17.3 一元二次方程根的判别式-【木牍教育】2024-2025学年八年级数学下册同步教学优质课件（沪科版）

数 学 HK 八年级 下册 木牍教育-教学设计中心 制作 ※ 建议使用WPS2019打开。 17.3 一元二次方程的判别式 沪科版八年级下册 第十七章 课程讲授 课程导入 习题解析 课堂总结 前 言 学习目标及重难点 1.理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念； 2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况； 3.根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围.（重点、难点） 课时A计划 课程导入 放学了，同学们在一起讨论一元二次方程根的情况. 好多例题都是两个根 有时候两个根是一样的哦！ 随便一个一元二次方程，我不用具体去解，就知道它的根的情况。。。 还有没有根的情况 ? 课时A计划 通过配方，我们得到了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，因为a≠0，所以 (1) 当b2－4ac>0时， 是一个正实数，因此方程有两个不相等的实数根: 课程讲授 新课推进 探索1：一元二次方程根的判别式 课时A计划 (2) 当b2－4ac=0时， ，因此方程有两个相等的实数根 (3) 当b2－4ac<0时， 在实数范围内无意义 ，因此方程没有实数根. 课程讲授 新课推进 课时A计划 课程讲授 新课推进 我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式， 用符号“∆”来表示，即∆=b2-4ac. 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 > 0 = 0 < 0 ≥ 0 判别式的情况 根的情况 课时A计划 特别指出：当 ∆≥0时，有两个实数根. 特别指出： 当方程有两个实数根时， ∆≥0. ∆＞0； ∆= 0； ∆＜0. 当方程没有实数根时， 当方程有两个相等的实数根时， 当方程有两个不相等的实数根时， 课程讲授 新课推进 反过来， 课时A计划 课程讲授 新课推进 不解方程，判别下列方程根的情况. 例1 探索2：根的判别式的应用 解：(1)因为Δ＝(－3)2－4×5×(－2)＝49＞0, 所以原方程有两个不相等的实数根. (1)5x2－3x－2＝0； 课时A计划 课程讲授 新课推进 (2)原方程可变形为 25y2－20y＋4＝0. 因为 Δ＝(－20)2－4×25×4＝0， 所以原方程有两个相等的实数根. (3)2x2＋ x＋1＝0. (2)25y2＋4＝20y； (3)因为Δ＝ －4×2×l＝－5＜0, 所以原方程没有实数根. 课时A计划 课程讲授 新课推进 解：∵方程kx2－12x＋9＝0是关于x的一元二次方程， ∴k≠0.方程根的判别式Δ＝(－12)2－4k×9＝144－36k. 由144－36k＞0，求得k＜4，又 k≠0， ∴当k＜4且k≠0时，方程有两个不相等的实数根． k取何值时，关于x的一元二次方程kx2－12x＋9＝0 有两个不相等的实数根？ 例2 课时A计划 课程讲授 新课推进 根的判别式的应用： (1)直用：不解方程，可以判断方程根的情况． (2)逆用：已知方程根的情况，判断字母系数的取值范围． 一元二次方程有实数根，包含有两个相等的实数根和有两个不相等的实数根两种情况． 注意： 课时A计划 课程讲授 新课推进 1. 下列一元二次方程中,没有实数根的是(　　)A.x2-2x=0 B.x2+4x-1=0C.2x2-4x+3=0 D.3x2=5x-2 C 2. 若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有 两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　) A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5 B 随堂小练习 课时A计划 习题解析 习题1 不解方程,判断下列一元二次方程根的情况. 解:(1)∵a=9,b=6,c=1,∴b2-4ac=36-36=0, ∴此方程有两个相等的实数根. (2)将一元二次方程化为一般形式,得2x2-x-6=0. ∵a=2,b=-1,c=-6,∴b2-4ac=(-1)2-4×2×(-6)=49>0, ∴此方程有两个不相等的实数根. (3)x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1.∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0. ∴方程无实数根． (1)9x2+6x+1=0; (2)x(2x+3)=4x+6; (3) x2-x+1=0 课时A计划 习题2 习题解析 不解方程，判别关于x的方程 的根的情况. 解：a=1, ,c=k2 因为 所以方程有两个实数根. 课时A计划 已知关于y的方程 y2-4y+3m=0，问 m 取何值时，这个方程： (1) 有两个不相等的实数根？ (2) 有两个相等的实数根？ (3) 没有实数根？ 习题解析 习题3 解： ∆=b2-4ac =(-4)2-4×1×3m =16-12m (1) 当方程有两个不相等的实数根时， ∆＞0， 即 16-12m＞0， 解得 (2) 当方程有两个相等的实数根时， ∆=0， 即 16-12m=0， 解得 (3) 当方程没有实数根时， ∆<0， 即 16-12m<0， 解得 m< m= m> 课时A计划 关于x的方程 m2x2+(2m+1)x+1=0 有实数根，求m的取值范围. 习题4 习题解析 ∵ 方程 m2x2+(2m+1)x+1=0 有实数根 解： 当 m=0 时， 此方程为一元一次方程， 当 m≠0 时， 方程有实数根. 此方程为一元二次方程. ∴ ∆=(2m+1)2-4m2 ≥0 解得 且 m≠0 综上所述， 当 时， 关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 有实数根. m ≥ m ≥ 课时A计划 习题解析 拓展提升 已知：关于x的一元二次方程 mx2-3(m-1)x+2m-3=0 (m为实数) (1) 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (3) 若m为整数，且方程的两个根均为正整数，求m的值. (2) 求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根； 解：(1) ∵ 方程有两个不相等的实数根 ∆>0 m≠0 即 [-3(m-1)]2-4m(2m-3)>0 m≠0 ∴ 解得 m≠3 且 m≠0 课时A计划 习题解析 解：(2) ∵ ∆=[-3(m-1)]2-4m(2m-3) ∴ =(m-3)2 ≥0 ∴ ∴ 无论m为何值，方程总有一个固定的根是1. = x1= x2= 课时A计划 习题解析 解：(3) ∵ m为整数，且方程的两个根均为正整数 ∴ 必为整数 m=±1 或 m=±3 ∴ 当 m=1 时 ，x1=-1； ∴ 当 m=-1 时 ，x1=5； 当 m=3 时 ，x1=1； 当 m=-3 时 ，x1=3； m=1 或 m=±3 ∴ x1=2 课时A计划 课程总结 小结 根的判别式b2-4ac 判别式小于0，方程没有实根 判别式大于0，方程有两个不相等的实数根 判别式等于0，方程有两个相等的实根 课时A计划 课后作业 课程总结 课时A计划对应章节. 课时A计划 $$