精品解析：新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州伊犁州直和兵团第四师、第七师高中学业水平2024-2025学年高一上学期第三次质量监测数学试题

新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州伊犁州直和兵团第四师、第七师高中学业水平2024-2025学年高一上学期第三次质量监测数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的运算法则求解即可． 【详解】因为， 所以． 故选：B． 2. 设命题且，则的否定为（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定求解即可. 【详解】由全称命题的否定知： 命题且的否定为： 且. 故选：D 3. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值得解. 【详解】， 故选：C 4. 已知，则的最小值是（ ） A. B. 9 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式求最值即可得解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：A 5. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】结合分段函数解析式求值即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 6. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数的性质来求值即可. 【详解】因为， 所以． 故选：B. 7. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的单调性及诱导公式，判断A,D．根据指数函数及对数函数的单调性判断指数式及对数式的大小范围即可． 【详解】对于A， ， 因为在随着角的增大而增大，而， 所以，故A错误； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，因为在R上单调递增，所以， 又因为在上单调递增，所以，所以，C错误； 对于D: 在单调递增，， 所以，D正确； 故选：D. 8. 已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合偶函数的对称性可确定时函数性质，然后结合分式不等式的求法可求． 【详解】因为是定义在,上的偶函数，当时，单调递减，， 所以时，函数单调递增，, 所以的解集,,，的解集， 当时，的解集,,， 时的解集,,， 则不等式可转化为或， 解得或或． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于每个选项，由函数解析式明确定义域，根据奇函数的定义，利用复合函数单调性，可得答案. 【详解】对于A，由的定义域为， 将代入可得，为奇函数， 由函数与在上单调递增， 所以上单调递增，故A正确； 对于B，由的定义域为， 将代入可得，为奇函数， 由当时，可知函数在上单调递减， 在上单调递增，故B错误； 对于C，由的定义域为， 将代入可得，为奇函数， 由函数与在上单调递增， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，由正切函数性质可知，为奇函数， 在单调递增增，在上不单调，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数为奇函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项由周期公式可得；BC项代入验证即可；D项先化简再用定义证明. 【详解】A项，最小正周期，A正确； B项，令，解得， 所以函数的图象并不关于点对称，B错误； C项，令，解得，此时函数取得最小值. 故函数的图象关于直线对称，C正确； D项，， 设，，定义域关于原点对称， 设任意，则， 则，故是奇函数. 即函数为奇函数，D正确. 故选：ACD. 11. 定义，已知函数，若在区间上的值域为，则区间的长度可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先作出分段函数的图像，然后结合值域分析. 【详解】根据分段函数 又因为解得：或4， 可知函数可化为 作图如下： 令，当 或时， 或 或 当时，令或， 解得： 或，（舍）， 所以的长度可以为或 或 ， 区间或， 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ____________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据对数运算和指数运算计算出答案. 【详解】. 故答案为：4 13. 函数的定义域为______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数有意义列出不等式组，求解即得定义域. 【详解】函数的意义，则，解得且， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 14. 已知函数有两个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，得到，构造函数，，根据条件，数形结合得到，从而有，通过换元，得到，再求出在的取值范围，即可求解. 【详解】易知函数的定义域为，令，得到， 令，，图象如图所示， 因为函数有两个零点，由图易知，， 且，得到， 所以，令， 则，又易知在区间上单调递减， 所以，即的取值范围为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式，根据集合交集得解； （2）知两个集合存在交集，分情况列出不等式组，解得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 所以 【小问2详解】 因为， 则满足或或， 解得或或， 所以实数的取值范围为. 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义及同角三角函数的平方关系计算即可； （2）利用两角和的正切公式求解； （3）利用两角差的余弦公式计算即可. 【小问1详解】 根据题意可知：，，则， 同理，，则； 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以. 【小问3详解】 易知， 所以 . 17. 已知． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若，求的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数解析式进行化简得到，由周期公式和正弦型函数的单调性可得答案； （2）先求出，再由正弦函数的性质即可得到值域. 【小问1详解】 . 令， 解得：， 所以函数的最小正周期为， 单调递增区间为：； 小问2详解】 当时，， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在取最大值1，在取最小值， 所以，所以. 18. 注意力集中程度的研究，有助于大众提高自身办事效率.针对不同年龄阶段、一天的不同时段、不同性别、不同地区的人群，科学界有很多种不同的算法模型.有一种算法模型用注意力集中指数衡量注意力集中程度，注意力集中指数的值越大，集中程度越高，越有利于学习.数据显示在上午第三节40分钟的课中，高中学生的注意力集中指数受上课累计时长的影响.开始上课时学生的注意力集中指数逐步升高，随后学生的注意力集中指数开始降低.经过实验分析，得出学生的注意力集中指数与时间（分钟）的关系为：当时，是的一次函数，其中1分钟时注意力集中指数为70，5分钟时注意力集中指数为78；当时，是的二次函数，其中20分钟时注意力集中指数达到最大值，最大值为100. （1）求关于的解析式； （2）如果学生的注意力集中程度不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）（参考数据：） 【答案】（1） （2）分钟 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法来求得关于的解析式； （2）根据已知条件列不等式，由此求得正确答案. 【小问1详解】 当时，设， 依题意解得，所以， 当时，， 当时，设， 将代入上式得， 所以. 综上所述，. 【小问2详解】 由解得， 由， 得，， 所以. 综上所述，，共分钟. 19. 我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称为其正弦周期． （1）已知函数是周期函数，请求出它的一个周期，并指出它的最小正周期； （2）验证是以为周期的正弦周期函数； （3）已知存在这样一个函数，它是定义在上的严格增函数，值域为，且是以为周期的正弦周期函数．若，且存在唯一的，使得，求的值． 【答案】（1）是它的一个周期且是最小正周期，证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）结合正弦、余弦函数性质由周期函数定义求解； （2）根据正弦周期函数的定义求解； （3）从是严格递增函数，时，进行推理可得． 【小问1详解】 ，易知是它的一个周期， 因为， 下面证明是的最小正周期， 时，是增函数， 时，是减函数， 又， ， 所以，即函数图象关于直线对称， 所以当时，不可能是函数的周期， 假设函数有小于的正周期，则，取， 与时，函数的单调性相同，但， 而在这两个区间上单调性相反，假设错误． 所以是的最小正周期． 【小问2详解】 因为， 所以是以为周期的正弦周期函数. 证毕. 【小问3详解】 因为是周期函数，是它的一个周期， ，， 又由题意，, 因为，，严格递增函数， 所以， 又时，， ，， 因为是严格递增函数， 所以与是一一对应的， 因此，． 【点睛】关键点点睛：新定义题目的解题关键在于读懂所给定义，首先由特殊情况具体问题去结合新定义理解解题，提高对新定义的理解运用的基础上去解决更抽象更一般的问题，其次把握新定义的变形运用能力是关键，对能力要求很高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州伊犁州直和兵团第四师、第七师高中学业水平2024-2025学年高一上学期第三次质量监测数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题且，则的否定为（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 3. 的值是（ ） A B. C. D. 4. 已知，则的最小值是（ ） A. B. 9 C. 4 D. 5 5. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 下列各式正确的是（ ） A. B. C D. 8. 已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增函数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数为奇函数 11. 定义，已知函数，若在区间上值域为，则区间的长度可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ____________. 13. 函数的定义域为______________． 14. 已知函数有两个零点，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15 已知集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 已知． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若，求的值域． 18. 注意力集中程度的研究，有助于大众提高自身办事效率.针对不同年龄阶段、一天的不同时段、不同性别、不同地区的人群，科学界有很多种不同的算法模型.有一种算法模型用注意力集中指数衡量注意力集中程度，注意力集中指数的值越大，集中程度越高，越有利于学习.数据显示在上午第三节40分钟的课中，高中学生的注意力集中指数受上课累计时长的影响.开始上课时学生的注意力集中指数逐步升高，随后学生的注意力集中指数开始降低.经过实验分析，得出学生的注意力集中指数与时间（分钟）的关系为：当时，是的一次函数，其中1分钟时注意力集中指数为70，5分钟时注意力集中指数为78；当时，是的二次函数，其中20分钟时注意力集中指数达到最大值，最大值为100. （1）求关于的解析式； （2）如果学生的注意力集中程度不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）（参考数据：） 19. 我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称为其正弦周期． （1）已知函数是周期函数，请求出它的一个周期，并指出它的最小正周期； （2）验证是以为周期的正弦周期函数； （3）已知存在这样一个函数，它是定义在上的严格增函数，值域为，且是以为周期的正弦周期函数．若，且存在唯一的，使得，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$