专题05 直角三角形全等判定与角平分线的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（湘教版）

专题05 直角三角形全等判定与角平分线的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、用HL证明两直角三角形全等 1 类型二、角平分线性质定理 1 类型三、角平分线的判定定理 6 类型四、角平分线性质的实际应用 9 类型五、作角平分线（尺规作图） 11 压轴能力测评（16题） 14 解题知识必备 1. 直角三角形全等的判定 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 2. 角的平分线 压轴题型讲练 类型一、用HL证明两直角三角形全等 例题：（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键． （1）由“”可证； （2）先由（1）可知，证，从而由三角形全等的性质可得，然后由线段的和差即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴在与中， ， ； （2）证明：由（1）知， ， ∵，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 【变式训练】 1.（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，正确理解题意是解题的关键． （1）先证明，再根据，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵于点于点， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ． 2.（23-24七年级下·四川甘孜·期末）如图，已知，，，，与交于点O． (1)求证：． (2)求． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质， （1）根据证明两个三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论； 解题的关键是掌握三角形全等的判定． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 3.（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，等腰中，是腰上的高，在底边上截取，过点E作交于F． (1)求证： (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质， （1）直接利用证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）先根据直角三角形的性质求出，再根据全等三角形的性质求出，然后根据等边对等角得，进而求出，可得答案. 【详解】（1）证明：∵是腰上的高，， ∴. 又∵，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵是等腰三角形， ∴. ∵是的外角， ∴， ∴． 类型二、角平分线性质定理 例题：（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，在中，，，按如图所示的方式作射线交于点，若，则 ． 【答案】9 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的尺规作图和角平分线定理，先根据画图得到为的角平分线，再证明，再证明是等腰三角形，从而得到，即可求得答案． 【详解】解：如下图所示，过点M作，垂足为D， 由题意得，为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点作于点，根据平分，，得到，根据面积公式求出三角形的面积，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 2.（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)如图2，其余条件不变，若______． (3)如图3，其余条件不变，若，判断的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)60 (3)，见解析 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理、全等三角形综合问题 【分析】（1）过点C作于点E，交延长线于点F，角平分线的性质，得到，证明，即可得证； （2）延长交于点E，证明，得到，证明，进而求出，即可得出结果； （3）过点C作交延长线于点E，于点F，先证明，得到，再证明，得到，根据线段的和差关系，以及含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点C作于点E，交延长线于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：60； （3）解：，理由如下： 如图，过点C作交延长线于点E，于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 类型三、角平分线的判定定理 例题：（23-24八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定与定义、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解答的关键． （1）根据到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上可证得结论； （2）先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的性质可求解． 【详解】（1）证明：，，， 点在的平分线上， 平分； （2）解：，， ， 平分， ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，于E，于F，若．    (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定： （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线的判定定理，即可求证； （2）根据得出，再由线段的和差关系求出答案，即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）解：在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 2．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）如图，平分，于点，于点，连接． (1)试说明； (2)与相等吗？请说明理由； (3)是否垂直平分，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)垂直平分，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，线段垂直平分线的判定： （1）利用证明，即可证明结论； （2）设交于H，证明得到，再利用平角的定义即可证明结论； （3）根据全等三角形的性质得到，再由线段垂直平分线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 设交于H， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：垂直平分，理由如下：、 ∵， ∴， ∴点O和点E都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 类型四、角平分线性质的实际应用 例题：（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）在三条公路围成的一块平地上修建一个物流服务中心（如图），若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 【答案】B 【知识点】角平分线性质的实际应用、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”，由此即可求解． 【详解】解：根据角平分线的性质定理可得，要使物流服务中心到三条公路的距离相等的点为角平分线的交点， 故选：B ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．三条中线的交点 B．内任意一点 C．三条高所在直线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用；由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置． 【详解】∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择三条角平分线的交点， 故选：D． 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查了角平分线的性质，加油站要到三条公路的距离都相等，可知加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个，据此即可求解，掌握叫佛系的性质是解题的关键． 【详解】解：∵加油站要到三条公路的距离都相等， ∴加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个， ∴加油站可供选址的地方有个， 故选：． 类型五、作角平分线（尺规作图） 例题：（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，．    (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点，过点作于点．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】（1）根据尺规作一个角的平分线的方法进行作图即可； （2）根据角平分线的性质得出，证明，推出，根据三角形面积求出，根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，为所求作的的平分线；    ； （2）解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴；    ∵，， 又∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作一个角是平分线，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，尺规作一个角的平分线． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，． (1)作的平分线，交于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明） (2)在（1）的条件下，是边上的一点，且，，连接．若，求的度数． 【答案】(1)图见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、作角平分线(尺规作图)、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查了基本作图 —— 角平分线的作图，等边对等角，三角形外角的性质，三角形的全等的判定与性质等知识，题目难度不大，关键在于找到正确的解题思路． （1）按照角平分线的作图方法作图即可； （2）利用已知条件可以证明，所以，，得到，再利用三角形外角的性质，即可求得的度数． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：平分， ． 在和中， ， ， ，； ， ， ； ， ． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，． (1)尺规作图：作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)试判断与的关系，并证明． 【答案】(1)作图见详解 (2)，理由见详解 【知识点】作角平分线(尺规作图)、等边对等角、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，等边对等角，平行线的性质，掌握尺规作角平分线的方法，平行线的性质是解题的关键． （1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，角于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，并延长交于于点，即可求解； （2）根据题意可得，，根据角平分线的定义可得，，由两直线平行，内错角相等可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求角平分线， （2）解：，理由如下， 证明：∵， ∴， 由（1）可得，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，是的角平分线，点在上，于点于点，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得． 【详解】解：是的角平分线，，， ， ， ． 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键；根据可证明，据此解答即可． 【详解】解：，，， ， 故选：． 3．（24-25八年级上·天津静海·阶段练习）如图，中， ，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线与相交于点，则的大小为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、作角平分线(尺规作图)、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查基本作图—角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质．由直角三角形两锐角互余可求出，由作图可得，由三角形的外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：，， ， 由作图知，平分， ， 又， ， 故选：B． 4．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，点在边上，，于点，．若，，的面积是，则线段的长为（   ） A．13 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意证明，可得，根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ 解得： 故选：B． 5．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点，下列结论：；；平分；．正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形 【分析】由角平分线的性质可知正确；由题意可知，故此可知，，从而可证明正确；若平分，则，与矛盾，可得错误；连接、，然后证明，从而得到，，从而证明． 【详解】解：平分，，， ， 正确； ，平分， ， ，， ， ，， ， ， 正确； ， 若平分，则，与矛盾， 错误； 如图所示，连接、， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 正确， 综上所述，正确的有， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、含度角的直角三角形的性质、勾股定理等，能够综合运用上述知识点是解题的关键． 二、填空题 6．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，若判断的依据是“”，还需要添加的一个条件是 ．（只要写出一种情况即可） 【答案】或（只要写出一种情况即可） 【知识点】用HL证全等（HL）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，已知，，可得，，为公共边，根据“”，添加一直角边即可证明，熟练掌握全等三角形的判定方法并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：，， ，， ， ∴添加或，即可用“”证明， 故答案为：或（只要写出一种情况即可）． 7．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，，，于点，若，则的长度为 ．    【答案】/1厘米 【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的性质，含角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解题的关键． 过点作于，根据角平分线的性质求出，，由，得到，，根据直角三角形的性质求出，最后根据等腰三角形的判定解答即可． 【详解】解：过点作于． ，，， ，． ， ，， ，， ． 故答案为：．    8．（北京市房山区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题）如图，中，，平分交于点，，，则点到的距离为 ． 【答案】3 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，如图，过D点作交于点，根据勾股定理得出，再由角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得出结果． 【详解】解：如图，过D点作交于点， ∵， ， ∵，， ∴， ∵平分交于点， ， 故答案为：3． 9．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，，，于点，于点，，，则的长是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用证明可得，，再根据线段的和差关系计算即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，点在的平分线上，且与互补，，．下列说法：①；②的最小值为；③；④中，正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、全等的性质和HL综合（HL）、含30度角的直角三角形 【分析】作于，于，由平分，，，可推出，根据勾股定理和角平分线的性质可得，当时，有最小值，最小值为，可判断②；证明得到，证明得到，，由，可判断①③；根据，可判断④． 【详解】解：如图，作于，于， ， ， ， ， ， 平分，，，， ，， ， ， ， 当时，有最小值，最小值为，故②正确； 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，，故①正确； ，故③正确； ，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形． 三、解答题 11．（24-25八年级上·青海西宁·期中）在两条公路的交叉处有两个村庄，政府想在交叉处的内部建一个加油站P，并且使加油站到村庄的距离相等且到两条公路的距离也相等．（请用圆规和无刻度的直尺找到点P，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是解题关键．先作出线段的垂直平分线，再作出的平分线，则与的交点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求作的点． 12．（北京市海淀区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷）如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线． (1)求证：垂直平分； (2)若，，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用HL证全等（HL）、线段垂直平分线的判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理；利用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，利用线段垂直平分线的判定即可证明； （2）由勾股定理求出，利用面积关系：即可求解． 【详解】（1）证明：∵直线分别为的垂线， ∴. ∴ 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴点A，P都在线段的垂直平分线上. ∴垂直平分. （2）解：在中，， 由勾股定理得：； ∵， ∴； ∵， ∴， 即， ∴． 13．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，已知平分，于点，，交的延长线于点，且 (1)求证：; (2)若是的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】（1）根据角平分线的性质可得、，利用直角三角形全等的判定定理即可证明结论； （2）由可得：，再根据中点的定义可得；然后证明，最后根据全等三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：平分，，， ，． 在和中， , ． （2）解：∵， ． 是的中点， ． 在和中， , ， ， ． 14．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)的面积为9． 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高．熟练掌握：角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）过点E作于G，于H，先通过计算得出，根据角平分线的判定与性质得，则，由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）设，则，根据，即：，求得，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点E作于G，于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线， 又， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， ∴平分； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴的面积为9． 15．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，动点从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿运动到点停止，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点停止，若设点运动的时间是秒． (1)点到达点时，________秒；到时，________秒； (2)当时，求的值； (3)当点在边上（不包括点，），点或点到边和边的距离相等时，直接写出的值． 【答案】(1)3，7 (2)或6 (3)或5 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的性质定理 【分析】（1）根据时间=路程÷速度，根据题意依次计算即可． （2）分点P在上和点P在上，两种情况，建立等式计算即可． （3）分别根据点或点在的角平分线上两种情况，根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案， 【详解】（1）解：动点从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿运动到点停止，且，， ∴点到达点时，秒,；到时，, 故答案为：3，7； （2）解：∵点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点停止， ∴ 当点P在上时， ∴ ∵ ∴ ∴； 当点P在上时，， ∵ ∴ ∴， ∴或6； （3）解：点或点到边和边的距离相等时，点或点在的角平分线上， 当点到边和边的距离相等， 如下图所示，过点Q作于点G， 得，，， ∵，，且， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 当点到边和边的距离相等， 如下图所示，过点作于点H， 此时，，， ∵，，且， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴或． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，分类思想，熟练掌握勾股定理，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 16．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知在中，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接． (1)当__________时，平分的面积； (2)当__________时，为以为腰的等腰三角形； (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 【答案】(1)4 (2)5或16 (3)5或11 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、用勾股定理解三角形、全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据题意，，由平分的面积，得结合，解答即可； （2）分和两种情况求解即可． （3）根据勾股定理，得，分点P在上和在的延长线上，两种情况解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，，，， 由平分的面积， 得， ∴， ∵， ∴， 解得． （2）解：∵为以为腰的等腰三角形， 当时， 根据题意，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 当时，设， ∵， 则， ∵，， ∴， 解得， ∴， 解得． 故当或时，为以为腰的等腰三角形． （3）解：∵，，，，， ∴， 根据勾股定理，得， 当点P在上时， ∵ ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得． 当点P在的延长线上， ∵ ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得． ∴， 解得． 故当或时，． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，三角形全等的判定和性质，一元一次方程，等腰三角形的判定和性质，分类思想，三角形面积的性质，熟练掌握勾股定理和三角形全等的判定是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 直角三角形全等判定与角平分线的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、用HL证明两直角三角形全等 1 类型二、角平分线性质定理 1 类型三、角平分线的判定定理 6 类型四、角平分线性质的实际应用 9 类型五、作角平分线（尺规作图） 11 压轴能力测评（16题） 14 解题知识必备 1. 直角三角形全等的判定 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 2. 角的平分线 压轴题型讲练 类型一、用HL证明两直角三角形全等 例题：（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证： (1)； (2)． 【变式训练】 1.（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：． 2.（23-24七年级下·四川甘孜·期末）如图，已知，，，，与交于点O． (1)求证：． (2)求． 3.（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，等腰中，是腰上的高，在底边上截取，过点E作交于F． (1)求证： (2)若，求的度数． 类型二、角平分线性质定理 例题：（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，在中，，，按如图所示的方式作射线交于点，若，则 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ． 2.（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)如图2，其余条件不变，若______． (3)如图3，其余条件不变，若，判断的数量关系，并说明理由． 类型三、角平分线的判定定理 例题：（23-24八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，于E，于F，若．    (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 2．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）如图，平分，于点，于点，连接． (1)试说明； (2)与相等吗？请说明理由； (3)是否垂直平分，请说明理由． 类型四、角平分线性质的实际应用 例题：（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）在三条公路围成的一块平地上修建一个物流服务中心（如图），若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．三条中线的交点 B．内任意一点 C．三条高所在直线的交点 D．三条角平分线的交点 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 类型五、作角平分线（尺规作图） 例题：（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，．    (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点，过点作于点．若，，求的长． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，． (1)作的平分线，交于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明） (2)在（1）的条件下，是边上的一点，且，，连接．若，求的度数． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，． (1)尺规作图：作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)试判断与的关系，并证明． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，是的角平分线，点在上，于点于点，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·天津静海·阶段练习）如图，中， ，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线与相交于点，则的大小为（  ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，点在边上，，于点，．若，，的面积是，则线段的长为（   ） A．13 B．15 C．16 D．18 5．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点，下列结论：；；平分；．正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，若判断的依据是“”，还需要添加的一个条件是 ．（只要写出一种情况即可） 7．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，，，于点，若，则的长度为 ．    8．（北京市房山区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题）如图，中，，平分交于点，，，则点到的距离为 ． 9．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，，，于点，于点，，，则的长是 ． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，点在的平分线上，且与互补，，．下列说法：①；②的最小值为；③；④中，正确的有 ．（填序号） 三、解答题 11．（24-25八年级上·青海西宁·期中）在两条公路的交叉处有两个村庄，政府想在交叉处的内部建一个加油站P，并且使加油站到村庄的距离相等且到两条公路的距离也相等．（请用圆规和无刻度的直尺找到点P，保留作图痕迹，不写作法） 12．（北京市海淀区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷）如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线． (1)求证：垂直平分； (2)若，，，直接写出的长． 13．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，已知平分，于点，，交的延长线于点，且 (1)求证：; (2)若是的中点，，求的长． 14．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 15．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，动点从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿运动到点停止，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点停止，若设点运动的时间是秒． (1)点到达点时，________秒；到时，________秒； (2)当时，求的值； (3)当点在边上（不包括点，），点或点到边和边的距离相等时，直接写出的值． 16．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知在中，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接． (1)当__________时，平分的面积； (2)当__________时，为以为腰的等腰三角形； (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$