17.4 一元二次方程的根与系数的关系-【木牍教育】2024-2025学年八年级数学下册同步教学优质课件（沪科版）

数 学 HK 八年级 下册 木牍教育-教学设计中心 制作 ※ 建议使用WPS2019打开。 *17.4 一元二次方程的根与系数的关系 沪科版八年级下册 第十七章 课程讲授 课程导入 习题解析 课堂总结 前 言 学习目标及重难点 1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点） 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点） 课时A计划 2.可以通过判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况 对一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根. 课程导入 目前，我们学习的一元二次方程中根与系数的关系都有哪些呢？ 1、可以通过系数直接求出一元二次方程的根，如一元二次方程的求根公式 课时A计划 课程讲授 新课推进 探索1：一元二次方程的根与系数的关系 想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其他关系吗？ 在前面17.2节中，我们学过，一元二次方程的每一个根都可由它的各项系数通过运算得到. 进一步，你是否注意到每个方程中的两根之和(x1＋x2)、两根之积（x1x2）与该方程的各项系数之间有怎样的关系？填写下表，然后观察根与系数的关系： 课时A计划 方程 x1 x2 x1＋x2 x1x2 x2＋2x－15＝0 3x2－4x＋1＝0 2x2－5x＋1＝0 课程讲授 新课推进 3 -5 -2 -15 1 根据你的观察，猜想： 方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根如果是x1，x2，那么 x1＋x2＝_______, x1x2＝_______. 你能证明上面的猜想吗？ 课时A计划 课程讲授 新课推进 我们知道，一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的两根为 ∴ 课时A计划 我们知道，一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的两根为 ∴ 课程讲授 新课推进 课时A计划 课程讲授 新课推进 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么 当一元二次方程的二次项系数为1时，它的标准形式为x2+px+q=0,两个根为x1、 x2，那么 注意前提条件是b2-4ac 0 ≥ 这就是 根与系数 的关系，通常称为韦达定理. 课时A计划 16世纪法国最杰出的数学家韦达发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此,人们把这个关系称为韦达定理.数学原本只是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就. 课程讲授 新课推进 数学小知识 韦达 课时A计划 课程讲授 新课推进 例1 探索2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 已知关于x的方程2x2＋kx－4＝0的一个根是－4,求它的另一个根及k的值. 此种类型的问题，可以代入已知根；也可以根据根与系数的关系来解决 解：设方程的另一个根是x2，则 答：方程的另一个根为 k的值为7. 解方程组，得 课时A计划 课程讲授 新课推进 方程 2x2－3x＋1＝0的两个根记作x1 ， x2不解方程，求x1 －x2的值. 解：由韦达定理，得 例2 课时A计划 课程讲授 新课推进 拓展：常见的涉及一元二次方程的两个根x1，x2的代数式的重要变形有 ①x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2； ④(x1＋k)(x2＋k)＝x1·x2＋k(x1＋x2)＋k2； ⑤ 课时A计划 课程讲授 新课推进 随堂小练习 A、a=b B、b=c C、a=c D、a=b=c 1、关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的两根如果互为倒数，那么（ ） C A、p>0 且 q>0 B、p>0 且 q<0 C、p<0 且 q>0 D、p<0 且 q<0 2、关于x的方程 x2+px+q 的两根同为负数，则（ ）. A 3、如果方程 x2+kx+8=0 的一根是另一根的2倍，那么K= . ±6 课时A计划 习题解析 习题1 2.设 x1、x2是方程x2－4x+1=0的两个根，则 x1+x2 = ______ , x1x2 = _______， x12+x22 = (x1+x2)2 - ________ = _____, (x1-x2)2 = (______)2 - 4x1x2 = _____. x1+x2 2x1x2 4 1 14 12 1. 已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2 为根的一元二次方程是(　　) A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0 C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0 A 课时A计划 习题2 习题解析 已知关于x的一元二次方程x2+x+m2-2m=0有一个实数根为-1,求m的值及方程的另一个实数根. 解:设方程的另一根为x2, 则-1+x2=-1,解得x2=0. 把x=-1代入x2+x+m2-2m=0,得(-1)2+(-1)+m2-2m=0, 即m(m-2)=0,解得m1=0,m2=2. 综上所述,m的值是0或2,方程的另一个实数根是0. 课时A计划 习题解析 习题3 设 a，b 是方程 x2+x-2022=0 的两个实数根，求 a2+2a+b 的值. 解： ∵ a是方程 x2+x-2022=0 的根 ∴ a2+a-2022=0 ∴ a2+a=2022 又∵ a，b 是方程 x2+x-2022=0 的两个实数根 ∴ 由韦达定理可得 a+b=-1 ∴ a2+2a+b =a2+a+a+b =2022-1 =2021 课时A计划 习题解析 拓展提升 已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+2m=0 有两个不相等的实数根. (1) 求m的取值范围； (2) 若 x1，x2 是一元二次方程 x2+2x+2m=0 的两个根，且 x12+x22 =8，求m的值. 解:(1) ∵ 一元二次方程 x2+2x+2m=0 有两个不相等的实数根 ∴ Δ=b2-4ac=22-4×1×2m=4-8m＞0 解得 ∴ 当m<时，一元二次方程 x2+2x+2m=0 有两个不相等的实数根. m< 课时A计划 习题解析 解:(2) ∵ x1，x2 是一元二次方程 x2+2x+2m=0 的两个根 ∴ x1+x2=-2 , x1x2=2m 又∵ x12+x22 =8 ∴ (x1+x2)2- 2x1x2=8 ∴ (-2)2 -2×2m=8 解得 m=-1 ∴ m=-1符合题意 ∴ m的值为-1 (2) 若 x1，x2 是一元二次方程 x2+2x+2m=0 的两个根，且 x12+x22 =8，求m的值. 由(1)可知 m< 课时A计划 课程总结 小结 根与系数的关系 （韦达定理） 内容 应用 = ()2=()2-4 2=()2-2 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么 二次项系数为1的形式 x2+px+q=0时， x1+x2=-p，x1·x2=q =－ = 课时A计划 课后作业 课程总结 课时A计划对应章节. 课时A计划 $$