章节综合训练二 方程（组）与不等式（组）（测试）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（湖南专用）

章节综合训练二 方程（组）与不等式（组） （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 2．小凯同学在某月的日历上按照四个选项的图框圈出了三个数，，，其中一个图框圈出的三个数的和为27，则这个图框是四个选项中的（   ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A． B． C． D． 3．关于x、y的方程组的解是则的值是（   ） A．4 B．9 C．5 D．11 4．在中国传统数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价一马、二牛价不满一万．如半牛之价，问牛、马价各几何？”译文：“今有2匹马、1头牛的总价超过10000钱，其超出的钱数相当于匹马的价格，1匹马、2头牛的总价不足10000钱．所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛、每匹马的价格各是多少？”设每匹马的价格为x钱，每头牛的价格为y钱，则依据条件可列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如的两根为，，因为是的2倍，所以是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，且关于y的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则n的值为（    ） A．2 B．2或5 C．4或6 D．2或6 6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则函数的图象与函数的图象交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．甲、乙两地相距，提速前动车的速度为，提速后动车的速度是提速前的倍，提速后甲乙两地的行车时间比提速前减少，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．如果，，可得，当且仅当时，等号成立．我们把这个不等式称为基本不等式，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【新考法】方程与数轴的结合 9．如图，一元二次方程的两个根对应的点分别落在数轴上，两个区域内，则和的值可能为（   ） A．1， B．， C．， D．1， 【新考法】方程、不等式与函数的结合 10．如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，其中．以下四个结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．在数轴上，点、在原点两侧且到原点的距离均为3厘米（点在点左侧）．现有动点、分别从、两点向右沿正半轴方向运动，速度分别为每秒4厘米和每秒2厘米，当、两点相距1厘米时，经过的时间是 秒． 12．已知，则 ， ． 13．若实数，，满足关系式，则的值为 14．非零实数a，b满足，，则的值是 ． 【新考法】与方程有关的新定义问题 15．对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是 ． 16．若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字不相等，那么称这个四位正整数为“不同数”．将一个“不同数”的其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如，“不同数”，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：135、235、215、213，这四个三位数之和为，，所以．计算： ，若“不同数”的百位数字比千位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且能被13整除，则的值为 ． 三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分） 17．列方程解答下面的问题． 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一．《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？” 译文：“今有人坐一辆车，有辆车是空的；人坐一辆车，有个人需要步行．问人与车各多少？” 18．解方程：． 19．关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围． 20．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高，广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈尺），那么门的高和宽各是多少？”（结果精确到）（参考数据：） 21．兰州市某中学在年月成功举办了第十一届校园科技节，学校准备购买一些奖品奖励获奖学生，已知个汽车航模和个手摇发电机共需元，个汽车航模和个手摇发电机共需元． (1)求汽车航模和手摇发电机的单价各是多少元； (2)学校准备购买这两种奖品共只，要求购买汽车航模只，记购买两种奖品的总费用为元． ①求与的函数关系式； ②当时，求购买两种奖品的总费用是多少？ 【新考法】与方程有关的新定义问题 22．从三位数m的各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个两位数，我们把这六个两位数叫做数m的“生成数”．数m的“生成数”之和与22的商记为G（m），例如m＝123，G（123）＝＝6． （1）直接写出G（234）＝　 　；并证明：对于任意的三位数n，G（n）为整数； （2）数p，q是两个三位数，他们都有“生成数”，p＝100a+40+b（1≤a≤9，1≤b≤9且a≠b），q＝130+c（1≤c≤3），规定：k＝，若G（p）•G（q）＝56，求k的最大值． 【新考法】分式方程的特殊解法 23．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ∴． ∴的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，则_________． (2)解分式方程组： (3)已知，，，求的值． 【新考法】 跨学科融合问题 24．如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁段滑动．已知，，根据杠杆原理，平衡时：左盘物体质量右盘物体质量（托盘与横梁的质量不计）．小慧在存钱罐里存了若干个1元硬币（只有1元硬币），她想利用这个自制天平估计存钱罐里一元硬币的数量．进行了如下操作： (1)测量一个硬币的质量：如图1，在天平左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当时，天平平衡，则测得每个1元硬币的质量为 g； (2)估算硬币的数量：已知空的存钱罐的质量约为，将装了若干个1元硬币的存钱罐放在左侧托盘，右侧托盘放入砝码，调整点P的位置，发现当时，天平向左侧倾斜（如图2），当时，天平向右侧倾斜（如图3），请你帮小慧算一下存钱罐里大约有几个1元硬币？ 【新考法】 方程的新定义问题 25．定义：已知，分别是关于，的方程的解，若满足：（为正数），则称前者是后者的“属方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且满足，则称方程是方程的“属方程”． (1)下列方程是方程的“属方程”的是______（请填写正确的序号）； ①；②；③ (2)若关于的方程是关于的方程的“2属方程”，求整数的值； (3)若对于任何正数，关于的方程都是关于的方程的“属方程”，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 章节综合训练二 方程（组）与不等式（组） （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 2．小凯同学在某月的日历上按照四个选项的图框圈出了三个数，，，其中一个图框圈出的三个数的和为27，则这个图框是四个选项中的（   ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程：日历问题，先观察这个日历的情况，且结合各个选项的三个数，，的位置关系进行列式计算，注意，，都是正整数，即可作答． 【详解】解：A、设，则， 故， 解得，不是正整数， 故该选项不符合题意； B、设，则， 故， 解得， 即， 故该选项符合题意； C、设，则， 故， 解得，不是正整数， 故该选项不符合题意； D、设，则， 故， 解得，不是正整数， 故该选项不符合题意； 故选：B． 3．关于x、y的方程组的解是则的值是（   ） A．4 B．9 C．5 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组求出、的值是解题的关键． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴， 解得， 所以，． 故选：B． 4．在中国传统数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价一马、二牛价不满一万．如半牛之价，问牛、马价各几何？”译文：“今有2匹马、1头牛的总价超过10000钱，其超出的钱数相当于匹马的价格，1匹马、2头牛的总价不足10000钱．所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛、每匹马的价格各是多少？”设每匹马的价格为x钱，每头牛的价格为y钱，则依据条件可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．设每匹马的价格为x钱，每头牛的价格为y钱，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设每匹马的价格为x钱，每头牛的价格为y钱，根据题意可得， ． 故选D． 5．定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如的两根为，，因为是的2倍，所以是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，且关于y的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则n的值为（    ） A．2 B．2或5 C．4或6 D．2或6 【答案】B 【分析】本题考查根与系数的关系．用因式分解法求解方程得出，，再根据一元二次方程根的判别式，得出m的取值范围，最后根据“倍根方程”的定义，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：，， ∵总有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵n是正整数， ∴，2，3，4，5，6， ∵方程是“倍根方程”， ∴3能被整除或能被3整除， ∴或5． 故选：B． 6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则函数的图象与函数的图象交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一次函数和反比例函数的图象，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由题意得，方程有两个不相等的实数根，利用确定的取值范围，然后在坐标系中作出函数与函数的图象，观察图象即可得出结论． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 函数的图象经过第一、三象限，且随增大而增大， 作出函数与函数的图象如下：    观察图象得，函数的图象与函数的图象交点个数为2． 故选：C． 7．甲、乙两地相距，提速前动车的速度为，提速后动车的速度是提速前的倍，提速后甲乙两地的行车时间比提速前减少，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，由提速前动车的速度为，提速后动车的速度是提速前的倍，即，然后列出方程即可，分析题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由提速前动车的速度为，提速后动车的速度是提速前的倍，即， ∴可列方程为， 故选：． 8．如果，，可得，当且仅当时，等号成立．我们把这个不等式称为基本不等式，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查基本不等式，根据题意将化为，再根据基本不等式即可求解．正确理解题意是解题的关键．也考查了解分式方程． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 当时，等号成立， 解得：或， 经检验，是分式方程的根且符合题意， ∴的最小值为． 故选：C． 【新考法】方程与数轴的结合 9．如图，一元二次方程的两个根对应的点分别落在数轴上，两个区域内，则和的值可能为（   ） A．1， B．， C．， D．1， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，不等式的性质；设在区域P，在区域Q，则由一元二次方程根与系数的关系可确定b、c的范围，从而确定答案． 【详解】解：设在区域P，在区域Q， 则，； ∴， ∴， 即， ∴和的值可能为1和； 故选：A． 【新考法】方程、不等式与函数的结合 10．如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，其中．以下四个结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y轴的交点可依次确定a、b、c的符号，进而可判断①；根据当时，，即即可判断②；根据当，，整理即可判断③；根据抛物线经过，可得，再由对称轴的位置可得，利用不等式变形即可判断④． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴上方， ∴， ∴，故①正确； ②由图可知：当时，，即， ∴，故②错误； ③∵由题意可得：，， ∴，即， 又∵，当时， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即：，故③正确； ④∵抛物线经过， ∴将代入得：， ∴， ∵，当时，， ∴ ∴， ∵，故④正确， ∴正确的有①③④， 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．在数轴上，点、在原点两侧且到原点的距离均为3厘米（点在点左侧）．现有动点、分别从、两点向右沿正半轴方向运动，速度分别为每秒4厘米和每秒2厘米，当、两点相距1厘米时，经过的时间是 秒． 【答案】秒或秒 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及一元一次方程的应用，正确理解题意，注意分类讨论是解题的关键． 由题意可得，表示，表示3，设运动时间为秒，则由题意得秒或表示的数为，表示的数为，则，解方程即可． 【详解】解：由题意可得，表示，表示3，设运动时间为秒， 则秒时，表示的数为，表示的数为， 由题意得： ∴或， 分别解得：或， 故答案为：秒或秒． 12．已知，则 ， ． 【答案】 【分析】根据分式的加减运算法则以及待定系数法即可求出A与B的值． 本题考查分式的加减运算则、二元一次方程组的应用等知识点，解题的关键是正确求出A与B的值． 【详解】解： , 令，解得：， 故答案为：，． 13．若实数，，满足关系式，则的值为 【答案】22 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、算术平方根的非负性、方程组的解法等知识点，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键． 根据能开平方的数一定是非负数，得、，即，进而得到，即①，从而有，再根据算术平方根的非负性可得出②，③，联立①②③解方程组可得出m的值即可． 【详解】解：由题意可得，、，即， ∴，即①． ∴， ∴②，③，， 联立①②③得，， 得，， 将代入③，解得， 将，代入①得，，解得：． 故答案为：22． 14．非零实数a，b满足，，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，分两种情况：当时，实数a，b是方程的两个不同的根；当时，实数a，b是方程的同一个根，分别计算即可得解． 【详解】解：∵非零实数a，b满足，， ∴当时，实数a，b是方程的两个不同的根，由根与系数的关系可得，，此时； 当时，实数a，b是方程的同一个根，此时； 综上所述，的值是或， 故答案为：或． 【新考法】与方程有关的新定义问题 15．对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、解分式方程，根据新运算的法则，列出分式方程求解即可． 【详解】解：∵，方程， ∴， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴方程的解是， 故答案为：． 16．若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字不相等，那么称这个四位正整数为“不同数”．将一个“不同数”的其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如，“不同数”，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：135、235、215、213，这四个三位数之和为，，所以．计算： ，若“不同数”的百位数字比千位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且能被13整除，则的值为 ． 【答案】 484 4648 【分析】本题考查整式加减的应用、二元一次方程、不等式、整除问题，考查方式比较新颖，理解“不同数”的具体特征是解决问题的关键．根据“不同数”的定义直接求出的值；设“不同数”，且，，计算得到a、c的范围，再得到，结合能被13整除，整理得能被13整除，再结合a、c的范围分类讨论即可得出答案． 【详解】解：1933去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：933、133、193、193， 这四个三位数之和为，， 所以； 设“不同数”，且，， 由题意得，， 解得：， 去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：、、、， 则， ， ， ， ， 所以， ，且能被13整除， 能被13整除， 又，， ， 或， 或， 当时，（舍去）或（舍去）； 当时，（舍去）或（舍去）； 当时，或（舍去）， 此时，不满足，不符合题意，舍去； 当时，（舍去）或， 此时，，则，符合题意． 综上所述，，． 故答案为：484；4648． 三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分） 17．列方程解答下面的问题． 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一．《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？” 译文：“今有人坐一辆车，有辆车是空的；人坐一辆车，有个人需要步行．问人与车各多少？” 【答案】共有人，辆车 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解答本题的关键． 设共有人，根据车的辆数不变列出方程解答即可． 【详解】解：设共有人， 由题意，得， 解得， 所以， 答：共有人，辆车． 18．解方程：． 【答案】方程无解 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程化为整式方程是解题的关键，注意验根．方程两边同乘，变成整式方程，解整式方程，再检验即可． 【详解】解：方程两边乘，得， ， 解得， 检验：当时，， 因此不是原分式方程的解． 所以，原分式方程无解． 19．关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元一次不等式的应用．解题的关键在于正确的解方程． （1）根据，进行作答即可； （2）由，解得，，由方程的实数根均为非负数，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， 解得，，， ∵该方程的实数根均为非负数， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为． 20．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高，广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈尺），那么门的高和宽各是多少？”（结果精确到）（参考数据：） 【答案】门的高和宽各是尺和尺 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，设门的宽为尺，则门的高为尺，由题意和勾股定理列出方程即可，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 【详解】解：设门的宽为尺，则门的高为尺， 由题意得：， 解得：，（舍去）， ∴门的高为（尺）， 答：门的高和宽各是尺和尺． 21．兰州市某中学在年月成功举办了第十一届校园科技节，学校准备购买一些奖品奖励获奖学生，已知个汽车航模和个手摇发电机共需元，个汽车航模和个手摇发电机共需元． (1)求汽车航模和手摇发电机的单价各是多少元； (2)学校准备购买这两种奖品共只，要求购买汽车航模只，记购买两种奖品的总费用为元． ①求与的函数关系式； ②当时，求购买两种奖品的总费用是多少？ 【答案】(1)汽车航模的单价为元，手摇发电机的单价是元 (2)①；②当时，购买两种奖品的总费用是元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设汽车航模的单价为元，手摇发电机的单价是元，根据题意列方程组即可求解； （2）①根据总费用汽车航模的费用手摇发电机的费用，即可求解；②将代入①中的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：设汽车航模的单价为元，手摇发电机的单价是元， 根据题意得： ， 解得：， 答：汽车航模的单价为元，手摇发电机的单价是元； （2）①， 与的函数关系式为； ②当时，（元）， 当时，购买两种奖品的总费用是元． 【新考法】与方程有关的新定义问题 22．从三位数m的各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个两位数，我们把这六个两位数叫做数m的“生成数”．数m的“生成数”之和与22的商记为G（m），例如m＝123，G（123）＝＝6． （1）直接写出G（234）＝　 　；并证明：对于任意的三位数n，G（n）为整数； （2）数p，q是两个三位数，他们都有“生成数”，p＝100a+40+b（1≤a≤9，1≤b≤9且a≠b），q＝130+c（1≤c≤3），规定：k＝，若G（p）•G（q）＝56，求k的最大值． 【答案】（1）6，见解析；（2）k的最大值为 【分析】（1）根据题目所给的例子，不难求出G（234）的结果；可设这个三位数百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，据题意列出式子进行求解即可； （2）由题意可得G（p）＝a+4+b，G（q）＝1+3+c＝c+4，再结合G（p）•G（q）＝56可得：c＝3，a+b＝4，再分析即可得解． 【详解】解：（1） 故答案为9； 证明：设这个三位数n百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，依题意得： 故对于任何的三位数n，G（n）为整数； （2）根据（1）可得：G（p）＝a+4+b，G（q）＝1+3+c＝c+4， ∵G（p）•G（q）＝56， ∴（a+4+b）（c+4）＝56， ∵a，b，c均为整数，1≤a≤9，1≤b≤9，且a≠b，1≤c≤3， ∴c+4＝7，a+b+4＝8， ∴c＝3，a+b＝4， ∴p＝143或341，q＝133， ∵， ∴k的最大值为． 【点睛】本题考查的是新定义问题，同时考查了列代数式，二元一次方程组的正整数解问题，准确的理解新定义的含义是解题的关键. 【新考法】分式方程的特殊解法 23．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ∴． ∴的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，则_________． (2)解分式方程组： (3)已知，，，求的值． 【答案】(1)3； (2)； (3)． 【分析】本题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，解分式方程，倒数，理解例题的思路是解答本题的关键． （1）已知等式变形求出的值即可； （2）由 ，解此方程组即可得解； （3）已知三等式变形后相加求出的值，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：由，得到， ∴， ∴， 故答案为：3； （2）解：由 得 ∴， 得， ∴， 把代入得， ∴， 经检验，，是原方程的解， ∴原方程组的解为； （3）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴ ． 【新考法】 跨学科融合问题 24．如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁段滑动．已知，，根据杠杆原理，平衡时：左盘物体质量右盘物体质量（托盘与横梁的质量不计）．小慧在存钱罐里存了若干个1元硬币（只有1元硬币），她想利用这个自制天平估计存钱罐里一元硬币的数量．进行了如下操作： (1)测量一个硬币的质量：如图1，在天平左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当时，天平平衡，则测得每个1元硬币的质量为 g； (2)估算硬币的数量：已知空的存钱罐的质量约为，将装了若干个1元硬币的存钱罐放在左侧托盘，右侧托盘放入砝码，调整点P的位置，发现当时，天平向左侧倾斜（如图2），当时，天平向右侧倾斜（如图3），请你帮小慧算一下存钱罐里大约有几个1元硬币？ 【答案】(1)6 (2)存钱罐里大约有个1元硬币． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用． （1）设每个1元硬币的质量为，根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设存钱罐里有个1元硬币，根据题意列出不等式组，，据此求解即可． 【详解】（1）解：设每个1元硬币的质量为，10个1元硬币的质量为， 由题意得， 解得， 答：每个1元硬币的质量为； 故答案为：6； （2）解：设存钱罐里有个1元硬币， 当时，由题意得， 解得， 当时，由题意得， 解得， ∴， ∵为正整数， ∴， 答：存钱罐里大约有个1元硬币． 【新考法】 方程的新定义问题 25．定义：已知，分别是关于，的方程的解，若满足：（为正数），则称前者是后者的“属方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且满足，则称方程是方程的“属方程”． (1)下列方程是方程的“属方程”的是______（请填写正确的序号）； ①；②；③ (2)若关于的方程是关于的方程的“2属方程”，求整数的值； (3)若对于任何正数，关于的方程都是关于的方程的“属方程”，求的值． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是理解题目中定义的“属方程”，通过解一元一次方程的方法求解． （1）先求出的解，再分别求出①，②，③三个方程的解，然后代入（为正数）进行逐一验证，即可得到答案； （2）先分别求出方程和方程的解，然后代入（为正数），即可求解的值； （3）先分别求出方程和方程的解，后代入（为正数），然后根据取任意正数方程都成立，即可求解的值； 【详解】（1）解：求得方程的解为， ①，求得，将，代入：（为正数），求得，属于“属方程”，即①正确； ②，求得，将，代入：（为正数），求得，不属于“属方程”，即②不正确； ③，求得，将，代入：（为正数），求得，属于“属方程”，即③正确； 故答案为：①③； （2）解：方程的解是， 方程的解是， 方程是方程的“2属方程”， ∴， 方程化简，得：， 解得：或， 为整数， ∴； （3）解：方程的解是， 方程的解是， 方程是方程的“属方程”， ∴， ， 即，或， 取任意正数方程都成立， ∴，或， 即，或， 经验证，当时，一个方程有唯一解，另一个方程无解，不满足题意， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$