专题03 巧用勾股定理求最短路径的长-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（湘教版）

专题03 巧用勾股定理求最短路径的长 题型1：利用几何变换解决平面中的最短问题 题型2：用展开法解决立体图形中的最短问题 题型1：利用几何变换解决平面中的最短问题 技巧：将分散的条件通过几何变换(平移或对称)进行集中,然后借助勾股定理可解决平面图形中的最短问题. 8．如图，等边的边长为6，点是边上一点，，、是边上两个动点且，连接、，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查轴对称最短问题，等边三角形的性质，如图，过点作于点，作且，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，，当在上时，四边形的周长最小．证明，过点作交的延长线于点．设交于点．求出即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，作且，作点关于的对称点T，连接交于点P，连接，，，，， ∵作且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵作点关于的对称点T， ∴， ∴， ∴四边形的周长， ∴当在上时，四边形的周长为，此时周长最小， 是等边三角形， ， ，， ， ， ，，， 四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 过点作交的延长线于点，设交于点，则，， ，， ， ， ∴四边形的周长的最小值， 故答案为：12． 一．选择题（共2小题） 1．足球是世界上最受欢迎的运动项目之一，如图，球员A 向边线传球，传球落点在边线上任何位置都能被边线球员接住球，而边线球员不运球直接传给球员B，图中四边形为直角梯形，，，， 则两次传球中皮球飞过的最短路径为（   ） A．15 B． C．20 D． 2．如图，边长为的等边中，是上中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 （   ）           A． B． C． D．3 二．解答题（共5小题） 3．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)（思想应用）已知，均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此直接写出的最小值为______； (2)（类比应用）已知为正实数，根据上述的方法，求代数式的最小值． 4．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是______． （2）类比计算：已知均为正数，且．求的最小值． （3）迁移问题：已知平面直角坐标系中，，，，直接写出的最小值． 5．勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)如图，请你用两种不同方法表示梯形的面积，从而验证勾股定理． (2)如图，在直线的同侧有两个点、，已知点和点到直线的距离分别为2和5，且．现要在直线上取点，使得的值最小． ①请用无刻度直尺和圆规在图2中确定点的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②直接写出的最小值为_________； (3)借助上面的思考过程，直接写出的最小值为_______． 6．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下： 把两个全等的直角三角形（如图1放置，，点在边上，现设两直角边长分别为、，斜边长为，请用分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理， (1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，铁路上两点（看作直线上的两点）相距千米，为两个村庄（看作直线上的两点），，，垂足分别为，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米． (3)在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，请在图2中作出点的位置并求出的距离． (4)借助上面的思考过程，当时，直接写出代数式的最小值． 7．如图1，A村和B村在一条大河的同侧，它们到河岸的距离分别为1千米和4千米，又知道的长为4千米． 现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选 方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即）．（如图2） 方案2：作A点关于直线的对称点，连接交于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道和．（即）（如图3） 从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适． 题型2：用展开法解决立体图形中的最短问题 技巧：求立体图形中的最短距离时,先将立体图形展开为平面图形,在平面图形中将路程转化为两点间的距离。然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)， （1） 15．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 【答案】(1)A (2) (3)最短为，方案见解析 【分析】题目主要考查勾股定理及最短距离问题，理解题意，作出相应图形是解题关键． （1）结合图形即可得出结果； （2）根据题意得所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长，即可求解； （3）分三种情况，作出相应图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图只有选项A符合题意， 故选：A； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长为：， ∴最短长度是； （3）①把展开，如图此时总路程为， ②把展开，如图 此时的总路程为； ③如图所示，把展开， 此时的总路程为， 由于，所以第三种方案路程更短，最短路程为． 一．选择填空题（共5小题） 1．如图，在底面周长约为米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（ ） A．14米 B．28米 C．13米 D．26米 2．如图，圆柱底面周长为，圆柱高，在圆柱侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回到点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（   ） A． B． C． D． 3．如图，有一长和宽各、高且封闭的长方体纸盒，一只蚂蚁从顶点A爬到与A点相对的顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路径为（      ）． A．8 B．11 C．10 D．24 4．如图，圆柱形容器高，底面周长，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟沿杯内壁下滑，3秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是 ． 5.如图，已知圆柱的底面周长为36，高为9，点P位于顶面半圆处．小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬到C点，最后爬回A点．小虫爬行的最短路程为 ． （2） 如图，长方体的长，宽，高，点M在上．且．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少? 【答案】蚂蚁爬行的最短距离是 【分析】本题考查了勾股定理的应用；计算出三种情况下线段的长度，比较即可得到蚂蚁爬行的最短距离； 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图； ∵长方体的宽为，高为，点B离点C的距离是， ； 要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： ； ； ， ∴蚂蚁爬行的最短距离是． 一．选择填空题（共3小题） 1．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A．20 B．22 C．24 D．25 2．一个台阶如图所示，阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是（   ） A． B． C． D． 3.如图，在一个长为，宽为的长方形未板上，放着一根长方体木块，木块较长的棱和木板的宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发到达边中点需要走的最短路程为 ．    学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 巧用勾股定理求最短路径的长 题型1：利用几何变换解决平面中的最短问题 题型2：用展开法解决立体图形中的最短问题 题型1：利用几何变换解决平面中的最短问题 技巧：将分散的条件通过几何变换(平移或对称)进行集中,然后借助勾股定理可解决平面图形中的最短问题. 8．如图，等边的边长为6，点是边上一点，，、是边上两个动点且，连接、，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查轴对称最短问题，等边三角形的性质，如图，过点作于点，作且，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，，当在上时，四边形的周长最小．证明，过点作交的延长线于点．设交于点．求出即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，作且，作点关于的对称点T，连接交于点P，连接，，，，， ∵作且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵作点关于的对称点T， ∴， ∴， ∴四边形的周长， ∴当在上时，四边形的周长为，此时周长最小， 是等边三角形， ， ，， ， ， ，，， 四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 过点作交的延长线于点，设交于点，则，， ，， ， ， ∴四边形的周长的最小值， 故答案为：12． 一．选择题（共2小题） 1．足球是世界上最受欢迎的运动项目之一，如图，球员A 向边线传球，传球落点在边线上任何位置都能被边线球员接住球，而边线球员不运球直接传给球员B，图中四边形为直角梯形，，，， 则两次传球中皮球飞过的最短路径为（   ） A．15 B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作A关于的对称点E，连接交于O，连接，过A作于F，根据轴对称的性质可判断两次传球中皮球飞过的最短路径长等于，根据轴对称的性质可得出，根据等边对等角和平行线的性质可求出，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可求出，然后根据三线合一求出即可． 【详解】解：作A关于的对称点E，连接交于O，连接，过A作于F， ∴，， ∴，， ∴，两次传球中皮球飞过的最短路径长等于， 依题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， 即两次传球中皮球飞过的最短路径为， 故选：B． 2．如图，边长为的等边中，是上中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 （   ）           A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，学会利用轴对称的性质构造辅助线并证明全等三角形是解题的关键．作交于，连接、、，由可得是等边三角形，再通过全等的判定方法得到，进而把周长转化为的周长，再利用两点之间线段最短算得周长的最小值，即可得出结论． 【详解】解：如图， 作交于，连接、、， 等边， ， 又， ， 是等边三角形， ． 等边，是上中线， 垂直平分，， 又点在上， ． 等边， ， ， ， ， ，周长周长， 周长周长， 当最小时，周长有最小值， 连接，， 是上中线， 又等边， ， 在中，， ， ， ， 的最小值为， 周长最小值为． 故选：B． 二．解答题（共5小题） 3．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)（思想应用）已知，均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此直接写出的最小值为______； (2)（类比应用）已知为正实数，根据上述的方法，求代数式的最小值． 【答案】(1)①、；②5 (2)13 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识， (1)利用勾股定理得到，由题图知，，利用三角形三边的关系得(当且仅当、、共线时取等号),作交的延长线于,如图，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出,从而得到即的最小值； (2)如图，设,则,利用勾股定理得到，根据三角形三边的关系得到(当且仅当、、共线时取等号),作交的延长线于,如图，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出，即可得到的最小值； 掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，, 在中，， 由题图知，, ∴(当且仅当、、共线时取等号), 作交的延长线于,如图, ∵，， ∴四边形为矩形， , 在中，, 的最小值为5, 即的最小值为5； 故答案为： ，5； （2）解：如图，，，，设，则， 在中，, 在中，, ∴, 由知，(当且仅当、、共线时取等号),作交的延长线于,如图，可得四边形为矩形， ,, 在中，, 的最小值为13, ∴的最小值为13. 4．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是______． （2）类比计算：已知均为正数，且．求的最小值． （3）迁移问题：已知平面直角坐标系中，，，，直接写出的最小值． 【答案】（1）10（2）17（3） 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段和最值问题，解题的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定理求解． （1）先根据题意利用勾股定理求出，，则，要想的值最小，则的值最小，即当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，由此利用勾股定理求出的值即可； （2）如图所示，，利用勾股定理求出，然后同（1）求解即可； （3）过点A作y轴的对称点，连接，交y轴于点P，得，当三点共线时，的值最小，最小值为的长，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图所示，， 在中，， 在中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵， ∴由长方形的性质得，， ∴， ∴， ∴的最小值为10， 故答案为：10； （2）如图所示，， 在中，， 在中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵， ∴由长方形的性质得，， ∴， ∴， ∴的最小值为17， （3）过点A作y轴的对称点，连接，交y轴于点P，如图， 由对称性知，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， 又， ∴， ∴的最小值为． 5．勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)如图，请你用两种不同方法表示梯形的面积，从而验证勾股定理． (2)如图，在直线的同侧有两个点、，已知点和点到直线的距离分别为2和5，且．现要在直线上取点，使得的值最小． ①请用无刻度直尺和圆规在图2中确定点的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②直接写出的最小值为_________； (3)借助上面的思考过程，直接写出的最小值为_______． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② (3) 【分析】本题考查轴对称—最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）由梯形，三角形面积公式即可证明问题； （2）①根据轴对称的性质，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，； ②根据勾股定理求出，根据矩形的性质分别求出，，根据勾股定理求出，得到，结合题意计算即可； （3）作关于直线的对称点，连接与直线交于点，则的最小值为，然后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：由题意可知，梯形的面积第一种表示方法： ， 第二种表示方法： ， 则， ∴； （2）①作关于直线的对称点，连接与直线交于点， 由轴对称可知，， ∴，当点在上时取等号， 故，点即为所求； ②作，，相交于点，作于点，连接， 则，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）如图，作于，于，，，，，则， ∴， 作关于直线的对称点，连接与直线交于点，类比（2）可知，此时最小，最小值为， 作于，则， 由勾股定理得，，即最小为， ∴的最小值为， 故答案为：． 6．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下： 把两个全等的直角三角形（如图1放置，，点在边上，现设两直角边长分别为、，斜边长为，请用分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理， (1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，铁路上两点（看作直线上的两点）相距千米，为两个村庄（看作直线上的两点），，，垂足分别为，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米． (3)在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，请在图2中作出点的位置并求出的距离． (4)借助上面的思考过程，当时，直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，勾股定理与最短路径的计算方法， （1）根据全等三角形的性质可得，则，分别用含的式子，结合图形表示出梯形、四边形、的面积，根据，代入计算即可求解； （2）如图所示，连接，作于点，可得，的长，在中，运用勾股定理可得，由此即可求解； （3）如图所示，设，则，运用勾股定理可得，，再根据，代入计算即可求解； （4）将代数式变形得，，结合（3）中的计算方法，令，则，可得，即为两直角三角形斜边的和，由此作图分析，作点关于的对称点，连接交于点，则，此时的值最小，在中，运用勾股定理即可求解的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴，则， ∴，，， ∵， ∴，整理得，； （2）解：如图所示，连接，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：； （3）解：如图所示，设，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 两边同时平方得，， 解得，， ∴； （4）解：，， 根据上述计算方法，令， ∴，即两条直角三角形斜边的和， 令，则， ∴， ∴， 如图所示，，，，，则，作点关于的对称点，连接交于点，则，此时的值最小，即代数式的值最小， 过点作，交延长线于点， ∴， ∵对称， ∴， ∴， 在中，， ∴代数式的最小值为． 7．如图1，A村和B村在一条大河的同侧，它们到河岸的距离分别为1千米和4千米，又知道的长为4千米． 现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选 方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即）．（如图2） 方案2：作A点关于直线的对称点，连接交于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道和．（即）（如图3） 从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适． 【答案】方案1路线短，更合适．理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，轴对称的性质，正确的作出图形是解题的关键．方案1：过点A作于点E，方案2：过作交延长线于点H，利用勾股定理分别求出两种路线的长度，比较即可． 【详解】解：方案1：过点A作于点E， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 方案2：过作交延长线于点H， ， ， ， ， 同理， ， ， ， ， ∵， ∴方案1路线短，更合适． 题型2：用展开法解决立体图形中的最短问题 技巧：求立体图形中的最短距离时,先将立体图形展开为平面图形,在平面图形中将路程转化为两点间的距离。然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)， （1） 15．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 【答案】(1)A (2) (3)最短为，方案见解析 【分析】题目主要考查勾股定理及最短距离问题，理解题意，作出相应图形是解题关键． （1）结合图形即可得出结果； （2）根据题意得所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长，即可求解； （3）分三种情况，作出相应图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图只有选项A符合题意， 故选：A； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长为：， ∴最短长度是； （3）①把展开，如图此时总路程为， ②把展开，如图 此时的总路程为； ③如图所示，把展开， 此时的总路程为， 由于，所以第三种方案路程更短，最短路程为． 一．选择填空题（共5小题） 1．如图，在底面周长约为米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（ ） A．14米 B．28米 C．13米 D．26米 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用—最短距离问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘即可得到结果． 【详解】解：根据题意，把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图所示，雕龙把大长方形均分为个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为米，柱身高约米， ∴米，米， ∴米， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为（米）， 故选：D． 2．如图，圆柱底面周长为，圆柱高，在圆柱侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回到点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】沿剪开，展开圆柱的侧面，这只蚂蚁爬行的最小长度为，再利用勾股定理求出即可解决问题．本题考查平面展开最短路线问题，勾股定理，两点之间线段最短，理解题意，能将立体图形展开成平面图形，利用勾股定理解答是解题的关键． 【详解】解：沿剪开，展开圆柱的侧面，如图，这只蚂蚁爬行的最小长度为， 由题意，知， ∵圆柱底面周长为，圆柱高， ∴，，， 由勾股定理，得， ， ∴ 这只蚂蚁爬行的最小长度为， 故选：C． 3．如图，有一长和宽各、高且封闭的长方体纸盒，一只蚂蚁从顶点A爬到与A点相对的顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路径为（      ）． A．8 B．11 C．10 D．24 【答案】C 【分析】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）两个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径． 【详解】解：由题意得， 路径一： ； 路径二： ； 路径三： ； ∵， ∴10为最短路径． 故选：C． 4．如图，圆柱形容器高，底面周长，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟沿杯内壁下滑，3秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题， 先将圆柱的侧面展开，找到蚂蚁走的最短距离，再根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论． 【详解】解：假设在杯内壁点处吃到蜂蜜， 如图，圆柱的侧面展开，点与关于点对称，连接，则为蚂蚁走的最短距离， 由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴蚂蚁的平均速度至少是， 故答案为：． 5.如图，已知圆柱的底面周长为36，高为9，点P位于顶面半圆处．小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬到C点，最后爬回A点．小虫爬行的最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先“化曲面为平面”，把圆柱的侧面展开成矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出． 【详解】解：如图， 根据题意，，， ∵P点位于圆周顶面处， ∴，， ∴小虫爬行的最短路程． 故答案为：． （2） 如图，长方体的长，宽，高，点M在上．且．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少? 【答案】蚂蚁爬行的最短距离是 【分析】本题考查了勾股定理的应用；计算出三种情况下线段的长度，比较即可得到蚂蚁爬行的最短距离； 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图； ∵长方体的宽为，高为，点B离点C的距离是， ； 要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： ； ； ， ∴蚂蚁爬行的最短距离是． 一．选择填空题（共3小题） 1．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A．20 B．22 C．24 D．25 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中，， 故选：D． 2．一个台阶如图所示，阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答 ． 【详解】解：如图所示： 台阶平面展开图为长方形，，， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：， 故选：B． 3.如图，在一个长为，宽为的长方形未板上，放着一根长方体木块，木块较长的棱和木板的宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发到达边中点需要走的最短路程为 ．    【答案】/厘米 【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径问题，将木块展开，然后根据两点之间线段最短利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，将木块展开，    由题意，得：展开后长方形的长为，， 则：蚂蚁从点出发到达边中点需要走的最短路程为； 故答案为：． 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