第十六章 一元二次方程易错训练与压轴训练（3易错+5压轴）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（北京版）

第十六章 一元二次方程易错训练与压轴训练01 思维导图 目录 易错题型一　由根的情况判断根的取值范围 1 易错题型二　换元法 3 易错题型三　根与系数关系 5 压轴题型一　定义新运算 8 压轴题型二　一元二次方程与三角形综合 10 压轴题型三　动点问题 13 压轴题型四　应用题方案问题 25 压轴题型五　一元二次方程阅读材料题 30 02 易错题型 易错题型一　由根的情况判断根的取值范围 例题：已知关于的一元二次方程有实数根，则系数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：且， 故选：D． 巩固训练 1．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，求不等式的解集，掌握一元二次方程判别式求参数的方法是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可得，根据方程有两个不相等的实数根可得，由此即可求解． 【详解】解：∵关于的方程为一元二次方程， ∴， 解得，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，， ∴的取值范围是且， 故选：A ． 2．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根有两个不相等的实数根得到，，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：A． 3．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的定义，由一元二次方程解的情况求参数，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据题意可知，且，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， ∴且． 故选C． 4．如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，由题意可得且，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且， 故选：． 易错题型二　换元法 例题：若则代数式的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，设，把原方程转化为，然后利用因式分解法求解即可． 【详解】设， 原方程变形为：， 或 解得或， ∵， ∴． 故选：D． 巩固训练 1．若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 【答案】B 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，熟记解题步骤是解题的关键．设，则原方程转化为关于的新方程，通过解新方程来求的值，即的值． 【详解】解：设， 原方程变形为， 整理得：， 解得：， 当时，， 即， 此时； 当时，， 即， 此时； 此时方程无实数根； 故选：B． 2．若，则的值是（   ） A．2 B．3 C．或3 D．2或 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程以及非负数的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 设，根据题意可得，整理并求出的值，结合，确定符合题意的的值，即可获得答案． 【详解】解：设，根据题意可得， 整理可得， ∴， ∴，， ∵， ∴，即． 故选：B． 3．已知实数x满足，则代数式的值是（   ） A．7 B． C．7或 D．或3 【答案】A 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，代数式求值．熟练掌握换元法解一元二次方程，代数式求值是解题的关键． 设，，则，可求满足要求解为，然后代值求解即可． 【详解】解：设，， ∴， ， 解得，（舍去）或， ∴， 故选：A． 4．已知方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及换元法求方程的解，熟练掌握换元法求方程的解是解题的关键． 令，即可得出，，计算求解即可． 【详解】解：令， 即， ∵方程的解是，， ∴，， ∴或， 解得，， 故选：A． 易错题型三　根与系数关系 例题：若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值，分和两种情况分析，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：当时，实数，满足，， ∴可把，看成是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 当时， ∴， 综上可知：代数式的值为或， 故选：． 巩固训练 1．已知方程的两根分别为、，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，先根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，最后代入求值即可． 【详解】解：方程的两根分别为、， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 2．已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题题考查了一元二次方程根与系数的关系，单项式乘以多项式，由、是方程的两个实数根，则，，然后将原始变形并结合一元二次方程根与系数的关系分析计算即可，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选：． 3．已知，是方程的两个实数根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：． 4．若a，b是方程的两个根，则的值是（　） A．2026 B．2024 C．2022 D．2020 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，由一元二次方程的解及根与系数的关系即可得出，，将其代入即可求出结论． 【详解】解：∵a，b是方程的两个根， ∴即，， ∴ ． 故选：D． 03 压轴题型 压轴题型一　定义新运算 例题：对于实数a、b，定义新运算“※”，a※，若是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】3或4 【分析】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能得出符合条件的所有情况，难度适中．先求出方程的解，根据题意的两种情况，根据新定义得出即可． 【详解】解：解方程得，或，， 当，时，， 当，时，， 故答案为：3或4． 巩固训练 1．定义新运算“”如下：当时，；当时，．若，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了解一元二次方程，新定义运算，根据题中所给的新运算法则，分和两种情况解方程即可． 【详解】解：当，即时，， ， ， ∴， ∵， ∴舍去，只取； 当，即时，， ， ， ， ∴， 综上，x的值为或0或4， 故答案为：或0或4． 2．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：，例如．若m，n是方程的两根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 根据新定义运算列出一元二次方程，再结合根与系数的关系求出和的值，最后通过对完全平方公式变形求出分式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵m，n是方程的两根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，分类讨论：①当时，解方程即可；当时，，解方程可得答案. 【详解】解：当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得， 故答案为：或． 4．定义新运算“”：对于任意实数，都有，例如．若，则它的根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了定义新运算，因式分解求一元二次方程的根，根据定义新运算的计算方法可得为，根据因式分解法即可求解． 【详解】解：∵， ∴得，，整理得，， ∴或， 解得，， 故答案为： ． 压轴题型二　一元二次方程与三角形综合 例题：如果一边长是5，另两边分别是一元二次方程的两个实数根，那么是 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了因式分解求解一元二次方程的根，等腰三角形的定义，先求出方程的两个根，得出三角形的三条边为5，5，2，从而做出判断． 【详解】解：， ， ， ， ∵三角形的两边分别是一元二次方程的两个实数根， 三角形的两边分别是：5，2， 又∵的一边长为5， 是等腰三角形， 故答案为：等腰． 例题： 1．已知三角形两边的长是2和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，构成三角形的条件， 先利用因式分解法解方程得到或，再根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边求出第三边的范围，进而确定第三边的长即可得到答案． 【详解】解：解方程得或， ∵三角形两边的长是2和4， ∴第三边长， ∵第三边的长是方程的根， ∴第三边长为4， ∴该三角形的周长是， 故答案为：10． 2．已知a、b、c是的三边，关于x的方程，当时有两个相等的实数根，则的形状是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查根的判别式，将方程转化为一般式，根据方程有2个相同的实数根，得到，再利用勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：方程转化为：， 由题意，得：， 整理，得：， ∵， ∴， ∴， ∵a、b、c是的三边， ∴是直角三角形； 故答案为：直角． 3．若方程的两根恰好是一直角三角形的两条直角边长，则该三角形斜边上的中线长为 ． 【答案】6.5/ 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，进而得到，再利用勾股定理得到该三角形斜边长，最后根据直角三角形性质求解，即可解题． 【详解】解： ，， ， 方程的两根恰好是一直角三角形的两条直角边长， 该三角形斜边长为， 该三角形斜边上的中线长为， 故答案为：6.5． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，勾股定理，直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质． 4．已知三角形的一边长为5，另外两边，为方程的解，则当 时，三角形为等腰三角形． 【答案】15或16 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及一元二次方程的根的判别式，先进行分类讨论，即当，或当，代入解出；再或者为腰长时，得出，解出，即可作答． 【详解】解：∵三角形为等腰三角形 ∴当，则把代入 得出 解得 同理：∴当，则把代入 得出 解得 当为腰长时，方程 则 解得 故答案为：15或16 压轴题型三　动点问题 例题：如图，，，，为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点，同时出发，都以的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止． (1)求四边形的面积； (2)、两点从出发开始到几秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒或秒或秒或秒 【分析】（1）设运动时间为，则，，由矩形的性质可得，，，进而可得，然后根据梯形的面积公式即可得出答案； （2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形，于是可得，，然后分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为， 则，， 四边形是矩形， ，，， ， ∴四边形的面积； （2）解：设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形， ， ， 分三种情况讨论： ①当时， 如图，过作于， 易得四边形为矩形， ，， ， ， ， ， 解得：或； ②当时， 如图，过作于， 易得四边形为矩形， ，， ， ， ， 解得：； ③当时， ， ， ， ， 解得：； 综上所述，当秒或秒或秒或秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形． 巩固训练 1．如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)两平行线与之间的距离是__________． (2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值． (3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】此题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）过点作于点，由勾股定理可得出答案； （2）分两种情况，由平行四边形的性质可得出答案； （3）分两种情况，列出的方程可得出答案． 【详解】（1）过点作于点， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）在中， ，， ， ， Ⅰ．当四边形为平行四边形时，， ， ， Ⅱ．当四边形为平行四边形时，， ， ， 综上所述当点、与 的某两个顶点围成一个平行四边形时，或； （3）Ⅰ．当在边上时，边上的高是， ， 解得， 舍去）， Ⅱ．当在边上时， ， 解得． 综上所述或时，平行四边形的面积为． 2．如图，在梯形中，，，，，．动点从点出发，沿线段的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动．点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动时间为，当为何值时，以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形？    【答案】或 【分析】以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：①当时，作于，可证四边形是矩形，得到，利用等腰三角形的性质和得到，解方程即可；②当时，作于，可证四边形是矩形，用表示出，，，利用勾股定理建立方程解之即可；③当时，作于，可证四边形为矩形，用表示出，，，利用勾股定理建立方程，方程无解，综上即可得到答案． 【详解】解：①如图1，当时，作于，    ， 四边形是矩形 解得：． ②如图2，当时，作于    同①可证四边形是矩形 ，，， ，， 在中，，即 解得：． ③如图3，当时，作于    同①可证四边形为矩形 ，，， ，， 在中，，即 整理得： 故方程无解． 综上所述，或时，以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，根据题意分情况讨论是解题的关键． 3．如图，AC是正方形ABCD的对角线，AD＝8，E是AC的中点，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C，再沿CD方向向终点D运动，以EP、EQ为邻边作平行四边形PEQF，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜8） (1)当t＝1时，试求PE的长； (2)当点F恰好落在线段AB上时，求BF的长； (3)在整个运动过程中，当▱PEQF为菱形时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）作EM⊥AB于M，由正方形的性质和已知条件得出AB=BC=CD=AD=8，证出EM∥BC，得出EM是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出EM=BC=4，当t=1时，AP=1，求出PM=AM-AP=3，再由勾股定理求出PE即可； （2）由平行四边形的性质得出PF=EQ，PF∥EQ，当点F恰好落在线段AB上时，得出EQ⊥BC，Q为BC的中点，得出EQ是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出EQ=AB=4，求出PF=4，AP=2，即可求出BF的长； （3）由菱形的性质得出PE=PQ，分四种情况：①当0＜t≤2时，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N；②当2＜t≤4时；③当4＜t≤6时，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N；④当6＜t≤8时；分别由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）作于交于点M，如图1所示： ∵四边形是正方形，E是对角线的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， 当时，， ∴， ∴ （2）∵四边形是平行四边形， ∴， 当点F恰好落在线段上时，， ∴， ∴Q为的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∵动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿方向运动到点C， ∴， ∴ ∴ （3）当为菱形时，，分四种情况： ①当时，作于M，于N，如图2所示： ∵， ∴， 解得：（舍去），或（舍去）； ②当时， 同①得：， 解得：（舍去），或 ∴ ③当时，作于M，于N，如图3所示： ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴ ④当时， 同③得：， 解得：（舍去）或（舍去）； 综上所述：在整个运动过程中，当为菱形时，t的值为或． 4．如图，在中，，厘米，厘米，点D在上，且厘米．现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以4厘米/秒的速度沿向终点C运动；点Q以5厘米/秒的速度沿向终点C运动．过点P作交于点E，连接．设动点运动时间为t秒． (1) ；（用t的代数式表示） (2)连接，并运用割补的思想表示的面积（用t的代数式表示）； (3)是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形，如果存在，请求出t，如果不存在，请说明理由； (4)当t为何值时，为直角三角形． 【答案】(1) (2) (3)存在， (4)或 【分析】（1）用减去的长即可； （2）连接，由平行线的性质可得，由，可求出，再利用三角形面积公式计算即可； （3）由平行四边形的性质可得，可得，可求的值； （4）分两种情况讨论，利用直角三角形的性质和面积和差关系可求解． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）如图1，连接， ， ， cm， ， ， ， ， ∴； （3）四边形是平行四边形， ， ， ， ∴当时，使四边形是平行四边形； （4）如图2，当时， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ； 当时， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，（不合题意舍去）， 综上所述：或时，为直角三角形． 压轴题型四　应用题方案问题 例题：中考百日誓师大会后，数学陈老师考虑到本学期仅剩下三次“大考”（市质检、区质检、中考），为了激励本班学生提高数学成绩，设计两种提分方案：方案①，在上学期质检数学成绩的基础上，每次“大考”增加10分；方案②，在上学期质检数学成绩的基础上，每次“大考”增加． (1)已知本班小王，小李两位学生上学期质检数学成绩都是50分，小王选择方案①，小李选择方案②，若两位学生都恰好达到方案要求，求第二次“大考”中两人的数学成绩； (2)若本班学生小明上学期质检数学成绩50分，经过努力，第二次“大考”的数学成绩72分，求两次“大考”成绩的平均增长率？若此平均增长率不变，小明第三次“大考”的数学成绩是多少分？ 【答案】(1)在第二次“大考”后，小王的数学成绩为70分，小李的数学成绩为60.5分 (2)若平均增长率不变，第三次“大考”后的中考数学成绩是86.4分 【分析】本题考查一元二次方程增长率问题，有理数四则运算的实际应用： （1）根据题意，小王第二次“大考”的数学成绩为加上两个10分即可；小李第二次“大考”的数学成绩为，计算即可； （2）设平均增长率为，根据第二次“大考”的数学成绩72分，列出方程，求出x的值，并取符合实际的值，再用乘以即可解答． 【详解】（1）解：小王：（分） 小李： （分） 答：在第二次“大考”后，小王的数学成绩为70分，小李的数学成绩为60.5分； （2）解：设平均增长率为， 由题意可得 解得：，（舍去） 这两次数学成绩的平均增长率为， （分） 若平均增长率不变，第三次“大考”后的中考数学成绩是86.4分． 例题： 1．商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同． (1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？ (2)商场决定用不超过14000元从厂家购进A、B两种型号的空气净化器共10台，且B型空气净化器的台数少于A型空气净化器的台数的2倍，问商场有几种进货方案？如果这10台空气净化器在进价的基础上都加价销售并售完，采用上面哪一方案利润最大． (3)为了增大B型空气净化器的销量，电器商社决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天电器商社销售B型空气净化器的利润为3200元，请问电器商社应将B型空气净化器的售价定为多少元？ 【答案】(1)每台B型空气净化器的进价为1200元，每台A型空气净化器的进价为1500元 (2)共有三种进货方案，当A型空气净化器购进6台，则B型空气净化器4台时，利润最大，最大利润是元 (3)电器商社应将B型空气净化器的售价定为1600元 【分析】本题考查分式方程、一元一次不等式组和一元二次方程的应用，找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设一台B型空气净化器的进价为x元，则一台A型空气净化器的进价为元，利用用7 500元购进A型空气净化器和用6 000元购进B型空气净化器的台数相同可列方程，然后解方程检验确定x的值，再计算即可； （2）设A型空气净化器购进x台，则B型空气净化器台．根据A、B两种型号的空气净化器的总费用不超过14000元，“B型空气净化器的台数少于A型空气净化器的台数的2倍”列出不等式并解答； （3）设B型空气净化器的售价为x元，根据“利润为3200元”列出方程并解答． 【详解】（1）解：设每台B型空气净化器的进价为x元，则每台A型净化器的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， ． 答：每台B型空气净化器的进价为1200元，每台A型空气净化器的进价为1500元． （2）解：设A型空气净化器购进x台，则B型空气净化器台． 由和 解得x的范围， 可取4，5，6三种方案． 当时，元． （3）解：设B型空气净化器的售价为x元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：． 答：电器商社应将B型空气净化器的售价定为1600元． 2．某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙（墙长为），现有两种方案供选择（如图）： 方案1：一个矩形，中间用一道垂直于端的篱笆隔开，并在如图1所示的三处各留宽的门； 方案2：一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图2所示的四处各留宽的门． 已知计划中的篱笆（不包括门）总长为，请根据题意解答下列问题： (1)若方案1中矩形的面积为，求的长为多少m； (2)方案2中矩形的面积能为吗，若能，请求出边的长；若不能，说明理由． 【答案】(1)的长为6米 (2)方案2中矩形的面积不能为，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意舍掉不符合题意的数据． （1）设饲养室的长为米，则长为米，依题意得： ，解一元二次方程即可求解； （2）设饲养室的长为米，则长为米，依题意得： ，再判断方程是否有解进行解答即可． 【详解】（1）解：设饲养室的长为米，则长为米，依题意得： ， ， 解得：，， ， ， 不合题意，舍去， ， 米， 答：的长为6米； （2）解：不能，理由如下： 设饲养室的长为米，则长为米，依题意得： ， ， ， 该方程无解， 方案2中矩形的面积不能为， 3．为实现“全民健身”，某区政府准备开发城北一块长为，宽为的矩形空地． (1)方案一：如图1，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，则这块草坪的面积为________； (2)方案二：如图2，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽度为的小路，使这块草地的面积为，求的值； (3)方案三：修建一个面积为的矩形篮球场，使相邻两边的差为6m，若比赛用的篮球场要求长为，宽为，且满足．这个篮球场能用做比赛吗？并说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）用矩形空地的面积减去小路的面积即可； （2）根据草地的面积为列方程求解即可； （3）设矩形较短的边为，则较长的边为，根据面积为列方程求解即可． 【详解】（1）由平移的性质可知，小路的面积等于长为21米，宽为1米的矩形， ∴草坪的面积为． 故答案为：651； （2）由题意可得， 解得（舍去）． 的值为1； （3）这个篮球场能用做比赛， 理由如下：设矩形较短的边为，则较长的边为， 由题意得， 解得（舍去）， 所以较长的边为， ∴满足比赛场地的要求． 这个篮球场能用做比赛． 4．台门中学为美化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上，修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与图纸设计．现有三位学生各设计了一种方案（图纸如下图），问三种设计方案中道路的宽分别为多少米？    (1)甲方案图纸为图1，设计草坪总面积540平方米． (2)乙方案图纸为图2，设计草坪总面积540平方米． (3)丙方案图纸为图3，设计草坪总面积570平方米． 【答案】(1)本方案的道路宽为1米； (2)本方案的道路宽为2米； (3)本方案的道路宽为1米． 【分析】（1）设道路宽为米，构造一元二次方程来求解面积； （2）设道路宽为米，构造一元二次方程来求解面积； （3）设道路宽为米，构造一元二次方程来求解面积． 【详解】（1）解：设道路宽为米，根据题意，得 ， ， 或者（舍，不符合题意）， 答：本方案的道路宽为1米； （2）解：设道路宽为米，根据题意，得 ， ， ， 或（舍，不符合题意）， 答：本方案的道路宽为2米； （3）解：设道路宽为米，根据题意，得 ， ， ， 或（舍，不符合题意） 答：本方案的道路宽为1米． 压轴题型五　一元二次方程阅读材料题 例题：阅读以下材料：例：解方程． 解：原方程可化为． 设，原方程可化为． 解得：，， 当即， ∴； 当即， ∴无实数解． ∴原方程的解是，． 在上面的解答过程中，我们把看作一个整体，用字母y代替（即换元）， 使得问题简单、明朗化，解答过程更清晰．这是解决问题中的一种重要方法−−−−−换元法．请参照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，，． (2)， 【分析】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，掌握解法步骤是关键； （1）把原方程化为：，再按照“范例”中的方法解答即可； （2）把原方程化为：，再按照“范例”中的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则． 解得：，． 当时，， ∴； 当时， ∴； ∴原方程的解是：，，． （2）解：∵， ∴， 即． 设，则， 解得：，． 当时，即， ∴或． 当时，即， ∴方程无解． ∴原方程的解是：，． 巩固训练 1．阅读材料． 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达早在1615年在著作《论方程的识别与订正》中就建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）： ① ， ② ． 材料2：如果实数，满足，，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将，看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．请根据上述材料解答下面问题． (1)填空：①______；②______． (2)若实数，满足：， ．则______；______． (3)已知实数，满足，，且，求的值． (4)已知实数，分别满足，，且，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查韦达定理的应用， （1）根据韦达定理即可求得答案； （2）将a和b看作方程的两个根，结合韦达定理即可求得答案； （3）将，看作方程的两个根，结合韦达定理求得，利用完全平方公式将所求分式通分变型即可； （4）将实数，看作方程的两个根，则，将所求分数通分变形即可． 【详解】（1）解：根据题意知，，， 故答案为：，； （2）解：根据题意知可以将a和b看作方程的两个根，则， 故答案为：； （3）解：根据题意知可以将，看作方程的两个根，则， ∴， （4）解：根据题意知可以将实数，看作方程的两个根，则， ∴． 2．阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题： 已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，设，于是原方程可变为，求出的值即可． 【详解】解：设，于是原方程可变为， ∴或， 解得，， 当时，整理得，，符合题意； 当时，整理得，，不符合题意； 综上所述，． 3．阅读材料，解答问题： 已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系就可以知道：m与n的和，m与n的积．根据上述材料，解决以下问题： (1)材料理解：__________，__________． (2)类比应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值． (3)思维拓展： 已知实数s，t满足：，，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． （1）直接根据根与系数的关系求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再由进行求解即可； （3）先推出，进而得到，则可推出是关于x的方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系得到，进而推出，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故答案为：；； （2）解：∵实数a，b满足：，且， ∴实数a，b是关于x的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （3）解：当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是关于x的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 4．阅读材料： 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值； (3)提升：已知实数，满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的变形计算、分式的混合运算等知识，掌握一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系为“，”是解题的关键； （1）利用根与系数的关系，即可得出的值； （2）利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求解； （3）由实数、满足，，且，可得出，是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出，，进而求得的值，再将其代入中，即可求解； 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，， ， 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为，， ，， ； （3）解：实数，满足，，且， ，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 即或 当时， ； 当时， ； / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 一元二次方程易错训练与压轴训练01 思维导图 目录 易错题型一　由根的情况判断根的取值范围 1 易错题型二　换元法 2 易错题型三　根与系数关系 2 压轴题型一　定义新运算 3 压轴题型二　一元二次方程与三角形综合 3 压轴题型三　动点问题 3 压轴题型四　应用题方案问题 5 压轴题型五　一元二次方程阅读材料题 7 02 易错题型 易错题型一　由根的情况判断根的取值范围 例题：已知关于的一元二次方程有实数根，则系数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 巩固训练 1．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 2．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 3．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4．如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．或 易错题型二　换元法 例题：若则代数式的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 巩固训练 1．若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 2．若，则的值是（   ） A．2 B．3 C．或3 D．2或 3．已知实数x满足，则代数式的值是（   ） A．7 B． C．7或 D．或3 4．已知方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 易错题型三　根与系数关系 例题：若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 巩固训练 1．已知方程的两根分别为、，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2024 2．已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知，是方程的两个实数根，则的值是（　　） A． B． C． D． 4．若a，b是方程的两个根，则的值是（　） A．2026 B．2024 C．2022 D．2020 03 压轴题型 压轴题型一　定义新运算 例题：对于实数a、b，定义新运算“※”，a※，若是一元二次方程的两个根，则 ． 巩固训练 1．定义新运算“”如下：当时，；当时，．若，则 ． 2．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：，例如．若m，n是方程的两根，则的值为 ． 3．对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数 ． 4．定义新运算“”：对于任意实数，都有，例如．若，则它的根为 ． 压轴题型二　一元二次方程与三角形综合 例题：如果一边长是5，另两边分别是一元二次方程的两个实数根，那么是 三角形． 例题： 1．已知三角形两边的长是2和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长是 ． 2．已知a、b、c是的三边，关于x的方程，当时有两个相等的实数根，则的形状是 三角形． 3．若方程的两根恰好是一直角三角形的两条直角边长，则该三角形斜边上的中线长为 ． 4．已知三角形的一边长为5，另外两边，为方程的解，则当 时，三角形为等腰三角形． 压轴题型三　动点问题 例题：如图，，，，为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点，同时出发，都以的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止． (1)求四边形的面积； (2)、两点从出发开始到几秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形？ 巩固训练 1．如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)两平行线与之间的距离是__________． (2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值． (3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值． 2．如图，在梯形中，，，，，．动点从点出发，沿线段的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动．点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动时间为，当为何值时，以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形？    3．如图，AC是正方形ABCD的对角线，AD＝8，E是AC的中点，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C，再沿CD方向向终点D运动，以EP、EQ为邻边作平行四边形PEQF，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜8） (1)当t＝1时，试求PE的长； (2)当点F恰好落在线段AB上时，求BF的长； (3)在整个运动过程中，当▱PEQF为菱形时，求t的值． 4．如图，在中，，厘米，厘米，点D在上，且厘米．现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以4厘米/秒的速度沿向终点C运动；点Q以5厘米/秒的速度沿向终点C运动．过点P作交于点E，连接．设动点运动时间为t秒． (1) ；（用t的代数式表示） (2)连接，并运用割补的思想表示的面积（用t的代数式表示）； (3)是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形，如果存在，请求出t，如果不存在，请说明理由； (4)当t为何值时，为直角三角形． 压轴题型四　应用题方案问题 例题：中考百日誓师大会后，数学陈老师考虑到本学期仅剩下三次“大考”（市质检、区质检、中考），为了激励本班学生提高数学成绩，设计两种提分方案：方案①，在上学期质检数学成绩的基础上，每次“大考”增加10分；方案②，在上学期质检数学成绩的基础上，每次“大考”增加． (1)已知本班小王，小李两位学生上学期质检数学成绩都是50分，小王选择方案①，小李选择方案②，若两位学生都恰好达到方案要求，求第二次“大考”中两人的数学成绩； (2)若本班学生小明上学期质检数学成绩50分，经过努力，第二次“大考”的数学成绩72分，求两次“大考”成绩的平均增长率？若此平均增长率不变，小明第三次“大考”的数学成绩是多少分？ 例题： 1．商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同． (1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？ (2)商场决定用不超过14000元从厂家购进A、B两种型号的空气净化器共10台，且B型空气净化器的台数少于A型空气净化器的台数的2倍，问商场有几种进货方案？如果这10台空气净化器在进价的基础上都加价销售并售完，采用上面哪一方案利润最大． (3)为了增大B型空气净化器的销量，电器商社决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天电器商社销售B型空气净化器的利润为3200元，请问电器商社应将B型空气净化器的售价定为多少元？ 2．某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙（墙长为），现有两种方案供选择（如图）： 方案1：一个矩形，中间用一道垂直于端的篱笆隔开，并在如图1所示的三处各留宽的门； 方案2：一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图2所示的四处各留宽的门． 已知计划中的篱笆（不包括门）总长为，请根据题意解答下列问题： (1)若方案1中矩形的面积为，求的长为多少m； (2)方案2中矩形的面积能为吗，若能，请求出边的长；若不能，说明理由． 3．为实现“全民健身”，某区政府准备开发城北一块长为，宽为的矩形空地． (1)方案一：如图1，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，则这块草坪的面积为________； (2)方案二：如图2，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽度为的小路，使这块草地的面积为，求的值； (3)方案三：修建一个面积为的矩形篮球场，使相邻两边的差为6m，若比赛用的篮球场要求长为，宽为，且满足．这个篮球场能用做比赛吗？并说明理由． 4．台门中学为美化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上，修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与图纸设计．现有三位学生各设计了一种方案（图纸如下图），问三种设计方案中道路的宽分别为多少米？    (1)甲方案图纸为图1，设计草坪总面积540平方米． (2)乙方案图纸为图2，设计草坪总面积540平方米． (3)丙方案图纸为图3，设计草坪总面积570平方米． 压轴题型五　一元二次方程阅读材料题 例题：阅读以下材料：例：解方程． 解：原方程可化为． 设，原方程可化为． 解得：，， 当即， ∴； 当即， ∴无实数解． ∴原方程的解是，． 在上面的解答过程中，我们把看作一个整体，用字母y代替（即换元）， 使得问题简单、明朗化，解答过程更清晰．这是解决问题中的一种重要方法−−−−−换元法．请参照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 巩固训练 1．阅读材料． 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达早在1615年在著作《论方程的识别与订正》中就建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）： ① ， ② ． 材料2：如果实数，满足，，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将，看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．请根据上述材料解答下面问题． (1)填空：①______；②______． (2)若实数，满足：， ．则______；______． (3)已知实数，满足，，且，求的值． (4)已知实数，分别满足，，且，直接写出的值． 2．阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题： 已知，求的值． 3．阅读材料，解答问题： 已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系就可以知道：m与n的和，m与n的积．根据上述材料，解决以下问题： (1)材料理解：__________，__________． (2)类比应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值． (3)思维拓展： 已知实数s，t满足：，，且，求的值． 4．阅读材料： 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值； (3)提升：已知实数，满足，且，求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$