专题01 直角三角形的性质和判定1的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（湘教版）

专题01 直角三角形的性质和判定1的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、直角三角形的两个锐角互余 1 类型二、直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半 4 类型三、含30°角的直角三角形三边数量关系 7 类型四、锐角互余的三角形是直角三角形 12 压轴能力测评（16题） 15 解题知识必备 1.直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互余。 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 2.直角三角形的判定 （1）有两个角互余的三角形是直角三角形。 （2）如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 压轴题型讲练 类型一、直角三角形的两个锐角互余 例题：（24-25八年级上·山东济宁·期中）一个直角三角形的两个锐角的度数比为，则这个直角三角形的最小锐角度数是 ． 【答案】/36度 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质及一元一次方程的应用，解题时注意：在直角三角形中，两个锐角互余．根据比例设两锐角分别为，然后利用直角三角形两锐角互余列方程求解即可． 【详解】解：设两锐角分别为，由题意得 解得， 所以这个直角三角形的最小锐角度数为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，于点D，，则的度数是 ． 【答案】60 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，根据直角三角形的两锐角互余计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案为：60． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，于点是的平分线，交于点，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线及高线性质，解答的关键是沟通未知角和已知角的关系．利用内角和定理分别求出与，由角平分线定义得，即可求出． 【详解】解：， ． ，， ． 是的平分线， ． ． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·山东烟台·期中）在中，为边上的高，，，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质、角的和与差．本题分为锐角三角形和为钝角三角形两种情况，画出相应的图形再根据三角形的高以及直角三角形两锐角互余，由图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如下图所示，当为锐角三角形时， ，， ， ， 又， ； 如下图所示，当为钝角三角形时， ，， ， ， 又， ． 故答案为：或． 类型二、直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半 例题：（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，中，，，D是的中点，则的长为 ． 【答案】 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出的长． 【详解】解：∵，，是的中点， ∴， 故答案为： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，，D在上，且，，则 ． 【答案】/105度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、斜边的中线等于斜边的一半、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．取的中点E，连接，根据垂直定义可得：，再利用直角三角形斜边上的中线的性质可得，从而可得：，然后利用三角形的外角性质可得，再根据等量代换可得：，从而可得，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】解：取的中点E，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，，，，延长至D，使，连接，则 ． 【答案】/105度 【知识点】等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，证明出和的形状是解题关键．过点作交于点，连接，根据直角三角形斜边中线，得到，进而得到，证明出是等边三角形，再证明出是等腰直角三角形，即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作交于点，连接， ，， ， ，即点为中点， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为： 3．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点G，且．若，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、斜边的中线等于斜边的一半、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】连接，如图所示，证得是线段的垂直平分线，得到，则有，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到，从而，结合三角形外角性质有，最后根据三角形内角和定理得到，解方程求出，从而得到的度数． 【详解】解：连接，如图所示： 于点，且， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，是边上的中线， ， ， 是的一个外角， ， 设，则， 在中，，根据三角形内角和定理可得， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中求角度问题，涉及垂直平分线的判定与性质、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半、外角性质及三角形内角和定理等知识，根据题意准确作出辅助线，并灵活运用相关几何判定与性质是解决问题的关键． 类型三、含30°角的直角三角形三边数量关系 例题：（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，，，AB的垂直平分线交BC于点D．若，则AC的长为 ． 【答案】4 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含度角的直角三角形的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据等边对等角和三角形外角的性质推出，则． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东聊城·期中）同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 已知：如图，中，，． 求证：． 方法一证明：延长至点，使，连接． 方法二证明：在上截取． 你选择方法是______ 证明： 【答案】方法一或方法二，证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，熟记含角的直角三角形的性质是解题的关键． 若选择方法一：先根据直角三角形的两个锐角互余求出，再利用平角定义求出，从而可得，然后利用证明，从而可得，进而可得是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答； 若选择方法二：先根据直角三角形的两个锐角互余求出，从而可是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用等量代换可得，即可解答． 【详解】解：若选择方法一： 如图：延长至点D，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 若选择方法二： 如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：方法一或方法二． 2．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于D，垂足为E，若，． (1)求的度数； (2)求的长度． 【答案】(1) (2)6 【知识点】线段垂直平分线的性质、三角形的外角的定义及性质、等边对等角、含30度角的直角三角形 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质以及含角的直角三角形的性质．熟练掌握中垂线的性质、含角的直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质，得，即可求得的度数，由三角形外角的性质即可求得答案； （2）求出，继而求得，得到，即可求得答案． 【详解】（1）∵的垂直平分线交于D，垂足为E， ∴， ∴， ∴； （2）∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，平分． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算、线段垂直平分线的性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，角三角形内角和定理，含角的直角三角形，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得出，即可得到，由角平分线的定义得出，再根据三角形内角和定理计算即可； （2）根据含角直角三角形得到，由角平分线的性质得到答案． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，平分， ∴． 类型四、锐角互余的三角形是直角三角形 例题：（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在中，是上一点，延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和SAS综合（SAS）、垂线的定义理解、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】（1）延长交于点，证明，得，由，，得，进而，即可得证； （2）根据，，得，从而，，进而利用面积公式即可得解． 【详解】（1）解：如图，延长交于点， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了邻补角的性质，全等三角形的判定及性质，垂线定义，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知为的中线，．    (1)是怎样的角？ (2)证明你的猜想． 【答案】(1)是直角 (2)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、锐角互余的三角形是直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是熟练掌握这些性质和定理． （1）猜想是直角． （2）由等腰三角形的性质推出，，得到，由三角形内角和定理即可求出，得到． 【详解】（1）是直角． （2）证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在中，，是的高． (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？ (2)和有什么数量关系？并说明理由． 【答案】(1)图中有3个直角三角形，分别是，， (2)，理由见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、锐角互余的三角形是直角三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）由题中已知条件，是高，可以得到、、都是直角． （2）由（1）得到，，是直角三角形，且、、是直角，所以，由此可以得到． 【详解】（1） ，是高， ， 图中有个直角三角形，分别是，，； （2） ∆，，是直角三角形，且、、是直角， ，， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，三角形高的定义，熟练掌握直角三角形的定义是解题的关键． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形的两锐角互余计算即可． 【详解】解：在中，， 则， ∵， ∴． 故选：B ． 2．（天津市部分区2024-2025学年上学期期末练习八年级数学试卷）如图，已知，于点N，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的特征，平行线的性质；由直角三角形的两锐角互余得，由平行线的性质即可求解；掌握直角三角形的特征，平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 故选：C． 3．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）如图，在三角形部件中，，为边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，根据，为边的中点，得出，即可作答． 【详解】解：依题意，，为边的中点， ∴是的中线， ∴ 故选：C 4．（24-25九年级上·天津·期末）如图，中，．将绕点逆时针方向旋转得到．此时恰好点在上，交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 先求出，由旋转的性质得出，，则是等边三角形，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点B逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：D． 5．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在四边形中，，．若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查等边三角形性质和判定，含30度的直角三角形性质，结合题干推出，延长交的延长线于点，证明为等边三角形，进而得到，最后结合直角三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：，， ， 延长交的延长线于点， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 即， 则， 故选：A． 二、填空题 6．（广东省江门市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题）如图，在中，，若，，则的长为 ． 【答案】10 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，根据三角形的内角和定理求出，再根据30度所对的直角边是斜边的一半，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10． 7．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，小明在A处看见前面山上有个气象站C，仰角为，当笔直向山行4千米到达B处时，小明看气象站C的仰角为．请你算出这个气象站离地面的高度是 ． 【答案】2千米 【知识点】根据等角对等边证明边相等、含30度角的直角三角形、三角形的外角的定义及性质 【分析】该题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，解题的关键是理解题意． 根据题意证明，得出千米，再根据直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴（千米）， ∵， ∴（千米）． 故答案为：2千米． 8．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，是等边三角形，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，由得，再根据余角性质可得，最后根据对顶角的性质可得，即可得根据是等边三角形，得到，即可得解． 【详解】解：∵是等边三角形，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，则，， ∴， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴ ∴， ∴的长为． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，，C为上的定点，，若点M，N分别为射线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【知识点】含30度角的直角三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解、垂线段最短、三角形三边关系的应用 【分析】过点C作的对称点，则，则，当点共线，且时最小，再由角直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点C作的对称点，则，如图： ∴， ∴当点共线，且时最小，如图： ∵， ∴由对称得：，， ∵， ∴， ∴的最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，角直角三角形的性质，垂线段最短，三角形的三边关系求最值，熟练掌握知识点是解题的关键． 10．（24-25八年级上·上海·期末）中，是锐角，与的平分线交于点D，过A作交的延长线于点E．当是直角三角形，且与中有一个锐角相等时，的度数是 ． 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查直角三角形的性质，画出图形并熟练运用角平分线的定义是本题的关键．根据题意，画出°和两种三角形，利用角平分线的定义表示出相关角的数量关系，设，每个图形分两种情况讨论，根据三角形外角的性质表示出，列方程求出x的值，即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，当时， 设，则， 与的平分线交于点D， ，， ①当时， ， ； ②当时， ，， ， ， ； 如图2所示，当时， 设，则， 与的平分线交于点D， ，， ， ， ， ， ； 综上，或． 故答案为：或． 三、解答题 11．（24-25八年级上·天津红桥·期末）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线． (1)求的大小； (2)求的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理，角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角的和差可得，根据垂直可得是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，由直角三角形两锐角互余可得，在中，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，平分， ∴， 在中，， 在中，． 12．（21-22八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知：如图，在中，，是边上的高线，是边上的中线，于G，． (1)求证； (2)求的度数； (3)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、等边对等角、三线合一 【分析】（1）如图，连接，证明，，．可得是等边三角形，可得，证明，结合，可得结论； （2）由，可得，，求解，结合，可得答案； （3）如图，过作于，证明，求解，再进一步解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是边上的高线， ∴， ∵， ∴，， ∵是中线， ∴， ∴． ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图，过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 13．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，点D是边上一点，于点E，点F是线段的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求C、E两点之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质可得，，进而求解； （2）连接，求，结合三角形外角的性质可求解，利用等边三角形的性质可求解的长． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， 点是斜边的中点， ，， ； （2）解：连接，由（1）得， ，， ， 是等边三角形， ， ，两点间的距离是6． 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的外角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 14．（24-25八年级上·广东东莞·期末）已知中，的平分线交于点，， (1)如果点是边的中点，，求的长； (2)如图，若平分，在边上取点，使，若，，求的长． 【答案】(1) (2)3 【知识点】等腰三角形的性质和判定、角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、含30度角的直角三角形 【分析】（1）根据角平分线的定义，平行线的性质可得，根据中点的定义可得，根据等边对等角的性质即可求解； （2）如图所示，作 于点 ，可得，根据等腰三角形的性质可得 ，在 中，可得，由，即可求解． 【详解】（1）解： 平分 ， ， ， ， ， ， 点 是边 的中点， ， ， ； （2）解：如图所示，作 于点 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ∵在 中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 15．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，，M是上一点，连结，． (1)求证：M是中点； (2)在的另一侧取点D，使得，连结，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，准确识图，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． （1）根据得，再根据得，则，进而得，由此可以得出结论； （2）连接，根据直角三角形斜边中线的性质得，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴    ， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 即M是的中点 ， （2）证明：∵，M是的中点， ∴， ∴． 16．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． (1)概念理解：如图1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）； (2)问题探究：如图2，和是共边直角三角形，E、F分别是、的中点，连接，求证：． (3)拓展延伸：如图3所示，和是共边直角三角形，，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于结合性质作出恰当的辅助线，构造等腰三角形． （1）根据题干概念，按要求画图即可． （2）连接，根据直角三角形斜边上的中线得到，再根据等腰三角形三线合一即可求解； （3）设、延长线交于点，证明，再结合题干的条件与等腰三角形底边上“三线合一”，即可解题． 【详解】（1）解：如图所示即为所求作的三角形， （2）证明：如图，连接， ∵E点是中点 ∴分别是和斜边上的中线 ∴， ∴ ∴是等腰三角形 ∵F点是中点 ∴； （3）证明：分别延长、交于点，如图所示： ， ， ，， ， ， ，又， ， 平分． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 直角三角形的性质和判定1的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、直角三角形的两个锐角互余 1 类型二、直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半 4 类型三、含30°角的直角三角形三边数量关系 7 类型四、锐角互余的三角形是直角三角形 12 压轴能力测评（16题） 15 解题知识必备 1.直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互余。 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 2.直角三角形的判定 （1）有两个角互余的三角形是直角三角形。 （2）如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 压轴题型讲练 类型一、直角三角形的两个锐角互余 例题：（24-25八年级上·山东济宁·期中）一个直角三角形的两个锐角的度数比为，则这个直角三角形的最小锐角度数是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，于点D，，则的度数是 ． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，于点是的平分线，交于点，则的度数为 ． 3．（24-25七年级上·山东烟台·期中）在中，为边上的高，，，则的度数为 ． 类型二、直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半 例题：（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，中，，，D是的中点，则的长为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，，D在上，且，，则 ． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，，，，延长至D，使，连接，则 ． 3．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点G，且．若，则的度数是 ． 类型三、含30°角的直角三角形三边数量关系 例题：（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，，，AB的垂直平分线交BC于点D．若，则AC的长为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东聊城·期中）同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 已知：如图，中，，． 求证：． 方法一证明：延长至点，使，连接． 方法二证明：在上截取． 你选择方法是______ 证明： 2．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于D，垂足为E，若，． (1)求的度数； (2)求的长度． 3．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，平分． (1)求的度数； (2)若，求的长． 类型四、锐角互余的三角形是直角三角形 例题：（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在中，是上一点，延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知为的中线，．    (1)是怎样的角？ (2)证明你的猜想． 3．（23-24八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在中，，是的高． (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？ (2)和有什么数量关系？并说明理由． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（天津市部分区2024-2025学年上学期期末练习八年级数学试卷）如图，已知，于点N，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）如图，在三角形部件中，，为边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·天津·期末）如图，中，．将绕点逆时针方向旋转得到．此时恰好点在上，交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在四边形中，，．若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．（广东省江门市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题）如图，在中，，若，，则的长为 ． 7．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，小明在A处看见前面山上有个气象站C，仰角为，当笔直向山行4千米到达B处时，小明看气象站C的仰角为．请你算出这个气象站离地面的高度是 ． 8．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，是等边三角形，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点．若，则的长为 ． 9．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，，C为上的定点，，若点M，N分别为射线上的动点，则的最小值为 ． 10．（24-25八年级上·上海·期末）中，是锐角，与的平分线交于点D，过A作交的延长线于点E．当是直角三角形，且与中有一个锐角相等时，的度数是 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·天津红桥·期末）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线． (1)求的大小； (2)求的大小． 12．（21-22八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知：如图，在中，，是边上的高线，是边上的中线，于G，． (1)求证； (2)求的度数； (3)若，求． 13．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，点D是边上一点，于点E，点F是线段的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求C、E两点之间的距离． 14．（24-25八年级上·广东东莞·期末）已知中，的平分线交于点，， (1)如果点是边的中点，，求的长； (2)如图，若平分，在边上取点，使，若，，求的长． 15．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，，M是上一点，连结，． (1)求证：M是中点； (2)在的另一侧取点D，使得，连结，求证：． 16．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． (1)概念理解：如图1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）； (2)问题探究：如图2，和是共边直角三角形，E、F分别是、的中点，连接，求证：． (3)拓展延伸：如图3所示，和是共边直角三角形，，求证：平分． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$