第08讲 不等式（组）及其应用（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（湖南专用）

第二章 方程（组）与不等式（组） 第08讲 不等式（组）及其应用（3~7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 不等式及不等式的基本性质（高频考点） 考点二 一元一次不等式（组）的解法（高频考点） 考点三 不等式（组）的实际应用（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 不等式及不等式的基本性质 ►题型01 不等式的概念及意义 ►题型02 不等式性质的应用 命题点二 一元一次不等式（组） ►题型01 求一元一次不等式（组）解集 ►题型02 利用数轴表示一元一次不等式（组）解集 ►题型03不等式组与方程的综合 ►题型04根据含参数不等式（组）解集的情况求参数的取值范围 ►题型05 一元一次不等式（组）整数解问题 ►题型06 与不等式（组）有关的新定义问题 命题点三 不等式（组）的应用 ►题型01 利用一元一次不等式解决实际问题 ►题型02 利用一元一次不等式组解决实际问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 不等式及不等式的基本性质 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质 10年3考 中考数学中，一元一次不等式(组) 的解法及应用题时有考察. 其中不等式性质、解一元一次不等式(组)，通常是以选择题或填空题的形式出现，难度不大.不等式（组）的应用常与方程（组）的应用结合在一起，作为第二小题，难度一般。 一元一次不等式 能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集 10年5考 一元一次不等式组 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集. 10年6考 不等式（组）的实际应用 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题. 近10年连续考查 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 不等式及不等式的基本性质 （高频考点） 一、不等式的相关概念 不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 二、不等式的性质 基本性质1 若a>b，则a±c > b±c 若a<b，则a±c < b±c 基本性质2 若a>b,c>0，则ac>bc（或） 基本性质3 若a>b,c<0，则ac<bc（或） 1. 方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系. 2. 常见的不等号有：≠，>，≥，<，≤五种. 3. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点. 4. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系： 1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值. 2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值. 3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解. 5. 在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等. 同时要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的提示还要注意结合实际． 6. 运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）不等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母． 4） 运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向. 1．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知，则下列不等式中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·河北邯郸·模拟预测）不等式可以表示（    ） A．大于3的数 B．小于3的数 C．不大于3的数 D．不小于3的数 考点二 一元一次不等式（组）的解法（高频考点） 一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式的一般形式：或. 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数 不等式性质2、3 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律 去括号法则 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各项都要变号； 3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各项都不变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 不等式性质1 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为或的形式 合并同类项法则 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 系数化为1 将不等式两边都除以未知数系数a，得到不等式的解 不等式性质2、3 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 一元一次不等式组的概念：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组． 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． 不等式组解集的确定有两种方法： 1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了． 解一元一次不等式组的一般步骤： 1） 求出不等式组中各不等式的解集. 2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来. 3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 1. 一元一次不等式满足的条件： ①不等式的左右两边都是整式； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是1. 2. 进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论． 3. 在解一元一次不等式时,上述的五个步骤不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 4. 在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的. 5. 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 1．（2025·河南·模拟预测）不等式组的解集是 ． 2．（2024·浙江嘉兴·一模）以下是甲、乙两位同学解不等式的过程： 甲： 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 乙： 裂项，得： 移项，得： 合并同类项，得： 你认为他们的解法是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 3．（2024·安徽·模拟预测）解不等式：． 4.（2023·江苏扬州·一模）解不等式组：并求出它的所有整数解的和． 考点三 不等式（组）的实际应用 （高频考点） 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的提示还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式 6x≤50. 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 1．（2024·山西·中考真题）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 2．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 则该公司原计划最多应安排8名工人施工． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）为提高学生综合素养，我市某中学拟组织学生进行红色之旅研学活动，相关组织老师发现：若按原计划租用可坐乘客45人的种客车若干辆，则有30人将没有座位；若租用可坐乘客60人的种客车，则比原计划可少租6辆，且恰好坐满． (1)求本次红色之旅研学活动共有多少人参加？原计划租用种客车多少辆？ (2)若该校更改计划，同时租用、两种客车共25辆，要求种客车不超过7辆，且座位有剩余，则有哪些租车方案？ (3)在（2）的条件下，若种客车租金每辆300元，种客车租金为每辆220元，应该怎样租车才最合算？ 【答案】(1)1200人；26辆 (2)方案1： B种：6辆，A种：19辆；方案2：B种：7辆，A种客：18辆 (3)B种：6辆，A种：19辆 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算． （1）设原计划租用种客车辆，则这次研学去了人，根据这次去研学的人数不变，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200人，且租用的种客车不超过7辆”，可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金每辆种客车的租金租用种客车的辆数每辆种客车的租金租用种客车的辆数，可分别求出选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了人， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：原计划租用4种客车26辆，这次研学去了1200人； （2）解：设租用B种客车y辆，则租用A种客车辆， 根据题意得：， 解得：， 又∵y为正整数， ∴y可以为6，7，     ∴该学校共有2种租车方案， 方案1：租用6辆B种客车，19辆A种客车； 方案2：租用7辆B种客车，18辆A种客车； （3）解：选择方案1的总租金为（元）； 选择方案2的总租金为（元）． ∵， ∴租用6辆B种客车，19辆A种客车最合算． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 不等式及不等式的基本性质 ►题型01 不等式的概念及意义 1．（2023·河北保定·二模）在四个数中，满足不等式的有（    ） A．－2 B．－3 C． D．1 2．（2023·甘肃陇南·二模）乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超过米．若用（米）表示乌鞘岭主峰的海拔高度，则满足的关系为（    ） A． B． C． D． ►题型02 不等式性质的应用 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）若，且，则（      ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州贵阳·一模）如果，那么下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·贵州贵阳·一模）若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·山东枣庄·模拟预测）如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，则下列式子中成立的是（    ） A． B． C． D． 命题点二 一元一次不等式(组) ►题型01 求一元一次不等式(组)解集 1．（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ． 2．（2024·青海·中考真题）请你写出一个解集为的一元一次不等式 ． 3．（2024·宁夏·中考真题）解不等式组． 4．（2024·江苏常州·中考真题）解方程组和不等式组： (1) (2) ►题型02 利用数铀表示一元一次不等式(组)解集 1．（2024·宁夏·中考真题）已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·贵州·中考真题）不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024·四川雅安·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 5．（2024·四川眉山·中考真题）解不等式：，把它的解集表示在数轴上． ►题型03 不等式组的与方程综合 1．（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ． 2．（2024·山东枣庄·一模）已知关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ►题型04 根据含参数不等式(组)解集的情况求参数的取值范围 1．（2024·四川南充·中考真题）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南怀化·一模）已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 3．（2024·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 4．（2023·湖北黄石·中考真题）若实数使关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为 ． ►题型05 一元一次不等式(組)整数解问题 1．（2023·内蒙古·中考真题）不等式的正整数解的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 3．（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组：并求所有整数解的和． 4． （2024·山东济南·中考真题）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 5．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式的正整数解． ►题型06 与不等式(组)有关的新定义问题 1．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数，，是“快乐数”；又如：四位数，∵，不是“快乐数”．若一个“快乐数”为，则这个数为 ；如果一个“快乐数”能被7整除，则满足条件的数的最大值是 ． 2.对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则x的最小整数值是 ． 3.定义一种新运算：，例如：．根据上述定义， (1)若，求及其平方根． (2)的计算结果落在如图所示的范围内，求的最小整数值． 4．规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 命题点三 不等式(组)的应用 ►题型01 利用一元一次不等式解决实际问题 1．（2024·贵州·中考真题）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生． 根据以上信息，解答下列问题： (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 2．（2024·湖南·中考真题）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元． (1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价； (2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？ 3．（2024·山西·中考真题）健康中国，营养先行．今年5月12日-18日是第十届全民营养周，社区食堂在全民营养周到来之际，推出系列营养套餐，其中营养套餐A的菜品如下图所示． (1)该套餐中的蛋白质和脂肪这两类营养素主要来自清蒸鱼块和滑炒鸡丁，每100克清蒸鱼块和滑炒鸡丁中的蛋白质和脂肪含量如下表所示．按配餐要求，每份套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品提供的蛋白质、脂肪量应分别为34克、24.8克、求每份该种套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品各有多少克； 清蒸鱼块（每100克） 滑炒鸡丁（每100克） 蛋白质（克） 16 15 脂肪（克） 8 14 (2)按配餐要求，每份素炒时蔬中芹菜与西兰花共260克，已知每100克芹菜与每100克西兰花分别含有1.5克、2.5克的膳食纤维，若要使每份素炒时蔬中所含的膳食纤维不少于5克，则每份素炒时蔬中西兰花至少有多少克？ 4．（2024·四川成都·中考真题）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/． (1)求A，B两种水果各购进多少千克； (2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价． ►题型02 利用一元一次不等式组解决实际问题 21．（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ． 22．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围) ． 3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题： (1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？ (2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案． 4．（2024·贵州六盘水·二模）方程是刻画现实世界数量关系的一个有效模型，这个名词最早出现在我国古代数学专著 《九章算术》中．请用方程思想解决下列问题： 某单位组织联谊活动，需采购可乐、橙汁两种饮料，已知购买4箱可乐、2箱橙汁需320元， 购买3箱可乐、1箱橙汁需210元． (1)求可乐、橙汁每箱的价格； (2)单位计划经费不超过1100元，购买两种饮料共20箱，且橙汁不少于8箱，则共有哪几种购买方案？ 5．（2024·宁夏银川·一模）随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买1个A模型和1个B模型共需139元；购买3个A模型和2个B模型共需356元． (1)求A模型和B模型的单价； (2)根据学校的实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，但要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用． 基础巩固 1．如图，三人分别坐在质地均匀且到中心点O距离相等的跷跷板上，则表示三人体重A，B，C的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．不等式组中，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．不等式组的解集为，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为（   ） A．且 B． C．且 D． 5．如图1，聪聪手中有一张长为12的长方形纸片，他想沿虚线将纸片折成3个长方形，使得这3个长方形正好围成如图2所示的三棱柱，且左右两侧长方形的宽度相等，则图中的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．已知三个实数，满足．当时，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（  ） A． B． C． D． 8．若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则下列的取值可能为（   ） A．0 B． C． D．2 9．解不等式时，下列去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 10．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A． B． C． D． 11．如，那么x的取值是 ． 12．如果不等式的解集为，则必须满足的条件是 ． 13．若实数使得关于的分式方程的解为负数，且使关于的不等式组至少有个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 14．若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 15．已知，且，，且，则的取值范围是 ． 16．如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 17．根据语句“的倍与的差小于列不等式”： ． 18．某游泳馆今年夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证140元，本人凭证游泳每次再付费18元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费25元，累计超过10次后，超过的部分每次游泳付费打八折．设小明计划今年夏季游泳次数为x（x为大于10的正整数） (1)用含x的式子表示： 游泳次数/次 11 12 … x 方式一付费金额/元 … 方式二付费金额/元 … (2)当x取何值时，小明选择方式一与方式二付费的总金额相等？ (3)当x在什么范围内取值时，选择方式一付费比较省钱？（直接写出结果，不必说明理由） 19．解不等式组：并把解集表示在数轴上． 20．解不等式并把解表示到数轴上： (1)； (2) 21．某公司40名员工到一景点集体参观，票价为每张10元，该景点规定满40人可以购买团体票，票价打八折．这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠．请你帮助他们选择购票方案． 【答案】当女士恰好是16人时，两种方案所需费用相同；当女士人数少于16人时，购买团体票合算；当女士人数多于16人不超过40人时，购买女士五折票合算 【分析】 此题考查一次函数应用问题的方案问题，利用建立一元一次不等式和一元一次方程，找到方案选择的临界数值是解题的关键．设该公司参观者中有女士人，选择购买女士五折票时所需费用为元，选择购买团体票时所需费用为元，根据题意求得、的函数关系式，分三种情况求得相应的的取值范围：，，． 22．阅读下列材料： 已知：，试比较和的大小，并说明理由． 解：，理由如下： ， （不等式的基本性质2）， （不等式的基本性质1）． 仿照阅读材料的解法，完成下列小题： 已知：若，比较和的大小，并说明理由． 能力提升 1．已知关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 2．已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式有：当时的解集为，则称构成“雅礼不等式”．若构成“雅礼不等式”，则关于的不等式组的解集为 ． 4．若关于的不等式组有且仅有个整数解，且的结果不含二次项，则满足条件的整数的值为 ． 5．若一个四位自然数P各个数位上的数字互不相同且均不为0，满足百位数字比千位数字大3，十位数字比个位数字大3，那么称这个四位数P为“举一反三数”，记P各个数位上的数字之和为． (1)最大的“举一反三数”为_______，最小的“举一反三数”为___________； (2)一个“举一反三数”A的千位数字为a，个位数字为b，另一个“举一反三数”B的千位数字为c，个位数字为d，若被9除余6，且是2的倍数，求的最小值． 、 $$第二章 方程（组）与不等式（组） 第08讲 不等式（组）及其应用（3~7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 不等式及不等式的基本性质（高频考点） 考点二 一元一次不等式（组）的解法（高频考点） 考点三 不等式（组）的实际应用（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 不等式及不等式的基本性质 ►题型01 不等式的概念及意义 ►题型02 不等式性质的应用 命题点二 一元一次不等式（组） ►题型01 求一元一次不等式（组）解集 ►题型02 利用数轴表示一元一次不等式（组）解集 ►题型03不等式组与方程的综合 ►题型04根据含参数不等式（组）解集的情况求参数的取值范围 ►题型05 一元一次不等式（组）整数解问题 ►题型06 与不等式（组）有关的新定义问题 命题点三 不等式（组）的应用 ►题型01 利用一元一次不等式解决实际问题 ►题型02 利用一元一次不等式组解决实际问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 不等式及不等式的基本性质 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质 10年3考 中考数学中，一元一次不等式(组) 的解法及应用题时有考察. 其中不等式性质、解一元一次不等式(组)，通常是以选择题或填空题的形式出现，难度不大.不等式（组）的应用常与方程（组）的应用结合在一起，作为第二小题，难度一般。 一元一次不等式 能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集 10年5考 一元一次不等式组 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集. 10年6考 不等式（组）的实际应用 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题. 近10年连续考查 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 不等式及不等式的基本性质 （高频考点） 一、不等式的相关概念 不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 二、不等式的性质 基本性质1 若a>b，则a±c > b±c 若a<b，则a±c < b±c 基本性质2 若a>b,c>0，则ac>bc（或） 基本性质3 若a>b,c<0，则ac<bc（或） 1. 方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系. 2. 常见的不等号有：≠，>，≥，<，≤五种. 3. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点. 4. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系： 1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值. 2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值. 3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解. 5. 在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等. 同时要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的提示还要注意结合实际． 6. 运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）不等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母． 4） 运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向. 1．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知，则下列不等式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟记不等式的基本性质． 根据不等式的基本性质判断即可． 【详解】解：A：∵，∴，故此选项不符合题意； B：∵，∴，，故此选项不符合题意； C：∵，∴，故此选项符合题意； D：∵，∴，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（2024·湖南·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用数轴表示数以及不等式的性质，加法与乘法法则，依次判断选项即可． 【详解】解：从题图中得出，，， 所以，，，， 故选项B、C、D错误，选项A正确， 故选：A． 3．（2024·河北邯郸·模拟预测）不等式可以表示（    ） A．大于3的数 B．小于3的数 C．不大于3的数 D．不小于3的数 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的意义； 根据所给不等式可直接得出答案． 【详解】解：不等式可以表示不小于3的数， 故选：D. 考点二 一元一次不等式（组）的解法（高频考点） 一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式的一般形式：或. 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数 不等式性质2、3 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律 去括号法则 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各项都要变号； 3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各项都不变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 不等式性质1 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为或的形式 合并同类项法则 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 系数化为1 将不等式两边都除以未知数系数a，得到不等式的解 不等式性质2、3 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 一元一次不等式组的概念：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组． 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． 不等式组解集的确定有两种方法： 1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了． 解一元一次不等式组的一般步骤： 1） 求出不等式组中各不等式的解集. 2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来. 3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 1. 一元一次不等式满足的条件： ①不等式的左右两边都是整式； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是1. 2. 进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论． 3. 在解一元一次不等式时,上述的五个步骤不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 4. 在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的. 5. 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 1．（2025·河南·模拟预测）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，首先分别求出两个不等式的解集，把它们的解集表示在数轴上，从数轴上找到它们的公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式可得：， 解不等式可得：， 把它们的解集表示在数轴上，如下图所示： 不等式组的解集是． 故答案为： ． 2．（2024·浙江嘉兴·一模）以下是甲、乙两位同学解不等式的过程： 甲： 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 乙： 裂项，得： 移项，得： 合并同类项，得： 你认为他们的解法是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】甲、乙两位同学的解法均错误；见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的基本步骤解答即可，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：∵甲在去分母时，不等号右边的1没有乘最简公分母，去括号时没有变号，乙同学在裂项时，去括号没有变号， ∴甲、乙两位同学的解法均错误， 正确解答过程如下： 去分母得，， 去括号得，， 移项得， 合并同类项得，， 的系数化为1得，． 3．（2024·安徽·模拟预测）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，掌握不等式的解法是解题关键．依次去分母、去括号、移项合并、系数化1，即可解不等式． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：． 4．（2023·江苏扬州·一模）解不等式组：并求出它的所有整数解的和． 【答案】， 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解的和即可． 【详解】 解：不等式组， 由①得， 由②得：， 不等式组的解集为，即整数解为，，，0，1， 则整数解的和为． 考点三 不等式（组）的实际应用 （高频考点） 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的提示还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式 6x≤50. 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 1．（2024·山西·中考真题）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 【答案】最多可购买这种型号的水基灭火器12个 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个，根据学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 取最大值为12， 答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个． 2．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【答案】(1)原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米 (2)该公司原计划最多应安排8名工人施工 【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道，根据原计划的时间实际的时间+15列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）设该公司原计划应安排名工人施工，根据工作时间=工作总量工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过18万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可． 【详解】（1）解：设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ∴， 则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米； （2）解：设该公司原计划应安排y名工人施工，（天）， 根据题意得：， 解得：， ∴不等式的最大整数解为8， 则该公司原计划最多应安排8名工人施工． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）为提高学生综合素养，我市某中学拟组织学生进行红色之旅研学活动，相关组织老师发现：若按原计划租用可坐乘客45人的种客车若干辆，则有30人将没有座位；若租用可坐乘客60人的种客车，则比原计划可少租6辆，且恰好坐满． (1)求本次红色之旅研学活动共有多少人参加？原计划租用种客车多少辆？ (2)若该校更改计划，同时租用、两种客车共25辆，要求种客车不超过7辆，且座位有剩余，则有哪些租车方案？ (3)在（2）的条件下，若种客车租金每辆300元，种客车租金为每辆220元，应该怎样租车才最合算？ 【答案】(1)1200人；26辆 (2)方案1： B种：6辆，A种：19辆；方案2：B种：7辆，A种客：18辆 (3)B种：6辆，A种：19辆 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算． （1）设原计划租用种客车辆，则这次研学去了人，根据这次去研学的人数不变，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200人，且租用的种客车不超过7辆”，可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金每辆种客车的租金租用种客车的辆数每辆种客车的租金租用种客车的辆数，可分别求出选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了人， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：原计划租用4种客车26辆，这次研学去了1200人； （2）解：设租用B种客车y辆，则租用A种客车辆， 根据题意得：， 解得：， 又∵y为正整数， ∴y可以为6，7，     ∴该学校共有2种租车方案， 方案1：租用6辆B种客车，19辆A种客车； 方案2：租用7辆B种客车，18辆A种客车； （3）解：选择方案1的总租金为（元）； 选择方案2的总租金为（元）． ∵， ∴租用6辆B种客车，19辆A种客车最合算． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 不等式及不等式的基本性质 ►题型01 不等式的概念及意义 1．（2023·河北保定·二模）在四个数中，满足不等式的有（    ） A．－2 B．－3 C． D．1 【答案】B 【分析】根据各数的大小即可做出判断． 【详解】在四个数中，， 故满足不等式的有， 故选：B 【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的定义是解题的关键． 2．（2023·甘肃陇南·二模）乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超过米．若用（米）表示乌鞘岭主峰的海拔高度，则满足的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式即可求解． 【详解】解：∵乌鞘岭主主峰海拔超过米． ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的定义，理解题意是解题的关键． ►题型02 不等式性质的应用 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）若，且，则（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．据此即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴， 故选：A． 2．（2024·贵州贵阳·一模）如果，那么下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】如果，两边同时加上5得，则A符合题意； 如果，两边同时减去1得，则B不符合题意； 如果，两边同时乘得，则C不符合题意； 如果，两边同时除以2得，则D不符合题意； 故选：A． 3．（2024·贵州贵阳·一模）若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：若，两边同乘2得，则A不符合题意； 若，两边同时减去1得，则B不符合题意； 若，两边同乘得，则C符合题意； 若，两边同时减去得，则D不符合题意； 故选：C． 4．（2023·山东枣庄·模拟预测）如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，则下列式子中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴的特点，根据、两点在数轴上的位置判断出其取值范围是解答此题的关键．根据、两点在数轴上的位置判断出其取值范围，再对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：、两点在数轴上的位置可知：，， ，，故A、B错误； ，故C正确； ，， ，故D错误． 故选：C． 命题点二 一元一次不等式(组) ►题型01 求一元一次不等式(组)解集 1．（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先分别求出不等式的解集，再根据题意列出关于的不等式，求解即可得． 【详解】解：， ， ， ． 解不等式得：， ∵不等式任意一个解都比关于的不等式的解大， ∴， 解得， 故答案为：；． 2．（2024·青海·中考真题）请你写出一个解集为的一元一次不等式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式的解集．根据不等式的性质对不等式进行变形，得到的不等式就满足条件． 【详解】解：解集是的不等式：． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2024·宁夏·中考真题）解不等式组． 【答案】 【分析】本题主要考查解不等式组，掌握不等式的性质，取值方法是解题的关键． 先根据不等式的性质分别求出各不等式的解集，再根据取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 4．（2024·江苏常州·中考真题）解方程组和不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解方程组和一元一次不等式组： （1）加减法解方程组即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】（1）解： ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解为：． （2）解：， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． ►题型02 利用数铀表示一元一次不等式(组)解集 1．（2024·宁夏·中考真题）已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，解一元一次不等式．根据绝对值的性质，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 则的取值范围在数轴上表示正确的是： 故选：A． 2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：C． 3．（2024·贵州·中考真题）不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据小于向左，无等号为空心圆圈，即可得出答案． 本题考查在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解题的关键． 【详解】不等式的解集在数轴上的表示如下： ． 故选：C． 4．（2024·四川雅安·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 故选：C． 5．（2024·四川眉山·中考真题）解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查求不等式的解集，并在数轴上表示解集，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可. 【详解】解：， ， ， ， ， ， 其解集在数轴上表示如下： ►题型03 不等式组的与方程综合 1．（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据、是二元一次方程组的解可知的解，最后解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵、是二元一次方程组的解， ∴， ∵关于、的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了二元一次方程，一元一次不等式，掌握二元一次方程组及一元一次不等式的相关概念是解题的关键． 2．（2024·山东枣庄·一模）已知关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查分式方程，根据分式方程的解，可知且，从而得解． 【详解】解关于的分式方程，得：， 根据题意，得∶，且， 解得∶ 且， 故答案为：且． ►题型04 根据含参数不等式(组)解集的情况求参数的取值范围 1．（2024·四川南充·中考真题）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， ∴； 故选B． 2．（2024·湖南怀化·一模）已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求不等式组的解集，先利用加减消元法推出，再由推出，据此可得答案． 【详解】解： 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴整数k值为2024， 故选：C． 3．（2024·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出；解分式方程得到，再由关于的分式方程的解均为负整数，推出且且a是偶数，则且且a是偶数，据此确定符合题意的a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； 解分式方程得， ∵关于的分式方程的解均为负整数， ∴且是整数且， ∴且且a是偶数， ∴且且a是偶数， ∴满足题意的a的值可以为4或8， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故答案为：． 4．（2023·湖北黄石·中考真题）若实数使关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】根据不等式的性质解一元一次不等组，再根据不等式组的取值方法即可且求解． 【详解】解：， 由①得，；由②得，； ∵解集为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解不等式组，求不等式组解集，掌握解不等式组的方法，不等组的取值方法等知识是解题的关键． ►题型05 一元一次不等式(組)整数解问题 1．（2023·内蒙古·中考真题）不等式的正整数解的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出正整数解得个数． 【详解】解：， ∴正整数解为：，有个， 故选A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键． 2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式（组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由，得：， 由，得：， 不等式组恰有3个整数解， 这3个整数解是0，1，2， ， 解得， 故答案为：． 3．（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组：并求所有整数解的和． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及求一元一次不等式组的整数解．解各不等式，可得出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集， ∴不等式组所有整数解的和为． 4．（2024·山东济南·中考真题）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：0，1，2，3． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再找不等式组的解集，即可得到整数解． 【详解】解：解不等式①，得 解不等式②，得 在同一条数轴上表示不等式①②的解集 原不等式组的解集是 整数解为0，1，2，3 5．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式的正整数解． 【答案】，． 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集以及正整数解，先求出不等式的解集，进而可得到不等式的正整数解，正确求出一元一次不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， ∴不等式的正整数解为，． ►题型06 与不等式(组)有关的新定义问题 1．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数，，是“快乐数”；又如：四位数，∵，不是“快乐数”．若一个“快乐数”为，则这个数为 ；如果一个“快乐数”能被7整除，则满足条件的数的最大值是 ． 【答案】 6923 【分析】由“快乐数”的定义得，即可求解；由“快乐数”的定义得，整理得，结合、、、的取值范围得，对整理得，可得当或时，能被7整除，即可求解． 【详解】解： 是一个“快乐数”， ， 解得：， 这个数为； 自然数是“快乐数”， ， ， ，，， ，， ， ， ， 自然数能被7整除， 能被7整除， 当或时，能被7整除， ①当时， ， 故此种情况不存在； ②当时， ， ， ， ， ， 解得：， ，且为整数， 最大取， 当时， ， ， ， 故答案：，． 【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，理解新定义是解题的关键． 2.对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则x的最小整数值是 ． 【答案】8 【分析】根据题干信息先求出和，再求解不等式即可． 【详解】解：对于实数对，定义偏左数为，偏右数为， 对于实数对，，， ， ， 解得：， 的最小整数值是8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，新定义，解题的关键是根据题干所给信息列出不等式． 3.定义一种新运算：，例如：．根据上述定义， (1)若，求及其平方根． (2)的计算结果落在如图所示的范围内，求的最小整数值． 【答案】(1)， (2)4 【分析】（1）由新定义，按法则计算得到，再由平方根定义求解即可得到答案； （2）由新定义及数轴得到，再按法则计算得到，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得，则； （2）解：由题意得， ∴，即，解得， ∴最小整数值为4． 【点睛】本题考查新定义运算，涉及解方程、平方根定义、解不等式及求不等式的整式解等知识，理解新定义运算，熟记平方根定义及解不等式的方法是解决问题的关键． 4．规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 【答案】(1)，； (2)， (3)1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可； （3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最大整数解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：； （2）解：由（1），， ∴， ， ， ①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （3）解：，，， ， ①②，得，即， ， ， ， 的最大整数值是1． 命题点三 不等式(组)的应用 ►题型01 利用一元一次不等式解决实际问题 1．（2024·贵州·中考真题）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生． 根据以上信息，解答下列问题： (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 【答案】(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生 (2)至少种植甲作物5亩 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用， （1）设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，根据“种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名”列方程组求解即可； （2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，根据“所需学生人数不超过55人”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生， 根据题意，得， 解得， 答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生； （2）解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩， 根据题意，得：， 解得， 答：至少种植甲作物5亩． 2．（2024·湖南·中考真题）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元． (1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价； (2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？ 【答案】(1)50元、30元 (2)400棵 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵，根据“购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元”列方程组求解即可； （2）购买脐橙树苗a棵，根据“总费用不超过38000元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵， 根据题意，得， 解得， 答：脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵； （2）解：设购买脐橙树苗a棵，则购买黄金贡柚树苗棵， 根据题意，得， 解得， 答：最多可以购买脐橙树苗400棵． 3．（2024·山西·中考真题）健康中国，营养先行．今年5月12日-18日是第十届全民营养周，社区食堂在全民营养周到来之际，推出系列营养套餐，其中营养套餐A的菜品如下图所示． (1)该套餐中的蛋白质和脂肪这两类营养素主要来自清蒸鱼块和滑炒鸡丁，每100克清蒸鱼块和滑炒鸡丁中的蛋白质和脂肪含量如下表所示．按配餐要求，每份套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品提供的蛋白质、脂肪量应分别为34克、24.8克、求每份该种套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品各有多少克； 清蒸鱼块（每100克） 滑炒鸡丁（每100克） 蛋白质（克） 16 15 脂肪（克） 8 14 (2)按配餐要求，每份素炒时蔬中芹菜与西兰花共260克，已知每100克芹菜与每100克西兰花分别含有1.5克、2.5克的膳食纤维，若要使每份素炒时蔬中所含的膳食纤维不少于5克，则每份素炒时蔬中西兰花至少有多少克？ 【答案】(1)每份该种套筤中清蒸鱼块有100克，滑炒鸡丁有120克 (2)110克 【分析】题目主要考查二元一次方程组及不等式的应用，理解题意，列出相应的方程及不等式是解题关键． （1）设每份该种套餐中清蒸鱼块有克，滑炒鸡丁有克，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设每份素炒时蔬中西兰花有克，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每份该种套餐中清蒸鱼块有克，滑炒鸡丁有克， 根据题意，得 解，得 答：每份该种套筤中清蒸鱼块有100克，滑炒鸡丁有120克． （2）设每份素炒时蔬中西兰花有克， 根据题意，得． 解，得． 所以，的最小值为110． 答：每份素炒时荒中西兰花最少有110克． 4．（2024·四川成都·中考真题）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/． (1)求A，B两种水果各购进多少千克； (2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价． 【答案】(1)A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克 (2)A种水果的最低销售单价为元/ 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用， （1）设A种水果购进x千克， B种水果购进y千克，根据题意列出二元一次方程组求解即可． （2）根据题意列出关于利润和进价与售价的不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A种水果购进x千克， B种水果购进y千克， 根据题意有：， 解得：， ∴A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克 （2）设A种水果的销售单价为元/， 根据题意有：， 解得， 故A种水果的最低销售单价为元/ ►题型02 利用一元一次不等式组解决实际问题 21．（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 利用路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围． 【详解】解： ． 根据题意得：， 解得：， 车速的取值范围是． 故答案为：． 22．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围) ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．根据机器零件的设计图纸给定的数值，可求出的取值范围． 【详解】解：由题意得， ． 故答案为： 3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题： (1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？ (2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案． 【答案】(1)特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元 (2)有3种方案，详见解析 (3)特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）正确计算求解． （1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可； （2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱，根据“获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，”列出不等式组求解即可； （3）根据（2）中三种方案分别求解即可； 【详解】（1）解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元， 则， 解得：， 故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元； （2）解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱， 则， 解得：， ∵为正整数， ∴， 故该商店有三种进货方案， 分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱； ②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱； ③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱； （3）解：当购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱时： 根据题意得， 解得：； 当购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱时： 根据题意得， 解得：（是小数，不符合要求）； 当购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱时： 根据题意得， 解得：（不符合要求）； 故商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱． 4．（2024·贵州六盘水·二模）方程是刻画现实世界数量关系的一个有效模型，这个名词最早出现在我国古代数学专著 《九章算术》中．请用方程思想解决下列问题： 某单位组织联谊活动，需采购可乐、橙汁两种饮料，已知购买4箱可乐、2箱橙汁需320元， 购买3箱可乐、1箱橙汁需210元． (1)求可乐、橙汁每箱的价格； (2)单位计划经费不超过1100元，购买两种饮料共20箱，且橙汁不少于8箱，则共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每箱可乐的价格是元，橙汁的价格是元 (2)方案一：购买箱橙汁，箱可乐；方案二：购买箱橙汁，箱可乐；方案三：购买箱橙汁，箱可乐； 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，准确理解题意，找准等量关系是解题的关键． （1）设每箱可乐的价格是元，橙汁的价格是元，根据题意列出二元一次方程组计算即可； （2）设购买箱橙汁，则购买箱可乐，根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设每箱可乐的价格是元，橙汁的价格是元， 解得， 答：每箱可乐的价格是元，橙汁的价格是元； （2）解：设购买箱橙汁，则购买箱可乐， 根据题意可得， 解得 为正整数， 可以是， 该单位共有种购买方案， 方案一：购买箱橙汁，箱可乐； 方案二：购买箱橙汁，箱可乐； 方案三：购买箱橙汁，箱可乐； 5．（2024·宁夏银川·一模）随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买1个A模型和1个B模型共需139元；购买3个A模型和2个B模型共需356元． (1)求A模型和B模型的单价； (2)根据学校的实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，但要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】(1)1个A模型的价格为78元，1个B模型的价格为61元． (2)购买A模型13个，B模型7个，费用最少，该方案所需的费用为元． 【分析】（1）设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，根据“购买1个A模型和1个B模型共需139元；购买3个A模型和2个B模型共需356元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买A模型m个，则购买B模型个，根据“购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出各购买方案，利用总价=单价×数量可求出各方案所需费用，比较后即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【详解】（1）解：设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元， 依题意得：， 解得：． 答：1个A模型的价格为78元，1个B模型的价格为61元． （2）设购买A模型m个，则购买B模型个， 依题意得：， 解得：． 又∵m为整数，∴m可以为，∴共有3种购买方案， 方案1：购买A模型13个，B模型7个，所需费用为（元）； 方案2：购买A模型14个，B模型6个，所需费用为（元）； 方案3：购买A模型15个，B模型5个，所需费用为（元）． ∵， ∴方案1购买A模型15个，B模型5个费用最少，最少费用为元． 基础巩固 1．如图，三人分别坐在质地均匀且到中心点O距离相等的跷跷板上，则表示三人体重A，B，C的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质和应用，根据图示，可得，据此判断出三人体重A，B，C的大小关系即可． 【详解】解：根据图示，可得， ∴． 故选：C． 2．不等式组中，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求不等式组的解集，并在数轴上进行表示，正确求出每一个不等式解集及熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键； 先求出不等式组的解集，再根据带等于号的用实心点，不带等于号的用空心点，在数轴上表示出来，判断即可． 【详解】解：解不等式组，得： ， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示如图： ； 故选B． 3．不等式组的解集为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，代数式求值，先解不等式组，进而根据不等式组的解集求出的值，最后代入代数式计算即可求解，根据不等式组的解集求出的值是解题的关键． 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组的解集为， ∴，， 解得，， ∴， 故选：． 4．若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．先解方程，含有k的代数式表示x，在根据x的取值范围确定k的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵解为正数， ∴， ∴， ∵分母不能为0， ∴， ∴，解得， 综上所述：且， 故选：A． 5．如图1，聪聪手中有一张长为12的长方形纸片，他想沿虚线将纸片折成3个长方形，使得这3个长方形正好围成如图2所示的三棱柱，且左右两侧长方形的宽度相等，则图中的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系、解不等式组，解题的关键是把三棱柱的问题转化为三角形三边关系问题．本题实际上是长为12的线段围成一个等腰三角形，根据三角形的三边关系求腰的取值范围即可． 【详解】解：长为12的线段围成等腰三角形的两腰为a．则底边长为． 由题意得，且， 解得， 所给选项中分别为：2，3，4，6．只有4符合上面不等式组的解集， ∴m只能取4． 故选：C． 6．已知三个实数，满足．当时，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据已知可得，进而根据，得出关于的不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 解得： 故选：B． 7．若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解分式方程，解一元一次不等式组，掌握相关解法是解题关键．先按照解分式方程的一般步骤解方程，求出，根据分式方程有正整数解，得到，且为奇数，，然后解一元一次不等式组，再根据不等式组有且只有3个整数解，列出关于a的不等式，求出a的取值范围，最后再求出符合条件的所有整数a，并求出它们的和即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， ∵关于x的方程有正整数解， ∴，且为整数，， ∴，为2的整数倍，， ∴，且为奇数，， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵关于x的不等式组有且只有3个整数解， ∴， ∴， ∴符合条件的所有整数a为或， ∴符合条件的所有整数a的和为：， 故选：A． 8．若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则下列的取值可能为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了不等式组的整数解的应用，无理数．根据已知即可得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：关于的不等式组有且仅有两个整数解， 整数解为2，3， ， 观察四个选项，符合题意， 故选：C． 9．解不等式时，下列去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键；因此此题可根据一元一次不等式的解法进行求解即可． 【详解】解： 去分母得：； 故选C． 10．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解分式方程，由不等式组无解，解得，解分式方程得，，进而得到，即可得解，本题特别要注意分式有意义的条件． 【详解】解：∵关于x的不等式组， ∴由①得，， 由②得，， ∵原不等式组无解， ∴， 解得，， 解分式方程得，， ∵分式方程的解为正整数， ∴， ∵， ∴， 综上，， ∴， 故选：D． 11．如，那么x的取值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，求不等式的解集，正确理解绝对值的概念是解答本题的关键，绝对值化简方法为．移项得，根据绝对值的化简方法，即可得到答案． 【详解】 ． 故答案为：． 12．如果不等式的解集为，则必须满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟知不等式两边同时乘以或除以一个负数不等号要改变方向是解题的关键．根据不等式的性质，发现不等号方向改变了，说明两边同时乘或除了一个负数，由此求出的范围即可． 【详解】解：不等式的解集为， ， 解得：， 故答案为：． 13．若实数使得关于的分式方程的解为负数，且使关于的不等式组至少有个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于的值，不是原分式方程的解．先求出分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得，且，再求出不等式组的解集，根据不等式组至少有个整数解，可得，从而得到的取值范围为，且，进而得到符合条件的所有整数的，，，即可求解． 【详解】解： 实数使得关于的分式方程的解为负数， ，且 解得：，且， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 实数使关于的不等式组至少有个整数解， ， ， ，且， 符合条件的所有整数为，，， 符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 14．若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先解每一个不等式，再根据不等式组解集的范围内有四个整数解，得出新的不等式，求a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组有四个整数解，即为， ∴， 故答案为：． 15．已知，且，，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据题意得出，，进而推出或，然后将，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或 ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 16．如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围． 解：∵一元一次不等式组的解集为， ， 解得． 故答案为：． 17．根据语句“的倍与的差小于列不等式”： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据题意得出不等式即可，读懂题意，列出不等式是解题的关键． 【详解】解：∵的倍与的差小于， ∴列不等式为：， 故答案为：． 18．某游泳馆今年夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证140元，本人凭证游泳每次再付费18元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费25元，累计超过10次后，超过的部分每次游泳付费打八折．设小明计划今年夏季游泳次数为x（x为大于10的正整数） (1)用含x的式子表示： 游泳次数/次 11 12 … x 方式一付费金额/元 … 方式二付费金额/元 … (2)当x取何值时，小明选择方式一与方式二付费的总金额相等？ (3)当x在什么范围内取值时，选择方式一付费比较省钱？（直接写出结果，不必说明理由） 【答案】(1)； (2)当时，小明选择方式一与方式二付费的总金额相等 (3)当时，选择方式一付费比较省钱 【分析】本题主要考查了用代数式表示式，一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）根据题意分别用x分别表示出方式一付费金额和方式二付费金额． （2）令，解一元一次方程即可得出答案． （3）根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：当游泳次数为x时， 方式一付费金额为：， 方式二付费金额为： （2）解： 即， 解得：， 故当时，小明选择方式一与方式二付费的总金额相等． （3）解：根据题意， 解得：， 当时，选择方式一付费比较省钱 19．解不等式组：并把解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得． 所以原不等式组的解集为． 把解集表示在数轴上如图所示． . 20．解不等式并把解表示到数轴上： (1)； (2) 【答案】(1)，解集在数轴上表示见解析； (2)，解集在数轴上表示见解析． 【分析】（）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可； （）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为先求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可； 本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ∴解集在数轴上表示如图， ； （2）解： ， ∴解集在数轴上表示如图， ． 21．某公司40名员工到一景点集体参观，票价为每张10元，该景点规定满40人可以购买团体票，票价打八折．这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠．请你帮助他们选择购票方案． 【答案】当女士恰好是16人时，两种方案所需费用相同；当女士人数少于16人时，购买团体票合算；当女士人数多于16人不超过40人时，购买女士五折票合算 【分析】 此题考查一次函数应用问题的方案问题，利用建立一元一次不等式和一元一次方程，找到方案选择的临界数值是解题的关键．设该公司参观者中有女士人，选择购买女士五折票时所需费用为元，选择购买团体票时所需费用为元，根据题意求得、的函数关系式，分三种情况求得相应的的取值范围：，，． 【详解】 解：设该公司参观者中有女士人，选择购买女士五折票时所需费用为元，选择购买团体票时所需费用为元，根据题意得： ， 整理得， ， 由，得，解得； 由，得，解得； 由，得，解得． ∴当女士恰好是16人时，两种方案所需费用相同；当女士人数少于16人时，购买团体票合算；当女士人数多于16人不超过40人时，购买女士五折票合算． 22．阅读下列材料： 已知：，试比较和的大小，并说明理由． 解：，理由如下： ， （不等式的基本性质2）， （不等式的基本性质1）． 仿照阅读材料的解法，完成下列小题： 已知：若，比较和的大小，并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据已知条件，仿照题意的解法，利用不等式的基本性质进行解答即可． 【详解】解：，理由如下： ， （不等式的基本性质3）， （不等式的基本性质1）． 能力提升 1．已知关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查由不等式组的整数解求参数，涉及不等式组的解法、分类讨论等知识，先解不等式组，再由参数的情况，分类讨论，确定不等式组的解集，最后结合不等式组的整数解情况求出参数范围即可得到答案，熟练掌握不等式组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：关于的不等式组， 由①得；由②得； 关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2， 当时，不等式组的解集为，则，解得，整数可取，整数可取，则整数对有，共6个； 当时，不等式组的解集为，则，解得，不等式组无解； 综上所述，关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有6个， 故选：D． 2．已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组仅有2个整数解求出m的范围即可． 【详解】：解不等式，得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组的解集中恰好有两个整数， ∴设相邻的两个整数分别为n和， ∴， 整理得， ∴当时，不等式组有解， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式有：当时的解集为，则称构成“雅礼不等式”．若构成“雅礼不等式”，则关于的不等式组的解集为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的解集，根据“雅礼不等式”的定义分三种情况解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：分三种情况解答： ①若，即的解集为，则，且， 化简得，，代入，得， 解得， 由，得， 即， 解得， 由，得， 解得， ∴此时不等式组的解集为； ②若，即的解集为，则，且， 化简得，，代入，得， 解得， 由，得， 即， 解得， 由，得， 解得， ∴此时不等式组的解集为； ③若，即的解集为，则，且， 化简得，，代入，得， 解得， 由，得， 即， 解得， 由，得， 解得， ∴此时不等式组的解集为； 综上所述，所给不等式组的解集为或或， 故答案为：或或． 4．若关于的不等式组有且仅有个整数解，且的结果不含二次项，则满足条件的整数的值为 ． 【答案】 【分析】先求出一元一次不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有个整数解，得出，利用多项式乘多项式化简，根据结果不含二次项，得出，结合即可求出的值． 【详解】解：，解不等式， 解得：， 解不等式， 解得：， ∴ ∵不等式组有且仅有个整数解， ∴， 解得：， 又∵，且其结果不含二次项， ∴的系数为零 ∴ ∴ 解得：或 又∵ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式，绝对值，多项式乘多项式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．若一个四位自然数P各个数位上的数字互不相同且均不为0，满足百位数字比千位数字大3，十位数字比个位数字大3，那么称这个四位数P为“举一反三数”，记P各个数位上的数字之和为． (1)最大的“举一反三数”为_______，最小的“举一反三数”为___________； (2)一个“举一反三数”A的千位数字为a，个位数字为b，另一个“举一反三数”B的千位数字为c，个位数字为d，若被9除余6，且是2的倍数，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查整式的加减，列代数式，解不等式组； （1）设““举一反三数”的千位数字为，个位数字为，则百位数字为，十位数字为，表示出这个数，再结合“举一反三数”的定义求出，，再求最大值和最小值即可； （2）分别表示出，，，，根据被9除余6，得到，根据是2的倍数，得到，最后计算，当当最小，最大时有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：设“举一反三数”的千位数字为，个位数字为，则百位数字为，十位数字为， ∴这个“举一反三数”为， ∵四位自然数P各个数位上的数字互不相同且均不为0， ∴，，，， 解得，， ∴当，时有最大的“举一反三数”，为； 当，时有最小的“举一反三数”，为； 故答案为：，； （2）解：一个“举一反三数”A的千位数字为a，个位数字为b，则百位数字为，十位数字为，，，，， 另一个“举一反三数”B的千位数字为c，个位数字为d，则百位数字为，十位数字为，，，，， ∵被9除余6， ∴是的倍数， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∵是2的倍数， ∴， ∴， 解得，即， ∴ ， ∴当最小，最大时的最小值， ∵，，， ∴，解得， 同理求得， ∴当，时有最小值，此时． $$