 B．6 C．9 D．12 2．一个圆柱和一个圆锥，体积相等，底面积也相等，已知圆柱的高是15厘米，圆锥的高是（    ）厘米。 A．15 B．45 C．5 D．30 3．一个圆柱和一个圆锥底面半径的比是2∶3，它们的高相等，圆柱和圆锥的体积的最简整数比是（    ）。 A．9∶4 B．4∶9 C．3∶4 D．4∶3 4．一个底面半径为12厘米的圆柱形杯中装有水，里面有一个底面直径是12厘米，高是18厘米的圆锥形铁块（完全浸没在水中），当铁块从杯中取出后，杯中的水面会下降（    ）厘米。 A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 5．如图，把等腰三角形绕它的底边上的高旋转一周，得到的立体图形的体积是（    ）cm3。 A．56.52 B．25.12 C．18.84 D．9.42 二、填空题 6．将下图中的直角三角形ABC以直角边AB所在的直线为轴旋转一周，所得立体图形的体积是（ ）立方厘米。 7．一个棱长为6厘米的正方体木块，削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是（ ）立方厘米；材料的利用率大约为（ ）。（百分号前保留一位小数） 8．一个组合零件是由圆柱和圆锥粘合而成的（如下图），若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm2，那么原来这个组合零件的体积是（ ）cm3。 9．一个长为4分米、宽为3.14分米、高为6.28分米的长方体水槽中装有水，慢慢放入一个底面直径是20厘米的圆锥形铁块，完全浸没后水面上升了1厘米且没有滋出，这个圆锥形铁块的高是（ ）厘米。 10．一辆货车车厢是一个长方体，它的长是4米，宽是1.5米，高是4分米，装满一车沙，卸后堆成一个高是5分米的圆锥形，它的底面积是（ ）平方米。 三、计算题 11．如图，一个长方体的上面有一个圆锥，计算这个组合图形的体积。 四、解答题 12．实践出真知。有一个圆柱形容器，从里面量得底面直径为6厘米。高为15厘米，里面装了10厘米高的水。将一个底面直径为4厘米的圆锥体铁块浸没到水中，水面升高了2厘米。这个圆锥体铁块的体积是多少立方厘米？ 13．一辆卡车车厢的形状是长5米，宽3米，高1.57米的长方体，装满一车厢沙，卸货后，沙堆成一个底面直径是6米的圆锥体，这个沙堆的高是多少米？ 14．一个圆锥形实心铝块零件，底面直径是20厘米，高是15厘米，如果每立方厘米铝重2.7克，这个零件重多少克？ 15．如图1，某种油菜籽榨油机的漏斗是由圆柱和圆锥两部分组成的。底面半径是4分米，这两部分的高都是6分米。每立方分米油菜籽重0.5千克。 图1     图2 （1）这个漏斗最多能装多少千克油菜籽？ （2）如果张师傅打算用铁皮给这个漏斗做一个圆柱形的防尘罩（如图2，没有下底面），至少需要多少平方分米铁皮？ 参考答案 一、选择题 1．一个圆锥的体积是36cm3，底面积是9cm，高是（    ）cm。 A．4 B．6 C．9 D．12 【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，高＝体积÷底面积×3，代入数据，即可解答。 【解答】36÷9×3 ＝4×3 ＝12（cm） 一个圆锥的体积是36cm3，底面积是9cm，高是12cm。 故答案为：D 【点评】熟练掌握和灵活运用圆锥的体积公式是解答本题的关键。 2．一个圆柱和一个圆锥，体积相等，底面积也相等，已知圆柱的高是15厘米，圆锥的高是（    ）厘米。 A．15 B．45 C．5 D．30 【分析】圆柱的体积公式：V＝Sh，圆锥的体积公式：V＝Sh，可推导圆锥的高：h＝3V÷S，据此解答。 【解答】设圆柱的底面积为S厘米。 已知圆柱的高是15厘米，所以圆柱的体积为：15S 因为它们体积相等，所以圆锥的体积也为：15S 圆锥的高为：3V÷S ＝3×15S÷S ＝45（厘米） 所以圆锥的高是45厘米。 故答案为：B 【点评】本题考查圆柱与圆锥的体积关系，会灵活运用圆锥的体积公式是此题解题关键。 3．一个圆柱和一个圆锥底面半径的比是2∶3，它们的高相等，圆柱和圆锥的体积的最简整数比是（    ）。 A．9∶4 B．4∶9 C．3∶4 D．4∶3 【分析】设圆柱的底面半径为2，则圆锥的底面半径为3，高均为h，分别求出圆柱、圆锥的体积，得出体积比并化简即可。 【解答】设圆柱的底面半径为2，则圆锥的底面半径为3，高均为h 圆柱的体积为：π×22×h＝4πh 圆锥的体积为：×π×32×h＝3πh 圆柱的体积∶圆锥的体积＝4πh∶3πh＝4∶3。 故答案为：D 【点评】本题主要考查圆柱、圆锥的体积公式的灵活运用。 4．一个底面半径为12厘米的圆柱形杯中装有水，里面有一个底面直径是12厘米，高是18厘米的圆锥形铁块（完全浸没在水中），当铁块从杯中取出后，杯中的水面会下降（    ）厘米。 A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 【分析】根据题意，水面下降的部分的体积等于这个圆锥形铁块的体积，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出铁块的体积；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，高＝体积÷底面积；代入数据，即可求出杯中的水面会下降多少厘米。 【解答】3.14×（12÷2）2×18×÷（3.14×122） ＝3.14×36×18×÷（3.14×144） ＝113.04×18×÷452.16 ＝2034.72×÷452.16 ＝678.24÷452.16 ＝1.5（厘米） 一个底面半径为12厘米的圆柱形杯中装有水，里面有一个底面直径是12厘米，高是18厘米的圆锥形铁块（完全浸没在水中），当铁块从杯中取出后，杯中的水面会下降1.5厘米。 故答案为：B 【点评】熟练掌握和利用圆柱的体积公式和圆锥的体积公式是解答本题的关键。 5．如图，把等腰三角形绕它的底边上的高旋转一周，得到的立体图形的体积是（    ）cm3。 A．56.52 B．25.12 C．18.84 D．9.42 【分析】根据等腰三角形的特征，把等腰三角形绕它的底边上的高旋转一周，得到的立体图形是底面半径是3cm，高是2cm的圆锥体，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×32×2× ＝3.14×9×2× ＝28.26×2× ＝56.52× ＝18.84（cm3） 故答案为：C 【点评】解答本题的关键是明确旋转后的图形是一个圆锥体，再利用圆锥的体积公式进行解答。 二、填空题 6．将下图中的直角三角形ABC以直角边AB所在的直线为轴旋转一周，所得立体图形的体积是（ ）立方厘米。 【分析】以6厘米的直角边为轴，旋转一周后得到的立体图形是个圆锥，圆锥的底面半径是2厘米，高是6厘米，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，列式计算即可。 【解答】3.14×22×6× ＝3.14×4×6× ＝25.12（立方厘米） 所得立体图形的体积是25.12立方厘米。 7．一个棱长为6厘米的正方体木块，削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是（ ）立方厘米；材料的利用率大约为（ ）。（百分号前保留一位小数） 【分析】一个棱长为6厘米的正方体木块，削成一个最大的圆锥，削去部分的体积等于正方体的体积减去圆锥的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体的体积，圆锥的底面直径是6厘米，圆锥的高也是6厘米，根据圆锥的体积公式：V＝÷3，据此求出圆锥的体积，再用正方体的体积减去圆锥的体积即可求出消去部分的体积；求一个数的是另一个数的百分之几，用除法解答，据此用圆锥的体积除以正方体的体积即可解答。 【解答】6×6×6－3.14××6÷3 ＝36×6－3.14×9×6÷3 ＝216－28.26×2 ＝216－56.52 ＝159.48（立方厘米） 3.14××6÷3÷（6×6×6） ＝3.14×9×6÷3÷216 ＝28.26×2÷216 ＝56.52÷216 ≈26.2％ 所以削去部分的体积是159.48立方厘米，材料的利用率大约为26.2％。 8．一个组合零件是由圆柱和圆锥粘合而成的（如下图），若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm2，那么原来这个组合零件的体积是（ ）cm3。 【分析】由图可知圆柱与圆锥等底，因此把圆柱和圆锥分开后，增加的表面积就是圆柱的一个底面面积和圆锥的底面面积的和，所以圆柱的底面积与圆锥的底面积均是50.24÷2＝25.12cm2；圆柱的高是6cm2，则圆锥的高是（12－6）cm，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，分别求出圆柱的体积和圆锥的体积，再把它们相加，即可解答。 【解答】50.24÷2＝25.12（cm） 25.12×6＋25.12×（12－6）× ＝150.72＋25.12×6× ＝150.72＋150.72× ＝150.72＋50.24 ＝200.96（cm3） 一个组合零件是由圆柱和圆锥粘合而成的（如下图），若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm²，那么原来这个组合零件的体积是200.96cm³。 9．一个长为4分米、宽为3.14分米、高为6.28分米的长方体水槽中装有水，慢慢放入一个底面直径是20厘米的圆锥形铁块，完全浸没后水面上升了1厘米且没有滋出，这个圆锥形铁块的高是（ ）厘米。 【分析】根据题意可知，圆锥形铁块完全浸没长方体水槽中，水面上升1厘米，水面上升的部分就是这个圆锥体铁块的体积；根据长方体体积公式：长×宽×高，求出水面上升部分的体积；也就是圆锥形铁块的体积；再根据圆锥体体积公式：体积＝×底面积×高；高＝圆锥体铁块的体积÷÷底面积；代入数据，即可解答。 【解答】4分米＝40厘米 3.14分米＝31.4厘米 40×31.4×1 ＝1256×1 ＝1256（立方厘米） 1256÷÷[3.14×（20÷2）2] ＝3768÷[3.14×100] ＝3768÷314 ＝12（厘米） 【点评】解答本题的关键是水面上升的部分就是圆锥形铁块的体积；熟练掌握长方体体积公式和圆锥体体积公式，并灵活运用是解答本题的关键，注意单位名数的互换。 10．一辆货车车厢是一个长方体，它的长是4米，宽是1.5米，高是4分米，装满一车沙，卸后堆成一个高是5分米的圆锥形，它的底面积是（ ）平方米。 【分析】根据长方体体积公式：长×宽×高，代入数据，求出这车沙子的体积；由于沙子体积不变，即长方体体积等于圆锥的体积；根据圆锥体的体积公式：底面积×高×，底面积＝圆柱体积÷高×3，代入数据，即可解答。 【解答】4分米＝0.4米；5分米＝0.5米 4×1.5×0.4÷0.5×3 ＝6×0.4÷0.5×3 ＝2.4÷0.5×3 ＝4.8×3 ＝14.4（平方米） 【点评】熟练掌握和灵活运用长方体体积公式和圆锥体体积公式是解答本题的关键，注意单位名数的统一。 三、计算题 11．如图，一个长方体的上面有一个圆锥，计算这个组合图形的体积。 【分析】长方体体积＝长×宽×高，圆锥体积＝×底面积×高，由此先分别求出长方体和圆锥的体积，再相加求出组合体的体积。 【解答】8×6×2＋×3.14×（2÷2）2×6 ＝96＋×3.14×12×6 ＝96＋×3.14×1×6 ＝96＋6.28 ＝102.28（m3） 四、解答题 12．实践出真知。有一个圆柱形容器，从里面量得底面直径为6厘米。高为15厘米，里面装了10厘米高的水。将一个底面直径为4厘米的圆锥体铁块浸没到水中，水面升高了2厘米。这个圆锥体铁块的体积是多少立方厘米？ 【分析】根据题意可知，把圆锥铁块浸没到水中，上升部分水的体积就等于这个圆锥的体积，上升的部分恰好是一个圆柱，底面直径是6厘米，底面半径是3厘米，高是2厘米，再根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】 （立方厘米） 答：这个圆锥体铁块的体积是56.52立方厘米。 13．一辆卡车车厢的形状是长5米，宽3米，高1.57米的长方体，装满一车厢沙，卸货后，沙堆成一个底面直径是6米的圆锥体，这个沙堆的高是多少米？ 【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出卡车车厢的体积，也就是圆锥形沙堆的体积；再根据圆锥体体积公式：体积＝底面积×高×，高＝体积×3÷底面积，代入数据，即可求出这个沙堆的高。 【解答】5×3×1.57 ＝15×1.57 ＝23.55（立方米） 23.55×3÷[3.14×（6÷2）2] ＝70.65÷[3.14×9] ＝70.65÷28.26 ＝2.5（米） 答：这个沙堆的高是2.5米。 【点评】熟练掌握和灵活运用长方体体积公式和圆锥的体积公式是解答本题的关键。 14．一个圆锥形实心铝块零件，底面直径是20厘米，高是15厘米，如果每立方厘米铝重2.7克，这个零件重多少克？ 【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出这个圆锥形实心铝块零件的体积，再乘2.7，即可解答。 【解答】3.14×（20÷2）2×15××2.7 ＝3.14×102×15××2.7 ＝3.14×100×15××2.7 ＝314×15××2.7 ＝4710××2.7 ＝1570×2.7 ＝4239（克） 答：这个零件重4239克。 【点评】熟练掌握圆锥的体积公式是解答本题的关键。 15．如图1，某种油菜籽榨油机的漏斗是由圆柱和圆锥两部分组成的。底面半径是4分米，这两部分的高都是6分米。每立方分米油菜籽重0.5千克。 图1     图2 （1）这个漏斗最多能装多少千克油菜籽？ （2）如果张师傅打算用铁皮给这个漏斗做一个圆柱形的防尘罩（如图2，没有下底面），至少需要多少平方分米铁皮？ 【分析】（1）漏斗的容积＝圆柱的容积＋圆锥的容积，圆柱的容积＝底面积×高，圆锥的容积＝底面积×高÷3，据此求出漏斗的容积，漏斗的容积×每立方分米油菜籽的质量＝漏斗最多装的油菜籽质量。 （2）防尘罩没有下底面，防尘罩的表面积＝底面积＋侧面积，侧面积＝底面周长×高，据此列式解答。 【解答】（1）3.14×42×6＋3.14×42×6÷3 ＝3.14×16×6＋3.14×16×6÷3 ＝301.44＋100.48 ＝401.92（立方分米） 401.92×0.5＝200.96（千克） 答：这个漏斗最多能装200.96千克油菜籽。 （2）3.14×（10÷2）2＋3.14×10×12 ＝3.14×52＋376.8 ＝3.14×25＋376.8 ＝78.5＋376.8 ＝455.3（平方分米） 答：至少需要455.3平方分米铁皮。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$