19.1 多边形内角和-【木牍教育】2024-2025学年八年级数学下册同步教学优质课件（沪科版）

数 学 HK 八年级 下册 木牍教育-教学设计中心 制作 ※ 建议使用WPS2019打开。 19.1 多边形内角和 沪科版八年级下册 第十九章 课程讲授 课程导入 习题解析 课堂总结 前 言 学习目标及重难点 1.掌握多边形的定义及有关概念，能区分凹凸多边形. 2.会求多边形的对角线的条数，能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式.（重点、难点） 课时A计划 课程导入 深圳比亚迪总部六角大楼 课时A计划 课程导入 课时A计划 问题1：你还记得三角形内角和是多少度吗？ （三角形内角和 180°） 问题2：你知道长方形和正方形的内角和是多少吗？ 其他四边形的内角和是多少？ （都是360°） 问题3： 从n边形的一个顶点可以引＿＿＿＿＿条对角线， 将n边形分成了________个三角形. （n-3） （n-2） 问题4：n边形的对角线一共有＿＿＿＿__ 条. 课程导入 回顾 课时A计划 课程讲授 新课推进 探索1：多边形及其相关概念 问题 观察画某多边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗？ 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. A B C D E F 课时A计划 课程讲授 新课推进 A B C D E F （1）组成多边形的线段叫做多边形的边. （2）相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 课时A计划 课程讲授 新课推进 （3）多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的内角. A B C D E F （4）在顶点处一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角. 课时A计划 课程讲授 新课推进 内角 顶点 边 外角 n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角． 你知道多边形怎么命名吗？ 课时A计划 课程讲授 新课推进 A B C D A B C D E A B C D E F 四边形ABCD 五边形ABCDE 六边形ABCDEF 多边形的图形名称：可以按顺时针或逆时针的顺序用图形的顶点的字母来表示. 课时A计划 课程讲授 新课推进 （1） （2） A B C D E F G H 如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形. 多边形（除了边FG）外的其他边分布在直线FG的两侧 课时A计划 一个n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角. 随堂小练习 课程讲授 新课推进 看图填空 3 4 5 6 7 ··· n 3 4 5 6 7 ··· n 6 8 10 12 14 ··· 2n 3 4 5 6 7 ··· n 多边形 边数 内角数 三角形 四边形 五边形 六边形 七边形 ··· n边形 顶点数 外角数 课时A计划 课程讲授 新课推进 (1) 三角形内角和是多少度？ 三角形的内角和为180° 探索2：多边形的内角和 课时A计划 课程讲授 新课推进 (2) 长方形、正方形的内角和是多少？ 4×90°=360° 能猜想任意四边形内角和是多少度吗？ A D C B 你有什么方法验证你的猜想？ 课时A计划 A B D C 课程讲授 新课推进 方法①：从四边形的一个顶点作1条对角线，把四边形分割成 2个三角形，则四边形的内角和为 2×180°=360° 思考 那么，任意四边形内角和又是如何求的呢？ 课时A计划 A B D C 课程讲授 新课推进 4×180° 方法②：在四边形内部任取一点P，将点P与各顶点相连，把四边形分割成 4个 三角形，则四边形的内角和为 P =360° -360° 课时A计划 A B D C 3×180° P 方法③：在四边形一边上任取一点P(顶点除外)，把点P与各顶点相连，将四边形分割成 3个 三角形， 则四边形的内角和为 -180° =360° 课程讲授 新课推进 课时A计划 课程讲授 新课推进 A B D C 方法④：在四边形外部任取一点P，把点P与各顶点相连，将四边形分割成 3个三角形，则四边形的内角和为 P 3×180° -180° =360° 课时A计划 课程讲授 新课推进 想一想：五边形的内角和是多少度呢？ 你能动手做一做吗? A B C D E 方法①：从五边形的一个顶点作2条对角线，把四边形分割成3个三角形，则五边形的内角和为 3×180°=540° 课时A计划 想一想：五边形的内角和是多少度呢？ 你能动手做一做吗? A B C D E 5×180° 方法②：在五边形内部任取一点P，将点P与各顶点相连，把五边形分割成 5个三角形，则五边形的内角和为 =540° -360° P 课程讲授 新课推进 课时A计划 课程讲授 新课推进 想一想：五边形的内角和是多少度呢？ 你能动手做一做吗? A B C D E P 4×180° 方法③：在五边形一边上任取一点P(顶点除外)，把点P与各顶点相连，将五边形分割成 4个三角形，则五边形的内角和为 -180° =540° 课时A计划 课程讲授 新课推进 想一想：五边形的内角和是多少度呢？ 你能动手做一做吗? A B C D E P 方法④：在五边形外部任取一点P，把点P与各顶点相连，将五边形分割成4个三角形，则五边形的内角和为 4×180° -180° =540° 课时A计划 多边形 边数 图形 一个顶点出发的对角线条数 分成三角形的个数 计算规律 三角形 3 0 1 四边形 4 1 2 五边形 5 2 3 六边形 6 3 4 … … … … n边形 n n-3 n-2 … (n-2) ·180° 4 ×180° 3 ×180° 2 ×180° 1 ×180° =180° =360° =540° =720° 按照第一种分割的做法来看： 归纳总结 课程讲授 新课推进 课时A计划 多边形的内角和定理： n边形的内角和等于(n-2)•180°(n为不小于3的整数) 规律总结： ① 从n边形一个顶点出发，可作 (n-3) 条对角线，这些对角线把n边形分成 (n-2) 个三角形. ③ 多边形的边数增加1，内角和就增加180°. 课程讲授 新课推进 ② n边形一共可以作 条对角线. 课时A计划 求正六边形每个内角的度数. 解：设正六边形的内角和为 (6-2)×180°=720°， 所以每个内角的度数为 720°÷6=120°. 例1 课程讲授 新课推进 课时A计划 1、从一个多边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形.求这个多边形的边数. 解：设多边形的边数为n.根据题意，得 n-2= 6 解得 n=8 ∴ 这个多边形的边数为8. 随堂小练习 课程讲授 新课推进 课时A计划 课程讲授 新课推进 探索3：多边形的外角和 2 1 在多边形的每个顶点处取多边形的一个外角，它们的和叫做 多边形的外角和. C A B D 3 4 如：四边形ABCD的外角和是 ∠1+∠2+∠3+∠4 课时A计划 课程讲授 新课推进 3 2 三角形的外角和是多少度? A B C 思考1 1 整体思路： 1.先求3个外角+3个内角的和 2.再减去三角形的内角和 ∴ 三角形的外角和是 又∵ 三角形的内角和是 证明： ∴ 3个外角与3个内角的和是 ∵ 三角形的每个外角与它相邻的内角互补 3×180°-180° 180° 3×180° =360° 课时A计划 课程讲授 新课推进 那么你能研究出四边形的外角和吗？ 整体思路： 1.先求4个外角+4个内角的和 2.再减去四边形的内角和 ∴ 四边形的外角和是 又∵ 四边形的内角和是 证明： ∴ 4个外角与4个内角的和是 ∵ 四边形的每个外角与它相邻的内角互补 4×180° (4-2)×180° 4×180° =360° 2 1 C A B D 3 4 -(4-2)×180° 思考2 课时A计划 课程讲授 新课推进 A1 A3 A2 An A4 A5 2 1 3 4 5 整体思路： 1.先求n个外角+n个内角的和 2.再减去n边形的内角和 你能求出n边形的外角和是多少度吗？ ∴ n边形的外角和是 又∵ n边形的内角和是 证明： ∴ n个外角与n个内角的和是 ∵ n边形的每个外角与它相邻的内角互补 n×180° (n-2)×180° n×180° =360° -(n-2)×180° 思考3 课时A计划 课程讲授 新课推进 多边形的外角和定理： n边形的外角和等于360°(n为不小于3的整数) ② 多边形的外角和与边数无关，都等于360°，是一个定值. ① 多边形的外角和是取每一个顶点处的一个外角相加而得到的，而不是所有外角相加的和. 注意 课时A计划 课程讲授 新课推进 解： ∴ 这个多边形是八边形. 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？ 设这个多边形的边数为n.根据题意，得 (n-2)•180° = 360°×3 n = 8 解得 例2 课时A计划 课程讲授 新课推进 认真观察下面一组图形，它们有什么共同特点？ 特点： 它们的各个内角都相等 它们的各条边都相等 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形. 探索4：正多边形概念 课时A计划 课程讲授 新课推进 (1) 各条边都相等的多边形是正多边形. 正多边形的特点 2.各个内角都相等 1.各条边都相等 二者缺一不可 菱形 长方形 下列图形是不是正多边形？ 由上面的结论判定下列说法正确吗？ (2) 各个角都相等的多边形是正多边形. × × × × 随堂小练习 课时A计划 正多边形 内角和 每个内角的度数 每个外角的度数 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 … … … … 正n边形 (n-2) ·180° (6-2)×180° (5-2)×180° (4-2)×180° 180° =360° =540° =720° 180°÷3 =60° 360°÷4 =90° 540°÷5 =108° 720°÷6 =120° (n-2) ·180° n 360°÷3 =120° 360°÷4 =90° 360°÷5 =72° 360°÷6 =60° 360° n 课程讲授 新课推进 总结 课时A计划 课程讲授 新课推进 ① 正n边形的每一个内角都相等，且都等于 (n-2) ·180° n ② 正n边形的每一个外角都相等，且都等于 360° n 课时A计划 随堂小练习 课程讲授 新课推进 求正十二边形的每个内角和每个外角的度数？ 解： 正十二边形的每个内角的度数为 (12-2)×180° =150° 每个外角的度数为 360° 12 =30° 12 课时A计划 三角形具有稳定性： 三角形的各边长确定后，三角形的形状就确定了. 课程讲授 新课推进 探索4：三角形的稳定性 思考 课时A计划 课程讲授 新课推进 四边形具有不稳定性： 四边形的各边长确定后，四边形的形状不能确定 课时A计划 习题解析 习题1 已知一个多边形，它的内角和等于900°，求这个多边形的边数. 解：设多边形的边数为n.根据题意，得 (n-2)•180°= 900º 解得 n=7 ∴ 这个多边形的边数为7. 课时A计划 习题2 习题解析 一个多边形的每一个内角都相等，且内角和等于540°，求这个多边形各内角的度数. 解：设多边形的边数为n.根据题意，得 (n-2)•180°= 540º 解得 n=5 ∴ 这个多边形各内角的度数为 540°÷5 =108° 课时A计划 习题解析 习题3 一个正多边形每一个内角比每一个外角的3倍还大20°，求这个正多边形的内角和. 解：设多边形的边数为n.根据题意，得 (n-2) ·180° n 360° n 3× +20° 解得 n=9 ∴ 这个多边形内角和为 = （9-2) ·180° = 1260° 课时A计划 习题解析 1.在四边形ABCD中，∠A+∠C=180º，∠B：∠C：∠D = 1：2：3，求∠A的度数. 解： 又∵ 在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360º， ∵ ∠B：∠C：∠D = 1：2：3 ∴ 设 ∠B=x°，∠C=2x°，∠D=3x° ∴ 180+x+3x=360 解得 x=45 ∴ ∠C=2x°=90° ∴ ∠A= 且 ∠A+∠C=180º 180°-90°=90° 拓展提升 课时A计划 2.如图，求 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数. 解： 2 G 1 A B C D E F H ∵ ∠1是△BGC的外角 ∴ ∠1=∠B+∠C ∵ ∠2是△DHE的外角 ∴ ∠2=∠D+∠E ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F =∠A+∠1+∠2+∠F =(4-2)×180° 利用外角的性质，把分散的角集中到多边形中，再根据多边形的内角和去解决问题. =360° 习题解析 课时A计划 习题解析 3.如图，求 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数. A B D E C F N G M 解：连接BF ∵ ∠A+∠G+∠ANG=∠BNF+∠ABF+∠GFB ∴ ∠A+∠G=∠ABF+∠GFB 又∵ ∠ANG=∠BNF ∴ ∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G =∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠ABF+∠GFB =∠CBF+∠C+∠D+∠E+∠EFB =(5-2)×180°=540° 课时A计划 课程总结 小结 正多边形：内角= ，外角= 多边形 概念 性质 外角和：多边形的外角和等于360° 特别注意：与边数无关. 内角和计算公式：(n-2) × 180 °(n ≥3的整数） 正多边形：定义既是判定也是性质 定义：前提条件是在一个平面内 对角线：它是多边形的一条重要线段，在今后通常作对角线把多边形的问题转化为三角形和四边形的问题 四边形：具有不稳定性 课时A计划 课后作业 课程总结 课时A计划对应章节. 课时A计划 $$