第03讲 单项式、多项式的乘法（2大知识点+7大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（湘教版2024）

第03讲 单项式、多项式的乘法 课程标准 学习目标 1.单项式乘单项式 2.单项式乘多项式 3.多项式乘多项式 1.掌握单项式乘单项式，单项式乘多项式以及多项式乘多项式的运算法则并能够熟练应用。 2.能用整式的乘法的运算法则解决相关题型。 知识点01 单项式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘. 【即学即练1】 计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式运算法则是解题的关键；根据单项式乘单项式的法则计算求解即可． 【详解】解：； 故答案为： 知识点02 多项式的乘法 1.单项式乘多项式:单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式中的每一项，再把所有的积相加. 2.多项式乘多项式:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 方法总结：整式的乘法既满足交换律、结合律，又满足乘法对加法的分配律. 【即学即练1】 已知一个多项式乘，所得的结果是，那么这个多项式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘单项式，多项式除以单项式等知识点，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 根据“一个多项式乘所得的结果是”，得出这个多项式是，再根据多项式除以单项式法则进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一个多项式乘所得的结果是， ， ∴这个多项式是， 故答案为：． 【即学即练2】 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的乘法， （1）先利用积的乘方将原式化简，再根据单项式乘多项式的运算法则进行运算即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则将原式展开，再合并即可； 掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型01 单项式的乘法 【典例1】计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式乘单项式的乘法法则，熟记单项式乘单项式的乘法法则是解题的关键． 根据单项式乘单项式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方法则、单项式乘以单项式法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式2】在科幻电影中，有一个特殊物种A的重量为千克，另一个物种B的重量是A的倍，则B的重量是 千克． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式的应用，掌握单项式乘法法则并能类比进行计算是解题的关键． 由物种B的重量是A的倍，据此列式并类比单项式乘单项式解答即可． 【详解】解：根据题意，物种B的重量是：． 故答案为：． 题型02 多项式的乘法 【典例1】下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．利用单项式乘多项式的计算方法：先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算，逐一计算即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C错误； D．，故D正确． 故选：D． 【变式1】若则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多项式乘以多项式展开，比较系数解答即可． 本题考查了多项式乘以多项式，恒等式的性质，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故选：D． 【变式2】化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式、整式的加减法，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减法即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型03 整式的混合运算 【典例1】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查整式乘法的运算，先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式，最后合并即可． 【详解】解： ． 【变式1】计算： 【答案】 【分析】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知多项式乘多项式的运算法则． 先根据多项式乘多项式的运算法则进行展开计算，再进行整式的加减计算． 【详解】解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可； （2）先根据多项式乘以多项式的运算法则展开，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 【变式3】计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据单项式乘以多项式法则、单项式除以单项式法则，合并同类项法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式4】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据整式的除法运算法则计算，系数除以系数，同底数幂相除，底数不变，指数相减，由此即可求解； （2）运用完全平方公式展开，多项式乘以多项式的运算展开，最后再运用整式加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5】化简． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．先根据单项式乘多项式和多项式乘多项式法则将式子展开，再合并同类项即可． 【详解】解： 题型04 整式的乘法中的化简及化简求值 【典例1】化简求值：当，时，代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，化简求值，先计算多项式的乘法，再合并同类项，最后把，代入计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 【变式1】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式混合运算，化简求值，先运用多项式乘多项式展开以及计算多项式除以单项式，再合并同类项，得，再把代入计算，即可作答． 【详解】解： ； 把代入， 得． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题考查了整式的化简求值．先根据多项式的乘法运算展开，进而合并同类项化简，最后将字母的值代入求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【变式3】先化简再求值：，其中； 【答案】， 【分析】本题考查整数运算中的化简求值，先进行乘法运算，再合并同类项，化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 题型05 整式的乘法中的不含项或无关问题 【典例1】若将展开的结果中不含的一次项，则的值为（   ） A．8 B． C．0 D．8或 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含的一次项，确定出的值即可． 【详解】解：原式， 由结果不含的一次项，得到， 解得：． 故选：A． 【变式1】已知的计算结果中不含项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式中不含某一项的系数特点，解题的关键是能够掌握做题方法，不含某一项，则多项式合并后，该项的系数为0．先计算的结果，不含的项，则合并后含的项的系数为0． 【详解】解： ∵已知的计算结果中不含的项， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式2】若关于的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 先利用多项式乘多项式法则计算，根据展开式中没有二次项和常数项为10得到关于、的方程，求解即可． 【详解】解： ． 乘积展开式中没有二次项，且常数项为10， ，， ，， ． 【变式3】小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）根据多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加即可； （2）设被遮住的一次项系数为，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据正确答案是不含一次项的，得到关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设被遮住的一次项系数为， 即 ， ∵这个题目的正确答案不含一次项的， ∴， 解得：， ∴被遮住的一次项系数为． 题型06 整式的乘法中的规律性问题 【典例1】观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的乘法运算及数字的变化规律，解题的关键是将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出规律． 根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案． 【详解】解：∵①； ②； ③； ④， ……， ∴． ∴ ， 因为，，，，， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为，所以的末位数字为2，所以的末位数字为1， 即的计算结果的末位数字为1． 故选：A． 【变式1】我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形数阵解释二项式的展开式的各项系数，此三角形数阵称为“杨辉三角”． 第一行             第二行               第三行                第四行                 第五行                  根据此规律，请你写出第行第三个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法及数字类规律变化，根据“杨辉三角”找出规律是解题关键．分别求出第四、五、六行中第三个数，得出变化规律，即可得答案． 【详解】解：由“杨辉三角”可知： 展开式中第三项的系数为， 展开式中第三项的系数为， 展开式中第三项的系数为， …… ∴展开式中第三项的系数为， ∵第行第三个数是展开式中第三项的系数， ∴第行第三个数是． 故答案为： 【变式2】计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 【答案】(1)，，，， (2)①；② (3)19，11，9，，， 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则即可得，然后总结规律即可； （2）根据上面的结果，归纳类推出一般规律即可得； （3）运用（1）的规律即可得． 【详解】（1）；； ；； ∴； （2）①； ②； （3）∵ ∴， ∵均为整数， ∴当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 综上所述，满足条件的k的值可以是19，11，9，，，． 【变式3】阅读理解：请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成问题： ① ② ③ ④ (1)规律探究：(________________)； (2)知识运用： ①________________； ②利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了整式的乘法，有理数的乘方等知识点， (1)根据探索材料找到规律直接写出答案； (2)把代入(1)中的等式进行求值即可；把代入(1)中式子计算即可； 熟练掌握相应的运算法则，找到规律是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵① ② ③ ④ ， ∴ 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ， 故答案为： 把代入中得， ， ． 题型07 整式的乘法的实际应用 【典例1】如图，一块长为，宽为的长方形土地的周长为，面积为，现将该长方形土地的长、宽都增加，则扩建后的长方形土地的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，求解代数式的值，由题意可得，，再结合扩建后的长方形土地的面积是：，展开后，再整体代入即可． 【详解】解：根据题意，得 ，， 该长方形土地的长、宽都增加，则扩建后的长方形土地的面积是： 故答案为：36． 【变式1】如图，将梯形分成四个三角形：三角形、三角形、三角形、三角形，其中边的长是的2倍，三角形的面积为15，三角形的面积为18，求三角形与三角形的面积之和． 【答案】39 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用和代数式的求值． 先设则，的高为a，b，根据题意可知，进而得出梯形的面积，再整体代入求出梯形的面积，然后根据面积的差得出答案． 【详解】解：设则，的高为a，b，根据题意得， 即． 梯形的面积， 所以和的面积之和为． 【变式2】如下图，王老师把家里的密码设置成了数学问题．小明同学来王老师家做客，看到图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了王老师家的网络．请直接写出小明同学输入的密码． 账号： 浩 阳密码 【答案】小明同学输入的密码是 【分析】此题考查了单项式与单项式相乘和积的乘方．根据题中密码规律确定出所求即可． 【详解】解：阳阳阳． 【变式3】在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖互相垂直且宽度均为a米的通道． (1)用含a、b的式子表示剩余草坪的面积； (2)若，，求剩余草坪的面积． 【答案】(1)平方米 (2)260平方米 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何图形中的应用； （1）根据图形利用平移的性质可得剩余草坪的面积为宽为米，长为米的长方形面积，根据多项式乘以多项式，即可求解； （2）将，代入（1）中结果，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：依题意，剩余草坪的面积为 答：剩余草坪的面积为平方米． （2）当，时，原式， ∴剩余草坪的面积是260平方米． 【变式4】对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的数学等式，例如图1可以得到完全平方公式，请利用这一方法解决下列问题： (1)观察图2，写出所表示的数学等式：________=________． (2)观察图3，写出所表示的数学等式：________=________． (3)已知（2）的等式中的三个字母可以取任何数，若，，，且．请利用（2）中的结论求的值． 【答案】(1)， (2)， (3)50 【分析】（1）先计算整个图形的面积，再计算各个图形的面积，利用整体图形的面积等于各个图形的面积之和，列出等式即可． （2）先计算整个图形的面积，再计算各个图形的面积，利用整体图形的面积等于各个图形的面积之和，列出等式即可． （3）根据（2）的等式代入解答即可． 本题考查了公式与几何图形的关系，熟练掌握公式的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，整体大长方形的面积为：， 各个图形的面积和为：， 故， 故答案为：，． （2）解：根据题意，整体大正方形的面积为：， 各个图形的面积和为：， 故， 故答案为：，． （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵． ∴， ∴． 一、单选题 1．已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，据此即可求出答案． 【详解】解， ， ，， ， 故选: C． 2．下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、单项式乘以单项式、幂的乘方，根据合并同类项、同底数幂相乘、单项式乘以单项式、幂的乘方的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：），则做这两个纸盒共用料（   ） 长 宽 高 小纸盒 a b c 大纸盒 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式混合运算的应用，根据长方体表面积列出，进行运算即可求解；能正确进行整式混合运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：A． 4．将多项式中的个“”改为“”后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对变换”．下列关于对多项式的“绝对变换”的结果说法： ①若，，，，为5个连续的正整数，则结果可能为； ②若且结果等于，则原多项式中必有两项之和为0； ③若且新多项式各项之积大于0，则将绝对值符号化简打开后，共有8种不同的运算结果． 其中结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题综合考查绝对值的应用，对题干的解读理解能力． 本题涉及绝对值的运算，题干的理解，需根据题干的定义及解释，将题中三种情况逐一展开讨论． 【详解】解：①依据题意，分析如下∶ 为5个连续的正整数， 连续的两个正整数间相差为1， ， 当， ，故①说法正确， ②依据题意，分析如下∶ ， 可设b、d变号， 多项式为， 或， 或， 或， 故②说法错误； ③依据题意，分析如下∶ 且新多项式各项之积大于零，且m必须为偶数， 或4，当时，有、、、、、或七种不同的运算结果； 当时，有共一种运算结果， 共有8种不同的运算结果， 故③说法正确 故选∶C 5．一个长方体的长，宽，高分别是，，，这个长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了长方体的得体积公式，整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据长方体的体积公式，列出算式，然后根据整式乘法法则计算即可； 【详解】解：长方体的体积长宽高； ∴长方体的体积 ； 故选：D． 6．如图，通过计算，比较图，图中阴影部分的面积，可以验证的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算，要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解，解题的关键是正确表示出图和图中阴影部分的面积列出等式． 由题意知：图和图中阴影部分的面积相等，正确表示出图和图中阴影部分的面积列出等式即可解答． 【详解】解：由题意知：图和图中阴影部分的面积相等， 图中，阴影部分面积， 图中，阴影部分面积， ， 故选：B． 7．若，则的值为（   ） A．11 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了整式的乘法，代数式求值，掌握多项式乘多项式法则是解决问题的关键． 先利用多项式乘多项式法则计算，再根据整式的值相等确定的值,最后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选： C． 8．如图，有三张正方形纸片，将三张纸片按照如图所示的方式放置于一个长方形中，已知中间重叠部分四边形恰好是一个正方形，记图中两块未被覆盖的阴影部分面积分别为和，已知，，若要知道和的面积差，只需要知道（   ） A．正方形的边长 B．正方形的边长 C．正方形的边长 D．正方形的边长 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，延长交于点，则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积，分别设正方形的边长分别为，正方形的边长为，表示出，，再作差即可得解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点，则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积， 设正方形的边长分别为，正方形的边长为， 则，，，，，， ∴，， ∴ 故要知道和的面积差，只需要知道的值即可，即要知道正方形的边长， 故选：． 9．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，它揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数有关规律，如下： …… 则展开式中所有项的系数和是（   ） A．2048 B．1024 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，展开式中所有项的系数和，当为奇数时，展开后项数为偶数，且互为相反数，由此即可得． 【详解】解：依题意， 当时，各项系数为，其和为， 当时，各项系数为，其和为， 当时，各项系数为，其和为， …… 观察规律可得当为奇数时，展开后项数为偶数，各项系数对称出现，且互为相反数，则展开式中所有项的系数和是， 故选：C． 10．观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的乘法运算.根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案. 【详解】解：∵①； ②； ③； ④， ……， ∴，，． ∴ ， 因为，，，，，， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为，所以的末位数字为2，所以的末位数字为1， 即的计算结果的末位数字为1． 故选：A． 二、填空题 11．若表示，表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘单项式的知识．根据题意理解三角和方框表示的意义，然后即可求出要求的结果． 【详解】解：根据题意得： ． 故答案为： 12．如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，以及同类项的定义．根据同类项的定义，先求出m、n的值，然后计算单项式乘以单项式即可． 【详解】解：因为单项式与是同类项， 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 13．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查整式的除法运算．用多项式的每一项都除以单项式，并将结果相加，即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．已知的展开式中不含x项，则常数a的值为 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查多项式乘多项式不含某一项的问题．先根据多项式乘多项式法则进行展开，再根据展开式中不含x项，得到x项的系数为0，即可求出a的值． 【详解】解： ， ∵展开式中不含x项， ∴， 解得， 故答案为：． 15．现定义运算“”，对于任意有理数，都有，例如：，由此可知 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，理解和运用新定义是解本题的关键． 利用题中的新定义对进行化简计算即可解答． 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 故答案为：． 16．甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握运算法则是解题的关键． 先根据题意得出，，再整体代入求解． 【详解】解：由题意得： ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 17．若，，则M N（填“>”、“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题主要考查整式的四则混合运算的应用，掌握运用整式相减的方法比较代数式大小的方法成为解题的关键． 先运用整式减法运算法则计算，然后根据的正负即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴． 故答案为：>． 18．如果一个四位自然数t的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为1，那么称t为“九一数”．把t的千位数字的2倍与个位数字的和记为，百位数字的2倍与十位数字的和记为，令，当为整数时，则称t为“整九一数”．若（其中，，，且a、b、c、d均为整数）是“整九一数”， 7221是不是“整九一数” ．（填“是”或者“不是”）；满足条件的M的最大值为 ． 【答案】 是 7524 【分析】本题属于新定义类题目，考查了实数的运算和列代数式，准确理解新定义是解题的关键．第一空直接根据定义判定即可；根据定义进行逆向推理，得出M的千位数为，百位数为b，十位数为c，个位数为d，且满足，，是整数，进行求解即可． 【详解】解：7221满足，，为整数， ∴7221为“整九一数”． ∵是“整九一数”， ∴M的千位数为，百位数为b，个位数为且满足，，是整数， ∵，，，且a、b、c、d均为整数， ∴M的值为5544，7221，7322，7524， ∴满足条件的M的最大值为7524， 故答案为：是；7524． 三、解答题 19．计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法，先根据积的乘方和幂的乘方将原式化简，再根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 20．【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形．可用和两种方法表示如图②中阴影部分的面积，由此可以得出，、之间的等量关系是； 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． (1)如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积，并写出一个恒等式； (2)已知，，利用（1）的结论求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积：能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键． （1）利用体积相等推导出； （2）利用（1）中结论进行变形计算即可． 【详解】（1）解：根据图③看作棱长为的正方体，则体积为：， 图③又可以看作长方体与正方体的体积的和，则该正方体体积为：， ； （2）解：由（1）知：， ， ，， ， ． 21．计算：． 【答案】 【分析】根据积的乘方，多项式除以单项式的运算法则计算即可． 本题考查了积的乘方，多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 22．先化简，再求值：，其中为正整数）． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的除法，牢记法则是解题的关键．先利用多项式除以单项式法则进行化简，再将的值代入求出答案即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 23．计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法，单项式乘多项式，合并同类项，先去中括号，再去小括号，再算除法，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 24．设是一个十位数字为1的两位数，据一份资料介绍可以按下面的步骤用心算来计算． 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：． 这就是要求的计算结果，即得． 用这样的方法，就可用心算很快算出从11到19这九个两位数中任意两个两位数的乘积． (1)请用上述的方法步骤计算：； (2)请用整式的乘法法则来说明的速算原理； (3)若，请用所学的知识探究（其中，，为正整数）的计算规律． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析 【分析】本题考查了数字的变化类，掌握多项式乘多项式的运算法则和理解题中的方法是解题的关键． （1）根据题中的方法求解； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则求解； （3）根据多项式乘以多项式的运算法则求解． 【详解】（1）解：第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：， ． （2）解：是一个十位数字为1的两位数， ， ． （3）解：，，， ． 25．如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后每两个小长方形拼成形，再将形中涂上阴影，如图2和3所示．设图2中的阴影面积为，图3中的阴影面积为 (1)独立思考：求和的值用含a，b的代数式表示； (2)实践探究：若，请比较和的大小关系； (3)问题解决：若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题考查列代数式，整式的混合运算，以及矩形的面积，求得两个阴影部分的面积是解决问题的关键． （1）根据长方形的面积及三角形的面积公式可得出答案； （2）将分别代入及可得出答案； （3）根据题意求出，分别计算S甲及S乙可得出答案． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， 舍去， ， ， 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 单项式、多项式的乘法 课程标准 学习目标 1.单项式乘单项式 2.单项式乘多项式 3.多项式乘多项式 1.掌握单项式乘单项式，单项式乘多项式以及多项式乘多项式的运算法则并能够熟练应用。 2.能用整式的乘法的运算法则解决相关题型。 知识点01 单项式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别 . 【即学即练1】 计算： ． 知识点02 多项式的乘法 1.单项式乘多项式:单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式中的 ，再把所有的积 . 2.多项式乘多项式:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 分别乘另一个多项式的 ，再把所得的积相加. 方法总结：整式的乘法既满足交换律、 ，又满足乘法对加法的 . 【即学即练1】 已知一个多项式乘，所得的结果是，那么这个多项式是 ． 【即学即练2】 计算： (1)； (2)． 题型01 单项式的乘法 【典例1】计算： ． 【变式1】计算： ． 【变式2】在科幻电影中，有一个特殊物种A的重量为千克，另一个物种B的重量是A的倍，则B的重量是 千克． 题型02 多项式的乘法 【典例1】下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若则（   ） A． B． C． D． 【变式2】化简的结果是 ． 题型03 整式的混合运算 【典例1】计算： 【变式1】计算： 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算： 【变式4】计算： (1)； (2)． 【变式5】化简． 题型04 整式的乘法中的化简及化简求值 【典例1】化简求值：当，时，代数式的值． 【变式1】先化简，再求值：，其中，． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 【变式3】先化简再求值：，其中； 题型05 整式的乘法中的不含项或无关问题 【典例1】若将展开的结果中不含的一次项，则的值为（   ） A．8 B． C．0 D．8或 【变式1】已知的计算结果中不含项，则的值为 ． 【变式2】若关于的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求的值． 【变式3】小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 题型06 整式的乘法中的规律性问题 【典例1】观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式1】我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形数阵解释二项式的展开式的各项系数，此三角形数阵称为“杨辉三角”． 第一行             第二行               第三行                第四行                 第五行                  根据此规律，请你写出第行第三个数是 ． 【变式2】计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 【变式3】阅读理解：请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成问题： ① ② ③ ④ (1)规律探究：(________________)； (2)知识运用： ①________________； ②利用上述规律计算：． 题型07 整式的乘法的实际应用 【典例1】如图，一块长为，宽为的长方形土地的周长为，面积为，现将该长方形土地的长、宽都增加，则扩建后的长方形土地的面积是 ． 【变式1】如图，将梯形分成四个三角形：三角形、三角形、三角形、三角形，其中边的长是的2倍，三角形的面积为15，三角形的面积为18，求三角形与三角形的面积之和． 【变式2】如下图，王老师把家里的密码设置成了数学问题．小明同学来王老师家做客，看到图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了王老师家的网络．请直接写出小明同学输入的密码． 账号： 浩 阳密码 【变式3】在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖互相垂直且宽度均为a米的通道． (1)用含a、b的式子表示剩余草坪的面积； (2)若，，求剩余草坪的面积． 【变式4】对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的数学等式，例如图1可以得到完全平方公式，请利用这一方法解决下列问题： (1)观察图2，写出所表示的数学等式：________=________． (2)观察图3，写出所表示的数学等式：________=________． (3)已知（2）的等式中的三个字母可以取任何数，若，，，且．请利用（2）中的结论求的值． 一、单选题 1．已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 2．下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：），则做这两个纸盒共用料（   ） 长 宽 高 小纸盒 a b c 大纸盒 A． B． C． D． 4．将多项式中的个“”改为“”后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对变换”．下列关于对多项式的“绝对变换”的结果说法： ①若，，，，为5个连续的正整数，则结果可能为； ②若且结果等于，则原多项式中必有两项之和为0； ③若且新多项式各项之积大于0，则将绝对值符号化简打开后，共有8种不同的运算结果． 其中结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．一个长方体的长，宽，高分别是，，，这个长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 6．如图，通过计算，比较图，图中阴影部分的面积，可以验证的算式是（   ） A． B． C． D． 7．若，则的值为（   ） A．11 B． C． D．1 8．如图，有三张正方形纸片，将三张纸片按照如图所示的方式放置于一个长方形中，已知中间重叠部分四边形恰好是一个正方形，记图中两块未被覆盖的阴影部分面积分别为和，已知，，若要知道和的面积差，只需要知道（   ） A．正方形的边长 B．正方形的边长 C．正方形的边长 D．正方形的边长 9．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，它揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数有关规律，如下： …… 则展开式中所有项的系数和是（   ） A．2048 B．1024 C．0 D． 10．观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 二、填空题 11．若表示，表示，则 ． 12．如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是 ． 13．计算： ． 14．已知的展开式中不含x项，则常数a的值为 ． 15．现定义运算“”，对于任意有理数，都有，例如：，由此可知 ． 16．甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则的值为 ． 17．若，，则M N（填“>”、“<”或“=”） 18．如果一个四位自然数t的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为1，那么称t为“九一数”．把t的千位数字的2倍与个位数字的和记为，百位数字的2倍与十位数字的和记为，令，当为整数时，则称t为“整九一数”．若（其中，，，且a、b、c、d均为整数）是“整九一数”， 7221是不是“整九一数” ．（填“是”或者“不是”）；满足条件的M的最大值为 ． 三、解答题 19．计算：． 20．【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形．可用和两种方法表示如图②中阴影部分的面积，由此可以得出，、之间的等量关系是； 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． (1)如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积，并写出一个恒等式； (2)已知，，利用（1）的结论求的值． 21．计算：． 22．先化简，再求值：，其中为正整数）． 23．计算： 24．设是一个十位数字为1的两位数，据一份资料介绍可以按下面的步骤用心算来计算． 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：． 这就是要求的计算结果，即得． 用这样的方法，就可用心算很快算出从11到19这九个两位数中任意两个两位数的乘积． (1)请用上述的方法步骤计算：； (2)请用整式的乘法法则来说明的速算原理； (3)若，请用所学的知识探究（其中，，为正整数）的计算规律． 25．如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后每两个小长方形拼成形，再将形中涂上阴影，如图2和3所示．设图2中的阴影面积为，图3中的阴影面积为 (1)独立思考：求和的值用含a，b的代数式表示； (2)实践探究：若，请比较和的大小关系； (3)问题解决：若，求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$