专题03 平方差与完全平方公式的八种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（北师大版2024）

专题03 平方差与完全平方公式的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用乘法公式进行简便运算 2 类型二、利用乘法公式进行化简求值 4 类型三、通过对完全平方公式变形求值 6 类型四、求完全平方式中的字母系数 9 类型五、利用完全平方式求代数式的最值问题 10 类型六、平方差公式在几何图形中的应用 12 类型七、完全平方公式在几何图形中的应用 16 类型八、与乘法公式有关的新定义型问题 21 压轴能力测评（15题） 23 解题知识必备 知识点01 平方差公式 平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²； （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a² ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²= ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c² ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²= ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) 知识点02 完全平方公式 完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。 知识点03 平方差和完全平方差区别 　平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b² 完全平方差公式： (a-b)²=a²-2ab+b² 平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍 压轴题型讲练 类型一、利用乘法公式进行简便运算 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）简便运算 (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）用简便算法计算． (1)； (2)． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）简便运算： (1)； (2)． 类型二、利用乘法公式进行化简求值 例题：（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）先化简，再求值：，，． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）化简求值：，其中，． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）先化简，再求值：，其中，． 3．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 类型三、通过对完全平方公式变形求值 例题：（24-25七年级上·吉林·单元测试）当，时，求下列代数式的值： (1)； (2). 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 2．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，分别求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 类型四、求完全平方式中的字母系数 例题：已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是 ． 【变式训练】 1．若是一个完全平方式，则 ． 2．若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ． 类型五、利用完全平方式求代数式的最值问题 例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为___________； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 类型六、平方差公式在几何图形中的应用 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 2．（24-25八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）． A．            B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 类型七、完全平方公式在几何图形中的应用 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期末）图1是一个长为，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用这四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出，，之间的等量关系： ． (2)若，，求的值为： ． (3)若，求的值为： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____； 拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： (2)若，且，求的值； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 2．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习） 将完全平方公式 进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如： 若，，求 的值． 解：，， 请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： (1)若，，求的值． (2)将边长为的正方形和边长为的正方形按如图所示方式放置，其中点在边上， 连接，，若，， 求阴影部分面积． 3．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： (1)若x满足，求的值． (2)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 类型八、与乘法公式有关的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·浙江·期末）对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：． 例如：． (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，，求的值． 1．（24-25八年级上·全国·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对称． (2)若关于的多项式关于对称，求的值． (3)整式关于 对称． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若，则（    ） A．3 B．6 C． D． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如果是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．5 B． C．7 D．5或 3．（2024七年级上·上海·专题练习）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“友谊数”．下列数中“友谊数”是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）沙棘果富含多种维生素、氨基酸等营养成分，被誉为“神奇之果”．朔州市当地沙棘种植不仅改善了生态环境，还带动了当地经济发展．某果农租了两块地种植沙棘，第一块地是边长为的正方形，第二块地是长为，宽为的长方形，则第二块地比第一块地的面积（单位：）多（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24七年级下·山东济南·期末）若，，则的值为 ． 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知多项式是完全平方式，则的值为 ． 7．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）已知，则代数式的值为 ． 8．（24-25八年级上·北京·阶段练习）将4个数a，b，c，d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义．上述记号叫做2阶行列式，若．则x的值为 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 10．（24-25七年级上·全国·假期作业）利用乘法公式进行简便计算： (1)； (2)； (3)． 11．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 12．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）用乘法公式计算． (1)已知，，求的值． (2)已知，求的值． 13．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求出代数式的最大值吗？ 【初步思考】同学们经过交流、讨论、总结出如下方法： 解： ∵ ∴ ∴当时，有最大值，最大值为4 【尝试应用】 (1)求代数式的最大值，并写出相应的x的值； (2)已知，，请比较A与B的大小，并说明理由． 14．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是：___________； (2)请利用你根据（1）中的等式，完成下列各题： ①已知，，则_________； ②计算：． 15．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，求的值． 解：设，，则， ， 所以 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)填空：若，，_____； (2)，，_____； (3)若，则_____． (4)如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平方差与完全平方公式的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用乘法公式进行简便运算 2 类型二、利用乘法公式进行化简求值 4 类型三、通过对完全平方公式变形求值 6 类型四、求完全平方式中的字母系数 9 类型五、利用完全平方式求代数式的最值问题 10 类型六、平方差公式在几何图形中的应用 12 类型七、完全平方公式在几何图形中的应用 16 类型八、与乘法公式有关的新定义型问题 21 压轴能力测评（15题） 23 解题知识必备 知识点01 平方差公式 平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²； （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a² ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²= ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c² ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²= ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) 知识点02 完全平方公式 完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。 知识点03 平方差和完全平方差区别 　平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b² 完全平方差公式： (a-b)²=a²-2ab+b² 平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍 压轴题型讲练 类型一、利用乘法公式进行简便运算 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）简便运算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】（）利用平方差公式进行运算即可； （）根据完全平方公式的逆用即可求解； 本题考查了平方差公式和完全平方公式，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)90000 (2)10000 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟记公式的形式是解题关键． （1）将原式写成，利用完全平方公式即可求解； （2）将原式写成，利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）用简便算法计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，含乘方的有理数混合运算等知识点，能灵活运用平方差公式和完全平方公式进行计算是解题的关键． （1）先变形，再根据平方差公式进行计算即可； （2）先变形，再根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式： （1）直接利用完全平方公式求解即可； （2）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型二、利用乘法公式进行化简求值 例题：（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）先化简，再求值：，，． 【答案】，32 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算，乘法公式，代入求值是解题的关键． 运用乘法公式展开，再根据整式的混合运算计算，最后代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）化简求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了平方差公式和完全平方公式以及代数求值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算平方差公式和完全平方公式，然后合并同类项，然后代入求解即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 3．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项等知识．先根据平方差公式，完全平方公式，单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项，然后把x，y的值代入计算． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 类型三、通过对完全平方公式变形求值 例题：（24-25七年级上·吉林·单元测试）当，时，求下列代数式的值： (1)； (2). 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了求代数式的值．求代数式的值时要先把代数式化简，然后把字母的值代入化简后的代数式求值． 首先利用平方差公式化简代数式可得原式，然后再把、的值代入化简后的代数式计算即可； 首先利用完全平方公式化简代数式可得原式，然后再把、的值代入化简后的代数式计算即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式 ； （2）解：， 当，时， 原式． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)26 (2)36 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）把变形为，再把，代入计算； （2）把变形为，再把，代入计算． 本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 2．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1)13 (2)97 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）根据完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解： ，， ，， ； 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，分别求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)12 (2)21 (3)126 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据完全平方公式得出，，根据得出结果即可； （2）根据，，求出，得出，最后代入求值即可； （3）根据，，变形求出的值即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ∴， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：． 类型四、求完全平方式中的字母系数 例题：已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是 ． 【答案】、和 【详解】解：①∵， ∴， ②若是多项式的平方， 则； 故答案为：、和． 【变式训练】 1．若是一个完全平方式，则 ． 【答案】11或/或 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴，解得或， 故答案为：11或． 2．若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ． 【答案】或或 【详解】解：当为和的中间项时； 当为和的中间项时； 当为和的中间项时； 故答案为：或或． 类型五、利用完全平方式求代数式的最值问题 例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 【答案】(1)8 (2) (3)最小值为，， 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式的变形求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）先求得，即，再把代入计算，即可求解； （2）根据，再把，整体代入计算即可求解； （3）先把变形为，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， 又， ， ； （2）解：，， ， （3）解： ∵，， ∴当，时，有最小值，最小值为， 此时，， 解得：，． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为___________； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)8 (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）根据题意可直接得出答案； （2）依题意，将所求代数式变形，得出，从而可得出答案； （3）首先将y用含x的代数式表示出来，再按照题中的方法求最小值即可． 本题主要考查完全平方公式的应用，理解题中的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，当时，则，， 即当时，有最小值，是， 故答案为：； （2）解： 则当时，则，， 则代数式的最小值是8； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 类型六、平方差公式在几何图形中的应用 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 【答案】（1）；（2）①4；②；（3） 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的应用． （1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可； （2）①利用平方差公式得出，代入求值即可； ②可将写成，再利用平方差公式求值； （3）利用平方差公式将写成，以此类推，然后化简求值． 【详解】解：（1）图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 所以，得到乘法公式， 故答案为：； （2）①由得，， ∵，， ∴； 故答案为：4； ② ； （3） ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的几何背景， （1）用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式化为，再连续利用平方差公式进行计算即可； 解题的关键是掌握平方差公式的结构特征：①左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；②右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；③公式中的和可以是单项式，也可以是多项式． 【详解】（1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） ． 2．（24-25八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）． A．            B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)B (2)3 (3) 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 验证的等式是， 故答案为：B． （2），且， ， 解得：； （3） ． 类型七、完全平方公式在几何图形中的应用 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期末）图1是一个长为，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用这四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出，，之间的等量关系： ． (2)若，，求的值为： ． (3)若，求的值为： ． 【答案】(1) (2)41 (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式在结合图形中的应用，根据完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练完全平方公式． （1）表示图2的面积，从整体或局部来表示，即可得出等式； （2）直接利用（1）的结论代入即可； （3）根据，求出，即可求解． 【详解】（1）解：观察图2，可得四块小长方形的面积为或， ∴； 故答案为：． （2）解：根据（1）可得， 因为，， 所以． （3）解：∵， ∴ ， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____； 拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： (2)若，且，求的值； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及其变形： （1）根据大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积即可得出结论； （2）利用（1）中的结论进行求解即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可； （4）设，则，利用面积公式和完全平凡公式变形计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积 ∴； （2）由（1）可得， ， ， ， ； （3） ， ， ， ； （4）设，则， ， ， ， ， 令， ， 正方形和正方形的面积和： ． 2．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习） 将完全平方公式 进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如： 若，，求 的值． 解：，， 请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： (1)若，，求的值． (2)将边长为的正方形和边长为的正方形按如图所示方式放置，其中点在边上， 连接，，若，， 求阴影部分面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了整式的运算，掌握完全平方公式和整式的运算法则是解题的关键． （1）根据求解即可； （2）运用割补法阴影部分的面积为：，根据面积公式结合题意化简整理得，将已知代入计算即可． 【详解】（1）解：，， ； （2） 3．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： (1)若x满足，求的值． (2)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式与平方差公式之间的转换． （1）设，，根据题意进行计算即可得； （2）根据题意可得，，，设，，长方形的面积，，即可得出，则即可得出答案． 【详解】（1）解：设，， 则，， ∴； （2）∵正方形的边长为，， ∴，， 设，， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 类型八、与乘法公式有关的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·浙江·期末）对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：． 例如：． (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，，求的值． 【答案】(1)20 (2)6 (3)3或 【知识点】运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，读懂题意，理解新定义运算的运算规定，掌握完全平方公式、平方差公式及变形是解决本题的关键． （1）先按给出的新定义运算，再整体代入求值； （2）先按给出的新定义运算，再整体代入求值； （3）先按给出的新定义运算，再根据已知，利用完全平方公式及变形求出的值，最后代入计算． 【详解】（1）解： ． 当时， 原式； （2） ． ， 即． 原式 ； （3） ． ，， ，即． ． ． ． 或． 当，时， 原式； 当，时， 原式． 1．（24-25八年级上·全国·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对称． (2)若关于的多项式关于对称，求的值． (3)整式关于 对称． 【答案】(1)2 (2) (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （3）对多项式进行配方，根据新定义判定即可． 【详解】（1）解：， ∴该多项式关于对称， 故答案为：； （2）解：∵， ∵关于x的多项式关于对称， ∴， ∴； （3）解： ， ∴该多项式关于对称， 故答案为：． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若，则（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，把看成整体，利用平方差公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如果是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．5 B． C．7 D．5或 【答案】D 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】根据完全平方式得出，再求出即可．本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 整理得， 解得的值是5或， 故选：D． 3．（2024七年级上·上海·专题练习）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“友谊数”．下列数中“友谊数”是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】此题考查了平方差公式，设较小的奇数为，较大的为，根据题意列出算式，求出解判断即可，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 【详解】解：设较小的奇数为，较大的为， 根据题意得：， 、若，即，不为整数，不符合题意； 、若，即，符合题意； 、若，即，不为整数，不符合题意； 若，即，不为整数，不符合题意； 故选：． 4．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）沙棘果富含多种维生素、氨基酸等营养成分，被誉为“神奇之果”．朔州市当地沙棘种植不仅改善了生态环境，还带动了当地经济发展．某果农租了两块地种植沙棘，第一块地是边长为的正方形，第二块地是长为，宽为的长方形，则第二块地比第一块地的面积（单位：）多（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，完全平方公式，先根据面积公式求出第二块的面积和第一块的面积，再计算即可． 【详解】解：由题意得： ， 故选：D． 二、填空题 5．（23-24七年级下·山东济南·期末）若，，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】根据进行计算即可．本题考查平方差公式，掌握是正确解答的关键． 【详解】解：， ， 又， ， 故答案为：2． 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知多项式是完全平方式，则的值为 ． 【答案】或1 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了对完全平方式的理解和掌握，注意：完全平方式有两个，是和．完全平方式有两个，是和，根据以上得出，求出即可． 【详解】解：是完全平方式， ， 解得：或1． 故答案为：或1． 7．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查代数式的运算，先化简所求的式子，再将变形得，最后整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·北京·阶段练习）将4个数a，b，c，d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义．上述记号叫做2阶行列式，若．则x的值为 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式，平方差公式和解一元一次方程，根据新定义得到方程，再根据完全平方公式，平方差公式去括号，然后合并同类项，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，32 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了多项式乘以多项式和完全平方公式的化简求值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先即多项式乘以多项式和完全平方公式，然后合并同类项，然后代数求解即可． 【详解】 ∵， ∴原式． 10．（24-25七年级上·全国·假期作业）利用乘法公式进行简便计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)9996 (2)9801 (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了乘法公式的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可 （3）处理数字以后再运用乘法的分配律和完全平方公式进行简算． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ． 11．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算多项式乘多项式、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于正确的运算． （1）利用多项式乘多项式，进行计算求解即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式，进行计算求解即可； （3）利用多项式乘多项式，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 12．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）用乘法公式计算． (1)已知，，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)53 (2)14 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）根据，，求和解答即可． （2）根据完全平方公式解答即可． 本题考查了完全平方公式的变形计算，求代数式的值，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求出代数式的最大值吗？ 【初步思考】同学们经过交流、讨论、总结出如下方法： 解： ∵ ∴ ∴当时，有最大值，最大值为4 【尝试应用】 (1)求代数式的最大值，并写出相应的x的值； (2)已知，，请比较A与B的大小，并说明理由． 【答案】(1)当时，有最大值，最大值为14 (2)，理由见解析 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，求代数式的值和配方法的应用． （1）仿照题中例子配出完全平方公式进行求解； （2）计算，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解，即可得到结论． 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴当时，的值最大，最大值是0 故当时，有最大值，最大值为14． （2），理由如下： ∵， ∴ ∴． 14．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是：___________； (2)请利用你根据（1）中的等式，完成下列各题： ①已知，，则_________； ②计算：． 【答案】(1) (2)①4；② 【知识点】平方差公式与几何图形、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，熟练掌握平方差公式的结构特点是解答此题的关键． （1）分别计算两个阴影部分的面积即可得到答案； （2）①根据平方差公式得到，然后再将已知整体代入即可求解； ②先利用平方差公式将每一项化成两个分数积的形式，然后再利用互为倒数的两个分数的积为1即可计算结果． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2中的阴影部分的面积为， ∵图1和图2中两阴影部分的面积相等， ∴上述操作能验证的等式是， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4； ② ． 15．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，求的值． 解：设，，则， ， 所以 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)填空：若，，_____； (2)，，_____； (3)若，则_____． (4)如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)96 (2)49 (3)65 (4)4 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，正确理解题意并熟知完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形进行求解即可； （2）利用完全平方公式的变形进行求解即可； （3）设，利用完全平方公式的变形进行求解即可； （4）设，则，，由此求出，即，则． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 故答案为：96； （2）解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：49； （3）解：设，则，， ∴ ， 故答案为：65； （4）解：设， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$