精品解析：陕西省榆林市高新区2024—2025学年上学期九年级数学期末试卷

榆林高新区2024~2025学年度第一学期阶段性自测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时问120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个几何体中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形（点A，B，C的对应点分别为点），若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，矩形中，于，且：：，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，于点，点为的中点，连接，若，，则的长为（　　） A. B. 2 C. 3 D. 6. 已知函数的函数值y随x的增大而增大，当时，y的值可能是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 7. 如图，在中，点D，E为边的三等分点，点F，G在边上，且，点为与的交点．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 二次函数（、、是常数，且）的图像如图所示，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子______．（填“越长”“越短“或“一样长”） 10. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为______． 11. 把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的图象的表达式为______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形的面积为，则k的值为______． 13. 如图，正方形的边长为2，是的中点，，是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解方程：． 16. 已知抛物线经过点． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）判断点是否在此抛物线上． 17. 如图，在中，过点C作，交的延长线于点F．请用尺规作图法在上找一点E，使得（保留作图痕迹，不写作法）． 18. 如图，四边形为菱形，E为对角线上的一个点，连接并延长交的延长线于点F，连接．求证：． 19. 甲、乙两位同学相约打乒乓球，有款式完全相同的4个乒乓球拍(分别记为A，B，C，D)． （1）若甲先从中随机选取1个乒乓球拍，求甲同学未选中A球拍的概率； （2）若甲先从中随机选取1个乒乓球拍，乙再从余下的乒乓球拍中随机选取1个，求乙选中C球拍的概率； 20. 国际风筝节期间，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，每周销售量为180个，若售价每提高1元，销售量每周就会减少10个，王大伯为了每周获得840元利润，并同时让利给顾客售价应定为多少？ 21. 如图（示意图），昌昌同学和同伴秋游时，发现在某小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），昌昌站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时昌昌在平面镜内刚好可以看到点E，且测得米，米，．已知昌昌的眼睛到地面的距离米，请根据以上数据，求DE的长度．（结果保留根号） 22. 一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（单位：）与行驶速度（单位：）满足函数关系式，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为，． （1）求与的值； （2）受天气影响，若行驶速度不得超过，则汽车通过该路段至少需要多长时间？ 23. 如图，葡萄园大棚支架的顶部形如等腰△ABC．经测量，钢条AD⊥BC，BC＝600cm，∠B＝38°．（精确到1cm，参考数据：sin 38°≈0.616，cos 38°≈0.788，tan 38°≈0.781） （1）求钢条AB的长． （2）为了加固支架，现在顶部加两根钢条DE和DF，已知DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求DE的长． 24. 如图，在中，平分交于点D，点E在边上，连接，且． （1）求证：； （2）若．求的长． 25. 如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置，装置上点A处的喷头向外喷水，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处时达到最高，最高高度为，落点B距离喷水柱底端O处，以地面为x轴，柱形喷水装置所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）在保证水流形状不变的前提下，上下调整喷头A的高度（即上下平移抛物线），使水流的最终落点与点O的距离为，问喷头A应该向哪个方向调整多少？ 26. 【问题提出】 （1）如图1，在中，，点E是上一点，将沿着翻折，点B恰好落在边上的点D处，连接，若，．求的长； （2）如图2，在（1）的条件下，过点B作交于点G，交于点F，求的值； 【实践应用】 （3）某地南部地区地势复杂，沟壑纵横，丘陵峁梁交错，如图3，是当地一块待建设的三角形区，，为改善这块区域的水土流失现象，环境保护部门根据地势特点，分区域对三角形区域进行修建梯田、植树造林等措施的建设．，，是三条明显的沟壑，点G，D在上，点E在上，其中区域与区域是关于沟壑对称的区域，点F为沟壑，沟壑的交叉处，且点F恰好为沟壑的中点，已知，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆林高新区2024~2025学年度第一学期阶段性自测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时问120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 直接根据特殊角三角函数值可得答案． 【详解】解：， 故选：A． 2. 下列四个几何体中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的俯视图，熟知俯视图的定义：俯视图从立体图形上面看到的几何体的平面图形，是解题是关键．  结合选项中所给的几何体，运用俯视图的定义求解即可． 【详解】解：A．圆柱的俯视图是圆，故本选项不符合题意； B．正方体的俯视图是正方形，故本选项不符合题意； C．棱台的俯视图是里外两个矩形，故本选项不符合题意； D．三棱柱的俯视图是三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形（点A，B，C的对应点分别为点），若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质，位似图形肯定是相似图形，位似比等于相似比，相似图形的面积比等于相似比的平方，由此可解． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，， ∴， ∵ ， ∴ 和的相似比为， 和的面积之比为， 故选：C． 4. 如图，矩形中，于，且：：，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用矩形的性质结合：：，求解再求解再利用角的和差即可得到答案． 【详解】解：∵矩形中， ∴ ∵：：， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握“矩形的对角线相等且互相平分”是解本题的关键． 5. 如图，在中，，于点，点为的中点，连接，若，，则的长为（　　） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得，，根据正切的定义，可求的长，在中，应用勾股定理求出的长，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求解， 本题考查了，等腰三角形三线合一，正切的定义，勾股定理，直角三角形斜边中线，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵，于点， ∴，， ∴，即：，解得：， 在中，， ∵点为的中点， ∴， 故选：． 6. 已知函数的函数值y随x的增大而增大，当时，y的值可能是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟悉掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值． 【详解】解：∵函数的函数值y随x的增大而增大， ∴， ∴当时，， ∵， ∴，即， ∴当时，y的值可以是． 故选：D． 7. 如图，在中，点D，E为边的三等分点，点F，G在边上，且，点为与的交点．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先证明得到，则，再证明，得到，则，进而得到，同理可得． 【详解】解：点D，E为边的三等分点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 8. 二次函数（、、是常数，且）的图像如图所示，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象的位置，确定a、b、c的符号，通过对称轴，与x轴交点的位置确定各个选项的正确与错误即可． 【详解】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴的左侧，a、b同号，故b＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c＞0，故abc＞0，因此①错误， 对称轴为x= -= - 1，即b=2a，也就是 2a-b=0，所以②正确, 由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c＞0，即 a−b+c ＞0，所以③ 正确， 由图象可知,当x=-3时，y=9a-3b+c＜0，所以④ 正确， 所以正确的个数有3个， 故答案为：C 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答关键是根据抛物线的位置确定待定字母的取值范围. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子______．（填“越长”“越短“或“一样长”） 【答案】越短 【解析】 【分析】本题考查了中心投影的定义，在灯光下，离点光源（路灯）越近的物体的影子越短，离点光源越远的物体的影子越长；理解中心投影的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，离路灯越近，旗杆的影子越短， 故答案：越短． 10. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，熟知“一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．”是解题的关键． 把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程来求的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得， 故答案为：． 11. 把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的图象的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，根据规律“左加右减，上加下减．”进行解题即可． 【详解】解：由题意得 ， 故答案：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形的面积为，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，反比例函数系数的几何意义．根据菱形的性质以及反比例函数系数的几何意义进行计算即可． 【详解】解：如图，连接交于点， 四边形是菱形，在轴上，， ，， ， ， 故答案为：． 13. 如图，正方形的边长为2，是的中点，，是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查最短路线问题．取的中点，连接，，，，根据数量关系确定的最小值为的长度，求出的值即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， 为的中点， 为的中位线，即，且， 正方形的边长为2， ， ， ， ，且，即四边形为平行四边形， ， 连接，，根据正方形的对称性可知，， ， 根据两点间线段最短可得，当点，，在同一直线上时，取得最小值， 即此时的最小值为线段的长度， 连接，则在中， ，， ， 故的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值混合运算，涉及特殊角的正弦、余弦及正切值，二次根式混合运算等知识，先求出特殊角的正弦、余弦及正切值，再由二次根式乘法运算及加减运算法则求解即可得到答案，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 【详解】解： ． 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程，根据方程特点选择恰当解法是解题的关键，根据因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 ∴． 16. 已知抛物线经过点． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）判断点是否在此抛物线上． 【答案】（1） （2）不在 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质： （1）把代入线求出a的值即可； （2）在中，令，求出对应的y值，即可判断． 【小问1详解】 解：把代入线得：， 解得， ； 【小问2详解】 解：在中，令，得， 点不在此抛物线上． 17. 如图，在中，过点C作，交的延长线于点F．请用尺规作图法在上找一点E，使得（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、尺规作图等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据四边形为平行四边形，即有，过点B作，即可证明． 【详解】 ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 过点B作，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，四边形为菱形，E为对角线上的一个点，连接并延长交的延长线于点F，连接．求证：． 【答案】 证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴． 在和中，， ∴ ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质是解题的关键．证明出，得到，再结合平行得到即可求证． 【详解】略 19. 甲、乙两位同学相约打乒乓球，有款式完全相同的4个乒乓球拍(分别记为A，B，C，D)． （1）若甲先从中随机选取1个乒乓球拍，求甲同学未选中A球拍的概率； （2）若甲先从中随机选取1个乒乓球拍，乙再从余下的乒乓球拍中随机选取1个，求乙选中C球拍的概率； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据概率公式计算即可求解； （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及乙同学选中C号球拍的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：甲先从中随机选取1个，则甲同学未选中A球拍的概率； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果， ∴． 20. 国际风筝节期间，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，每周销售量为180个，若售价每提高1元，销售量每周就会减少10个，王大伯为了每周获得840元利润，并同时让利给顾客售价应定为多少？ 【答案】售价定为元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设售价定为元，根据题意可得销售量为，列方程即可解答，根据题意得到售价和销售量的关系是解答本题的关键． 【详解】解：设售价定为元， 根据题意可得销售量为， 可列方程， 解得， 需要同时让利给顾客， 售价定为元． 21. 如图（示意图），昌昌同学和同伴秋游时，发现在某小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），昌昌站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时昌昌在平面镜内刚好可以看到点E，且测得米，米，．已知昌昌的眼睛到地面的距离米，请根据以上数据，求DE的长度．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】过点作，再证明，根据三角形相似性质即可求解． 【详解】如图所示：过点作， ， 设，则， （倾角器测量角度一样） ， ， ， ， ， ． 【点睛】考查了相似三角形性质的应用，解题关键是证明熟练应用相似三角形的性质． 22. 一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（单位：）与行驶速度（单位：）满足函数关系式，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为，． （1）求与的值； （2）受天气影响，若行驶速度不得超过，则汽车通过该路段至少需要多长时间？ 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．解决本题的关键是利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再利用解析式求出相应的点的坐标即可． 把点的坐标代入，求出的值，从而得到反比例函数的解析式为，再把点代入解析式即可求出的值； 求出当时，，可知汽车通过该路段至少需要． 【小问1详解】 解：把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 函数关系式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：； 【小问2详解】 解：当时，可得， 汽车通过该路段至少需要． 23. 如图，葡萄园大棚支架的顶部形如等腰△ABC．经测量，钢条AD⊥BC，BC＝600cm，∠B＝38°．（精确到1cm，参考数据：sin 38°≈0.616，cos 38°≈0.788，tan 38°≈0.781） （1）求钢条AB的长． （2）为了加固支架，现在顶部加两根钢条DE和DF，已知DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求DE的长． 【答案】（1）钢条AB的长为381cm； （2）钢条DE的长为185cm． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及解直角三角形即可求解； （2）在直角△BDE中，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：∵在等腰△ABC中，AD⊥BC． ∴BC＝2BD＝600， ∴BD＝300． ∵∠ABC＝38°， ∴． 答：钢条AB的长为381cm； 【小问2详解】 解：∵DE⊥AB于点E．BD＝300． ∴． 答：钢条DE的长为185cm． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 24. 如图，在中，平分交于点D，点E在边上，连接，且． （1）求证：； （2）若．求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键： （1）先证明，然后依据相似三角形的判断定理进行证明即可； （2）依据相似三角形的性质列方出求解即可． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 25. 如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置，装置上点A处的喷头向外喷水，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处时达到最高，最高高度为，落点B距离喷水柱底端O处，以地面为x轴，柱形喷水装置所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）在保证水流形状不变的前提下，上下调整喷头A的高度（即上下平移抛物线），使水流的最终落点与点O的距离为，问喷头A应该向哪个方向调整多少？ 【答案】（1） （2）喷头A应该向上调整 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法； （1）由题意得抛物线的顶点为，，由待定系数法设顶点式，即可求解； （2）设向上调高，由抛物线的平移规律得，将代入计算，即可求解； 理解横纵坐标的实际意义，能熟练用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得抛物线的顶点为，， 设抛物线的表达式为， ， 解得：， 抛物线的表达式； 【小问2详解】 解：设向上调高，则有 ， 经过， ， 解得：， 故喷头A应该向上调整． 26. 【问题提出】 （1）如图1，在中，，点E是上一点，将沿着翻折，点B恰好落在边上的点D处，连接，若，．求的长； （2）如图2，在（1）的条件下，过点B作交于点G，交于点F，求的值； 【实践应用】 （3）某地南部地区地势复杂，沟壑纵横，丘陵峁梁交错，如图3，是当地一块待建设的三角形区，，为改善这块区域的水土流失现象，环境保护部门根据地势特点，分区域对三角形区域进行修建梯田、植树造林等措施的建设．，，是三条明显的沟壑，点G，D在上，点E在上，其中区域与区域是关于沟壑对称的区域，点F为沟壑，沟壑的交叉处，且点F恰好为沟壑的中点，已知，，求的值． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）设，由勾股定理得，即可求解； （2）设，由勾股定理得，求出，由平行线的判定及性质得，由正切函数得，即可求解； （3）过作交的延长线于，由相似三角形的判定得，由相似三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：（1）由翻折得： ， ， ， 设， ， ， ， 解得：， 故的长为； （2）设， 由折叠得， ， ， ， 解得：， ， ，， ， ， 在中， ， ； （3）过作交的延长线于， ， ， ， ， 是的中点， ， 在和中 ， （）， ， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，正切函数等；掌握折叠的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，正切函数，能熟练利用勾股定理求解，并能构建全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $