第07讲 向量平行的坐标表示（思维导图+2知识点+4考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

第07讲 向量平行的坐标表示 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解两向量平行的坐标表示； 2．能利用两向量平行的坐标表示解决相关问题． 知识点1 向量平行的坐标表示 设向量，，则． 当时，由于与任意向量平行，故恒成立．即对任意向量都有：． 知识点2 定比分点的坐标表示 1、线段定比分点的定义 （1）如图，设是直线上两点，点是不同于的任意一点，则存在一个实数，使，叫作点分线段所成的比，点叫作线段以定比为的定比分点． （2）点的位置与的范围的关系 ①当时，与同向共线，这时称点为的内分点； ②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点． 2、定比分点的坐标表示 设为坐标原点，若，，，，则， ∴（这个公式叫作线段定比分点的坐标公式），故点． 3、定比分点的两种特殊情况 利用定比分点坐标公式可以得到线段的中点坐标公式及三角形的重心坐标公式． （1）中点坐标公式：设，的中点为，则，． （2）重心坐标公式：在中，，，，则的重心的坐标为． 考点一：由坐标判断向量是否共线 例1．（23-24高一下·北京顺义·期末）已知向量，，那么向量可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一下·四川达州·期中）（多选）与共线的单位向量有（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·浙江丽水·月考）已知向量，则与向量方向相反的单位向量是（    ） A． B． C． D．或 【变式1-3】（23-24高一下·海南·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 考点二：由向量共线（平行）求参数 例2.（23-24高一下·江苏常州·月考）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式2-1】（24-25高一上·河北保定·期中）已知向量，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·吉林长春·期中）已知向量．若与平行，则实数λ的值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式2-3】（23-24高一下·四川·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 考点三：由坐标解决三点共线问题 例3.（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知，，，若A，B，C三点共线，则m=（    ） A．11 B．9 C．7 D．6 【变式3-1】（23-24高一下·贵州黔东南·期末）已知，若三点共线，则 . 【变式3-2】（23-24高一下·北京·期中）若三点共线，则实数的值为 . 【变式3-3】（23-24高一下·福建厦门·月考）在平面直角坐标系中，，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围为 ． 考点四：线段的定比分点计算 例4.（23-24高一下·福建莆田·月考）已知点，向量，点是直线上一点，满足，则点的坐标是（    ） A．. B． C．或 D．或 【变式4-1】（22-23高一下·湖南长沙·月考）已知，，点分所成的比为，则与的值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一下·云南昆明·月考）（多选）已知为坐标原点，向量是线段的三等分点，则的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一下·福建泉州·月考）（多选）已知点是的重心，点，，C(−2,5)，点是上靠近点B的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏南京·月考）已知，则与方向相反的单位向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·天津和平·月考）已知点，则与向量AB同方向的单位向量为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖北·期中）已知，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏盐城·期末）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高一下·宁夏银川·月考）已知是平面内两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（    ） A． B．4 C． D．0 6．（23-24高一下·福建莆田·月考）某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示，该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中三点恰好共线，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一下·四川内江·期中）下列条件能使的是（    ） A． B． C． D．， 8．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 三、填空题 9．（24-25高二上·江苏徐州·月考）若三点（）共线，则 . 10．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知向量，若与共线，则实数 . 四、解答题 11．（23-24高一下·湖南永州·月考）已知，，三点的坐标分别为，，，且，． (1)求点，的坐标 (2)判断与是否共线． 12．（23-24高一下·广东惠州·月考）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线. (1)求实数的值； (2)若，求的坐标； (3)已知，在（2）的条件下，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点的坐标. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 向量平行的坐标表示 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解两向量平行的坐标表示； 2．能利用两向量平行的坐标表示解决相关问题． 知识点1 向量平行的坐标表示 设向量，，则． 当时，由于与任意向量平行，故恒成立．即对任意向量都有：． 知识点2 定比分点的坐标表示 1、线段定比分点的定义 （1）如图，设是直线上两点，点是不同于的任意一点，则存在一个实数，使，叫作点分线段所成的比，点叫作线段以定比为的定比分点． （2）点的位置与的范围的关系 ①当时，与同向共线，这时称点为的内分点； ②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点． 2、定比分点的坐标表示 设为坐标原点，若，，，，则， ∴（这个公式叫作线段定比分点的坐标公式），故点． 3、定比分点的两种特殊情况 利用定比分点坐标公式可以得到线段的中点坐标公式及三角形的重心坐标公式． （1）中点坐标公式：设，的中点为，则，． （2）重心坐标公式：在中，，，，则的重心的坐标为． 考点一：由坐标判断向量是否共线 例1．（23-24高一下·北京顺义·期末）已知向量，，那么向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，由，得与不共线，A不是； 对于B，由，得与不共线，B不是； 对于C，由，得与不共线，C不是； 对于D，由，得，D是.故选：D 【变式1-1】（23-24高一下·四川达州·期中）（多选）与共线的单位向量有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为，所以， 所以与共线的单位向量或.故选：BC. 【变式1-2】（23-24高一下·浙江丽水·月考）已知向量，则与向量方向相反的单位向量是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】.故选：B. 【变式1-3】（23-24高一下·海南·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A，与共线，所以不能作为基底，故A错误， 对于B，，故两向量共线，B错误， 对于C，，，，两向量不共线，故可作为基底，C正确， 对于D，，两向量共线，D错误，故选：C 考点二：由向量共线（平行）求参数 例2.（23-24高一下·江苏常州·月考）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】因为，，， 所以，所以.故选：D. 【变式2-1】（24-25高一上·河北保定·期中）已知向量，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，，且， 由可得，解得.故选：B 【变式2-2】（23-24高一下·吉林长春·期中）已知向量．若与平行，则实数λ的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】由，得，而，与平行， 因此，解得， 所以实数λ的值为.故选：D 【变式2-3】（23-24高一下·四川·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以，， 由于，所以，化简可得.故选：A. 考点三：由坐标解决三点共线问题 例3.（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知，，，若A，B，C三点共线，则m=（    ） A．11 B．9 C．7 D．6 【答案】A 【解析】由题意与共线，所以，解得．故选：A. 【变式3-1】（23-24高一下·贵州黔东南·期末）已知，若三点共线，则 . 【答案】 【解析】因为，且三点共线， 所以，所以，解得. 故答案为： 【变式3-2】（23-24高一下·北京·期中）若三点共线，则实数的值为 . 【答案】5 【解析】因为，所以， 而三点共线，所以共线， 所以，解得. 故答案为：5. 【变式3-3】（23-24高一下·福建厦门·月考）在平面直角坐标系中，，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】A，B，C三点能构成三角形，则与不共线， ，若与共线，则有，解得， 若A，B，C三点能构成三角形，即实数m的取值范围为. 故答案为： 考点四：线段的定比分点计算 例4.（23-24高一下·福建莆田·月考）已知点，向量，点是直线上一点，满足，则点的坐标是（    ） A．. B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】依题意，若，则，而， 因此，则点的坐标是； 若，则，则点的坐标是， 所以点的坐标是或.故选：C 【变式4-1】（22-23高一下·湖南长沙·月考）已知，，点分所成的比为，则与的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，，， ∴，， ∵分所成的比为，∴，即， ∴有，解得.故选：D. 【变式4-2】（23-24高一下·云南昆明·月考）（多选）已知为坐标原点，向量是线段的三等分点，则的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或.故选：AC. 【变式4-3】（23-24高一下·福建泉州·月考）（多选）已知点是的重心，点，，C(−2,5)，点是上靠近点B的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】 对于A项，如图，点是的重心，点，，， 设点，则，故A选项正确； 对于B项，因点是上靠近点的三等分点，则设则 即,解得，故B项正确； 对于C项，因为，则， 故,即，故C项错误； 对于D项，因 则，故D项错误.故选:AB. 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏南京·月考）已知，则与方向相反的单位向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以与方向相反的单位向量的坐标为，故选：D 2．（23-24高一下·天津和平·月考）已知点，则与向量AB同方向的单位向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，故选：A. 3．（24-25高三上·湖北·期中）已知，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点在线段的延长线上，且，所以点为中点， 设点，则，解得，所以点的坐标为.故选：C. 4．（23-24高一下·江苏盐城·期末）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，可得, 则是的充分不必要条件.故选：A. 5．（23-24高一下·宁夏银川·月考）已知是平面内两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（    ） A． B．4 C． D．0 【答案】B 【解析】因为三点共线， 所以，共线，又是平面内两个不共线向量， 所以可设，因为，， 所以，所以，所以，故选：B. 6．（23-24高一下·福建莆田·月考）某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示，该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中三点恰好共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可知：，，， 所以，， 因为三点恰好共线，所以， 所以，解得.故选：C. 二、多选题 7．（23-24高一下·四川内江·期中）下列条件能使的是（    ） A． B． C． D．， 【答案】BC 【解析】对于A，向量模相等不一定能保证向量共线，故A错误； 对于B，能保证向量共线，且它们的模也相等，故B正确； 对于C，等价于是零向量，而零向量可以和任何向量共线，故C正确； 对于D，不存在任何实数使得，即方程组不可能成立， 这意味着不能共线，故D错误.故选：BC. 8．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【解析】对A，因为为零向量，所以不能作为基底，A错误； 对B，因为，所以不共线，可以作为基底，B正确； 对C，因为，所以共线，不能作为基底，C错误； 对D，因为，所以不共线，可以作为基底，D正确；故选：BD. 三、填空题 9．（24-25高二上·江苏徐州·月考）若三点（）共线，则 . 【答案】 【解析】因为三点共线， 所以，， 所以，即，又， 所以，所以. 故答案为： 10．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知向量，若与共线，则实数 . 【答案】 【解析】因，， 则由与共线可得，，解得. 故答案为：. 四、解答题 11．（23-24高一下·湖南永州·月考）已知，，三点的坐标分别为，，，且，． (1)求点，的坐标 (2)判断与是否共线． 【答案】(1)，；(2)共线 【解析】（1）依题意得，． 设， 由，可知， 即解得，点的坐标为 由，可知， 即解得，点的坐标为． （2）由（1）可知， 又，，故与共线． 12．（23-24高一下·广东惠州·月考）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线. (1)求实数的值； (2)若，求的坐标； (3)已知，在（2）的条件下，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点的坐标. 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）. 因为三点共线，所以存在实数，使得， 即，得. 因为是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得. （2）. （3）因为四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以. 设，则， 因为，所以，解得， 即点的坐标为. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$