17.4 一元二次方程的根与系数的关系（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

*17.4 一元二次方程的根与系数的关系 第17章 一元二次方程 优翼八下数学教学课件（HK） 复习引入 1. 一元二次方程的求根公式是什么？ 想一想：方程的根与系数 a，b，c 之间还有其他关系吗？ 2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？ 对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式 Δ = b2 - 4ac. 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程无实数根. 导入新课 算一算 解下列方程并完成填空： (1) x2 + 3x - 4 = 0；(2) x2 - 5x + 6 = 0；(3) 2x2 + 3x + 1 = 0. 一元二次方程 两 根 关 系 x1 x2 x2 + 3x - 4 = 0 x2 - 5x + 6 = 0 2x2 + 3x + 1 = 0 -4 1 2 3 -1 x1 + x2 = -3 x1·x2 = -4 x1 + x2 = 5 x1·x2 = 6 将二次项系数化为 1 探索一元二次方程的根与系数的关系 猜一猜 （1）一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？ 重要发现 方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式 (x - x1)(x - x2) = 0 x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0 x2 + px + q = 0 x1 + x2 = -p， x1·x2 = q 猜一猜 （2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别是 x1，x2，那么，你可以发现什么结论？ 证一证： 注：b2 - 4ac≥0 ↗ 一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1，x2，那么 归纳总结 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0； （2）2x2 - 3x - 2 = 0. 解:（1）设方程的两根是 x1，x2，由韦达定理， 得 x1 + x2 = -7，x1·x2 = 6. （2）设方程的两根是 x1，x2，由韦达定理， 得 x1 + x2 = ，x1·x2 = -1. 一元二次方程的根与系数的关系的应用 例2 已知方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值. 解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1 = 2. 由韦达定理，得 x1·x2 = 2x2 = ， ∴ x2 = 则 x1 + x2 = 2 + = ， 解得 k = -7. 答：方程的另一个根是 ，k 的值为 -7. 变式：已知方程 3x2 - 18x + m = 0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值. 解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1= 1. 由韦达定理，得 x1 + x2 = 1 + x2 = 6， ∴ x2 = 5 . 又 x1·x2 = 1×5 = ， 解得 m = 15. 答：方程的另一个根是 5，m 的值为 15. 例3 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知 设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则 (1) x1 + x2 = ； (2) x1·x2 = ； (3) ； (4) . 4 1 14 12 练一练 例4 设 x1，x2 是方程 x2 - 2(k - 1)x + k2 = 0 的两个实数根，且 x12 + x22 = 4，求 k 的值. 解：由方程有两个实数根，得 Δ = 4(k - 1)2 - 4k2≥0， 即 -8k + 4≥0， 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k - 1)，x1 x2 = k2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k - 1)2 - 2k2 = 2k2 - 8k + 4 = 4. 解得 k1 = 0，k2 = 4. ∵ ，∴ k = 0. 有关韦达定理的常见的求值式子如下： 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 归纳 2. 已知一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根分别为 -2 和 1，则 p = ，q = . 1 -2 1. 如果 -1 是方程 2x2 - x + m = 0 的一个根，那么另一个根是 ，m = ____. ___ -3 当堂练习 3. 已知方程 3x2 - 19x + m = 0 的一个根是 1，求它的另 一个根及 m 的值. 解：将 x = 1 代入方程中，得 3 - 19 + m = 0. 解得 m = 16. 设另一个根为 x1，则有 1 · x1 = ∴ x1 = 4. 已知 x1，x2 是方程 2x2 + 2kx + k - 1 = 0的两个根，且(x1 + 1)(x2 + 1) = 4. （1）求 k 的值； （2）求 (x1 - x2)2 的值. 解：（1）根据韦达定理，得 ∴ (x1 + 1)(x2 + 1) = x1x2 + (x1 + x2) + 1 = 解得 k = -7. （2）∵ k = -7，∴ 则 5. 设 x1，x2 是方程 3x2 + 4x – 3 = 0 的两个根，利用根与系数之间的关系，求下列各式的值： (1) (x1 + 1)(x2 + 1)； (2) 解：由根与系数的关系，得 （1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1 = （2） 6. 当 k 为何值时，方程 2x2 - kx + 1 = 0 的两根之差为 1？ 解：设方程两根分别为 x1，x2 (x1 > x2)，则 x1 - x2 = 1. ∵ (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 1， 拓展提升 由根与系数的关系，得 7. 已知关于 x 的一元二次方程 mx2 - 2mx + m - 2 = 0. （1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围； （2）若方程两根 x1，x2 满足 |x1 - x2| = 1，求 m 的值. 解:（1）∵ 方程有实数根， ∴ Δ = (-2m)2 - 4m(m - 2) = 4m2 - 4m + 8m = 8m≥0. ∵ m ≠ 0 ∴ m 的取值范围是 m＞0. （2）由韦达定理得 解得 m = 8，符合题意. ∵ |x1 - x2| = 1， 根与系数的关系 (韦达定理) 内 容 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别是 x1，x2，那么 应 用 …… 课堂小结 $$