上海市闵行区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

闵行区高一期末数学区统考试卷 2025.01 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果． 1. 已知全集，集合，则______ 2. 若，用有理数指数幂的形式表示______ 3. 对任意的，幂函数的图象一定不经过第______象限 4. 已知，则函数的值域为______ 5. 命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为______ 6. 若，对任意且，函数的图像必过定点______ 7. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，______ 8. 用函数的观点解关于x的不等式，可得解集为______ 9. 若，，则______ 10. 设，且函数是偶函数，若，则______ 11. 雅各布·伯努利（Jakob Bemoulli）是17世纪著名的数学家，他在概率论、数学分析及无穷级数等多个领域作出了重大的贡献，对后世数学的发展产生了深远的影响．1689年，他提出了一个著名的不等式称为伯努利不等式，其内容如下：设，且，n为大于1的正整数，则．由此可知，函数在区间上的最小值是______ 12. 若函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为______ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只—个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 14. 小明同学在用二分法研究函数在区间的零点时，发现，，，那么他下一步应计算（ ） A. B. C. D. 15. 设、、、为实数，下列命题中成立的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，，那么 D. 如果，，那么 16. 已知m、n都是实数，，若函数的值域为R，且对任意的实数t，关于x的方程有且只有一个实数解，则满足题意的实数对的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根为、． （1）求实数m的取值范围； （2）若，求实数m的取值范围． 18. 已知，． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，证明：在区间上是严格增函数． 19. 当某外来物种进入某地区时，种群数量会先缓慢增长，然后再加速增长，再然后增速减缓，最终与当地环境达到自然平衡（如图所示）．数学生物学研究表明，种群数量与时间t的关系可以用逻辑斯蒂方程（Logistic Equation）：来表示，其中K表示环境容量（特定环境能够稳定承载的最大种群数量），表示种群初始数量，r表示物种内禀增长率（没有环境限制时种群数量的固有增长率）．某环境保护组织计划对一个新建的池塘放养某鱼类F．已知池塘对鱼类F的环境容量为1000条，初始投入100条，鱼类F的年内禀增长率为30％． （1）预计放养5年后的同一天，该池塘里有鱼类F多少条? （结果保留整数） （2）如果某一天与它前一年的同一天相比，鱼类F的年增长率小于或等于5％，则称此时鱼类F与当地环境接近自然平衡．问至少需要经过多少年鱼类F才能与池塘环境接近自然平衡?（结果保留整数），其中，，， 20. 在平面直角坐标系中，若点，，称为A，B两点的绝对和，记为． （1）若，，求； （2）已点，点在直线上，证明； （3）已知点，，动点在函数，的图象上，记的最大值为，求函数的最小值． 21. 已知集合，n是正整数，，都是实数.若，则称A为n元“M集”，记作. （1）判断是否为真命题； （2）若，x、y均为正实数，求的取值范围； （3）若，，，且，.记，.证明：当时，对任意实数x恒成立. 闵行区高一期末数学区统考试卷 2025.01 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果． 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】四 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】1 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】1 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只—个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】A 【16题答案】 【答案】B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 【17题答案】 【答案】（1）． （2）． 【18题答案】 【答案】（1）是奇函数，理由如下： 当时，的定义域为，关于原点对称， ， 根据函数奇偶性定义知，为奇函数； 当时，的定义域为，关于原点对称，， 根据函数奇偶性定义知，为奇函数； 综上，为奇函数. （2）时，，设，则 因为，所以，， 所以，即，即， 根据函数单调性定义知，在区间上是严格增函数． 【19题答案】 【答案】（1）333 （2）14 【20题答案】 【答案】（1） （2） ∵点在直线上，∴设. ，. 由绝对值不等式可知：， 当且仅当，即时等号成立. . （3） 【21题答案】 【答案】（1）为真命题 （2）； （3） ， 同理， 由于，故， 所以，同理可得， 又， 所以 ， 因为，，，所以， ， 故， 即恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $