专题03 利用勾股定理解决折叠问题的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（湘教版）

专题03 利用勾股定理解决折叠问题的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、长方形中折痕过对角线模型 3 类型二、长方形中折痕过一顶点模型 6 类型三、长方形中折痕过任意两点模型 8 类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 12 类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 16 类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 19 压轴能力测评（12题） 22 解题知识必备 模型一 长方形中折痕过对角线模型 【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEC是等腰三角形。 模型二 长方形中折痕过一顶点模型 【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEF是等腰三角形。 模型三 长方形中折痕过任意两点模型 【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕EF垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：GC’F是直角三角形。 模型四 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 【模型解读】 （1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； （2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； （3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 模型五 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； （2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. （3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 模型六 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD. （2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合； 压轴题型讲练 类型一、长方形中折痕过对角线模型 例题：（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图所示，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若，求的长． 【变式训练】 1．如图，在长方形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（    ） A． B．3 C． D．6 2．如图，长方形ABCD中，，，如果将该长方形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是______． 3．如图，在长方形纸片中，，. 把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为（ ） A． B． C． D． 类型二、长方形中折痕过一顶点模型 例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且． (1)求的长； (2)求的长． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处，若，则的长为（　　） A． B．3 C．1 D． 2．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，将长方形沿折叠，点D恰好落在边的F点上，已知，，则 ． 3．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ． 类型三、长方形中折痕过任意两点模型 例题：（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(   ) A．6 B．10 C．24 D．48 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上．若，，求的长． 2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，求的面积．    3．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，长方形中，边，．将此长方形沿折叠，使点与点重合，点落在点处．    (1)证明； (2)求的面积． 类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 例题：（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·江西南昌·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点P是边上任意一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，当有一边与垂直时，的长为 ． 3．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 例题：（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，．将按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为．求的长． 2．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、为一块直角三角形纸片，． 【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想． （1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长． 【学以致用】 （2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 例题：在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长． 【变式训练】 1．（2024·山东滨州·三模）如图，在中，，，．将折叠，使点落在的中点处，折痕为，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．4 2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，点D、E分别在、上．现将沿翻折，使点C落在点处．连接，则长度的最小值．（　　） A．等于3cm B．等于4cm C．等于5cm D．不存在 3．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． (1)如图1，若点和顶点重合，求的长； (2)如图2，若点落在直角边的中点上，求的长． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，折叠长方形纸片，使得点D落在边上的点F处，折痕为，已知，，则的长为（  ） A．3 B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点E是长方形的边上一点，将长方形沿折叠，使点B恰好落在上的点F处．若，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）． A．4 B． C．5 D． 二、填空题 4．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，长方形中，，将其沿折叠，点分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为 ． 5．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在中，．点D是边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作交于点E，将沿直线翻折，点B落在射线上的点F处．当为直角三角形时，的长为 ． 6．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图1，M，N分别为锐角边上的点，把沿折叠，点在所在平面内的点处．若折叠后，直线与交于点E，且，垂足为点E，且，则此时的长为 ． 三、解答题 7．（24-25八年级上·全国·期末）在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是． (1)如图①，如果点和顶点重合，求的长； (2)如图②，如果点落在的中点处，求的长． 8．（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 9．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的长； (3)点为线段上任一点，于，于．请直接写出的值． 10．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在长方形中，，，，，．N是边上一点，．若M为边上一个动点，将四边形沿折叠，点B、C的对应点分别为点、，若线段与边交于点E． (1)如图1，证明：为等腰三角形； (2)如图2，当点M与点A重合时，求线段的长； (3)点M从点A向点B运动的过程中， ①线段的最大值为 ； ②请直接写出点E运动的路径长为 ． 11．（24-25八年级上·福建三明·期中）在中，． (1)如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点； (2)如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长； (3)如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长． 12．（24-25八年级上·河南郑州·期中）学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题．大家知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即长方形中，，，，，．   请你运用所学知识，解决下面的问题： (1)如图1，长方形纸片中，，，将纸片折叠，使落在对角线上，折痕为（点E在边上），点B落在点处，求的长度； (2)如图2，有一张长方形纸片，，，F为边上一点，，E为上一点．将纸片折叠，折痕为，使点B恰好落在线段上的点处，点A落在点处．求线段的长度． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 利用勾股定理解决折叠问题的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、长方形中折痕过对角线模型 3 类型二、长方形中折痕过一顶点模型 6 类型三、长方形中折痕过任意两点模型 8 类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 12 类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 16 类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 19 压轴能力测评（12题） 22 解题知识必备 模型一 长方形中折痕过对角线模型 【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEC是等腰三角形。 模型二 长方形中折痕过一顶点模型 【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEF是等腰三角形。 模型三 长方形中折痕过任意两点模型 【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕EF垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：GC’F是直角三角形。 模型四 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 【模型解读】 （1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； （2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； （3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 模型五 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； （2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. （3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 模型六 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD. （2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合； 压轴题型讲练 类型一、长方形中折痕过对角线模型 例题：（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图所示，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若，求的长． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，等角对等边，由平行线的性质和折叠的性质证明，则，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵一张长方形纸片沿对角线折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴ ． 【变式训练】 1．如图，在长方形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】根据折叠的性质，可知BF=DF=-EF，在Rt中，由勾股定理得：，由此即可求得EF值． 【详解】解：∵，，∴AD=，， 由折叠可知，AB=BE=6，AD=ED=，，， ∵，∴∠BDF=∠DBF∴BF=DF=-EF， ∴在Rt中，由勾股定理得：， ∴，解得：EF=，故选：A． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，灵活利用折叠进行发掘条件是解题的关键． 2．如图，长方形ABCD中，，，如果将该长方形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】要求阴影部分的面积就要先求得它的底和高，这个三角形的高就是，，由此关系就可利用勾股定理求出AE及EF的长，从而求三角形的面积． 【详解】解：四边形ABCD是矩形，，，，， 由折叠的性质，可得，，，，， 设，则， ，即，解得，．故答案为． 【点睛】此题考查翻折变换的性质，解题的关键是利用勾股定理求三角形的底和高，从而求三角形的面积． 3．如图，在长方形纸片中，，. 把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件可证△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm，设AF=xcm，则DF=(8-x)cm，在Rt△AFD中，利用勾股定理即可求得x的值. 【解析】∵四边形ABCD是长方形，∴∠B=∠D=900，BC=AD, 由翻折得AE=AB=8m，∠E=∠B=900,CE=BC=AD 又∵∠CFE=∠AFD∴△CFE≌△AFD ∴EF=DF设AF=xcm，则DF=（8-x）cm 在Rt△AFD中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm， 故选择A. 【点睛】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度. 类型二、长方形中折痕过一顶点模型 例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键． （1）根据折叠的性质，得到，进而得到，利用勾股定理进行求解即可； （2）根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形纸片中，，折叠纸片使边与对角线重合， ∴， ∴，， ∴； （2）∵折叠， ∴， 设，则：， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处，若，则的长为（　　） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的折叠，勾股定理，熟练掌握运用勾股定理解决长方形的折叠是解题的关键．首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，设，则，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可． 【详解】∵， ∴， ∴根据勾股定理得， 根据折叠可得：， ∴， 设，则， 在中：，即， 解得：， 故答案为：B． 2．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，将长方形沿折叠，点D恰好落在边的F点上，已知，，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，根据折叠的性质得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：根据折叠的性质，， 长方形中， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， 故答案为：10． 3．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题； 先利用勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，求出，然后在中，利用勾股定理构建方程，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠得：，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：3． 类型三、长方形中折痕过任意两点模型 例题：（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(   ) A．6 B．10 C．24 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；由折叠可知，设利用勾股定理进行分析计算即可． 【详解】解：由折叠可知， 设 由勾股定理可得， 即， 解得， ， 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质得到，设，则，由线段中点的定义得到，再由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， ∵是边的中点， ∴， 由长方形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，求的面积．    【答案】 【分析】过点作于点，由四边形是长方形和折叠知，再用平行线的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作于点，    过点作于点， 四边形是长方形 四边形是矩形 设， 由折叠知， ， 在中， 解得， ， ， 又， ， ， ∴的面积为 【点睛】此题考查了折叠的性质、长方形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用． 3．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，长方形中，边，．将此长方形沿折叠，使点与点重合，点落在点处．    (1)证明； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）根据同角的余角相等，可得，通过即可证明，可得结论； （2）设，则，在中，利用勾股定理列出方程，即可解决问题． 【详解】（1）解：证明：四边形是长方形， ，， 将此长方形沿折叠，使点与点重合，点落在点处， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， ， 的面积为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键． 类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 例题：（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，解题关键在于求得的长. 由题意可得，，由勾股定理即可求得的长，则可得的长，然后设，则，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：点是沿折叠，点的对应点，连接， ，， 在中，，，， ， ， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ． 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理求出，设，根据折叠前后对应边相等得出，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：，，， ， 设，则， 由折叠的性质可得，， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 故选B． 2．（22-23八年级下·江西南昌·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点P是边上任意一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，当有一边与垂直时，的长为 ． 【答案】或1或2 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，分三种情况讨论，当时，当时，当时，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：当时，如图， 在等腰直角三角形中，，， ∴，， 设，则，， ∵将沿翻折， ∴，， ∴，即， 解得； ∴ 当时，如图， 此时，； 当时，如图， 此时，点A，B，在同一直线上，； 综上，当有一边与垂直时，的长为或1或2． 故答案为：或1或2． 3．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得，由折叠可知，，，设，则，，在中，根据，列出方程即可求解； （2）由折叠知，设，则，在中，根据，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ． 由题意知，，． ． 设，则，． 在中，， ． 解得． ． （2）由题意知， 设，则． 在中，， ． 解得． ． 类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 例题：（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设，再根据图形翻折变换的性质得出，再根据勾股定理求出的值． 【详解】解：设，则， 是翻折而成， ， 在中，， 即， 解得． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，．将按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为．求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理和图形折叠的性质，在中由于，，，所以根据勾股定理可求出的长，由折叠可知，，设，则在中，由 即可求出x的值，故可得出结论． 【详解】解：在中由于，，， 由勾股定理得：， ∵由折叠可知， ， 设，则． 在中，， 即，解得， ∴． 2．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、为一块直角三角形纸片，． 【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想． （1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长． 【学以致用】 （2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1），（2）， 理由见解析． 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键． （1）先求出，由由翻折的性质可得，，再进一步得到即可求解． （2）过点作交延长线于点，连接，先证明，得到，进一步即可得到． 【详解】（1）解：在中， ， 由翻折的性质可知：，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）， 理由如下： 过点作交延长线于点，连接，如图： ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 例题：在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长． 【答案】的长度为或3 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边的长度，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，要注意分情况讨论，设，则，再根据翻折的性质可得，然后分两种情况求出，再利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 沿直线折叠B落在处， ， 点为的三等分点，， 或， 当时，在中， ，即， 解得：； 当时，在中， ，即， 解得：， 综上所述，的长度为或3． 【变式训练】 1．（2024·山东滨州·三模）如图，在中，，，．将折叠，使点落在的中点处，折痕为，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的运用，从而列出关于x的方程是解题的关键． 设，由翻折的性质可知，在中利用勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设， 由翻折的性质可知， ∵D是的中点， ， 在中，由勾股定理得： 即， 解得：， ∴， 故选：C． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，点D、E分别在、上．现将沿翻折，使点C落在点处．连接，则长度的最小值．（　　） A．等于3cm B．等于4cm C．等于5cm D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．当落在上，点B与E重合时，长度的值最小，根据勾股定理得到，由折叠的性质得到结论． 【详解】解：当落在上，点B与E重合时，长度的值最小， ∵，，， ∴， 由折叠的性质知，， ∴． 故选：B． 3．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． (1)如图1，若点和顶点重合，求的长； (2)如图2，若点落在直角边的中点上，求的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：， ∴． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，折叠长方形纸片，使得点D落在边上的点F处，折痕为，已知，，则的长为（  ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，正确地求出CF的长是解题的关键．由折叠得，，由勾股定理得，求得，由即可求解． 【详解】解：由折叠得，， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得， 故选： 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点E是长方形的边上一点，将长方形沿折叠，使点B恰好落在上的点F处．若，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形全等的判定和性质以及勾股定理．证明可得，设，则，，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）． A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题、利用勾股定理的逆定理求解、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理及其逆定理的应用．连接，先证明是直角三角形，且，再证明是的垂直平分线，得到，设，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图； ，，， ，，， ， 是直角三角形，且， 由折叠的性质得：， 顶点B恰好与点A重合， ， 是的垂直平分线， ， 设，则， 在中，， ， , ， 故选：B． 二、填空题 4．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，长方形中，，将其沿折叠，点分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查勾股定理，折叠性质，全等三角形判定及性质等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 根据题意设，，证明和全等，再利用勾股定理得，即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴，， 根据折叠性质得：，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， 故答案为：. 5．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在中，．点D是边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作交于点E，将沿直线翻折，点B落在射线上的点F处．当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】1或2 【知识点】含30度角的直角三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】此题主要考查了直角三角形折叠，熟练掌握折叠性质，含的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键． 由折叠性质得到，，，由三角形外角性质得到，分和，两种情况，进行求解即可． 【详解】解：由折叠知，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴， 如图1，若， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵； 如图2，若， 则， ∴， ∴ ∴为直角三角形时，的长为：1或2． 故答案为：1或2． 6．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图1，M，N分别为锐角边上的点，把沿折叠，点在所在平面内的点处．若折叠后，直线与交于点E，且，垂足为点E，且，则此时的长为 ． 【答案】或 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理．分点N在线段上，点N在线段的延长线上，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：①若折叠后，直线于点E， ∵， ∴， 若点N在线段上，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得； ②若点N在线段的延长线上，如图所示， 由折叠可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得． 综上所述，或． 故答案为：或． 三、解答题 7．（24-25八年级上·全国·期末）在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是． (1)如图①，如果点和顶点重合，求的长； (2)如图②，如果点落在的中点处，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：∵点落在的中点， ∴； 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 解得：， 即的长为：． 8．（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)5 (2)或 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理： （1）设，则，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，． 在中，． 则． 在中，， 即． 解得． 即； （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，，． 在中 ． 则． 在中 ，即 解得． 即． ②如图所示，当点在线段的延长线上时． 根据图形折叠的性质可知． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中 ． ∴． 综上所述，或． 9．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的长； (3)点为线段上任一点，于，于．请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、勾股定理与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定： （1）由长方形的性质和折叠的性质证明，进而可利用证明，即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出即可； （3）先得到，再根据列式求解即可． 【详解】（1）证明：由长方形的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图所示，连接， 由（1）（2）得， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在长方形中，，，，，．N是边上一点，．若M为边上一个动点，将四边形沿折叠，点B、C的对应点分别为点、，若线段与边交于点E． (1)如图1，证明：为等腰三角形； (2)如图2，当点M与点A重合时，求线段的长； (3)点M从点A向点B运动的过程中， ①线段的最大值为 ； ②请直接写出点E运动的路径长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【知识点】利用二次根式的性质化简、完全平方式在几何图形中的应用、勾股定理与折叠问题、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查勾股定理与折叠，完全平方式的应用． （1）由折叠的性质得，又，有，故，，知为等腰三角形； （2）设，在中，可得，即可解得即； （3）①过作于，设，则，设，在中，，有，故，根据线段与边相交，即可得，从而最大为4； ②由（2）和（3）①可知，当从开始，运动到最大时，的路径长为；当落在上时，与重合，求出，故由最大运动到落在时，的运动路径为，即可得到答案． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得， ∵， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：设， ，，， ， 由（1）知， 在中，， ， ， 即； （3）解：①过作于，如图： 设，则， 设， ， 四边形是长方形， ，， ， 在中，， ， 化简整理得， 线段与边相交， ， ， ，， ， ， ， 最大为4； 故答案为：4； ②由（2）和（3）①可知，当从开始，运动到最大时，的路径长为； 当落在上时，与重合，如图： 此时，，， ， ， 由最大运动到落在时，的运动路径为， 点从点向点运动的过程中，点运动的路径长为． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·福建三明·期中）在中，． (1)如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点； (2)如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长； (3)如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、折叠问题、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键． （1）先证，再证明进而得出即可； （2）设x，则，在中用勾股定理求解即可； （3）先求出，得出，进而求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵折叠后点B与点C重合， ∴， 在中， ∴， ∴， ， ，即D是的中点； （2）解：∵直线是对称轴， ∴， ∵， 设，则 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：由题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 12．（24-25八年级上·河南郑州·期中）学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题．大家知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即长方形中，，，，，．   请你运用所学知识，解决下面的问题： (1)如图1，长方形纸片中，，，将纸片折叠，使落在对角线上，折痕为（点E在边上），点B落在点处，求的长度； (2)如图2，有一张长方形纸片，，，F为边上一点，，E为上一点．将纸片折叠，折痕为，使点B恰好落在线段上的点处，点A落在点处．求线段的长度． 【答案】(1) (2)5 【知识点】根据等角对等边求边长、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理与折叠的问题，等角对等边等知识． （1）由长方体形的性质可知，，由勾股定理得出，由折叠的性质可得出，，，进一步可得出，，再利用勾股定理可得出，代入求解即可得出． （2）由长方体形的性质可知，，，，，进而可得出，由折叠得，，等量代换可得出，由等角对等边可得出，由勾股定理可得出，进一步可得出，最后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，，， ∴，， ∴， 由折叠得，，， ∴，， 在中，， 即 解得： ∴的长是． （2）解：∵四边形是长方形，，，， ∴，，，，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴的长是5． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$