第五讲 最大公因数和最小公倍数（知识点＋经典讲练）-2024-2025学年五年级数学下册学习讲义（苏教版）

第五讲 最大公因数和最小公倍数 【知识梳理】 1、两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的叫做这两个数的最大公因数，用符号( ， )表示。两个数的公因数是有限的。 2、两个数公有的倍数，叫做这两个数的公倍数，其中最小的叫做这两个数的最小公倍数，用符号[ ，]表示。两个数的公倍数也是无限的。 3、两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。 举例：[6，8]=24，(6，8)=2，24 是 2 的倍数。 4、求最大公因数和最小公倍数的方法：（列举法、图示法、短除法 ） ①倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 举例：15 和 5，[15，5]=15，(15，5)=5 ②互质关系的两个数，最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。 举例：[3，7]=21，(3，7)=1 ③一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。 知识点：和与积的奇偶性 偶数+偶数=偶数 奇数+奇数=偶数 偶数+奇数=奇数 偶数×偶数=偶数 偶数×奇数=偶数 奇数×奇数=奇数 经典讲练1：求公因数和公倍数 例1、找出每组数的最大公因数。 24和36    7和14    30和25     8和11    12和18 【答案】12；7；5；1；6 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数。 当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1； 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数。 【详解】（1）24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 24和36的最大公因数是：2×2×3＝12 （2）7和14是倍数关系，所以7和14的最大公因数是7； （3）30＝2×3×5 25＝5×5 30和25的最大公因数是5； （4）8和11是互质数，所以8和11的最大公因数是1； （5）12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最大公因数是：2×3＝6 例2、找出每组数的最小公倍数。 12和8     9和10      5和12    18和15     20和15 【答案】24；90；60；90；60 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积； 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【详解】（1）12＝2×2×3 8＝2×2×2 12和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 （2）9和10是互质数，所以9和10的最小公倍数是：9×10＝90 （3）5和12是互质数，所以5和12的最小公倍数是：5×12＝60 （4）18＝2×3×3 15＝3×5 18和15的最小公倍数是：2×3×3×5＝90 （5）20＝2×2×5 15＝3×5 20和15的最小公倍数是：2×2×3×5＝60 例3、如果，且和都是非零自然数，那么下面说法正确的是　　 A．和的最大公因数是5 B．和5的最大公因数是 C．和的最小公倍数是 D．和5的最小公倍数是 答案：C 例4、甲、乙两数的最大公因数是18，那么甲、乙两数的公因数有　　个． A．4 B．6 C．8 D．10 答案：B 例5、已知a＝2×3×7，b＝2×5×7，a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 解析：210     14 a和b的最小公倍数是2×3×5×7＝210；它们的最大公因数是2×7＝14。 例6、如果，，那么A和B最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 2m 56m 【分析】全部公有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这两个数的最大公因数。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这两个数的最小公倍数。据此 【详解】 ＝56m 那么A和B最大公因数是2m，最小公倍数是56m。 练习： 1、写出每组数的最大公因数。 （4，50）＝    （10，25）＝    （20，21）＝    （12，36）＝ 答案：2；5；1；12 2、求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 12和10    6和15     42和7        8和9     18和24     11和17 答案：2，60； 3，30； 7，42 1，72； 6，72； 1，187 3、A＝3×5×7，B＝2×3×3×7，则A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 答案：因为A＝3×5×7，B＝2×3×3×7，所以有： 最大公因数：3×7＝21 最小公倍数：3×5×7×2×3＝630 4、两个连续的自然数（均不为0），它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 答案：1     它们的乘积 5、如果m＝9n（m和n都是不为0的整数），那么m和n的最大公因数是（   ）。 A．m B．9 C．n D．mn 答案：C 6、一个自然数被2、5、7除，商都是整数，没有余数，这个数最小是多少？ 答案：2×5×7＝70 经典讲练2：最大公因数解决实际问题 例1、两条钢条，一根长18米，一根长24米，要把它们截成同样长的小段且没有剩余，那么每段最长可以是多少米？一共截成多少段？ 解析： 每段最长∶（18，24）=2×3=6（米）一共可以截∶18÷6+24÷6=7（段）。 例2、给一个长32分米，宽24分米的房间铺正方形地砖，如果要让使用的地砖必须都是整块，选择的地砖边长最大是多少分米?至少需要几块? 解析： 32和24的最大公因数是2×2×2=8，即正方形地砖的边长是8分米 (32÷8)×(24÷8)=4×3 =12（块） 答：选择的地砖边长最大是8分米，至少需要12块。 例3、某小学组织五年级学生去春游。五（1）班有36人，五（2）班有42人，为了方便清点人数，老师要把每班分成人数相等的若干支队伍。每队最多有多少人？每班各可以分成多少队？ 【答案】6人；五（1）班可6队；五（2）班7队 【分析】根据题意，老师要把每班分成人数相等的若干支队伍，那么每队的人数是两个班人数的公因数；求每队最多的人数就是求两个班人数的最大公因数； 然后看每班人数里各有几个最大公因数，用除法计算，就是每班各可以分成的队数。 【详解】36＝2×2×3×3 42＝2×3×7 36和42的最大公因数是：2×3＝6 即每队最多有6人。 36÷6＝6（队） 42÷6＝7（队） 答：每队最多有6人，五（1）班可以分成6队，五（2）班可以分成7队。 例4、小红打算把50个果冻和34颗樱桃平均放在几个果盘里，发现果冻剩2个，樱桃还差2颗。想一想：小红最多准备了几个果盘？打算在每个果盘里放几个果冻和几颗樱桃？ 【答案】12个果盘；4个果冻；3颗樱桃 【分析】（1）根据题意，果冻剩2个，说明分了50－2＝48个，樱桃还差2颗，说明实际需要34＋2＝36颗，要求最多准备多少个果盘，就是求48和36的最大公因数，据此解答； （2）分别用分的果冻的个数、实际需要准备的樱桃的颗数除以果盘的个数即可得到在每个果盘里放几个果冻和几颗樱桃。 【详解】50－2＝48（个） 34＋2＝36（颗） 48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数是2×2×3＝12，所以小红最多准备了12个果盘。 48÷12＝4（个） 36÷12＝3（颗） 练习： 1、有两根绳子，长度分别是27米和45米，要把它们截成同样长的小段，没有剩余，每小段绳子最长是多少米？一共可以截成多少小段？ 解析： 27＝3×3×3 45＝3×3×5 最大公因数：3×3＝9 27÷9＋45÷9＝3＋5＝8（段） 2、一个长方形铜片长24厘米，宽18厘米，要剪成面积相等的小正方形，且没有剩余，每个正方形的面积最大是多少平方厘米?一共可以剪成多少块这样的小正方形? 解析：24和18的最大公因数是6 6×6=36（cm2 ） 24÷6=4（个） 18÷6=3（个） 3×4=12（个） 3、下图是一个长方形水池的示意图。要在水池的四周及四角栽上景观树，每相邻两棵树之间的距离要相等，最少要栽多少棵树？ 【答案】50棵 【分析】要使栽树最少，应使每相邻两棵树之间的距离最大，即相邻两棵树之间的距离是64和36的最大公因数，求出64和36的最大公因数，即相邻两棵树之间的距离；长方形的周长＝（长＋宽）×2，然后用长方形的周长除以最大公因数，即可求出最少要栽的棵数。 【详解】64＝2×2×2×2×2×2 36＝2×2×3×3 则64与36的最大公因数是2×2＝4 （64＋36）×2÷4 ＝50（棵） 4、把42朵玫瑰和36朵康乃馨插在花瓶里，要使每瓶里玫瑰的朵数相同，康乃馨的朵数也相同，且所有的花正好分完，最多能插几个花瓶？每个花瓶里至少插多少朵花？ 【答案】6个；13朵 【分析】要求所有的花正好分完，且每个花瓶里玫瑰花和康乃馨的朵数都分别相同，最多能插几个花瓶，也就是求42和36的最大公因数；先求出这两个数的最大公因数，就是最多能插多少个花瓶；再分别用玫瑰花和康乃馨的数量除以花瓶的个数，分别得到每个花瓶中玫瑰花和康乃馨各有多少朵，两种花的数量相加即为每个花瓶里至少插多少朵花。 【详解】42＝2×3×7 36＝2×2×3×3 因此42和36的最大公因数是2×3＝6。 玫瑰花：42÷6＝7（朵） 康乃馨：36÷6＝6（朵） 7＋6＝13（朵） 经典讲练3：最小公倍数解决实际问题 例1、幼儿园阿姨准备给小朋友们发小红花，如果平均发给5个小朋友或6个小朋友都能恰好发完，那么这批小红花至少有多少朵? 解析： 小红花至少有∶[5，6]=5×6=30（朵） 例2、五年级同学不到40人，参加广播操比赛，每行6人或9人都正好排成整行，这个班学生最多（   ）人。 A．18 B．36 C．50 D．54 解析：B 例3、图书馆每天都开门，甲，乙两人都在图书馆借书。甲每3天去一次；乙每4天去一次，11月1日两人同时去了一次图书馆，那么两人下次都去图书馆时是几月几日？ 解析： 先求3和4的最小公倍数 ，求出是12 ，说明甲和乙每12天去一次图书馆；由于11月1日两人同时去了一次图书馆，从11月2日开始算，到第12天正好是11月13日，列式∶12+1=13，所以两人下次都去图书馆时是11月13日。 例4、用长8厘米、宽6厘米的长方形，照下图的样子拼成正方形。拼成的正方形的边长最小是多少厘米？需要几个长方形？ 【答案】24厘米；12个 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 从题意可知：拼成的最小正方形的边长就是8和6的最小公倍数。再分别用边长÷8、边长÷6，求出需要几行几列的小长方形，最后用行数×列数，即可求出一共需要几个小长方形。据此解答。 【详解】8＝2×2×2   6＝2×3 8和6的最小公倍数是2×2×2×3＝24 拼成的正方形的边长最小是24厘米。 （24÷8）×（24÷6）＝12（个） 例6、学校运动会即将召开，在长60米的跑道一边插彩旗。原来从一端起每隔3米插一面彩旗，现在改成每隔4米插一面，有些位置已经插好的就不需要重新插。哪些彩旗不需要重新插？不需要重新插的彩旗有多少面？（先在下图中画一画，再算一算） 【答案】图见详解；起点处、12米处、24米处、36米处、48米处、60米处；6面 【分析】原来从一端起每隔3米插一面彩旗，此时彩旗位置在起点、3米、6米、9米、12米……3的倍数处，现在改成每隔4米插一面，此时彩旗位置在起点、4米、8米、12米、16米……4的倍数处，彩旗的位置在3和4的公倍数处时就不需要重新插彩旗，求出60以内（含60）3和4的公倍数，最后再加上起点处的彩旗，据此解答。 【详解】 3和4的最小公倍数是3×4＝12。12×1＝12（米） 12×2＝24（米） 12×3＝36（米） 12×4＝48（米） 12×5＝60（米） 60÷12＋1 ＝6（面） 练习： 1、一袋糖，4颗4颗地分、5颗5颗地分、6颗6颗地分，都正好分完而没有剩余，这袋糖最少有（       ）颗。 A．30 B．60 C．120 解析：B 2、学校的会议室里可以坐的人数在80～100之间，并且这个人数同时是2、3、5的倍数，学校会议室里能坐( )人，把这个数分解质因数是( )。 解析：90     90＝2×3×3×5 3、甲、乙两人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每9天去一次，如果4月3日他们两人在图书馆相遇，那么下一次他俩都到图书馆是几月几日? 解析： 求6和9的最小公倍数：18，所以18天后他俩再次相遇，即4月21日。 4、一种长方形瓷砖长12厘米，宽10厘米。要用这种瓷砖铺一块正方形地面，这块正方形地面的边长最小是多少厘米？用这种瓷砖能否正好铺成边长是4米的正方形地面？为什么？ 【答案】60厘米；不能 【分析】（1）根据题目，要求这块正方形地面的边长最小是多少，就是求12和10的最小公倍数，据此用分解质因数的方法求出12和10的最小公倍数即可； （2）先根据1米＝100厘米，把4米换算成400厘米，若400是长方形长和宽的公倍数，则可以正好铺成，若不是则不能正好铺成。 【详解】12＝2×2×3 10＝2×5 12和10的最小公倍数是：2×2×3×5＝60，所以这块正方形地面的边长最小是60厘米。 4米＝400厘米 400÷12＝33……4 400÷10＝40 400是10的倍数，但不是12的倍数，所以用这种瓷砖不能正好铺成边长是4米的正方形地面。 5、一根铁丝，不管是剪成12厘米长的一段，还是15厘米长的一段，都还剩2厘米，这根铁丝最短是多少厘米？ 【答案】62厘米 【分析】根据题意可知，这根铁丝的长度如果去掉2厘米，那么此时的长度是12和15的倍数，所以这个铁丝的长度就是12和15厘米的最小公倍数再加上2厘米，根据求两个数最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，据此解答。 【详解】12＝2×2×3 15＝3×5 12和15的最小公倍数是2×2×3×5＝60 60＋2＝62（厘米） 经典讲练4：积的奇偶性 1、探究a、b两个自然数（a＞b）的和、差、积的奇偶性规律，并填一填。 我发现： 。 【答案】见详解 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数，采用赋值法进行分析，如果a和b都是奇数，假设a是5，b是3；如果a是偶数，b是奇数，假设a是4，b是3；如果a是奇数，b是偶数，假设a是5，b是2；如果a和b都是偶数，假设a是4，b是2，分别求和、求差、求积，即可发现和、差、积的奇偶性规律。 【详解】假设a是5，b是3，5＋3＝8；5－3＝2；5×3＝15 假设a是4，b是3，4＋3＝7；4－3＝1；4×3＝12 假设a是5，b是2，5＋2＝7；5－2＝3；5×2＝10 假设a是4，b是2，4＋2＝6；4－2＝2；4×2＝8 a b a＋b a－b a×b 奇数 奇数 偶数 偶数 奇数 偶数 奇数 奇数 奇数 偶数 奇数 偶数 奇数 奇数 偶数 偶数 偶数 偶数 偶数 偶数 我发现：两个自然数都是奇数或都是偶数时，它们的和、差为偶数；两个自然数是一奇一偶时，它们的和、差为奇数； 两个自然数相乘，只要其中一个自然数是偶数，积就是偶数。 2、不计算，直接判断：1＋3＋5＋…＋97＋99的和是( )，13×24×5×19×1999×2023的积是( )。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】 偶数 偶数 【分析】自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。根据奇数和偶数的运算性质，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，进行分析。 【详解】1＋3＋5＋…＋97＋99，共50个奇数相加，2个奇数一组可以分成25组，每组的和都是偶数，25个偶数相加的和还是偶数，因此1＋3＋5＋…＋97＋99的和是偶数；13×24×5×19×1999×2023，24是偶数，其余各数是奇数，因为奇数×偶数＝偶数，因此13×24×5×19×1999×2023的积是偶数。 3、2＋4＋6＋8＋…＋98＋100的和是( )。（填“偶数”或“奇数”） 【答案】偶数 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。根据偶数＋偶数＝偶数，进行分析。 【详解】观察算式2＋4＋6＋8＋…＋98＋100，加数都是偶数，计算时按从左往右的顺序进行计算，因为偶数＋偶数＝偶数，因此往后计算每次都是偶数＋偶数，最终结果是偶数。 2＋4＋6＋8＋…＋98＋100的和是偶数。 4、121＋37＋44＋213＋69＋455＋783的和是( )数，1×3×5×…×29的积是( )数。（填“奇”或“偶”） 【答案】 偶 奇 【分析】奇数和偶数的运算性质：奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，奇数×奇数＝奇数。据此可知奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数；多个偶数的和是偶数；多个数相乘，有一个因数是偶数，则积必为偶数，如果一个偶数都没有，则积一定是奇数。121＋37＋44＋213＋69＋455＋783有6个奇数和1个偶数相加，6个奇数的和是偶数，所以6个奇数和1个偶数的和是偶数；1×3×5×…×29是多个奇数相乘，所以积一定是奇数。 【详解】121＋37＋44＋213＋69＋455＋783的和是偶数，1×3×5×…×29的积是奇数。 5、M是一个奇数，N是一个偶数，下面各数中一定是奇数的是（    ）。 A．4M＋3N B．3M＋2N C．2（M＋N） 【答案】B 【分析】奇数和偶数的运算性质：①偶数±偶数＝偶数；②奇数±奇数＝偶数；③偶数±奇数＝奇数；④任意个偶数相加得偶数；⑤偶数个奇数相加得偶数；⑥奇数个奇数相加得奇数；⑦偶数×奇数＝偶数；⑧奇数×奇数＝奇数；⑨偶数×偶数＝偶数；据此分析解答。 【详解】A．4M＋3N；4是偶数，M是奇数，4M是偶数；3是奇数，N是偶数，3N是偶数，偶数＋偶数＝偶数，即4M＋3N是偶数； B．3M＋2N；3是奇数，M是奇数，3M是奇数；2是偶数，N是偶数，2N是偶数；奇数＋偶数＝奇数，即3M＋2N是奇数； C．2是偶数，所以2（M＋N）是偶数。 M是一个奇数，N是一个偶数，一定是奇数的是3M＋2N。 故答案为：B 6、 是一个偶数，是一个奇数，下面的算式中，结果是奇数的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇数和偶数的运算性质：奇数＋偶数＝奇数；偶数＋偶数＝偶数；奇数×偶数＝偶数；偶数×偶数＝偶数；奇数×奇数＝奇数；据此解答。 【详解】A．m是偶数，n是奇数，则（m＋n）的结果是奇数，2是偶数，奇数×偶数＝偶数，因此2（m＋n）的结果是偶数，不符合题意； B．n是奇数，奇数×奇数＝奇数，则n2的结果是奇数，m是偶数，所以（m＋n2）的结果是奇数，符合题意； C．m是偶数，5是奇数，5m是偶数；n是奇数，4是偶数，4n是偶数，因此（5m＋4n）的结果是偶数，不符合题意； D．m是偶数，3是奇数，3m是偶数；n是奇数，因此3mn是偶数；2是偶数，因此（3mn＋2）的结果是偶数，不符合题意。故答案为：B 巩固提优 1、把12分解质因数（ ），把18分解质因数（ ）．12和18全部公有的质因数有（ ），各自独有的质因数有（ ）．12和18的最小公倍数是（ ）． 答案：12＝2×2×3  18＝2×3×3 2、3 2和3 2×3×2×3＝36 2、m＝2×3×7，n＝2×3×3，m和n全部公有的质因数有（ ），各自独有的质因数有（ ）, m和n的最小公倍数是（ ）． 答案：2、3 7、3 2×3×3×7＝126 3、以下那组数列出了18与24的公因数？　　 A．1，2，4，6 B．1，2，3，6 C．1，2，3，6，8 D．1，2，3，6，9 答案：B 4、如果，，那么和的最大公因数是　　． 答案：30 5、已知两个数的积是1690，这两个数的最大公因数是13，这两个数的和是　 　或　 　． 答案：143，91 6、两个数有共同的质因数2和7，它们的最大公因数是　 　． 答案：14 7、小明、小王、小李三人经常到图书馆去，小明每4天去一次，小王每5天去一次，小李每2天去一次．他们8月5日在图书馆相遇时，那么他们　 　月　 　日再在图书馆相遇． 答案：8，25 8、写出每组数的最大公因数。 （4，50）＝   （10，25）＝    （20，21）＝    （12，36）＝ 答案：2；5；1；12 9、写出下列每组数的最小公倍数。 ［7，8］＝    ［8，12］＝    ［14，42］＝    ［1，10］＝ 答案：56；24；42；10 10、两根铁丝分别长65米和91米，用一根绳子分别测量它们，都恰好量完无剩余，这根绳子最多有多长？     答案：65＝5×13  91＝7×13  65和91的最大公因数是13 11、小军准备把一张长24厘米、宽16厘米的长方形纸剪成几个大小相同的正方形，且没有剩余。这些正方形的边长最大是多少厘米？一共可剪成几个这样的正方形？ 【答案】8厘米；6个 【详解】24＝2×2×2×3 16＝2×2×2×2 2×2×2＝8 24和16的最大公因数是8，所以正方形的边长最大是8厘米。 （24÷8）×（16÷8）＝6（个） 12、现在有香蕉42千克，苹果112千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了这两种水果各多少千克？      答案：42和112的最大公因数是14，42÷14=3(千克)，112×14=8(千克)  13、五（1）班有36人，五（2）班有32人，现在分别要把两个班的学生平均分成若干个小组，要使两个班的各个小组人数相等，每组最多多少人？ 答案：36＝2×2×3×3 32＝2×2×2×2×2  36和32的最大公因数是2×2＝4 14、食堂买来一些鸡蛋，把这些鸡蛋4个4个地数多3个，6个6个地数多5个，15个15个地数多14个。已知这些鸡蛋的个数在150~200个之间，食堂买来了多少个鸡蛋？ 答案： ，2×2×3×5＝60，60×2＝120，60×3＝180，180在150和200之间， 180－1＝179（个） 15、有两根绳子，长度分别是27米和45米，要把它们截成同样长的小段，没有剩余，每小段绳子最长是多少米？一共可以截成多少小段？ 答案：27＝3×3×3 45＝3×3×5 最大公因数：3×3＝9 27÷9＋45÷9＝8（段） 16、两位同学商议暑期去图书馆看书。小明说：“我每4天就去一次”，小华说：“我家路远，每6天才能去一次”。7月31日两人在图书馆相遇，那么，在八月份里他们相遇的日期是多少？ 答案：4＝2×2； 6＝2×3； 4和6的最小公倍数是2×2×3＝12； 7月31日＋12＝8月12日；8月12日＋12＝8月24日 17、育才小学五年级同学排成3路纵队多出1人，排成5路纵队多出1人，排成7路纵队还多出1人，五年级的人数在200人左右。五年级有多少人？ 答案：3、5、7两两互质，所以它们的最小公倍数是：3×5×7＝105 3、5、7的公倍数有：105、210、315…… 200左右的是210； 210＋1＝211（人） 18、一块长方形地，长是100米，宽是80米，计划在这块地的边上种植一些杉树，要求在四个顶点处各植一棵，并且每相邻两棵树的间距相等，每两棵树间的距离最多是多少米？最少需要多少棵杉树？ 答案：100＝2×2×5×5 80＝2×2×2×2×5 所以100和80的最大公因数是2×2×5＝20，即每两棵树间的距离最多是20米。 （100＋80）×2÷20＝18（棵） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五讲 最大公因数和最小公倍数 【知识梳理】 1、两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的叫做这两个数的最大公因数，用符号( ， )表示。两个数的公因数是有限的。 2、两个数公有的倍数，叫做这两个数的公倍数，其中最小的叫做这两个数的最小公倍数，用符号[ ，]表示。两个数的公倍数也是无限的。 3、两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。 举例：[6，8]=24，(6，8)=2，24 是 2 的倍数。 4、求最大公因数和最小公倍数的方法：（列举法、图示法、短除法 ） ①倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 举例：15 和 5，[15，5]=15，(15，5)=5 ②互质关系的两个数，最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。 举例：[3，7]=21，(3，7)=1 ③一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。 知识点：和与积的奇偶性 偶数+偶数=偶数 奇数+奇数=偶数 偶数+奇数=奇数 偶数×偶数=偶数 偶数×奇数=偶数 奇数×奇数=奇数 经典讲练1：求公因数和公倍数 例1、找出每组数的最大公因数。 24和36    7和14    30和25     8和11    12和18 例2、找出每组数的最小公倍数。 12和8     9和10      5和12    18和15     20和15 例3、如果，且和都是非零自然数，那么下面说法正确的是　　 A．和的最大公因数是5 B．和5的最大公因数是 C．和的最小公倍数是 D．和5的最小公倍数是 例4、甲、乙两数的最大公因数是18，那么甲、乙两数的公因数有　　个． A．4 B．6 C．8 D．10 例5、已知a＝2×3×7，b＝2×5×7，a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 例6、如果，，那么A和B最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 练习： 1、写出每组数的最大公因数。 （4，50）＝    （10，25）＝    （20，21）＝    （12，36）＝ 2、求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 12和10    6和15      42和7        8和9     18和24      11和17 3、A＝3×5×7，B＝2×3×3×7，则A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 4、两个连续的自然数（均不为0），它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 5、如果m＝9n（m和n都是不为0的整数），那么m和n的最大公因数是（   ）。 A．m B．9 C．n D．mn 6、一个自然数被2、5、7除，商都是整数，没有余数，这个数最小是多少？ 经典讲练2：最大公因数解决实际问题 例1、两条钢条，一根长18米，一根长24米，要把它们截成同样长的小段且没有剩余，那么每段最长可以是多少米？一共截成多少段？ 例2、给一个长32分米，宽24分米的房间铺正方形地砖，如果要让使用的地砖必须都是整块，选择的地砖边长最大是多少分米?至少需要几块? 例3、某小学组织五年级学生去春游。五（1）班有36人，五（2）班有42人，为了方便清点人数，老师要把每班分成人数相等的若干支队伍。每队最多有多少人？每班各可以分成多少队？ 例4、小红打算把50个果冻和34颗樱桃平均放在几个果盘里，发现果冻剩2个，樱桃还差2颗。想一想：小红最多准备了几个果盘？打算在每个果盘里放几个果冻和几颗樱桃？ 练习： 1、有两根绳子，长度分别是27米和45米，要把它们截成同样长的小段，没有剩余，每小段绳子最长是多少米？一共可以截成多少小段？ 2、一个长方形铜片长24厘米，宽18厘米，要剪成面积相等的小正方形，且没有剩余，每个正方形的面积最大是多少平方厘米?一共可以剪成多少块这样的小正方形? 3、下图是一个长方形水池的示意图。要在水池的四周及四角栽上景观树，每相邻两棵树之间的距离要相等，最少要栽多少棵树？ 4、把42朵玫瑰和36朵康乃馨插在花瓶里，要使每瓶里玫瑰的朵数相同，康乃馨的朵数也相同，且所有的花正好分完，最多能插几个花瓶？每个花瓶里至少插多少朵花？ 经典讲练3：最小公倍数解决实际问题 例1、幼儿园阿姨准备给小朋友们发小红花，如果平均发给5个小朋友或6个小朋友都能恰好发完，那么这批小红花至少有多少朵? 例2、五年级同学不到40人，参加广播操比赛，每行6人或9人都正好排成整行，这个班学生最多（   ）人。 A．18 B．36 C．50 D．54 例3、图书馆每天都开门，甲，乙两人都在图书馆借书。甲每3天去一次；乙每4天去一次，11月1日两人同时去了一次图书馆，那么两人下次都去图书馆时是几月几日？ 例4、用长8厘米、宽6厘米的长方形，照下图的样子拼成正方形。拼成的正方形的边长最小是多少厘米？需要几个长方形？ 例6、学校运动会即将召开，在长60米的跑道一边插彩旗。原来从一端起每隔3米插一面彩旗，现在改成每隔4米插一面，有些位置已经插好的就不需要重新插。哪些彩旗不需要重新插？不需要重新插的彩旗有多少面？（先在下图中画一画，再算一算） 练习： 1、一袋糖，4颗4颗地分、5颗5颗地分、6颗6颗地分，都正好分完而没有剩余，这袋糖最少有（   ）颗。 A．30 B．60 C．120 2、学校的会议室里可以坐的人数在80～100之间，并且这个人数同时是2、3、5的倍数，学校会议室里能坐( )人，把这个数分解质因数是( )。 3、甲、乙两人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每9天去一次，如果4月3日他们两人在图书馆相遇，那么下一次他俩都到图书馆是几月几日? 4、一种长方形瓷砖长12厘米，宽10厘米。要用这种瓷砖铺一块正方形地面，这块正方形地面的边长最小是多少厘米？用这种瓷砖能否正好铺成边长是4米的正方形地面？为什么？ 5、一根铁丝，不管是剪成12厘米长的一段，还是15厘米长的一段，都还剩2厘米，这根铁丝最短是多少厘米？ 经典讲练4：积的奇偶性 1、探究a、b两个自然数（a＞b）的和、差、积的奇偶性规律，并填一填。 我发现： 。 2、不计算，直接判断：1＋3＋5＋…＋97＋99的和是( )，13×24×5×19×1999×2023的积是( )。（填“奇数”或“偶数”） 3、2＋4＋6＋8＋…＋98＋100的和是( )。（填“偶数”或“奇数”） 4、121＋37＋44＋213＋69＋455＋783的和是( )数，1×3×5×…×29的积是( )数。（填“奇”或“偶”） 5、M是一个奇数，N是一个偶数，下面各数中一定是奇数的是（    ）。 A．4M＋3N B．3M＋2N C．2（M＋N） 6、 是一个偶数，是一个奇数，下面的算式中，结果是奇数的是（    ）。 A． B． C． D． 巩固提优 1、把12分解质因数（ ），把18分解质因数（ ）．12和18全部公有的质因数有（ ），各自独有的质因数有（ ）．12和18的最小公倍数是（ ）． 2、m＝2×3×7，n＝2×3×3，m和n全部公有的质因数有（ ），各自独有的质因数有（ ）, m和n的最小公倍数是（ ）． 3、以下那组数列出了18与24的公因数？　　 A．1，2，4，6 B．1，2，3，6 C．1，2，3，6，8 D．1，2，3，6，9 4、如果，，那么和的最大公因数是　　． 5、已知两个数的积是1690，这两个数的最大公因数是13，这两个数的和是　 　或　 　． 6、两个数有共同的质因数2和7，它们的最大公因数是　 　． 7、小明、小王、小李三人经常到图书馆去，小明每4天去一次，小王每5天去一次，小李每2天去一次．他们8月5日在图书馆相遇时，那么他们　 　月　 　日再在图书馆相遇． 8、写出每组数的最大公因数。 （4，50）＝   （10，25）＝    （20，21）＝    （12，36）＝ 9、写出下列每组数的最小公倍数。 ［7，8］＝    ［8，12］＝    ［14，42］＝    ［1，10］＝ 10、两根铁丝分别长65米和91米，用一根绳子分别测量它们，都恰好量完无剩余，这根绳子最多有多长？     11、小军准备把一张长24厘米、宽16厘米的长方形纸剪成几个大小相同的正方形，且没有剩余。这些正方形的边长最大是多少厘米？一共可剪成几个这样的正方形？ 12、现在有香蕉42千克，苹果112千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了这两种水果各多少千克？      13、五（1）班有36人，五（2）班有32人，现在分别要把两个班的学生平均分成若干个小组，要使两个班的各个小组人数相等，每组最多多少人？ 14、食堂买来一些鸡蛋，把这些鸡蛋4个4个地数多3个，6个6个地数多5个，15个15个地数多14个。已知这些鸡蛋的个数在150~200个之间，食堂买来了多少个鸡蛋？ 15、有两根绳子，长度分别是27米和45米，要把它们截成同样长的小段，没有剩余，每小段绳子最长是多少米？一共可以截成多少小段？ 16、两位同学商议暑期去图书馆看书。小明说：“我每4天就去一次”，小华说：“我家路远，每6天才能去一次”。7月31日两人在图书馆相遇，那么，在八月份里他们相遇的日期是多少？ 17、育才小学五年级同学排成3路纵队多出1人，排成5路纵队多出1人，排成7路纵队还多出1人，五年级的人数在200人左右。五年级有多少人？ 18、一块长方形地，长是100米，宽是80米，计划在这块地的边上种植一些杉树，要求在四个顶点处各植一棵，并且每相邻两棵树的间距相等，每两棵树间的距离最多是多少米？最少需要多少棵杉树？ 学科网（北京）股份有限公司 $$