精品解析：山西省大同市云州区两校联考2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年第一学期期中考试九年级数学试卷 （时间：120分钟 满分120分） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并填入下表相应的位置） 1. 山西，素以地上文物之丰、地下能源之巨著称．而今，又以大量传统民居建筑艺术的不断发现而令世人瞩目，其中最为出名的是乔家大院，在乔家大院的房屋建筑中，窗棂是重要的组成部分，具有高度的艺术价值．下列窗棂的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. ， C. ， D. 4. 将抛物线向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，已知点，，则点A与点B（ ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线对称 6. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为(　　) A. B. 6 C. 或6 D. 2或 7. 如图，将钝角绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，若，则的大小为（ ） A. 75° B. 70° C. 65° D. 60° 8. 小明在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线型，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，则小明此次掷球过程中，实心球飞行的最大高度是（ ） A. B. C. D. 9. 某商场将每件进价为20元玩具以30元的价格出售时，每天可售出300件.经调查当单价每涨l元时，每天少售出10件.若商场想每天获得3750元利润，设每件玩具涨元，可列方程为：.对所列方程中出现的代数式，下列说法错误的是（ ） A. 表示涨价后玩具的单价 B. 表示涨价后少售出玩具的数量 C. 表示涨价后销售玩具的数量 D. 表示涨价后的每件玩具的单价 10. 二次函数 ()的图象如图所示，分析下列四个结论：①；②；③；④.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，请将正确答案填在题中横线上） 11. 一元二次方程x2﹣x﹣=0配方后可化为__________． 12. 若点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“＞”连接） 13. 如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点O旋转到乙位置，再将它向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点A在丙位置中的对应点的坐标为______． 14. 如图，在长为32米、宽为20米矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽米，则可列方程为______． 15. 如图，在四边形中，，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，当的长取得最大值时，长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）与关于原点O对称，作出并写出点、、的坐标； （2）是绕原点O顺时针旋转90°得到的，作出并写出、、的坐标． 18. 已知二次函数（为常数）． （1）求证：无论为何值，该函数的图象与轴总有交点． （2）当取何值时，该函数的图象与轴正半轴相交？ 19. 如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下点打出一球向球洞点飞去，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球移动的水平距离为9米时，球达到最大高度12米．已知山坡与水平方向的夹角为30°，、两点相距米． （1）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式； （2）判断小明这一杆能否把高尔夫球从点直接打入球洞点，并说明理由． 20. 随着人民生活水平的不断提高，某市家庭轿车的拥有量逐年增加，据统计，该市2017年底拥有家庭轿车64万辆，2019年底家庭轿车的拥有量达到100万辆． （1）求2017年底至2019年底该市汽车拥有量年平均增长率； （2）该市交通部门为控制汽车拥有量的增长速度，要求到2020年底全市汽车拥有量不超过118万辆，预计2020年报废的汽车数量是2019年底汽车拥有量的8%，求2019年底至2020年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求． 21. 综合与探究 问题情境： 某商店购进一种冬季取暖的“小太阳”取暖器，每台进价为元，这种取暖器的销售价为每台元时，每周可售出台． 探究发现： ①销售定价每增加元时，每周的销售量将减少台； ②销售定价每降低元时，每周的销售量将增多台． 问题解决： 若商店准备把这种取暖器销售价定每台元，每周销售获利为元． （1）当时，这周的“小太阳”取暖器的销售量为______台，每周销售获利为______元． （2）求与的函数关系式（不必写出的取值范围），并求出销售价定为多少时，这周销售“小太阳”取暖器获利最大，最大利润是多少？ （3）若该商店在某周销售这种“小太阳”取暖器获利元，求的值． 22. 如图，在中，，D是直角边BC所在直线上的一个动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转60°到AE，连接BE，DE． （1）如图1，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE和BE之间的数量关系，并说明理由． （2）当点E不在直线BC上时，如图2、图3，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2、图3中选择一个给予证明；若不成立，请直接写出新的结论． 23. 已知抛物线y＝ax2+5x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点A，C的坐标分别为（1，0），（0，﹣4）． （1）求抛物线的解析式； （2）①如图1，直线l为抛物线的对称轴，请在直线l上找一点M，使得AM+CM最小，求出点M的坐标． ②连接AC，求△ACM的面积． （3）如图2，P是在x轴上方抛物线上的一动点，连接BC，BP，当∠PBA＝∠PBC时，求出直线BP的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期期中考试九年级数学试卷 （时间：120分钟 满分120分） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并填入下表相应的位置） 1. 山西，素以地上文物之丰、地下能源之巨著称．而今，又以大量传统民居建筑艺术的不断发现而令世人瞩目，其中最为出名的是乔家大院，在乔家大院的房屋建筑中，窗棂是重要的组成部分，具有高度的艺术价值．下列窗棂的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意； B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意； C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】把二次函数解析式化成顶点式，即可得出答案． 【详解】解：二次函数， 该函数的对称轴是直线， 故选：B． 【点睛】本题考查求二次函数的对称轴，掌握二次函数的性质是解题的关键． 3. 一元二次方程的解是（ ） A B. ， C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求解，解题的关键在于提取公因数以及正确计算． 【详解】解： 解得： 故选：B． 4. 将抛物线向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据抛物线平移的规律：左加右减（横坐标），上加下减（纵坐标），平移不改变a的值，即可解答． 【详解】解：把抛物线向右平移5个单位长度可得，再向下平移2个单位长度可得，即． 故选：C． 5. 在平面直角坐标系中，已知点，，则点A与点B（ ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线对称 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查对称坐标的判定，根据关于坐标轴对称的点关于谁对称，谁相同，另一个坐标互为相反数，关于坐标原点对称的点横纵坐标都互为相反数求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴点A与点B关于原点对称， 故选：C． 6. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为(　　) A. B. 6 C. 或6 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可得． 【详解】可化为 由题意得：此方程的根的判别式，即 解得或 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，掌握理解根的判别式是解题关键． 7. 如图，将钝角绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，若，则的大小为（ ） A. 75° B. 70° C. 65° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，由此即可求出，由平行线的性质求出，即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟知旋转的性质是解题的关键． 8. 小明在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线型，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，则小明此次掷球过程中，实心球飞行的最大高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线的图像与性质，掌握“利用顶点式求解抛物线的顶点坐标或函数的最值”是解本题的关键． 由 可得抛物线的顶点坐标为： ，结合函数的性质可得答案． 【详解】解：∵ ， ∴抛物线的顶点坐标为： ， ， ∴实心球的最大高度是 ， 故选：B． 9. 某商场将每件进价为20元的玩具以30元的价格出售时，每天可售出300件.经调查当单价每涨l元时，每天少售出10件.若商场想每天获得3750元利润，设每件玩具涨元，可列方程为：.对所列方程中出现的代数式，下列说法错误的是（ ） A. 表示涨价后玩具的单价 B. 表示涨价后少售出玩具的数量 C. 表示涨价后销售玩具的数量 D. 表示涨价后的每件玩具的单价 【答案】D 【解析】 【分析】由涨价x元，分别表示出销量，涨价后的单价，涨价后的每件玩具的利润，判断即可． 【详解】解：设涨价x元，根据题意可得： A、∵（30＋x）表示涨价后玩具的单价，∴A选项正确； B、∵10x表示涨价后少售出玩具的数量，∴B选项正确； C、∵（300−10x）表示涨价后销售玩具的数量，∴C选项正确； D、∵（30＋x−20）表示涨价后的每件玩具的利润，故D选项错误， 故选D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出销量，涨价后的单价，涨价后的每件玩具的利润． 10. 二次函数 ()的图象如图所示，分析下列四个结论：①；②；③；④.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①由二次函数图象的开口方向、对称轴在y轴左侧以及与y轴交于正半轴，即可得出a＜0，＜0，c＞0，进而可得出abc＞0，结论①错误；②由二次函数图象与x轴有两个交点，即可得出b2-4ac＞0，结论②正确；③由＞-1，a＜0，可得出b＞2a，即b-2a＞0，结论③错误；④由当x=1时y＜0和当x=-1时y＞0，可得出a+b+c＜0，a-b+c＞0，两式相乘后即可得出（a+c）2-b2＜0，即（a+c）2＜b2，结论④正确．综上即可得出结论． 【详解】解：①∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴， ∴a＜0，＜0，c＞0， ∴b＜0， ∴abc＞0，结论①错误； ②∵二次函数图象与x轴有两个交点， ∴b2-4ac＞0，结论②正确； ③∵＞-1，a＜0， ∴b＞2a， ∴b-2a＞0，结论③错误； ④∵当x=1时，y＜0；当x=-1时，y＞0， ∴a+b+c＜0，a-b+c＞0， ∴（a+b+c）（a-b+c）＜0， ∴（a+c）2-b2＜0，即（a+c）2＜b2，结论④正确． 故选择：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，观察二次函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，请将正确答案填在题中横线上） 11. 一元二次方程x2﹣x﹣=0配方后可化为__________． 【答案】 【解析】 【分析】移项，配方，即可得出选项． 【详解】x2﹣x﹣=0 x2﹣x= x2﹣x+=+ 故填：. 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键． 12. 若点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“＞”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴时，随的增大而减小， ∵， ， 故答案为：． 13. 如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点O旋转到乙位置，再将它向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点A在丙位置中的对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】根据图示可知A点坐标为（-3，-1）， 根据绕原点O旋转180°横纵坐标互为相反数 ∴旋转后得到的坐标为（3，1）， 根据平移“上加下减”原则， ∴向下平移2个单位得到的坐标为（3，-1）， 14. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽米，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】可借助平移性质得到长为、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意，草坪的面积为， 故所列方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解答的关键． 15. 如图，在四边形中，，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，当的长取得最大值时，长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，先证明，得到，在中，，当A点在上时，最大为6，在中，求出，在中，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接，， 由题意得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，当A点在上时，最大为6， 此时， ∵， ∴， ∴， 在中， ， 在中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了图形的旋转、勾股定理、三角形全等的判定和性质等知识，证明 是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）原方程化为一般形式后再利用配方法求解即可； （2）利用公式法求解即可； （3）利用分解因式法求解； （4）用分解因式法求解． 【小问1详解】 解：， 化简，得 ， 配方，得 ， 开方，得． ，． 【小问2详解】 解：， ∴． 方程有两个不等的实数根，， 即，． 【小问3详解】 解：原方程可化简为， ， ， ，． 【小问4详解】 解：， 原方程整理，得． 移项，得， 因式分解，得 ， 或， ，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）与关于原点O对称，作出并写出点、、的坐标； （2）是绕原点O顺时针旋转90°得到的，作出并写出、、的坐标． 【答案】（1）图见解析，、、 （2）图见解析，、、 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求，、、； ； 【小问2详解】 解：如图，即为所求，、、． 【点睛】本题考查作图-旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键． 18. 已知二次函数（为常数）． （1）求证：无论为何值，该函数的图象与轴总有交点． （2）当取何值时，该函数的图象与轴正半轴相交？ 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解法解一元二次方程、二次函数图象与坐标轴的交点问题、解一元一次不等式等知识． （1）当时，，解得，，进一步分析即可得到结论； （2）求出该函数的图象与轴交点的纵坐标为，根据题意得到，解不等式即可求出答案． 【小问1详解】 证明：当时，， 解得，， 当，即时，方程有两个相等的实数根； 当，即时，方程有两个不等实数根． 无论为何值，该函数的图象与轴总有交点． 【小问2详解】 解：当时，． 该函数的图象与轴交点的纵坐标为． 当，即时，该函数的图象与轴正半轴相交． 19. 如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下点打出一球向球洞点飞去，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球移动的水平距离为9米时，球达到最大高度12米．已知山坡与水平方向的夹角为30°，、两点相距米． （1）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式； （2）判断小明这一杆能否把高尔夫球从点直接打入球洞点，并说明理由． 【答案】（1）；（2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式； （2）OA与水平方向OC的夹角为30°，OA=米，解直角三角形可求点A的坐标，把点A的横坐标x=12代入抛物线解析式，看函数值与点A的纵坐标是否相符． 【详解】解：（1）∵顶点的坐标是， ∴设抛物线的解析式为， ∵点的坐标是 ∴把点的坐标代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即； （2）在中， ∵，， ∴， ∴． ∴点的坐标为， ∵当时，， ∴小明这一杆不能把高尔夫球从点直接打入球洞点． 【点睛】本题考查了二次函数应用以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是根据点的坐标利用待定系数法求出抛物线关系式是关键． 20. 随着人民生活水平的不断提高，某市家庭轿车的拥有量逐年增加，据统计，该市2017年底拥有家庭轿车64万辆，2019年底家庭轿车的拥有量达到100万辆． （1）求2017年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率； （2）该市交通部门为控制汽车拥有量的增长速度，要求到2020年底全市汽车拥有量不超过118万辆，预计2020年报废的汽车数量是2019年底汽车拥有量的8%，求2019年底至2020年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求． 【答案】（1）2017年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率为25%；（2）2019年底至2020年底该市汽车拥有量的年增长率要小于等于26%才能达到要求． 【解析】 【分析】（1）设2017年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据2017年底及2019年底该市汽车拥有量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设2019年底至2020年底该市汽车拥有量的年增长率为y，根据2020年底全市汽车拥有量不超过118万辆，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）设2017年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x， 依题意，得：64（1+x）2＝100， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）． 答：2017年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率为25%． （2）设2019年底至2020年底该市汽车拥有量的年增长率为y， 依题意，得：100（1+y）﹣100×8%≤118， 解得：y≤0.26＝26%． 答：2019年底至2020年底该市汽车拥有量的年增长率要小于等于26%才能达到要求． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 21. 综合与探究 问题情境： 某商店购进一种冬季取暖的“小太阳”取暖器，每台进价为元，这种取暖器的销售价为每台元时，每周可售出台． 探究发现： ①销售定价每增加元时，每周的销售量将减少台； ②销售定价每降低元时，每周的销售量将增多台． 问题解决： 若商店准备把这种取暖器销售价定为每台元，每周销售获利为元． （1）当时，这周的“小太阳”取暖器的销售量为______台，每周销售获利为______元． （2）求与的函数关系式（不必写出的取值范围），并求出销售价定为多少时，这周销售“小太阳”取暖器获利最大，最大利润是多少？ （3）若该商店在某周销售这种“小太阳”取暖器获利元，求的值． 【答案】（1），；（2）当销售定价为元时，利润最大，最大为元；（3）当为或时，每周获利可达元 【解析】 【分析】（1）根据题意，则当时，销售定价增加元时，则每周的销售量将减少台，根据每周销售获利为：，即可； （2）根据题意，利润为：，对式子进行化简，再根据二次函数的性质，即可； （3）根据题意，当，求出，即可． 【详解】（1）∵ ∴销售定价增加：（元）， ∴销售数量为：（台）， ∴每周销售获利为：（元）， 故答案为：；． （2）由题意得，利润为：， ∴， ， ∵， ∴当时，利润有最大值， ∴， ∴当销售定价为元时，利润最大，最大为元． （3）当时， ∴， 整理得，， 解得：，； ∴当为或时，每周获利可达元． 【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的实际运用，解题的关键是在一元二次方程的运用，二次函数的图象和性质． 22. 如图，在中，，D是直角边BC所在直线上的一个动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转60°到AE，连接BE，DE． （1）如图1，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE和BE之间的数量关系，并说明理由． （2）当点E不在直线BC上时，如图2、图3，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2、图3中选择一个给予证明；若不成立，请直接写出新的结论． 【答案】（1）DE＝BE，理由见解析 （2）（1）中结论成立，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质以及等腰三角形的判定解答即可； （2）选择图2，过点E作EF⊥AB，垂足为F，证得△ADC≌△AEF，结合直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半可得出答案． 【小问1详解】 解：DE＝BE，理由如下： 由旋转可知，AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴△ADE等边三角形， ∴DE＝AE，∠AED＝60°． ∵∠B＝30°，∠AED＝∠B＋∠EAB， ∴∠EAB＝60°−30°＝30°， ∴∠B＝∠EAB， ∴BE＝AE， ∴DE＝BE； 【小问2详解】 解：DE＝BE仍然成立，理由如下： 选择图2，过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图所示， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠CAB＝60°， ∴∠DAE＝∠CAB， ∴∠DAE−∠CAE＝∠CAB−∠CAE， 即∠CAD＝∠EAF． 又∵AD＝AE，∠ACD＝∠AFE＝90°， ∴△ADC≌△AEF（AAS）， ∴AC＝AF． 在Rt△ABC中，∠ABC＝30°， ∴AC＝AB， ∴AF＝AB． 又∵EF⊥AB， ∴AE＝BE． 由（1）知AE＝DE， ∴DE＝BE． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 23. 已知抛物线y＝ax2+5x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点A，C的坐标分别为（1，0），（0，﹣4）． （1）求抛物线的解析式； （2）①如图1，直线l为抛物线的对称轴，请在直线l上找一点M，使得AM+CM最小，求出点M的坐标． ②连接AC，求△ACM的面积． （3）如图2，P是在x轴上方抛物线上的一动点，连接BC，BP，当∠PBA＝∠PBC时，求出直线BP的解析式． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据点坐标，利用待定系数法即可得； （2）①作点关于直线的对称点，连接，先根据轴对称的性质、两点之间线段最短可得当点共线时，最小，再利用待定系数法求出直线的解析式，由此即可得； ②根据的面积等于的面积减去的面积即可得； （3）延长交轴于点，先求出点的坐标，再根据等腰三角形的三线合一可得垂直平分，从而可得点与点关于轴对称，根据点的坐标可求出点的坐标，然后利用待定系数法即可得． 【小问1详解】 解：将代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：①如图，作点关于直线的对称点，连接， 则， ， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，最小， 二次函数的对称轴为直线， ， ，即， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 当时，， 故点的坐标为； ②， ，的边上的高为4，的边上的高为， 则的面积为． 【小问3详解】 解：如图，延长交轴于点， 二次函数的对称轴为直线，且， ， ，， 垂直平分（等腰三角形的三线合一）， 点与点关于轴对称， ， ， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、两点之间线段最短、等腰三角形的三线合一、一次函数等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$