第04讲 平方差公式（1大知识点+4大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（湘教版2024）

第04讲 平方差公式 课程标准 学习目标 平方差公式 掌握平方差公式，以及平方差公式的特征，几何意义，并能够在题目中熟练应用。 知识点01 平方差公式 1.平方差公式 文字表述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差． 式子表示：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 2. 平方差公式的几何意义 如图：将边长为a的大正方形剪去一个边 长为b的小正方形，并将剩余部分沿虚线剪 开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼 成如右图。 可利用计算剩余面积的方式进行解释。 （1）左图的剩余面积为：a2－b2 。 （2）拼接后的面积为：(a＋b)(a－b) 。 结论：由于剪拼后的图形的面积相等，可以解释平方差公式的正确性。 【即学即练1】 计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式：，根据公式计算即可． 【详解】解：． 故选B． 【即学即练2】 下列各式能用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差：．根据平方差公式的结构特征进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式； B、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式； C、，符合平方差公式特点，能用平方差公式； D、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式． 故选：C． 题型01 利用平方差公式计算 【典例1】在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式是两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差，由此进行判断即可． 本题考查平方差公式，解题的关键是：熟练掌握平方差公式． 【详解】解：C选项是两个数的和与这两个数的差相乘，可以使用平方差公式， A、B、D选项变形后为完全平方式，不能使用平方差公式； 故选：C． 【变式1】计算的结果等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方差公式，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．，直接利用平方差公式求解即可． 【详解】 故答案为： 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先计算多项式乘以多项式，以及平方差公式计算，再去括号，然后合并同类项即可． 【详解】解；原式 ． 【变式3】利用乘法公式计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）利用平方差公式进行计算即可得解； （2）利用平方差公式进行计算即可得解； （3）二次利用平方差公式进行计算即可得解； （4）先把第一项和第三项利用平方差公式计算，然后再次利用平方差公式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型02 利用平方差公式求值 【典例1】若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，已知式子的值求代数式的值，先整理原式为，结合，则得，再去括号合并同类项，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：D． 【变式1】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的有关运算，由得，据此即可求解，掌握平方差公式的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【变式2】如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“友谊数”．下列数中“友谊数”是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平方差公式，设较小的奇数为，较大的为，根据题意列出算式，求出解判断即可，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 【详解】解：设较小的奇数为，较大的为， 根据题意得：， 、若，即，不为整数，不符合题意； 、若，即，符合题意； 、若，即，不为整数，不符合题意； 若，即，不为整数，不符合题意； 故选：． 【变式3】若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式是解题关键．根据平方差公式，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：3． 【变式4】已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值、平方差公式、单项式乘以多项式，熟练掌握乘法公式和整式的运算法则是解题关键．先根据已知等式可得，再利用平方差公式、单项式乘以多项式计算，代入求值即可得． 【详解】解：由得：， 则 ． 【变式5】先化简，再求值：其中，． 【答案】，0 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．根据多项式除以单项式，平方差公式及整式的加减运算法则进行化简，然后将a与b的值代入化简后的式子即可求出答案． 【详解】解：原式 当，时，原式． 题型03 利用平方差公式简便运算 【典例1】计算（   ） A． B．2019 C． D．2017 【答案】D 【分析】此题主要考查利用平方差公式简便运算．根据，两次利用平方差公式即可简便运算． 【详解】解： ． 故选：D． 【变式1】计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式．再原式的基础上乘以，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式2】计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查的是平方差公式，将原式变形为，然后再按平方差公式计算可得答案． 【详解】解： ． 故答案为：1． 【变式3】计算： (1)． (2)． 【答案】(1)9991 (2) 【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可求解． （2）根据多项式除以单项式进行计算即可求解； 本题考查了整式的乘法，多项式除以单项式，熟练掌握整式的混合运算以及乘法公式是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4】计算： (1) (2) 【答案】(1)9991 (2) 【分析】本题考查平方差公式，多项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）利用平方差公式进行简算即可； （2）利用多项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5】运用乘法公式计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数混合运算，平方差公式的应用．根据平方差公式得出，然后进行计算即可． 【详解】解：原式 题型04 平方差公式的几何意义 【典例1】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______________． A． B． C． (2)应用所得的公式计算：； (3)应用所得的公式计算：． 【答案】(1)B (2)1 (3) 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握是解答本题的关键． （1）先分别用代数式表示出两图中的阴影面积，再判断即可． （2）把原式先变形为，再利用（1）的结论求解即可； （2）根据把所求式子先裂项，再计算求解即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即， 拼成的图2为长为，宽为的长方形，因此面积为， ∴， 故选：B； （2）解： ； （3）解：原式 ． 【变式1】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是关键. 利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可； 【详解】解：∵从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形， ∴剩余部分的面积是：， 又拼成的长方形的面积是：， ∴根据剩余部分的面积相等得：； 故选：A 【变式2】如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，分别表示两个图形中阴影部分的面积即可得出答案． 【详解】解：第1个图中阴影部分的面积为：， 第2个图中阴影部分的面积为， 因此有， 故选：D． 【变式3】把一个边长为的正方形按图1的方式叠放在边长为的正方形中，我们既可以利用图1计算阴影部分面积；也可以将图1剪接成图2后计算阴影部分面积．这个过程验证了一个我们熟悉的因式分解公式，它是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．图1中阴影部分的面积计算方法是边长是的正方形的面积减去边长是的小正方形的面积，等于；图2中阴影部分是一个长是，宽是的长方形，面积是，根据这两个图形的阴影部分的面积相等，即可获得答案． 【详解】解：图1中， ∵大正方形面积减去小正方形面积即为阴影部分面积， ∴阴影部分面积可表示为； 图2中， ∵拼接后阴影部分是个长方形，长为，宽为， ∴阴影部分面积可表示为， 由阴影部分面积相等，得因式分解公式． 答案：． 【变式4】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算： 【答案】(1)B (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键： （1）利用两种方法表示出面积，即可得出结论； （2）①利用（1）中结论进行求解即可；②利用（1）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的面积可以表示为和， 故； 故选B． （2）①由（1）知：， ∵，， ∴； ② ． 一、单选题 1．下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构是解题的关键：． 【详解】解：A、，不能用平方差公式计算，不符合题意； B、，不能用平方差公式计算，不符合题意； C、，不能用平方差公式计算，不符合题意； D、，可以用平方差公式计算，符合题意； 故选：D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式．根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 3．如图，在边长为的正方形正中间剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，利用两种方法表示出图形的面积即可． 【详解】解：第一个图形的面积是， 第二个图形的大平行四边形的面积为， ． 故选：C． 4．三个连续的正整数，中间的数为，则它们的积为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，解题关键是根据题意列出算式，准确进行计算． 【详解】解：三个连续的正整数，中间的数为，则它们的积为， 故选：D． 5．已知，则的值为（   ） A．17 B．13 C．5 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式和代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键． 先利用平方差公式求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，平方差公式，利用幂的乘方与积的乘方法则，单项式乘单项式的法则，平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选：B． 7．为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．原式利用平方差公式的结构特征变形即可． 【详解】解： 故选：B． 8．若，则（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，把看成整体，利用平方差公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 9．某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：．请借鉴该同学的经验，计算：（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，将原式乘以之后，连续使用平方差公式进而得出答案． 【详解】解： ， 故选：D． 10．的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，有理数的乘方．熟练掌握平方差公式进行运算是解题的关键． 由题意知， ，由，可知每4个3相乘为1个循环，由，可知的个位数字为9，然后作答即可． 【详解】解：由题意知， …… ， ∵， ∴每4个3相乘为1个循环， ∵， ∴的个位数字为9， 故选：D． 二、填空题 11．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式的运算，先化简所求的式子，再将变形得，最后整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方差公式，熟练运用平方差公式是解题关键．根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 13．在一个艺术工作室中，设计师正在进行一幅拼图作品的创作．他使用了大小不同的正方形纸片来构建图案．如图，其中有一个大正方形和一个小正方形，当把它们组合在一起时，设计师发现大正方形与小正方形的面积之差是24，那么阴影部分的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查正方形的面积，三角形的面积与平方差公式的运用，理解图形中阴影部分面积的计算方法，掌握平方差公式的运用是解题的关键．根据题意，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，可得，从图示可知阴影部分的面积，由此即可求解． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴，， ∵大正方形与小正方形的面积之差是24， ∴， 根据图示可得，， ∴，， ∴阴影部分的面积 ， 故答案为：12． 14．若实数x，y满足方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，二元一次方程组的解，根据②可得，进而根据平方差公式得出，整体代入，即可求解． 【详解】解： 可得 得， ∴ 故答案为：． 15．定义：若一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“师一优数”．例如：，，56就是一个“师一优数”．若将“师一优数”按从小到大排列，则第1个“师一优数”是 ，第150个“师一优数”是 ． 【答案】 24 1216 【分析】本题考查了数字类规律探索、平方差公式，理解“师一优数”的定义，正确归纳类推出一般规律是解题关键．设满足“师一优数”的定义的两个正整数分别为和，则“师一优数”可表示为，再分别求出、和时的“师一优数”，归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：设满足“师一优数”的定义的两个正整数分别为和， 则“师一优数”可表示为， ∵为正整数， 当时，第1个“师一优数”为； 当时，第2个“师一优数”为； 当时，第3个“师一优数”为； 归纳类推得：第个“师一优数”可表示为（为正整数）． 当时，，即第150个“师一优数”为1216， 故答案为：24，1216． 16．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数混合运算，涉及平方差公式，根据平方差公式将恒等变形求解即可得到答案，熟记平方差公式是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 17．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用平方差公式简化计算， 利用平方差公式对每一个括号分解因式，然后约分即可得出结果． 【详解】解： 18．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 ． 【答案】2701 【分析】本题考查了新定义智慧数以及平方差公式的运用，如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设两个数分别为，k，其中，且k为整数，即智慧数，因为k为正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】解：设两个数分别为，k，其中，且k为整数．则． 设两个数分别为和，其中，且k为整数．则，时，， ∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． ∴（且k为整数）均为智慧数； 除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下： ∵假设是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得， ∴， ∵和这两个数的奇偶性相同， ∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等．所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． ∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数， 又∵， ∴第2024个智慧数在（组），并且是第1个数，即． 故答案为：2701． 三、解答题 19．用简便方法计算： (1)； (2)． (3) 【答案】(1)9999 (2)1 (3) 【分析】本题考查了平方差公式，同底数幂的乘法，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据平方差公式运算即可； （2）先根据平方差公式计算，再算加减； （3）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 20．春秋时期，孔子有一天对他的弟子们说道：“举一隅，不以三隅反，则不复也．”这句话的意思是说：“教书先生举出一个墙角，学生就应该会独立思考，融会贯通，从而类推到其余三个墙角，然后用三个墙角反证老师先前提出的墙角，如果每个学生都这样学习和思考，教书先生就不用再费力气教学生了”．请阅读下面的解题过程，感受从特殊到一般的数学思想，类比推理解决以下问题． 例题：化简． 解：原式 ． (1)填空：______； (2)化简； (3)运用上面所学内容直接写出下面两题的答案． ______； 若、均为正整数，则______． 【答案】(1)； (2)； (3) ； 【分析】本题考查了平方差公式，读懂题意，理解平方差公式的结构特点是解题的关键． （）根据平方差公式即可求解； （）原式变形后，根据平方差公式即可求解； （）原式变形后，根据平方差公式即可求解； 原式变形后，根据平方差公式即可求解； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ， 故答案为：； 原式 ， 故答案为：． 21．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的运用，有理数的运算等知识点，先将式子提取负号后，利用加法交换律组合，利用平差公式进行因数分解，然后找规律计算即可得解，熟练掌握并灵活运用平差公式是解决此题的关键． 【详解】解： ． 22．先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】此题考查了整式乘法的混合运算化简求值，掌握平方差公式以及多项式乘多项式的法则是解题的关键． 原式利用平方差公式，以及多项式乘多项式的法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】 ， ∵， ∴原式 ． 23．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)用含有的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)当，，求绿化的总面积； (3)在（）的条件下，开发商找来甲、乙两绿化队完成此项任务．已知甲队每小时可绿化平方米，乙队每小时绿化平方米，若根据施工队的工期需要，甲队的工作时间比乙队的工作时间少小时，则甲、乙两队各工作多少小时？ 【答案】(1)； (2)平方米； (3)甲队工作小时，乙队工作小时． 【分析】（）利用长方形的面积减去正方形的面积求解即可； （）代入的值计算即可； （）根据题意列出一元一次方程求解即可； 本题考查了多项式乘以多项式，平方差公式，代数式求值，一元一次方程的应用，正确列式和一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：长方形地块的面积为，雕像的面积为， 则绿化的总面积为 ； （2）解：当，时， 绿化的总面积为（平方米）； （3）解：设甲队工作小时，则乙队工作小时， 根据绿化总面积得：， ， ， ， 则乙队工作， 答：甲队工作小时，乙队工作小时． 24．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数” (1)特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由； (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由． 【答案】(1)40是“和谐数”，理由见解析 (2)“和谐数”能被8整除，理由见解析 (3)是 “和谐数”，理由见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是： （1）设，求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3）根据是“和谐数”，求出，则，可设，其中k为正整数，则，故，代入，整理．由k为正整数，得出和为两个连续正奇数，结合“和谐数”的定义，即证明为“和谐数”． 【详解】（1）解：设， 解得， ∴40是“和谐数”； （2）解：“和谐数”能被8整除， 理由： ， ∵k是正整数， ∴能被8整除， ∴能被8整除， ∴“和谐数”能被8整除； （3）解：∵是“和谐数”， ∴， ∴， ∴． ∵是“和谐数”，即是“和谐数”， ∴可设，其中k为正整数， ∴， ∴， ∴ ． ∵k为正整数， ∴和为两个连续正奇数， ∴为“和谐数”． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 平方差公式 课程标准 学习目标 平方差公式 掌握平方差公式，以及平方差公式的特征，几何意义，并能够在题目中熟练应用。 知识点01 平方差公式 1.平方差公式 文字表述：两个数的和与这两个数的差的 等于这两个数的 ． 式子表示：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 2. 平方差公式的几何意义 如图：将边长为a的大正方形剪去一个边 长为b的小正方形，并将剩余部分沿虚线剪 开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼 成如右图。 可利用计算剩余面积的方式进行解释。 （1）左图的剩余面积为： 。 （2）拼接后的面积为： 。 结论：由于剪拼后的图形的面积 ，可以解释平方差公式的正确性。 【即学即练1】 计算：（   ） A． B． C． D． 【即学即练2】 下列各式能用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 题型01 利用平方差公式计算 【典例1】在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】计算的结果等于 ． 【变式2】计算：． 【变式3】利用乘法公式计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型02 利用平方差公式求值 【典例1】若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“友谊数”．下列数中“友谊数”是（   ） A． B． C． D． 【变式3】若，，则 ． 【变式4】已知，求的值． 【变式5】先化简，再求值：其中，． 题型03 利用平方差公式简便运算 【典例1】计算（   ） A． B．2019 C． D．2017 【变式1】计算： ． 【变式2】计算： ． 【变式3】计算： (1)． (2)． 【变式4】计算： (1) (2) 【变式5】运用乘法公式计算：． 题型04 平方差公式的几何意义 【典例1】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______________． A． B． C． (2)应用所得的公式计算：； (3)应用所得的公式计算：． 【变式1】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（   ） A． B． C． D． 【变式3】把一个边长为的正方形按图1的方式叠放在边长为的正方形中，我们既可以利用图1计算阴影部分面积；也可以将图1剪接成图2后计算阴影部分面积．这个过程验证了一个我们熟悉的因式分解公式，它是 ． 【变式4】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算： 一、单选题 1．下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在边长为的正方形正中间剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（  ） A． B． C． D． 4．三个连续的正整数，中间的数为，则它们的积为（  ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（   ） A．17 B．13 C．5 D．1 6．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 8．若，则（    ） A．3 B．6 C． D． 9．某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：．请借鉴该同学的经验，计算：（    ） A． B． C．1 D．2 10．的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 二、填空题 11．已知，则代数式的值为 ． 12．计算： ． 13．在一个艺术工作室中，设计师正在进行一幅拼图作品的创作．他使用了大小不同的正方形纸片来构建图案．如图，其中有一个大正方形和一个小正方形，当把它们组合在一起时，设计师发现大正方形与小正方形的面积之差是24，那么阴影部分的面积是 ． 14．若实数x，y满足方程组，则的值为 ． 15．定义：若一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“师一优数”．例如：，，56就是一个“师一优数”．若将“师一优数”按从小到大排列，则第1个“师一优数”是 ，第150个“师一优数”是 ． 16．计算： ． 17．计算： ． 18．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 ． 三、解答题 19．用简便方法计算： (1)； (2)． (3) 20．春秋时期，孔子有一天对他的弟子们说道：“举一隅，不以三隅反，则不复也．”这句话的意思是说：“教书先生举出一个墙角，学生就应该会独立思考，融会贯通，从而类推到其余三个墙角，然后用三个墙角反证老师先前提出的墙角，如果每个学生都这样学习和思考，教书先生就不用再费力气教学生了”．请阅读下面的解题过程，感受从特殊到一般的数学思想，类比推理解决以下问题． 例题：化简． 解：原式 ． (1)填空：______； (2)化简； (3)运用上面所学内容直接写出下面两题的答案． ______； 若、均为正整数，则______． 21．计算： 22．先化简再求值：，其中，． 23．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)用含有的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)当，，求绿化的总面积； (3)在（）的条件下，开发商找来甲、乙两绿化队完成此项任务．已知甲队每小时可绿化平方米，乙队每小时绿化平方米，若根据施工队的工期需要，甲队的工作时间比乙队的工作时间少小时，则甲、乙两队各工作多少小时？ 24．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数” (1)特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由； (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$