专题04 数列-备战2024-2025学年寒假高二数学大单元复习（人教A版2019版）

专题04 数列 一、核心知识 1．定义公式： （1）是等差数列 （2）是等比数列 2．中项公式： （1）成等差数列；（2）成等比数列, 3．通项公式： （1）是等差数列；（2）是等比数列 4．性质： （1）项转换公式： 是等差数列：；是等比数列： （2）对称项公式： 是等差数列： 是等比数列： 5．数列前项和公式: （1）是等差数列 （2）是等比数列 6.前项和的性质公式: （1）同构式： 是等差数列 是等比数列 （2）分段式： 是等差数列 是等比数列 7.数列求通项的其它公式： （1）是数列的前n项和，则 （2）累加公式: （3）累乘公式: （4）构造公式： ① ② 8.常用裂项公式： （1）；（2）； （3） 二、热门考点 考点一：数列的概念 经典基础题： 1．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知数列，，3，，，…，则是这个数列的（    ） A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 2．（23-24高二上·广西玉林市·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，则第三十五层球的个数为（    ） A．561 B．595 C．630 D．666 3．（24-25高二上·天津红桥·期末）在数列中，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广西南宁·阶段）已知数列满足，若，则 . 5．（23-24高二上·广西三新联考·期末）已知数列满足，，则 （    ） A． B．2 C．12 D．33 6．（24-25高二上·天津南开·期末）数列满足，其前项积为，则等于（    ） A． B． C．6 D． 强化训练： 1．（23-24高二上·广西三新联考·期末）如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为 个.(用含n的代数式表示) 2．（24-25高二上·广西南宁·阶段）已知数列满足：，则（    ） A．3 B．2 C． D． 3.（23-24高二上·广西百色市·期末）已知数列满足，若，则（    ） A．2 B． C． D． 4．（24-25高二上·河南·阶段）已知数列满足，，则（   ） A． B． C．11 D． 5．（22-23高二上·甘肃酒泉·期末）已知数列满足，且，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 6．（24-25高三上·江苏无锡·阶段）（多选）已知数列的前项和为，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知数列满足，，，且，则 . 8．（19-20高三上·天津·期中）已知数列满足，且，则（   ） A．54 B．55 C．56 D．57 考点二：等差数列 经典基础题： 1．（23-24高二上·广西贵港市·期末）（多选）等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．的公差为1 B．的公差为2 C． D． 2．（2024·广西河池·模拟预测）记单调递增的等差数列的前项和为，若且，则（    ） A．70 B．65 C．55 D．50 3．（24-25高三上·福建龙岩·期中）设为等差数列的前项和，已知，则的值为（   ） A．64 B．14 C．10 D．3 4．（2024·广西·模拟预测）在单调递增的等差数列中，若，，则 . 5．（21-22高二下·辽宁·期中）在前项和为的等差数列中，，，则 ． 6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·广西百色市·期末）（多选）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列有最大项，无最小项 C．当时， D．当或3时，取得最大值 8．（23-24高二上·广西三新联考·期末）（多选）已知是等差数列，其前n项和为，，则下列结论一定正确的有（    ） A． B．最小 C． D． 强化训练： 1．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知为等差数列，，则等于（   ） A．21 B．17 C．23 D．20 2．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．48 B．42 C．24 D．21 3．（24-25高二上·广西南宁·期中）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 4．（24-25高三上·河北·阶段）已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A．39 B．52 C．65 D．78 5．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广西柳州·模拟预测）在等差数列中，若，则（    ）． A．7 B．12 C．16 D．24 7．（24-25高三上·广西南宁·阶段）已知递增的等差数列的前项和为，则（    ） A．70 B．80 C．90 D．100 8．（23-24高三上·江苏无锡·阶段）已知等差数列的前项和为，若，则 ． 9．（24-25高二上·广西南宁·期中）已知首项为2的数列，其前项和为，且数列是公差为1的等差数列，则的通项公式 . 10．（23-24高二上·广西玉林市·期末）（多选）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．是递减数列 B． C．当时， D．当或时，取得最大值 11．（21-22高二上·云南昆明·期末）（多选）在等差数列中，首项，公差，前项和为，则下列命题中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则是中的最小项 12．（23-24高二下·云南·期末）（多选）已知等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．当时，取得最小值 D．当时，满足的最大整数的值为25 考点三：等比数列 经典基础题： 1．（23-24高二下·云南迪庆·期中）（多选）已知，，成等比数列，则的值可以是（    ） A．0 B．1 C． D． 2．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）（多选）设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·云南大理·模拟预测）已知各项均为正数的等比数列中，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 4．（23-24高二上·广西百色市·期末）在等比数列中，，，则 . 5．（2024·湖南益阳·一模）已知等比数列中，，，则（    ） A．26 B．32 C．512 D．1024 6．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知正项等比数列满足，则数列的公比为（    ） A．2 B．1 C． D．或 7．（23-24高二上·广西三新联考·期末）正项等比数列的前n项和为，，，则等于（    ） A．9 B．72 C．70 D．48 8.（23-24高二上·广西南宁·期末）在正项等比数列中，为其前n项和，若，则的值为（    ） A．10 B．18 C．36 D．40 强化训练： 1．（2024·云南曲靖·二模）已知是等比数列的前项和，若，则数列的公比是（    ） A．或1 B．或1 C． D． 2．（2024·河南·三模）已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知等比数列中，，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 4．（23-24高二下·云南玉溪·阶段练习）已知为等比数列，若，则（    ） A．4 B． C． D． 5．（24-25高二上·云南曲靖·期中）记为等比数列的前n项和．若，则（   ） A． B． C． D． 6．（2022·四川乐山·一模）在等比数列中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·云南楚雄·期末）设等比数列的前项和为，则（    ） A． B．63 C． D．31 8．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段）设等比数列的前n项和为，若，，则等比数列的公比等于（    ） A． B． C．2 D．5 9．（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知数列满足，数列的前项和为，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 10．（24-25高三上·云南昆明·阶段）已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（    ） A．550 B．520 C．450 D．425 考点四：数列求通项 经典基础题： 1．（23-24高二上·天津宁河·期末）若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知数列的前项和为，若，则 . 3．（24-25高三上·吉林·期中）已知数列满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·上海·期末）在数列中，已知，且，则 ． 5．（22-23高二下·河南南阳·阶段）已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·四川·期末）若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ． 7．（2023·山西·模拟预测）已知数列满足，，则的通项公式是 . 8．（23-24高二上·广西贵港市·期末）在数列中，已知，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（23-24高二上·天津·期末）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为 . 强化训练： 1．（2024·河南开封·二模）已知数列的前n项和为，则（    ） A．81 B．162 C．243 D．486 2．（20-21高三上·辽宁大连·阶段）已知数列的前项和为，且满足，则 ． 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）设数列的前项和，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 5．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列满足，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山东·期中）在数列中，，则的通项公式为 ． 7．（22-23高二上·重庆九龙坡·期末）已知，，则数列的通项公式是（　） A．n B． C．2n D． 8．（22-23高三上·辽宁葫芦岛·期末）在数列中，，，则数列的通项公式为 . 9．（23-24高二上·山东青岛·期末）设数列 满足 ， 则 的通项公式 10．（24-25高二上·福建宁德·阶段）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列中，且，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 考点五：解答题 经典基础题： 1．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知等差数列的前n项和为，若，且________．在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）(1)求的通项公式；(2)设，求的前n项和． 2．（24-25高三上·河北·期中）已知数列为等差数列，且，.(1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和. 3．（23-24高二上·广西贵港市·期末）已知数列的前项和满足．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和． 4．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和为； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 5．（22-23高二上·福建宁德·期中）已知数列中，，.(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；(2)若不等式对于恒成立，求实数的最小值. 强化训练： 1．（23-24高二上·广西三新联考·期末）在等比数列中.(1)已知，，求前4项和；(2)已知公比，前6项和，求. 2．（23-24高二上·广西南宁市·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，.(1)求的通项公式；(2)数列满足，求的前项和. 3．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知等差数列和正项等比数列满足：，，.(1)求数列，的通项公式；(2)已知数列满足，求数列的前项和. 4．（22-23高三上·广东深圳·阶段）已知等比数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式；(2)若______，求数列的前n项和.在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 5．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和. 6.（23-24高二上·广西三新联考·期末）已知数列是以公比为3，首项为3的等比数列，且.(1)求出的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数λ的取值范围. 7．（23-24高二上·广西玉林市·期末）定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中，.(1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式；(2)若数列是“数列”，是否存在正整数，使得,若存在，请求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由. 14 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 数列 一、核心知识 1．定义公式： （1）是等差数列 （2）是等比数列 2．中项公式： （1）成等差数列；（2）成等比数列, 3．通项公式： （1）是等差数列；（2）是等比数列 4．性质： （1）项转换公式： 是等差数列：；是等比数列： （2）对称项公式： 是等差数列： 是等比数列： 5．数列前项和公式: （1）是等差数列 （2）是等比数列 6.前项和的性质公式: （1）同构式： 是等差数列 是等比数列 （2）分段式： 是等差数列 是等比数列 7.数列求通项的其它公式： （1）是数列的前n项和，则 （2）累加公式: （3）累乘公式: （4）构造公式： ① ② 8.常用裂项公式： （1）；（2）； （3） 二、热门考点 考点一：数列的概念 经典基础题： 1．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知数列，，3，，，…，则是这个数列的（    ） A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 【答案】B 【详解】数列可以表示为，，，，，…，则数列的一个通项公式为， ，是这个数列的第9项.故选：B. 2．（23-24高二上·广西玉林市·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，则第三十五层球的个数为（    ） A．561 B．595 C．630 D．666 【答案】C 【详解】由题意，设各层球的个数构成数列，可得， 所以，则.故选：C. 3．（24-25高二上·天津红桥·期末）在数列中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，则，，，.故选A. 4．（24-25高三上·广西南宁·阶段）已知数列满足，若，则 . 【答案】 【详解】由，，则，，，，，因此数列的周期为4，则.故答案为：. 5．（23-24高二上·广西三新联考·期末）已知数列满足，，则 （    ） A． B．2 C．12 D．33 【答案】A 【详解】由递推公式代入计算可得；可得数列是以3为周期的周期数列，所以，故选：A. 6．（24-25高二上·天津南开·期末）数列满足，其前项积为，则等于（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【详解】因为，所以当时，；当时，； 当时，；当时，；…，所以数列是以为周期的周期数列， 所以，所以.故选：A. 强化训练： 1．（23-24高二上·广西三新联考·期末）如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为 个.(用含n的代数式表示) 【答案】 【详解】由图，第1个图中有6个化学键和6个原子；第2个图中有11个化学键和10个原子；第3个图中有16个化学键和14个原子，观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子，则第n个图有个化学键和个原子，所以总数为.故答案为： 2．（24-25高二上·广西南宁·阶段）已知数列满足：，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由，，则，解得，由，解得.故选：A. 3.（23-24高二上·广西百色市·期末）已知数列满足，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】结合题意：由，可得，，，，所以数列是周期为3的周期数列，因为，所以.故选：B. 4．（24-25高二上·河南·阶段）已知数列满足，，则（   ） A． B． C．11 D． 【答案】A 【详解】由已知可得，，，，，，所以数列是以4为周期的数列，所以，故选：A. 5．（22-23高二上·甘肃酒泉·期末）已知数列满足，且，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则，故，， ，，，故数列以为周期，即.故选B. 6．（24-25高三上·江苏无锡·阶段）（多选）已知数列的前项和为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由，，可得，故A正确；B错误；对于C，由上可知，数列是以3为周期的周期数列，则，故C正确；对于D，，故D错误.故选：AC. 7．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知数列满足，，，且，则 . 【答案】1 【详解】当得，又，得，解得.则， 所以.故答案为：1. 8．（19-20高三上·天津·期中）已知数列满足，且，则（   ） A．54 B．55 C．56 D．57 【答案】C 【详解】由题意可知，，所以，，，……，， 所以上面9个式子相加得，所以.故选：C 考点二：等差数列 经典基础题： 1．（23-24高二上·广西贵港市·期末）（多选）等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．的公差为1 B．的公差为2 C． D． 【答案】ACD 【详解】设的公差为d，由，，得，解得，故A正确，B错误；，，C，D正确.故选：ACD 2．（2024·广西河池·模拟预测）记单调递增的等差数列的前项和为，若且，则（    ） A．70 B．65 C．55 D．50 【答案】B 【详解】由等差数列，设，为公差，由于，则，化简得，由于数列单调递增，因此，解出，因此，则.故选：B. 3．（24-25高三上·福建龙岩·期中）设为等差数列的前项和，已知，则的值为（   ） A．64 B．14 C．10 D．3 【答案】C 【详解】由等差数列前项和公式知，所以，由等差数列的性质“当时，”可知：，所以.故选：C. 4．（2024·广西·模拟预测）在单调递增的等差数列中，若，，则 . 【答案】0 【详解】因为数列为等差数列，则，又因为，且数列单调递增，可得，，则公差，所以.故答案为0. 5．（21-22高二下·辽宁·期中）在前项和为的等差数列中，，，则 ． 【答案】 【详解】由于，故，，两式相减得到. 而，故.故答案为 6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为等差数列和的前项和分别为、，满足，所以， 又，故，故选：B 7．（23-24高二上·广西百色市·期末）（多选）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列有最大项，无最小项 C．当时， D．当或3时，取得最大值 【答案】BCD 【详解】因为，当时，，当时，，满足，故数列的通项公式为，易得，故数列为首项，公差的等差数列.对于选项A,B:因为公差，所以数列是递减数列,且数列有最大项，无最小项，故选项A错误，选项B正确；对于选项C:因为，所以因为数列是递减数列，故当时，，故选项C正确；对于选项D: 由，,结合二次函数知识可知,当或时，取得最大值,故选项D正确.故选：BCD. 8．（23-24高二上·广西三新联考·期末）（多选）已知是等差数列，其前n项和为，，则下列结论一定正确的有（    ） A． B．最小 C． D． 【答案】AC 【详解】由题意数列是等差数列，设公差为，若，得，， ，所以选项A正确；， 如果，则，则最小；如果，则，由于，则最小；如果，则，由，时，则没有最小值，所以选项B错误；，得，所以选项C正确；，所以选项D错误.故选：AC. 强化训练： 1．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知为等差数列，，则等于（   ） A．21 B．17 C．23 D．20 【答案】D 【详解】设的公差为，因为，所以，解得， 所以，故选：D． 2．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．48 B．42 C．24 D．21 【答案】B 【详解】因为等差数列，故，则.故选：B. 3．（24-25高二上·广西南宁·期中）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【详解】由已知，，则，所以.故选：D 4．（24-25高三上·河北·阶段）已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A．39 B．52 C．65 D．78 【答案】B 【详解】设公差为d ，由，则.则.故选：B 5．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为数列为等差数列，所以，又，所以，所以，又，所以.故选：D. 6．（2024·广西柳州·模拟预测）在等差数列中，若，则（    ）． A．7 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【详解】在等差数列中，若，则，所以，所以．故选：B 7．（24-25高三上·广西南宁·阶段）已知递增的等差数列的前项和为，则（    ） A．70 B．80 C．90 D．100 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为d，则，解得，所以. 8．（23-24高三上·江苏无锡·阶段）已知等差数列的前项和为，若，则 ． 【答案】3 【详解】设公差为，因为，所以，所以，所以， 所以，所以，则.故答案为：. 9．（24-25高二上·广西南宁·期中）已知首项为2的数列，其前项和为，且数列是公差为1的等差数列，则的通项公式 . 【答案】 【详解】由题设，数列的首项为，故，由，即.故答案为： 10．（23-24高二上·广西玉林市·期末）（多选）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．是递减数列 B． C．当时， D．当或时，取得最大值 【答案】ACD 【详解】由数列的前项和为，当时，，又由，适合上式，所以数列的通项公式为，对于A中，由，即，所以数是递减数列，所以A正确；对于B中，由，所以B错误；对于C中，当时，，所以C正确；对于D中，因为的对称轴为，开口向下，又因为是正整数，且或时，取得最大值，所以D正确.故选：ACD. 11．（21-22高二上·云南昆明·期末）（多选）在等差数列中，首项，公差，前项和为，则下列命题中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则是中的最小项 【答案】AC 【详解】对于A，因为，所以，得，所以A正确，对于B，因为，所以，得，因为，所以，所以有可能大于零，也有可能小于零，所以与无法比较大小，所以B错误，对于C，因为，所以，所以，所以，所以，所以C正确，对于D，因为，可得，因为，所以，，所以是中的最大项，所以D错误，故选：AC 12．（23-24高二下·云南·期末）（多选）已知等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．当时，取得最小值 D．当时，满足的最大整数的值为25 【答案】ABD 【详解】因为，所以， 即，所以，故A正确．因为，，成等差数列，所以，而，则，故B正确．因为，由得，即，所以，所以对称轴为：，所以当时，开口向上，当，取得最小值，当时，开口向下，当，取得最大值，故C错误．因为，数列单调递增，所以，，则，，又因为，所以当时，满足的最大整数的值为25，D正确．故选：ABD 考点三：等比数列 经典基础题： 1．（23-24高二下·云南迪庆·期中）（多选）已知，，成等比数列，则的值可以是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】BD 【详解】根据题意可知：，所以，故选：BD． 2．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）（多选）设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于C，依题意，设公比为，因为，，所以，即，解得，故C正确；对于D，故，故D正确；对于A，则，故A正确；对于B，则，；所以，故B错误； 故选：ACD. 3．（2024·云南大理·模拟预测）已知各项均为正数的等比数列中，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】C 【详解】由题意，因为，所以.故选：C. 4．（23-24高二上·广西百色市·期末）在等比数列中，，，则 . 【答案】2 【详解】设该等比数列的公比为，因为，所以，因为，所以，解得，所以.故答案为：2. 5．（2024·湖南益阳·一模）已知等比数列中，，，则（    ） A．26 B．32 C．512 D．1024 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，， 由，则，得，解得，所以. 故选：D. 6．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知正项等比数列满足，则数列的公比为（    ） A．2 B．1 C． D．或 【答案】A 【详解】设等比数列公比为，由题意得，故，解得.故选：A. 7．（23-24高二上·广西三新联考·期末）正项等比数列的前n项和为，，，则等于（    ） A．9 B．72 C．70 D．48 【答案】D 【详解】由题意，，设公比为q，，.故选:D. 8.（23-24高二上·广西南宁·期末）在正项等比数列中，为其前n项和，若，则的值为（    ） A．10 B．18 C．36 D．40 【答案】D 【详解】易知，为等比数列，，代入数据可得，解得或（舍）所以.故选D. 强化训练： 1．（2024·云南曲靖·二模）已知是等比数列的前项和，若，则数列的公比是（    ） A．或1 B．或1 C． D． 【答案】A 【详解】设等比数列的首项为，公比为，则，解得或.故选：A. 2．（2024·河南·三模）已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】成等差数列，，又，，整理可得：，，解得：（舍）或.故选：C. 3．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知等比数列中，，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【详解】等比数列中，，解得.故选：A. 4．（23-24高二下·云南玉溪·阶段练习）已知为等比数列，若，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【详解】，，，，.故选：B 5．（24-25高二上·云南曲靖·期中）记为等比数列的前n项和．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，则由，所以， 又.所以．故选：A 6．（2022·四川乐山·一模）在等比数列中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，则，可得，因此，.故选：C. 7．（23-24高二下·云南楚雄·期末）设等比数列的前项和为，则（    ） A． B．63 C． D．31 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，则，由，解得，故．故选：A. 8．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段）设等比数列的前n项和为，若，，则等比数列的公比等于（    ） A． B． C．2 D．5 【答案】A 【详解】由，，得，则，所以，所以.故选：A. 9．（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知数列满足，数列的前项和为，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【详解】由可知：数列是首项为1，公比为2的等比数列，即，代入得，故选：B. 10．（24-25高三上·云南昆明·阶段）已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（    ） A．550 B．520 C．450 D．425 【答案】D 【详解】由等比数列前n项和的性质可得，，，，成等比数列，则，设，则，因为等比数列中，，所以解得，故，∴，故选：D． 考点四：数列求通项 经典基础题： 1．（23-24高二上·天津宁河·期末）若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当，则，而，显然不满足上式，所以.故选：D 2．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【详解】当时，， 当时，不满足上式，所以.故答案为：. 3．（24-25高三上·吉林·期中）已知数列满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以由递推公式可得 当时，等式两边分别相加，得 ， 因为，则，而满足上式，所以， 即，函数在上单调递减，在上单调递增，又因为，当时，，当时，， 因为，所以的最小值为.故选：A. 4．（23-24高一下·上海·期末）在数列中，已知，且，则 ． 【答案】 【详解】由可得： ，． 5．（22-23高二下·河南南阳·阶段）已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，则，，，，，，累乘可得，所以，又，所以，经检验时也成立，所以.故选：B 6．（23-24高三下·四川·期末）若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】数列中，，当时，，两式相减得，即，则有，因此数列是常数列，则，所以数列的通项公式为.故答案为： 7．（2023·山西·模拟预测）已知数列满足，，则的通项公式是 . 【答案】 【详解】因为①，所以，当时，②，①-②可得，，所以，所以数列的通项公式是.故答案为： . 8．（23-24高二上·广西贵港市·期末）在数列中，已知，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由，，取倒数得：，则是以为首项，为公差的等差数列．所以，所以；由于，故．故选：C. 9．（23-24高二上·天津·期末）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】，又，故为公比为2的等比数列， 故，所以.故答案为： 强化训练： 1．（2024·河南开封·二模）已知数列的前n项和为，则（    ） A．81 B．162 C．243 D．486 【答案】B 【详解】数列的前n项和为，所以.故选：B 2．（20-21高三上·辽宁大连·阶段）已知数列的前项和为，且满足，则 ． 【答案】 【详解】根据题意，数列满足，当时，有； 当时，有，不符合，故故答案为： 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）设数列的前项和，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】因为，则，，所以. 故选：C. 4．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 【答案】 【详解】数列的前n项和，当时，， 而，不满足上式，所以数列的通项公式为.故答案为： 5．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列满足，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以当时，，当时，， 所以，显然的最小值是，又，，则，所以的最小值是.故选：A 6．（24-25高二上·山东·期中）在数列中，，则的通项公式为 ． 【答案】； 【详解】，故，所以.故答案为： 7．（22-23高二上·重庆九龙坡·期末）已知，，则数列的通项公式是（　） A．n B． C．2n D． 【答案】C 【详解】解：由，得，即，则，，，…，，由累乘法可得，因为，所以，故选：C． 8．（22-23高三上·辽宁葫芦岛·期末）在数列中，，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】因为，所以，所以，，，……，，，所以，所以，因为，所以符号该式，故答案为： 9．（23-24高二上·山东青岛·期末）设数列 满足 ， 则 的通项公式 【答案】 【详解】数列 满足，设， 当时，有，即，当时，有，得，不符合，所以.故答案为：. 10．（24-25高二上·福建宁德·阶段）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，易知，所以，即， 又，所以，故是以为首项，为公差的等差数列，则，故，所以.故选：A. 11．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列中，且，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以，即，所以，故选：D 考点五：解答题 经典基础题： 1．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知等差数列的前n项和为，若，且________．在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）(1)求的通项公式；(2)设，求的前n项和． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d， 若选择条件①，由题可得，解得， 若选择条件②，由题可得，解得， . （2）由(1)知，选择两个条件中的任何一个，都有，则， 2．（24-25高三上·河北·期中）已知数列为等差数列，且，.(1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，所以，解得， 所以； （2）因为，所以， 所以 . 3．（23-24高二上·广西贵港市·期末）已知数列的前项和满足．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和． 【详解】（1）当时，，当时，由，得， 则，因为，所以； （2）由（1）可知，，则， 则，则 ， 所以． 4．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和为； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【详解】（1）由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列，则，所以. （2）由，则， 所以，所以. （3）由（1）（2），则，整理得恒成立， 令，则， 当时，当时，当时， 所以，即的最小值为， 综上，. 5．（22-23高二上·福建宁德·期中）已知数列中，，.(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；(2)若不等式对于恒成立，求实数的最小值. 【详解】（1）由，可知，，所以可得，即， 而，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. （2）不等式对于恒成立， 即对于恒成立，即对于恒成立. 设，由， 当时，，即，即， 当时，，即， 即，所以最大，， 所以，故的最小值为. 强化训练： 1．（23-24高二上·广西三新联考·期末）在等比数列中.(1)已知，，求前4项和；(2)已知公比，前6项和，求. 【详解】（1）设公比为q，由，，得，所以， 所以；（2）由得，. 2．（23-24高二上·广西南宁市·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，.(1)求的通项公式；(2)数列满足，求的前项和. 【详解】（1）∵，∴，，解得，∴； （2）由题可知，所以， 即. 3．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知等差数列和正项等比数列满足：，，.(1)求数列，的通项公式；(2)已知数列满足，求数列的前项和. 【详解】（1）设的公差为，的公比为，由可得：，即①， 由可得：，即②， 联立①②解得：或，因，故， 于是，. （2）由（1）得：，，则，故. 4．（22-23高三上·广东深圳·阶段）已知等比数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式；(2)若______，求数列的前n项和.在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，所以， 则，解得， 所以数列的通项公式. （2）若选①，则， 所以. 若选②，则， 所以. 若选③，则，所以， 则， 两式相减，得 则. 5．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和. 【详解】（1）结合题意：当时，，解得， 当时，可得，两式相减可得，即， 整理得，所以数列是以首项，公比为的等比数列. 所以，故的通项公式为. （2）结合（1）问可知，所以， 所以，即, 所以， 由可得，即， 所以，整理得：. 故数列的前项和. 6.（23-24高二上·广西三新联考·期末）已知数列是以公比为3，首项为3的等比数列，且.(1)求出的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数λ的取值范围. 【详解】（1）∵数列是首项为3，公比为3的等比数列，∴， ∴当时，， 即，∴，∴. 又也满足上式，∴数列的通项公式为； （2）由（1），可得， 所以①，②， 由①-②，得， ∴， 所以不等式可化为，即对任意的恒成立， 令且为递增数列，即转化为.又，所以， 综上，λ的取值范围是. 7．（23-24高二上·广西玉林市·期末）定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中，.(1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式；(2)若数列是“数列”，是否存在正整数，使得,若存在，请求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）因为，且数列为“数列”，所以， 即，所以是以首项为，公差的等差数列，所以； （2）由数列是“（2）数列”，得，所以， 即，，所以， 所以时，， 当时上式也成立，故. 假设存在正整数，使得，则， 由，可知，所以， 又因为为正整数，所以，又， 所以.，， .故存在满足条件的正整数，且. 24 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$