1.3 乘法公式 第3课时 课件-2024-2025学年北师大版七年级数学下册

第3课时 完全平方公式的认识 北师版七年级数学下册 新课导入 什么是多项式乘多项式法则? 平方差公式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 (m+a) (n+b) = mn+mb+an+ab 由下面的两个图形你能得到哪个公式? (a + b)(a – b)= a2 – b2 新课探究 计算下列各式： （1）(m + 3)2 ； （2）(2+ 3x)2 。 （1）(m+3)2 =m2+6m+9 =(m+3)(m+3) （2）(2+3x)2 =(2+3x)(2+3x) =4+12x+9x2 观察以上算式及其运算结果， 你有什么发现? m2+2·3m+9 4+2·2·3x+9x2 两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加这两个数乘积的 2 倍。 平方式，两项 首平方，尾平方， 积的2倍放中间 你能再举一些类似的例子验证你的发现? （1）(2x + y)2 ; （2）(3a + 2b)2。 （1）(2x + y)2 =(2x + y)(2x + y) = 2x·2x + 2x·y + y·2x + y·y = 4x2 + 4xy + y2 （2）(3a + 2b)2 =(3a + 2b) (3a +2b) = 3a·3a+3a·2b+2b·3a+2b·2b = 9a2 +12ab + 4b2 你能用字母表示你发现的规律吗? (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 （1）你能用下图解释这一公式吗? b a b a 思考·交流 b a b a = + + a2 ab ab b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 （2）如何计算(a – b)2 ?你是怎样做的? (a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – 2ab + b2 1 (a – b)2 = [a+(– b)]2 = a2 +2a(– b)+(– b)2 = a2 – 2ab + b2 2 用自己的语言叙述这一公式！ 两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍。 b a b a (a – b)2 a2 ab ab b2 = – + (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 请你设计一个图形解释这一公式。 尝试·思考 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 完全平方公式： 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍。 口诀: 首平方，尾平方，首尾二倍中间放。 完全平方公式 平方差公式 整式乘法公式 例 5 利用完全平方公式计算： （1）(2x – 3)2； （2）(4x + 5y)2； （3）(mn – a)2 解：（1） (2x–3)2 = (2x)2–2·2x·3+32 （2）(4x + 5y )2 = (4x)2 + 2·4x·5y + (5y)2 = 16x2 + 40xy + 25y2 ； （3） (mn – a)2 = (mn)2 – 2·mn·a + a2 = m2n2 – 2amn + a2。 (a -b)2 a2 - 2ab + b2 = 4x2–12x+9； 1. 计算： （1）( x + 2y )2； （2）( 2xy – x )2； （3）(– 3m + n)2 。 解：（1） ( x + 2y )2 = x2 +2xy + 4y2； （2） ( 2xy – x )2 = 4x2y2 – x2y + x2； （3） (– 3m + n)2 = 9m2 – 6mn + n2 。 随堂练习 2. 已知 a+b=-3，求 2a2+4ab+2b2 的值。 解：2a2+4ab+2b2 =2 (a2+2ab+b2 ) =2 (a+b) 2 =2 ×(-3)2 =18 如果将 (a + b)n（n 为非负整数）的每一项按字母 a 的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： 阅读·思考 (a + b)0 = 1，它只有一项，系数为 1； (a + b)1 = a + b，它有两项，系数分别是 1， 1； (a + b)2 = a2 + 2ab + b2，它有三项，系数分别是 1， 2， 1； (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3，它有四项，系数分别是 1， 3， 3， 1. 如果将上述每个式子的各项系数排成下表， 那么你能发现什么规律? 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 按照这个规律可以继续将这个表写下去： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… 杨辉三角 (1) (3x + 1)2 ； (2) (a - 3b)2 ； (3) (2x +)2 ； (4) (– 2x + 3y)2 。 随堂演练 1. 利用完全平方公式计算： 解： (1) (3x + 1)2 = 9x2 + 6x + 1； (2) (a - 3b)2 = a2 - 6ab + 9b2； (3) (2x + )2 = 4x2 + 2xy + y2； (4) (– 2x + 3y)2 = 4x2 - 12xy + 9y2。 解： (2x + 1)(x – 2) – (x – 1)2 + 5 = 2x2 – 4x + x – 2 – x2 + 2x – 1 + 5 = x2 – x + 2 当 x = – 5 时， 原式= (– 5)2 – (– 5) + 2 = 25 + 5 + 2 = 32。 2. 化简求值：(2x + 1)(x – 2) – (x – 1)2 + 5。 其中 x = – 5。 3. 已知 a + b = 10，ab = 21，求下列各式的值. (1) a2 + b2； (2) (a – b)2。 解 ： （1）a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = 102 – 2×21 = 100 – 42 = 58； （2）(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 = 58 – 2×21 = 16。 课堂小结 （a±b）2 = a2 ± 2ab + b2 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍。 语言叙述： 完全平方公式： $$