第十六章 一元二次方程（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（北京版）

第十六章 一元二次方程（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐一判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、在中，当时，不是一元二次方程，故选项不符合题意； B、是一元二次方程，故选项符合题意； C、是分式方程，故选项不符合题意； D、整理后为，不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：B． 2．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，根据题意可得，然后求出的范围即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故选：． 3．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，， 故选：． 4．将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程．先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可求解． 【详解】解：， 二次项化系数为1得：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：A． 5．某区准备组织首届“篮羽杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），设邀请个球队参加比赛，由此可得方程，读懂题意，得到总场数与球队之间的等量关系是解题的关键． 【详解】解：设邀请个球队参加比赛， 根据题意得：， 故选：． 6．关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（  ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，根据根与系数的关系得到，，进而根据已知条件式推出，，则可得方程，解方程后根据验证结果即可． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个根， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．已知直角三角形的两条直角边的长分别是方程的根，则该直角三角形斜边长为（    ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解求一元二次方程，勾股定理的运用，运用因式分解一元二次方程得，即可求出直角三角形的两条直角边，再运用勾股定理进行计算即可求解． 【详解】解：， 因式分解得，， ∴或， 解得，， ∵直角三角形的两条直角边的长分别是方程的根， ∴该直角三角形斜边长为， 故选：D ． 8．若实数x，y满足(x2＋y2＋1)(x2＋y2－2)＝0，则x2＋y2的值是( ) A．1 B．2 C．2或－1 D．－2或－1 【答案】B 【详解】设x2+y2=a，则原式可化为：a2-a-2=0， 解得：a1=2，a2=-1， 又∵x2+y20， ∴x2+y2=2． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．方程的解是 ． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解答即可． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因数分解法解一元二次方程是解题的关键． 10．若方程是关于x的一元二次方程，则 ． 【答案】2 【分析】此题主要是注意一元二次方程的定义：未知数的最高次数是二次的整式方程，且二次项系数不得为0，根据一元二次方程的定义得到且，求得m的值即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义，得且， 解得. 故答案为：2 11．用配方法解方程时，将方程化为的形式，则 ， ． 【答案】 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边都加上1，然后把方程作边写成完全平方形式，从而得到m、n的值． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即， ∴， ∴， 故答案为：1，5． 【点睛】本题考查解一元二次方程—配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 12．多项式的值等于11，则a的值为 ． 【答案】或3 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练求解一元二次方程是解题的关键，由多项式的值等于11，得，求解即可得解． 【详解】解：∵多项式的值等于11， ∴， ， 解得或， 故答案为：或3． 13．小华利用网络平台帮助家乡小红销售农产品．8月份销售额为1000元，10月份销售额为1210元，求销售额平均每月的增长率．设销售额平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．设平均每月的增长率为x，根据等量关系式：8月份销售额10月份销售额，列出方程求解即可． 【详解】解∶根据题意，得， 故答案为∶ ． 14．若关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是－2，则k值为 ． 【答案】0或4 【分析】把x=-2代入方程进行求解即可． 【详解】解：把x=-2代入方程x2＋4kx＋2k2＝4得： ，整理得：， 解得：， 故答案为0或4． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法及解，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 15．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 解得：且， 故答案为：且． 16．已知一元二次方程的两根为与，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，将分式通分，代入即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程，即，的两根为与， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3、 解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．用适当的方法解方程： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 则或， ∴ （2） ∴， 则， ∴， 则或， ∴ 18．请用指定方法解下列方程： (1)公式法：； (2)因式分解法：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据公式法求解即可； （2）先提取公因式4，再利用平方差公式求解． 【详解】（1）方程中，， ∴， ∴； （2）方程可变形为：， 即， ∴或， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，熟练掌握公式法和因式分解法解方程的方法是解题的关键． 19．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围； (2)若满足，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数之间的关系，解一元二次方程： （1）根据方程有两个不相等的实数根得到，列出不等式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，根据，得到关于的方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：； （2）解：由题意，得：， ∴， 解得：， ∵， ∴． 20．已知：是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】，． 【分析】根据解的定义得，然后根据完全平方公式，平方差公式，合并同类项运算化简，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， 原式， ， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，完全平方公式，平方差公式，合并同类项，代数式化简求值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 21．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根为另一个根的3倍，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)m的值为或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方根根与系数的关系． （1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）设方程的一个根为，则另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系可得，求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：， 故方程总有两个实数根； （2）解：∵方程的一个根为另一个根的3倍， ∴设方程的一个根为，则另一个根为， 由题意可得：， 解得：，或， ∴m的值为或． 22．百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】每件童装应降价元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：设每件童装应降价元，由题意，得： ， 解得：或， ∵要尽快减少库存， ∴； 答：每件童装应降价元． 23．某中学要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场（阴影部分）的长和宽分别为，；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为． (1)求安全区域的宽度； (2)某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以36.45万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【答案】(1)米 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（与图形有关的问题及增长率问题），理解题意，根据题中的等量关系正确列出方程并求解是解题的关键． （1）设安全区域的宽度为米，根据总面积为列方程求解即可； （2）设每次降价的百分率为，根据题中的等量关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安全区域的宽度为米，由题意可得： ， 整理，得：， 解得：，（不符合题意，故舍去）， 安全区域的宽度为米； （2）解：设每次降价的百分率为，由题意可得： ， 解得：，（不符合题意，故舍去）， 每次降价的百分率为． 24．学生会要组织“西实杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）． （1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行______场比赛； （2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 【答案】（1）6；（2）9支 【分析】根据赛制为单循环形式场，即可求解； （2）设有 支球队参加比赛，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1） （场）， 答：共进行6场比赛； （2）设有 支球队参加比赛，根据题意得： ， 解得： （不合题意，舍去）， 答：有9支球队参加比赛． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 25．小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且均为一边宽的5倍，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？ 【答案】装裱后左右两边的边宽为4厘米 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设装裱后左右两边的边宽为，则天头长与地头长为，根据“原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的”结合长方形的面积公式，列出方程求解即可． 【详解】解：设装裱后左右两边的边宽为，则天头长与地头长为， ， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：装裱后左右两边的边宽为4厘米． 26．如图，中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，同时从点出发以相同的速度向点运动，当其中一个点到达目的地时，另一点自动停止运动，设运动时间为， (1)用含的代数式表示、的长，并直接写出的取值范围； (2)多长时间后的面积为？ 【答案】(1)；． (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式； （1）由的长度，结合点的出发点、运动方向及运动时间即可用含的代数式表示出的长，由点的出发点、运动方向及运动时间即可用含的代数式表示出的长，由，的长及点，的运动速度，即可找出的取值范围； （2）利用三角形的面积计算公式，结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：，点从点出发以每秒的速度向点运动， 当运动时间为时，； 点从点出发以每秒的速度向点运动， ． ，，点，的运动速度为每秒，且当其中一个点到达目的地时，另一点自动停止运动， 的取值范围为． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：经过s或时，的面积为． 27．某商场将进货价为元的台灯以元的销售价出售，平均每月能销售出个．市场调研表明，当销售价每上涨元时，其销售量将减少个．若设每个台灯的销售价上涨元． (1)试用的代数式填空： ①涨价后，每个台灯的销售价格为　　元； ②涨价后每个台灯的利润为　　元； ③涨价后商场的台灯的平均每月的销售量为　　个； (2)商场要想使该台灯的销售利润平均每月达到元，有如下的方案，销售经理甲说，“在原销售价每个元的基础上再上涨元，可以完成任务．”销售经理乙说，“不用涨那么多，在原售价每个元的基础上再上涨元就可以了．”试判断甲和乙的说法是否正确，并说明说明理由． 【答案】(1)①；②；③ (2)甲、乙的说法都是正确的，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）①根据每个台灯的销售价上涨元，列出代数式即可； ②根据某商场将进货价为元的台灯以元的销售价出售，每个台灯的销售价上涨元，列出代数式即可； ③根据当销售价每上涨元时，其销售量将减少个，列出代数式即可； （2）根据该台灯的销售利润平均每月达到元，列出一元二次方程，解方程，即可得出结论． 【详解】（1）解：①涨价后，每个台灯的销售价格为元， 故答案为：； ②涨价后每个台灯的利润为元，即元， 故答案为：； ③涨价后商场的台灯的平均每月的销售量为个， 故答案为：； （2）解：甲、乙的说法都是正确的，理由如下： 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 即商场要想使该台灯的销售利润平均每月达到元，在原销售价每个元的基础上再上涨元或元， ∴甲、乙的说法都是正确的． 28．在一元二次方程中，根的判别式通常用来判断方程实数根的个数，在实际应用中，我们也可以用根的判别式来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数，当取何值时，取最小值，最小值为多少？ 解答： ． ，即， 因此的最小值为， 此时，解得，符合题意 当时， (1)已知函数，的最大值为多少？ (2)已知函数，的最小值为多少？ (3)如图，已知，，是线段上一点，，，，当为何值时，取最小值，最小值是多少？    【答案】(1) (2) (3)当时，取最小值，最小值是 【分析】（1）仿照题目所给的解题方法，将二次函数变换为一元二次方程，令求解即可； （2）将变换为一元二次方程，令求解即可； （3）设，则，勾股定理求得，再利用一元二次方程的计算求值即可． 【详解】（1）解：∵， 即， ， 解得， 即的最大值是； （2）解：∵， ， 即， ， 解得：，即的最小值是， 时，， 解得：（经检验符合题意）， ∴的最小值是； （3）解：设，则， ， ， ∴， 设，即， ， ， 解得， ∴， 将代入方程得：， 解得（经检验符合题意）， ∴当时，取最小值，最小值是． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 一元二次方程（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 3．方程的解是（   ） A． B． C． D． 4．将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5．某区准备组织首届“篮羽杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（   ） A． B． C． D． 6．关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（  ） A． B．1 C．3 D．9 7．已知直角三角形的两条直角边的长分别是方程的根，则该直角三角形斜边长为（    ） A．3 B． C．4 D．5 8．若实数x，y满足(x2＋y2＋1)(x2＋y2－2)＝0，则x2＋y2的值是( ) A．1 B．2 C．2或－1 D．－2或－1 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．方程的解是 ． 10．若方程是关于x的一元二次方程，则 ． 11．用配方法解方程时，将方程化为的形式，则 ， ． 12．多项式的值等于11，则a的值为 ． 13．小华利用网络平台帮助家乡小红销售农产品．8月份销售额为1000元，10月份销售额为1210元，求销售额平均每月的增长率．设销售额平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为 ． 14．若关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是－2，则k值为 ． 15．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 16．已知一元二次方程的两根为与，则的值为 ． 3、 解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．用适当的方法解方程： (1)． (2) 18．请用指定方法解下列方程： (1)公式法：； (2)因式分解法：． 19．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围； (2)若满足，求a的值． 20．已知：是方程的一个根，求代数式的值． 21．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根为另一个根的3倍，求m的值． 22．百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 23．某中学要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场（阴影部分）的长和宽分别为，；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为． (1)求安全区域的宽度； (2)某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以36.45万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 24．学生会要组织“西实杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）． （1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行______场比赛； （2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 25．小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且均为一边宽的5倍，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？ 26．如图，中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，同时从点出发以相同的速度向点运动，当其中一个点到达目的地时，另一点自动停止运动，设运动时间为， (1)用含的代数式表示、的长，并直接写出的取值范围； (2)多长时间后的面积为？ 27．某商场将进货价为元的台灯以元的销售价出售，平均每月能销售出个．市场调研表明，当销售价每上涨元时，其销售量将减少个．若设每个台灯的销售价上涨元． (1)试用的代数式填空： ①涨价后，每个台灯的销售价格为　　元； ②涨价后每个台灯的利润为　　元； ③涨价后商场的台灯的平均每月的销售量为　　个； (2)商场要想使该台灯的销售利润平均每月达到元，有如下的方案，销售经理甲说，“在原销售价每个元的基础上再上涨元，可以完成任务．”销售经理乙说，“不用涨那么多，在原售价每个元的基础上再上涨元就可以了．”试判断甲和乙的说法是否正确，并说明说明理由． 28．在一元二次方程中，根的判别式通常用来判断方程实数根的个数，在实际应用中，我们也可以用根的判别式来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数，当取何值时，取最小值，最小值为多少？ 解答： ． ，即， 因此的最小值为， 此时，解得，符合题意 当时， (1)已知函数，的最大值为多少？ (2)已知函数，的最小值为多少？ (3)如图，已知，，是线段上一点，，，，当为何值时，取最小值，最小值是多少？    学科网（北京）股份有限公司1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$