重难点15 几何压轴突破三 几何最值问题之将军饮马模型与逆等线模型（2种模型讲解+14种题型汇总+专题训练+真题训练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第四章 三角形 重难点15 几何压轴突破三 几何最值问题之 将军饮马模型与逆等线模型 （2种模型讲解+14种题型汇总+专题训练+真题训练） 【题型汇总】 类型一 将军饮马模型 场景总结：当题目中构图满足“求点到直线上动点距离和的最小值”的条件时,则一定存在将军饮马模型. 解题大招：(1)最值问题基本原理:① 两点之间线段最短;②点到直线,垂线段最短. (2)将军饮马解题步骤:第一步,明确动点、定点； 第二步,明确问题属于哪种将军饮马模型,要求哪些线段和的最小值(注意去掉长度固定的线段)； 第三步,利用平移、对称等方法,将问题转化为基本原理①或②. 模型详解： 类型一两定一动型（四种） 图形 条件 如图，A，B两定点分布在直线m两侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 如图，A，B两定点分布在直线m同侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 结论 当A，D，B三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB的长. 当A，D，B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的长. 解题方法 1）连:连接AB； 2）求:AB长度即为AD+BD的最小值; 1）找:找一个定点关于直线m的对称点B'； 2）连:连接对称点B'和另外一个定点A； 3）求:AB'长度即为AD+BD的最小值. 图形 条件 如图，A，B两点分布在直线m同侧，点D为直线m上一动点,求|AD-BD|的最大值. 如图，A，B两点分布在直线m两侧，点D为直线m上一动点,求|AD-BD|的最大值. 结论 当A，B，D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB的长 当A、B'、D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB'的长 解题方法 1）连:连接AB并延长交直线m于D’； 2）求:当点D和点D’重合时，|AD-BD|的值最大，AB的长度即为|AD-BD|的最大值. 1）找:找一个定点关于直线的对称点； 2）连:连接另外一个定点和对称点，并延长交直线于一点; 3）求:另外一个定点和对称点间的距离即为所求. 【补充】 图形 条件 如图，点A，B为定点，点P为直线m上一动点，求|AP-BP|取得最小值. 结论 当PA=PB时，|AP-BP|取得最小值,最小值为0. 类型二：一定两动型（三种） 图形 条件 如图，点P为直线m1上一动点，点Q为直线m2上一动点，点A为定点，求PA+PQ的最小值. 如图，点P为直线m1上一动点，点Q为直线m2上一动点，点A为定点，求PA+PQ的最小值. 图形 条件 如图，点M，N分别为m1，m2上的动点，点P为定点，求PM+PN+MN的最小值. 结论 做点P关于m1，m2的对称点P',P''，那么当P'，M，N，P''四点共线时，PM+PN+MN取得最小值，最小值为的距离. 类型三：两动两定型（两种） 图形 条件 如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B为∠MON内的两个定点，求AC+CD+BD+AB的最小值. 如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B分别为OM，ON上的定点，求AD+CD+BC的最小值. 结论 做A点关于OM的对称点A'，做B点关于ON的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AC+CD+BD取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AC+CD+BD+AB的最小值就是A'B'+AB. 做A点关于ON的对称点A'，做B点关于OM的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AD+CD+BC取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AD+CD+BC的最小值就是A'B'的长. 类型四:平移线段型（两种） 图形 条件 如图，A，B为定点，M，N分别为m，n上的动点，MN⊥n，m∥n，且MN为定值，求AM+MN+NB的最小值. 如图，A，B为定点，M，N分别为m上的动点，且MN为定值，求AM+MN+NB最小值. 结论 如图，将点A向下平移MN的单位长度得到点A'，连接A'B，交n于点N，过点N作MN⊥m，垂足为点M，点M和点N即为所求，当A'，N，B三点共线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B+MN. 如图，将点A向右平移MN个单位长度得点A'，作B关于直线m的对称点B’，连接A'B'，交直线m于点N，将点N向左平移MN个单位长度得点M，点M和点N即为所求，当A'，N，B'三点共线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B'+MN. 题型01 两定一动型 1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 2．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 3．（2023·广东广州·中考真题）如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，F为对角线上一动点，连接，，则的最小值为 ．    4．（2024·甘肃·中考真题）如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为．点C为的中点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． (3)点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接，，求的最小值． 5．（2022·广东深圳·三模）某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： （1）几何应用：如图，等腰直角三角形的直角边长为，是斜边的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ； （2）几何拓展：如图，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，求这个最小值 ； （3）代数应用：求代数式的最小值 ． 题型02 线段差最值 6．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为 ．    7．（21-22八年级上·河北承德·期末）如图，点A，B在直线的同侧，点A到的距离，点B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b． （1） ； （2） ． 8．（2023·山东菏泽·二模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与坐标轴分别交于B，C两点．    (1)若，求自变量x的取值范围； (2)动点在x轴上运动．当n为何值时，的值最大？并求最大值． 9．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标． 题型03 垂线段最短型 10．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 11．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 12．（20-21七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ．    13．（2020·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则的最小值为 ．      题型04 两定一动/两定动型 14．（22-23八年级下·江苏连云港·期中）如图，在边长为8的正方形中，点G是边的中点，E、F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为 ． 15．（2022·山东枣庄·二模）如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是 ． 16．（2023·陕西西安·二模）如图，在四边形中，，，，，、分别是边、上的动点，连接，，，则周长的最小值为 ．    17．（20-21九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E、F分别是边上的点，连接，若，，，则周长的最小值是 ．    18．（2020九年级·全国·专题练习）如图，抛物线与轴交于、，与轴交于点，点为的中点，点、分别为轴正半轴和抛物线对称轴上的动点，连接、、，求四边形周长最小时点、的坐标． 19．（2022·天津·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B． (1)若， ①求点P的坐标； ②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标； (2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标． 题型05 造桥选址型 20．（2020九年级·全国·专题练习）如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为 ．    21．（2023·陕西咸阳·一模）【问题提出】（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，A、B两点的水平距离，点P是直线l上的一个动点，则的最小值是________； 【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值； 【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形的空地，管理人员规划修两条小路和（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在和上分别选取点M、N，沿、和修建地下水管，为了节约成本，要使得线段、与之和最小． 已测出，，，，，管理人员的想法能否实现，若能，请求出的最小值，若不能，请说明理由．    22．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 23．（2021·广西·中考真题）如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为 ． 题型06 与将军饮马有关的角度探究问题 24．（2022·河北石家庄·模拟预测）如图，在五边形ABCDE中，（为钝角），，在BC，DE上分别找一点M，N，当周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 25．（2023·山东淄博·一模）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时， °． 26．（2021鼓楼区二模）如图，在四边形中，，，在、上分别取一点、，使的周长最小，则 °． 27．（21-22八年级上·贵州黔南·期中）如图，∠AOB＝，点P是∠AOB内的一定点，点M，N分别在OA，OB上移动，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数为 ． 题型07 与将军饮马有关的作图问题 28．（21-22八年级上·河南新乡·期末）如图，在方格中，水平方向的数轴我们叫轴，竖直方向的数轴我们叫轴，的三个顶点我们可以分别表示为，，．并称之为它们的坐标 (1)画出与关于轴对称的（点，，的对应点分别为点，，，），并仿照上面表示方法写出点，，三点的坐标； (2)点在轴上，使得，尺规作出点；（不写作法，保留作图痕迹） (3)点在轴上，使得的周长最小，作出点．（不写作法，保留作图痕迹） 29．（2022·吉林长春·一模）图①、图②、图③均是 6×6 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的画图痕迹． (1)在图①中画出 AC 边上的中线 BD． (2)在图②中画出 AC 边上的高线 BE． (3)在图③中，若点 P、Q 分别为线段 AB、AC 上的动点，连结 PC、PQ，当 PC+PQ 取得最小值时，画出点 P、点 Q 的位置． 30．（2023·河南南阳·二模）综合与实践 问题提出 （1）如图①，请你在直线l上找一点P，使点P到两个定点A和B的距离之和最小，即的和最小（保留作图痕迹，不写作法）；    思维转换 （2）如图②，已知点E是直线l外一定点，且到直线l的距离为4，MN是直线l上的动线段，，连接，求的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段看作静线段，则点E在平行于直线l的直线上运动”，请你参考小敏的思路求的最小值；    拓展应用 （3）如图③，在矩形中，，连接，点E、F分别是边、上的动点，且，分别过点E、F作，，垂足分别为M、N，连接，请直接写出周长的最小值．    31．（2021·江苏常州·二模）阅读并解答下列问题：老师给出了以下思考题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），连接AC、CD、DB，求AC+CD+DB的最小值． 【思考交流】 小明：如图2，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点B关于x轴的对称点B1，连接A1B1交x轴于点D，将点D向左平移2个单位长度得到点C，连接AC、BD．此时AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD． 小颖：如图3，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点A1关于x轴的点A2，连接A2B可以求解． 小亮：对称和平移还可以有不同的组合… 【尝试解决】 在图2中AC+CD+DB的最小值是________________________； 【灵活运用】 如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，1)，D（a+2，0），连接AC、CD、DB，则AC+CD+DB的最小值是___________，此时a=__________．并请在图5中用直尺和圆规作出AC+CD+DB最小时CD的位置（不写作法，保留作图痕迹）． 【拓展提升】 如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），C是一次函数y=x图像上一点，CD与y轴垂直且CD=2（点D在点C右侧），连接AC、CD、AD，直接写出AC+CD+DA的最小值是________________，此时点C的坐标是________________． 题型08 相对运动平移型将军饮马 32．（2023·山东泰安·三模）如图，在菱形中，，在边上有一线段由向运动，点到达点后停止运动，在的左侧，，连接，则周长的最小值为（   ） A． B． C．7 D．8 33．（2023·河南周口·三模）如图，在矩形中，，把边沿对角线平移，点分别对应点，的最小值为 ．    34．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在菱形中，，，M为对角线上一点（M不与点B、D重合），过点，使得，连接，则的最小值是 ． 35．（2023九年级·全国·专题练习）如图，抛物线上的点，坐标分别为，，抛物线与轴负半轴交于点，点为轴负半轴上一点，且，连接，．   　　   (1)求点的坐标及抛物线的解析式； (2)点是抛物线位于第一象限图像上的动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)点是线段（包含点，上的动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，若以点，，为顶点的三角形与相似，请直接写出点的坐标； (4)将抛物线沿轴的负方向平移得到新抛物线，点的对应点为点，点的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 　　，的最小值为 　　． 题型09 通过瓜豆得出轨迹后将军饮马 36．（2023·湖北鄂州·模拟预测）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段绕点P逆时针旋转得到线段，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接、，则的最小值是（    ）    A．4 B． C．8 D． 37．（2022·四川成都·二模）在中，斜边，，点D是AC边上的一个动点，连接BD，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接CE，则BE＋CE的最小值为 ． 38．（2023·江苏徐州·模拟预测）等边边长为6，是中点，在上运动，连接，在下方作等边，则周长的最小值为 ． 39．（2021·陕西榆林·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M为BC上一点，连接MA，将线段MA绕点M顺时针90°得到线段MN，连接CN、DN，则CN+DN的最小值为 ． 题型10 三动点问题 40．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，菱形中，，，E，F，P分别是，，上的动点，的最小值等于（　　） A．1 B． C． D． 41．（2021·江苏苏州·二模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 ． 42．（2019·陕西西安·模拟预测）如图，已知，点为边中点，点在线段上运动，点在线段上运动，连接，则周长的最小值为 ． 43．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为 ．    44．（2021·湖北武汉·模拟预测）已知如图，所在圆的圆心是点，分别在、线段和上选取点，则的最小值为 ． 【真题训练】 45．（2021·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝AB时，PB＋PM的最小值为（    ） A．3 B．2 C．2＋2 D．3＋3 46．（2023·安徽·一模）如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 47．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）探究式子的最小值.小胖同学运用“数形结合”的思想：如图，取，作于．于，且，，点在上，设，则，于是，，，因此，可求得的最小值为 ，已知，则的最大值是 ．    48．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则 ，的最小值为 ． 49．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ． 50．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．    51．（2021·湖北恩施·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 52．（2020·江苏南京·中考真题）如图①，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向同侧的A、B两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． （1）如图②，作出点A关于的对称点，线与直线的交点C的位置即为所求， 即在点C处建气站， 所得路线ACB是最短的，为了让明点C的位置即为所求，不妨在直线上另外任取一点，连接，， 证明， 请完成这个证明． （2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）， ①生市保护区是正方形区域，位置如图③所示 ②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示． 类型二 逆等线模型 逆等线模型的介绍：两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等，那么这两条始终相等的线段称为逆等线段. 解题方法： 1）找三角形.找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形.(图中本身就有的三角形不要添加辅助线以后构成的三角形) 2.确定该三角形的不变量.在动点移动过程中，该三角形有一个边长度不变，有一个角的大小不变. 3.从另一逆等线段的定点引一条线.使得线段长度等于第二步中的那个不变的边长,与这个逆等线段的夹角等于第二步中那个不变的角. 4.问题转化为将军饮马问题求最值. 【模型解读】 △ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线，就是怎么别扭怎么来。观察图形，我们很容易发现，AD和CE没有首尾相连，所以，一般通过平移或者作平行等方法构造全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题。 备注：一般情况下，题目中有两个没有首尾相连的线段相等，即两定两动，也归为逆等线问题。 例：如上图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC=8，AC=10，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。 解题策略：① AD在△ADC中，那么我们就以CD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等. ② 即过点C作CF//AB，且CF=AC.（构造一边一角，得全等） ③ 构造出△ADC≌△CEF ( SAS),证出EF=CD. ④ CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求.此时，B、E、F三点共线，本题中，也可以利用三角形三边关系去求最值. ⑤ 求BF 题型01 构造SAS型全等拼接线段 53．（21-22九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，在边长为的正方形中，点、分别是边、上的动点．且，连接、，则的最小值为 ．    54．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，等腰的直角边长为4，D、E分别为边上两个动点，且，则的最小值 55．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为5的菱形中，，，分别是，上的动点，，连接，，则的最小值为 ． 56．（2024·贵州黔南·模拟预测）如图，在中，，过点作直线于点，，分别是直线，边上的动点，且，则的最小值为 ．    57．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，矩形中，，，点、分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值是 ． 题型02 平移，对称或构造平行四边形 58．（2021·安徽宿州·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 59．（2022·四川内江·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 ． 60．（2022·山东滨州·中考真题）如图，在矩形中，．若点E是边AD上的一个动点，过点E作且分别交对角线AC，直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，的最小值为 ． 61．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，正方形的边长为2，M是的中点，N是上的动点，过点N作分别交，于点E，F．则的最小值为 ． 题型03 加权逆等线 62．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，，，、分别为、上的动点，且，则的最小值为 ． 63．（2021·四川成都·二模）如图，平行四边形ABCD，，，，点E、F为对角线BD上的动点，，连接AE、CF，则的最小值为 ． 64．（2024·吉林·模拟预测）如图，在菱形中，，，点E，F分别是，上的点，若，则的最小值是 ． 65．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值； (3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值． 题型04 取到最小值时对其它量进行计算 66．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正方形的边长为2，M是的中点，N是上的动点，过点N作，分别交、于点E、F，若的值为，则的长为 ． 67．如图，已知直线：分别交轴、轴于点两点，，分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 68．（23-24八年级上·山东·期末）如图，为等边的高，M、N分别为线段，上的动点，且，当取得最小值时， ． 69．（2022·陕西西安·一模）如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，点M，N分别为CB，CA上的动点，且始终保持BM＝CN，则当AM+BN取最小值时，CN＝ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角形 重难点15 几何压轴突破三 几何最值问题之 将军饮马模型与逆等线模型 （2种模型讲解+14种题型汇总+专题训练+真题训练） 【题型汇总】 类型一 将军饮马模型 场景总结：当题目中构图满足“求点到直线上动点距离和的最小值”的条件时,则一定存在将军饮马模型. 解题大招：(1)最值问题基本原理:① 两点之间线段最短;②点到直线,垂线段最短. (2)将军饮马解题步骤:第一步,明确动点、定点； 第二步,明确问题属于哪种将军饮马模型,要求哪些线段和的最小值(注意去掉长度固定的线段)； 第三步,利用平移、对称等方法,将问题转化为基本原理①或②. 模型详解： 类型一两定一动型（四种） 图形 条件 如图，A，B两定点分布在直线m两侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 如图，A，B两定点分布在直线m同侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 结论 当A，D，B三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB的长. 当A，D，B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的长. 解题方法 1）连:连接AB； 2）求:AB长度即为AD+BD的最小值; 1）找:找一个定点关于直线m的对称点B'； 2）连:连接对称点B'和另外一个定点A； 3）求:AB'长度即为AD+BD的最小值. 图形 条件 如图，A，B两点分布在直线m同侧，点D为直线m上一动点,求|AD-BD|的最大值. 如图，A，B两点分布在直线m两侧，点D为直线m上一动点,求|AD-BD|的最大值. 结论 当A，B，D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB的长 当A、B'、D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB'的长 解题方法 1）连:连接AB并延长交直线m于D’； 2）求:当点D和点D’重合时，|AD-BD|的值最大，AB的长度即为|AD-BD|的最大值. 1）找:找一个定点关于直线的对称点； 2）连:连接另外一个定点和对称点，并延长交直线于一点; 3）求:另外一个定点和对称点间的距离即为所求. 【补充】 图形 条件 如图，点A，B为定点，点P为直线m上一动点，求|AP-BP|取得最小值. 结论 当PA=PB时，|AP-BP|取得最小值,最小值为0. 类型二：一定两动型（三种） 图形 条件 如图，点P为直线m1上一动点，点Q为直线m2上一动点，点A为定点，求PA+PQ的最小值. 如图，点P为直线m1上一动点，点Q为直线m2上一动点，点A为定点，求PA+PQ的最小值. 图形 条件 如图，点M，N分别为m1，m2上的动点，点P为定点，求PM+PN+MN的最小值. 结论 做点P关于m1，m2的对称点P',P''，那么当P'，M，N，P''四点共线时，PM+PN+MN取得最小值，最小值为的距离. 类型三：两动两定型（两种） 图形 条件 如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B为∠MON内的两个定点，求AC+CD+BD+AB的最小值. 如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B分别为OM，ON上的定点，求AD+CD+BC的最小值. 结论 做A点关于OM的对称点A'，做B点关于ON的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AC+CD+BD取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AC+CD+BD+AB的最小值就是A'B'+AB. 做A点关于ON的对称点A'，做B点关于OM的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AD+CD+BC取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AD+CD+BC的最小值就是A'B'的长. 类型四:平移线段型（两种） 图形 条件 如图，A，B为定点，M，N分别为m，n上的动点，MN⊥n，m∥n，且MN为定值，求AM+MN+NB的最小值. 如图，A，B为定点，M，N分别为m上的动点，且MN为定值，求AM+MN+NB最小值. 结论 如图，将点A向下平移MN的单位长度得到点A'，连接A'B，交n于点N，过点N作MN⊥m，垂足为点M，点M和点N即为所求，当A'，N，B三点共线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B+MN. 如图，将点A向右平移MN个单位长度得点A'，作B关于直线m的对称点B’，连接A'B'，交直线m于点N，将点N向左平移MN个单位长度得点M，点M和点N即为所求，当A'，N，B'三点共线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B'+MN. 题型01 两定一动型 1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 2．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，， ∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键． 3．（2023·广东广州·中考真题）如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，F为对角线上一动点，连接，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接交于一点F，连接，根据正方形的对称性得到此时最小，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接交于一点F，连接， ∵四边形是正方形， ∴点A与点C关于对称， ∴， ∴，此时最小， ∵正方形的边长为4， ∴， ∵点E在上，且， ∴，即的最小值为 故答案为：．    【点睛】此题考查正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键． 4．（2024·甘肃·中考真题）如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为．点C为的中点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． (3)点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)①② 【分析】（1）根据顶点为．设抛物线，把代入解析式，计算求解即可； （2）根据顶点为．点C为的中点，得到，当时，，得到．结合，垂足为H，得到的长． （3）①根据题意，得，结合四边形是平行四边形，设，结合点F落在抛物线上，得到，解得即可； ②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，，利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可． 【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为． 设抛物线， 把代入解析式，得， 解得， ∴． （2）∵顶点为．点C为的中点， ∴， ∵， ∴轴， ∴E的横坐标为1， 设， 当时，， ∴． ∴． （3）①根据题意，得， ∵四边形是平行四边形， ∴点C，点F的纵坐标相同， 设， ∵点F落在抛物线上， ∴， 解得，(舍去)； 故． ②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，， 则四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， 故当三点共线时，取得最小值， ∵， ∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是， 延长交y轴于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故的最小值是． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称的性质求线段和的最小值，熟练掌握平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键． 5．（2022·广东深圳·三模）某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： （1）几何应用：如图，等腰直角三角形的直角边长为，是斜边的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ； （2）几何拓展：如图，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，求这个最小值 ； （3）代数应用：求代数式的最小值 ． 【答案】 5 【分析】（1）作点B关于AC的对称点，连接，交AC于点P，连接，根据轴对称的性质可得AB==，PB=，∠ABC=∠=45°，最后根据=+PE=即可求解； （2）作点B关于AC的对称点，过点作⊥AB于点N，交AC于点M，连接交AC于点O，根据BM=可知=+MN=，根据轴对称的性质和含30°角的直角三角想30°角所对的边等于斜边的一半，分别求出和BN的长度即可； （3）根据题意，构造两个直角三角形，斜边分别等于和，用勾股定理进行即可进行证明． 【详解】（1）解：如图，作点B关于AC的对称点，连接，交AC于点P，连接 ∵点B和点关于AC对称， ∴AB==，PB=，∠ABC=∠=45°， ∴在△中，∠=90°， ∵点E为AB中点， ∴AE=， ∴， ∵PB=， ∴=+PE=， 故答案为：． （2）作点B关于AC的对称点，过点作⊥AB于点N，交AC于点M，连接交AC于点O， 根据轴对称的性质可知，⊥AC， ∵，，∠AOB=90°， ∴BO=，∠=60°， ∴=2 BO=2， 在Rt△中，∠=60°， ∴∠=30°， ∴NB=， ∴， ∵BM=， ∴=+MN=， 故答案为：． （3）如图，构造图形，点P是AB边上一点，其中AB=4，AP=x，AC=1，BD=2， 作点C关于AB的对称点，连接交AB于点P，延长DB，过点作⊥BD，垂足为O， 根据轴对称的性质可知，AC==1，CP=， ∵AB=4，=1， ∴=4，BO==1， ∴DO=3， 在Rt△中，， ∵AB=4，AP=x，AC=1，BD=2， ∴，， ∵CP+DP =+DP==5， ∴的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了利用勾股定理求最短路径问题，熟练掌握勾股定理的内容，利用轴对称的性质构造直角三角形是解题的关键． 题型02 线段差最值 6．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】作的对称点，连接并延长交于点，根据三角形三边关系可得到，最后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可解答． 【详解】解：作的对称点，连接并延长交于点， ∴， ∴， 当在同一条直线上时，有最大值， ∵在菱形中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为；    【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，菱形的性质，中点的定义，三角形的三边关系，掌握等边三角形的性质及菱形的性质是解题的关键． 7．（21-22八年级上·河北承德·期末）如图，点A，B在直线的同侧，点A到的距离，点B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b． （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】作点A关于直线MN的对称点A，连接AB交直线MN于点P，过点A作直线AE⊥BD的延长线于点E，再根据勾股定理求出AB的长就是PA＋PB的最小值；延长AB交MN于点P，此时PA−PB＝AB，由三角形三边关系可知AB＞|PA−PB|，故当点P运动到P点时|PA−PB|最大，作BE⊥AM，由勾股定理即可求出AB的长就是|PA−PB|的最大值．进一步代入求得答案即可． 【详解】解：如图， 作点A关于直线MN的对称点A，连接AB交直线MN于点P， 则点P即为所求点． 过点A作直线AE⊥BD的延长线于点E，则线段AB的长即为PA＋PB的最小值． ∵AC＝8，BD＝5，CD＝4， ∴AC＝8，BE＝8＋5＝13，AE＝CD＝4， ∴AB＝， 即PA＋PB的最小值是a＝． 如图， 延长AB交MN于点P， ∵PA−PB＝AB，AB＞|PA−PB|， ∴当点P运动到P点时，|PA−PB|最大， ∵BD＝5，CD＝4，AC＝8， 过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝4，AE＝AC−BD＝8−5＝3， ∴AB＝＝5． ∴|PA−PB|＝5为最大， 即b＝5， ∴a2−b2＝185−25＝160． 故答案为：160． 【点睛】本题考查的是最短线路问题及勾股定理，熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系是解答此类问题的关键． 8．（2023·山东菏泽·二模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与坐标轴分别交于B，C两点．    (1)若，求自变量x的取值范围； (2)动点在x轴上运动．当n为何值时，的值最大？并求最大值． 【答案】(1) (2)当为时，的值最大，最大值为 【分析】 （1）由点的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，即可得出当时，自变量的取值范围； （2）由点的坐标利用待定系数法即可求出直线的函数解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点、的坐标，再根据三角形的三边关系即可确定当点与点重合时，的值最大，利用两点间的距离公式即可求出此最大值． 【详解】（1） 解：当时，， 点的坐标为， 观察函数图象，可知：当时，直线在双曲线上方， 若，自变量的取值范围为． （2） 解：将代入中， ，解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， ， 当时，， 点的坐标为． 当点与点重合时，的值最大， 此时，． 当为时，的值最大，最大值为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的三边关系，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点的坐标；（2）利用三角形的三边关系确定点的位置． 9．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)存在最大值；最大值为 (3)点M的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入抛物线求出a、b的值，即可得出抛物线的解析式； （2）先求出点C的坐标为，连接、、，根据轴对称的性质得出，，得出当最大时，最大，根据当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大，求出最大值即可； （3）过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，设点M的坐标为：，得出，，证明，得出，从而得出，分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别求出点M的坐标即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：存在最大值； 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接、、，如图所示： ∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∴当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大， ∴最大值为：． （3）解：过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴， 设点M的坐标为：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 综上分析可知：点M坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，解直角三角形的相关计算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 题型03 垂线段最短型 10．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 【答案】 【分析】记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接；由直线解析式可求得点A、K的坐标，从而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，则当最小时，最小，点P与点K重合，此时最小值为，由勾股定理求得的最小值，从而求得结果． 【详解】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接， 当，，当，即， 解得：， 即； 而， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时即最小， ∴当 时，取得最小值， 即点P与点K重合，此时最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴最小值为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键． 11．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值，证明△ABC是等边三角形，AF是高线，利用三角函数即可求解． 【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， 又∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵ ∴F是BC的中点， ∴AF⊥BC． 则AF＝AB•sin60°＝2． 即的最小值是． 故选：C 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形以及三角函数，确定AF的长就是的最小值是关键． 12．（20-21七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案． 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，作，    平分， ， ， ∴， ， ， ∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 13．（2020·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则的最小值为 ．      【答案】 【分析】如图，过A作于，延长，使，过作于，交于，则最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解即可得到答案． 【详解】解：如图，过A作于，延长，使，过作于，交于，则最短， 四边形为矩形，，， 即的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，同时考查利用轴对称与垂线段最短求线段和的最小值问题，解题的关键是掌握以上知识． 题型04 两定一动/两定动型 14．（22-23八年级下·江苏连云港·期中）如图，在边长为8的正方形中，点G是边的中点，E、F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】24 【分析】作点G关于的对称点，作点B关于的对称点，连接、、，根据对称的性质可得，，再由，，可得当时，四边形的周长有最小值，最小值为，再利用勾股定理求得，最后利用即可求解． 【详解】解：如图，作点G关于的对称点，作点B关于的对称点，连接、、， ∵，， ∴， ∵，   ∴当时，四边形的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的周长的最小值为24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理，三角形的三边关系，熟练掌握轴对称的性质，构造三角形是解题的关键． 15．（2022·山东枣庄·二模）如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接，当点M、N在上时，的周长最小． 【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接． ∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D， ∴； ∵点P关于的对称点为D， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． ∴的周长的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定． 作点P关于OA、OB的对称点C、D是解题的关键所在． 16．（2023·陕西西安·二模）如图，在四边形中，，，，，、分别是边、上的动点，连接，，，则周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】如图，由，作关于对称的点，作关于对称的点，连接，与交点为，与交点为，连接，，由对称的性质可得，，，，则，可知当四点共线时，的周长最小为，如图，过作的延长线于，由，可得，则，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，由，作关于对称的点，作关于对称的点，连接，与交点为，与交点为，连接，，    由对称的性质可得，，，， ∴， ∴当四点共线时，的周长最小为， 如图，过作的延长线于， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正弦、余弦，勾股定理等知识．解题的关键在于确定周长最小的情况． 17．（20-21九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E、F分别是边上的点，连接，若，，，则周长的最小值是 ．    【答案】 【分析】作点O关于的对称点M，点O关于的对称点N，连接，则的周长，故当四点共线时，即此时的周长最小，最小值为的长，证明是等边三角形，得到；过D作交直线于P，由平行四边形的性质得到，，由含30度角的直角三角形的性质得到，则，，即可得到点P与点B重合，则，由此即可得到答案． 【详解】解：作点O关于的对称点M，点O关于的对称点N，连接， 由作图得：，， ∴的周长， ∴当四点共线时，即此时的周长最小，最小值为的长， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 过D作交直线于P， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴点P与点B重合， ∴， ∴ ∴的周长最小值为，    故答案为：． 【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，平行四边形的性质，等腰三角形的性质的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 18．（2020九年级·全国·专题练习）如图，抛物线与轴交于、，与轴交于点，点为的中点，点、分别为轴正半轴和抛物线对称轴上的动点，连接、、，求四边形周长最小时点、的坐标． 【答案】当四边形周长最小时，点的坐标，点的坐标为． 【分析】作点关于轴的对称点，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，交轴于点．求出直线的解析为，进一步可得出结论． 【详解】如图，作点关于轴的对称点，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，交轴于点．由对称知，， 此时四边形的周长为． 此时四边形的周长最小，最小值为． ，， 抛物线对称轴为直线． ． 为的中点，． ． 设直线的解析式为． 将点、的坐标代入可得解得 直线的解析为． 令，则，点的坐标为． 令，则，点的坐标为． 当四边形周长最小时，点的坐标，点的坐标为． 【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，四边形与二次函数的结合，线段的和差最值与二次函数的结合，将不共线的线段转化为共线为解题关键． 19．（2022·天津·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B． (1)若， ①求点P的坐标； ②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标； (2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标． 【答案】(1)①；②点M的坐标为，点G的坐标为； (2)点和点； 【分析】（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；②先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为，则点G的坐标为，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标； （2）根据，解析式经过A点，可得到解析式：，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，再把和的坐标表示出来，由题意可知，当取得最小值，此时，将字母代入可得：，求出a的值，即可得到E、F的坐标； 【详解】（1）①∵抛物线与x轴相交于点， ∴．又，得． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴点P的坐标为． ②当时，由， 解得． ∴点B的坐标为． 设经过B，P两点的直线的解析式为， 有解得 ∴直线的解析式为． ∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，如图所示： ∴点M的坐标为，点G的坐标为． ∴． ∴当时，有最大值1． 此时，点M的坐标为，点G的坐标为． （2）由（1）知，又， ∴． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点P的坐标为． ∵直线与抛物线相交于点N， ∴点N的坐标为． 作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，如图所示： 得点的坐标为，点的坐标为． 当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值， 此时，． 延长与直线相交于点H，则． 在中，． ∴． 解得（舍）． ∴点的坐标为，点的坐标为． 则直线的解析式为． ∴点和点． 【点睛】本题考查二次函数的几何综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、配方法求函数顶点坐标、勾股定理解直角三角形等是解决此类问题的关键． 题型05 造桥选址型 20．（2020九年级·全国·专题练习）如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】根据题意，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，此时四边形的周长为，则当点、、三点共线时，四边形的周长最小，进而计算即可得解． 【详解】如下图，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，， ∴，， 此时四边形的周长为， 当点、、三点共线时，四边形的周长最小， ，，， 经过点， ， ， ， ， ， ， 四边形周长的最小值为， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了四边形周长的最小值问题，涉及到含的直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握相关轴对称作图方法以及线段长的求解方法是解决本题的关键． 21．（2023·陕西咸阳·一模）【问题提出】（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，A、B两点的水平距离，点P是直线l上的一个动点，则的最小值是________； 【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值； 【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形的空地，管理人员规划修两条小路和（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在和上分别选取点M、N，沿、和修建地下水管，为了节约成本，要使得线段、与之和最小． 已测出，，，，，管理人员的想法能否实现，若能，请求出的最小值，若不能，请说明理由．    【答案】（1）10；（2）；（3）能实现，最小值为． 【分析】（1）作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于P，则的值最小，且的最小值，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，作G关于的对称点，在上截取，连接，，，则，根据平行四边形的性质得到，根据三角形的三边关系得到，根据勾股定理即可得到结论； （3）作点P关于、的对称点E、F，连接，分别交、于点O、H，则，，连接，与、的交点即为点M、N的位置，连接，，此时，，的长就是的最小值，过点E作交的延长线于点G，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】.解：（1）如图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于P，则的值最小，且的最小值，过作于E，则，，    ∴， ∴ 即的最小值是10； （2）如图，作G关于的对称点，在上截取， 连接，，，则，    ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，，G为的中点， ，， 由勾股定理得， ，即的最小值为：； （3）管理人员的想法能实现， 作点P关于、的对称点E、F，连接，分别交、于点O、H， ，，连接，与、的交点即为点M、N的位置，连接，，此时，，的长就是的最小值，过点E作交的延长线于点G，    ，，，， ，， ，， ，， ， ，， ，，， ， ， ， ， . 在中，， 的最小值为. 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了轴对称-最短路线问题及矩形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 22．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)的最小值为； (3)符合条件的点的坐标为或． 【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴，，， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 作关于直线的对称线得交抛物线于点， ∴， 设交轴于点， 由旋转的性质得到， 过点作轴，作轴于点，作于点， 当时，， 解得， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 23．（2021·广西·中考真题）如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为 ． 【答案】． 【分析】先通过平移和轴对称得到当B、E、三点共线时，的值最小，再通过设直线的解析式并将三点坐标代入，当时，求出a的值，最后将四边形周长与时的周长进行比较，确定a的最终取值，即可得到平移后的抛物线的解析式． 【详解】解：∵，，，， ∴，， 由平移的性质可知：, ∴四边形的周长为； 要使其周长最小，则应使的值最小； 设抛物线平移了a个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a<0时，抛物线向左平移； ∴，， 将向左平移2个单位得到，则由平移的性质可知：， 将关于x轴的对称点记为点E，则，由轴对称性质可知，, ∴， 当B、E、三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为：， ∴， 当时， ∴ ∴， 将E点坐标代入解析式可得：， 解得：， 此时， 此时四边形的周长为； 当时，，，，， 此时四边形的周长为： ； ∵， ∴当时，其周长最小， 所以抛物线向右平移了个单位， 所以其解析式为：； 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了平移、轴对称、一次函数的应用、勾股定理、抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是理解并确定什么情况下该四边形的周长最短，本题所需综合性思维较强，对学生的综合分析和计算能力要求都较高，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等． 题型06 与将军饮马有关的角度探究问题 24．（2022·河北石家庄·模拟预测）如图，在五边形ABCDE中，（为钝角），，在BC，DE上分别找一点M，N，当周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别延长AB、AE到点、，使，，连接，分别交BC和DE于点M，N，连接AM，AN，此时周长最小，可求得，，由三角形的内角和求得即可解答. 【详解】解：∵， ∴如图，分别延长AB、AE到点、，使，，连接，分别交BC和DE于点M，N，连接AM，AN，此时周长最小， ∵BM垂直平分，EN垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查平面内最短路径问题，涉及两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平面内最短路径的求解方法是解答的关键. 25．（2023·山东淄博·一模）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时， °． 【答案】100 【分析】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、，则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，则易得的大小． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、， 由对称性知：，， ， ∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，两点间线段最短等知识，对称的应用是解题的关键． 26．（2021鼓楼区二模）如图，在四边形中，，，在、上分别取一点、，使的周长最小，则 °． 【答案】100 【分析】作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解． 【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″， 连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N， 此时，AM+AN+MN= A′M+A″N+MN= A′A″，即周长最小值即为A′A″， ∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°， ∴∠A′+∠A″=180°-∠130°=50°， 由轴对称的性质得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN， ∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°． 故答案为：100． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用． 27．（21-22八年级上·贵州黔南·期中）如图，∠AOB＝，点P是∠AOB内的一定点，点M，N分别在OA，OB上移动，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数为 ． 【答案】 【分析】要求的度数，要在中进行，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可证，，然后证明，利用四边形内角和可得答案． 【详解】解：作P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD交OB、OA于N、M． 此时周长有最小值； ∵P关于OB、OA的对称点C、D， ∴OB垂直平分PC，OA垂直平分PD， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在四边形中，可得：， ∴， ∴ 故答案为 【点睛】此题考查了轴对称的性质发现等腰三角形，涉及了三角形和四边形的内角和性质，解题的关键是根据轴对称的性质构造出等腰三角形． 题型07 与将军饮马有关的作图问题 28．（21-22八年级上·河南新乡·期末）如图，在方格中，水平方向的数轴我们叫轴，竖直方向的数轴我们叫轴，的三个顶点我们可以分别表示为，，．并称之为它们的坐标 (1)画出与关于轴对称的（点，，的对应点分别为点，，，），并仿照上面表示方法写出点，，三点的坐标； (2)点在轴上，使得，尺规作出点；（不写作法，保留作图痕迹） (3)点在轴上，使得的周长最小，作出点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)详见解析，，， (2)详见解析 (3)详见解析 【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，轴对称最短路径问题，线段垂直平分线的性质和尺规作图： （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到A、B、C对应点，，的坐标，再在坐标系中描出，，，最后顺次连接，，即可； （2）作线段的垂直平分线，其与x轴交于点D，点D即为所求； （3）连接交y轴于P，点P即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求； ∴，，； （2）解：如图所示，作线段的垂直平分线，其与x轴交于点D，点D即为所求； （3） 解：如图，连接交y轴于P，点P即为所求． 29．（2022·吉林长春·一模）图①、图②、图③均是 6×6 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的画图痕迹． (1)在图①中画出 AC 边上的中线 BD． (2)在图②中画出 AC 边上的高线 BE． (3)在图③中，若点 P、Q 分别为线段 AB、AC 上的动点，连结 PC、PQ，当 PC+PQ 取得最小值时，画出点 P、点 Q 的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用网格特征作出的中点，连接即可； （2）利用数形结合的思想作出高即可； （3）取格点，，连接，交于点，交于点，取格点，连接交于点，点，即为所求． 【详解】（1）解：如图①中，线段即为所求； （2）解：如图②中，线段即为所求； （3）解：如图③中，点，即为所求． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，三角形的高，中线，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 30．（2023·河南南阳·二模）综合与实践 问题提出 （1）如图①，请你在直线l上找一点P，使点P到两个定点A和B的距离之和最小，即的和最小（保留作图痕迹，不写作法）；    思维转换 （2）如图②，已知点E是直线l外一定点，且到直线l的距离为4，MN是直线l上的动线段，，连接，求的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段看作静线段，则点E在平行于直线l的直线上运动”，请你参考小敏的思路求的最小值；    拓展应用 （3）如图③，在矩形中，，连接，点E、F分别是边、上的动点，且，分别过点E、F作，，垂足分别为M、N，连接，请直接写出周长的最小值．    【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）作点A的对称点，由两点之间线段最短即可求解； （2）将M、N看作定点，E看作动点，由（1）作法可解； （3）由相似得出为定值，再根据（2）作法求出的最值，即可求解． 【详解】解：（1）如图①，点即为所求，    作法：作点A关于的对称点， 连接，交直线于点，由对称可得， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最短，即最短； （2）如图②，过点作直线，作点关于的对称点，连接，交于点，则的值即是的最小值，    ∵点到直线的距离为， ∴ ∵ ∴， ∴，即的最小值为； （3）如图③，过作，，作关于直线的对称点，连接，    由（2）可得，为的最小值， ∵，， ∴， ∴ ∴， 设，由题意可得：， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∴ 由题意可得：， ∴ ∴，即 解得， ∴ ∵， ∴ ∴， 周长的最小值 【点睛】本题考查了线段和最值作法的应用，三角形相似的判定与性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 31．（2021·江苏常州·二模）阅读并解答下列问题：老师给出了以下思考题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），连接AC、CD、DB，求AC+CD+DB的最小值． 【思考交流】 小明：如图2，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点B关于x轴的对称点B1，连接A1B1交x轴于点D，将点D向左平移2个单位长度得到点C，连接AC、BD．此时AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD． 小颖：如图3，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点A1关于x轴的点A2，连接A2B可以求解． 小亮：对称和平移还可以有不同的组合… 【尝试解决】 在图2中AC+CD+DB的最小值是________________________； 【灵活运用】 如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，1)，D（a+2，0），连接AC、CD、DB，则AC+CD+DB的最小值是___________，此时a=__________．并请在图5中用直尺和圆规作出AC+CD+DB最小时CD的位置（不写作法，保留作图痕迹）． 【拓展提升】 如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），C是一次函数y=x图像上一点，CD与y轴垂直且CD=2（点D在点C右侧），连接AC、CD、AD，直接写出AC+CD+DA的最小值是________________，此时点C的坐标是________________． 【答案】[尝试解决]7；[灵活运用]，2；[拓展提升]， 【分析】尝试解决：根据作图痕迹分析出，小明的做法是先将A向右平移2个单位长度，再利用对称的性质，两点之间线段最短得到D点的位置，进而得到C点的位置．写出，坐标，利用两点间距离公式求解即可； 灵活运用：借助上一问的思路，CD的长度一定，利用平移和对称，转化求其最小值； 拓展提升：按照前面的思路，CD的长度一定，利用平移，找到两个固定点与在一条直线上运动的点，利用对称求最小值． 【详解】解：[尝试解决]：由题意得，，， ， ， AC+CD+DB的最小值是7， 故答案为：7． [灵活运用]：先将A点向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，作点B关于x轴的对称点B1，连接A1B1，与x轴的交点即为D点，以D点为圆心，的长度为半径画圆，与直线的交点即为C点，连接AC、CD、BD，此时AC+CD+DB最小，最小值等于A1B1+CD． 作图如下： 由作图得，，且， 四边形是平行四边形，且，，，， 最小值为， 此时a为C点的横坐标2， 故答案为：，2． [拓展提升]：先将A点向右平移2个单位长度得到，得到平行四边形，，而AC+CD+DA中，CD为定值2，即求的最小值， 由题意得： D点在直线上，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点B，连接，与直线的交点为点D，D点向左平移2个单位为C点，如图： 与直线垂直， 设直线的解析式为， 将代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得， ， 是的中点，设， ， 解得， ， 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 点是直线与直线的交点， 解得， ， 点是由D点向左平移2个单位长度所得到的点， ， 此时，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查平移和对称中的最短路径问题，还涉及利用待定系数法求一次函数解析式、求关于直线的对称点等，综合性较强，对学生的作图能力、类比推理能力、计算能力要求都比较高，属于压轴题，解题的关键是掌握对称的性质，通过作图找出最短路径． 题型08 相对运动平移型将军饮马 32．（2023·山东泰安·三模）如图，在菱形中，，在边上有一线段由向运动，点到达点后停止运动，在的左侧，，连接，则周长的最小值为（   ） A． B． C．7 D．8 【答案】D 【分析】过点作交于点，再作点关于的对称点，连接，连接与交于点，当运动到点时，，，三点共线，此时取最小值，即取最小值，则此时的周长最小． 【详解】解：如图，过点作交于点，则四边形为平行四边形， ，，再作点关于的对称点，连接，则， 连接与交于点，当运动到点时，，，三点共线，此时取最小值，即取最小值，则此时的周长最小．    过点作，过点作交于点， ， ， ，连接， ，， 四边形为矩形，   ，， ， 周长的最小值， 故选：D． 【点睛】本题考查了关于移动线段中三角形周长最小值问题，添加合适的辅助线转化为两点间距离问题是解题关键． 33．（2023·河南周口·三模）如图，在矩形中，，把边沿对角线平移，点分别对应点，的最小值为 ．    【答案】 【分析】先证明四边形是平行四边形，作点关于的对称点，连接交于，过点作交的延长线于，连接交于，此时的值最小，最小值为，通过证明，可得，通过证明，可得，最后由勾股定理即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：， ， 四边形是平行四边形， ， ， 如图所示，作点关于的对称点，连接交于，过点作交的延长线于，连接交于，此时的值最小，最小值为，   ， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形相似的判定与性质、轴对称的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质、三角形相似的判定与性质、轴对称的性质、矩形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 34．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在菱形中，，，M为对角线上一点（M不与点B、D重合），过点，使得，连接，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了菱形及平行四边形的性质、勾股定理以及最值问题，连接并延长交的延长线于P，可得四边形是平行四边形，可推出；作点B关于的对称点，当点A，N，在同一条线上时，最小，据此即可求解； 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴ 连接并延长交的延长线于P， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴当点M从点D向B运动时，点N从点C向点P运动，点N的运动轨迹是线段， ， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ 而最小，即：最小， 作点B关于的对称点，当点A，N，在同一条线上时，最小， 即：的最小值为， 连接 由对称得， ∴是等边三角形， 过点作于Q， ∴ ∴ ∴ 在中，根据勾股定理得，， 即：的最小值为 故答案为： 35．（2023九年级·全国·专题练习）如图，抛物线上的点，坐标分别为，，抛物线与轴负半轴交于点，点为轴负半轴上一点，且，连接，．   　　   (1)求点的坐标及抛物线的解析式； (2)点是抛物线位于第一象限图像上的动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)点是线段（包含点，上的动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，若以点，，为顶点的三角形与相似，请直接写出点的坐标； (4)将抛物线沿轴的负方向平移得到新抛物线，点的对应点为点，点的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 　　，的最小值为 　　． 【答案】(1)， (2) (3)， (4)， 【分析】（1）根据点在轴负半轴且可得点的坐标为，利用待定系数法可得抛物 线的解析式为； （2）过点作 轴于点，交线段于点，用待定系数法求得直线的解析式为 设点的横坐标为，则，，故，先求得，从而得到，解出的值，从而得出点的坐标； （3）由可知，要使点，，为顶点的三角形与相似，则以点，，为顶点的三角形也是直角三角形，从而分和两种情况讨论，①当，可推导与点重合，，即此时符合题意，利用求抛物线与轴交点的方法可求出点的坐标；②当时，可推导，即此时符合题意，再证明，从而得到，再设点的横坐标为，则，，从而得到，解得的值，从而得到点的坐标，最后综合①②即可； （4）设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到新抛物线，将点右平移个单位长度得到点，由平移的性质可知，，，的值最小就是最小值，作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线的解析式，从而确定的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点． 【详解】（1）解：点在轴负半轴且， ， 将，代入，得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴于点，交线段于点，如图所示： 设直线的解析式为，将，代入，得，解得， 直线的解析式为； 设点的横坐标为，则，， ， ， ，即，解得， 将代入， ； （3）解：在中，，以点，，为顶点的三角形与相似， 以点，，为顶点的三角形也是直角三角形， 又轴，直线交直线于点， ，即点不与点是对应点，故分为和两种情况讨论： ①当时，由于轴， 轴，即在轴上， 又点在抛物线上， 此时点与点重合，作出图形如下： 此时， 又， ，即此时符合题意，令，解得：，（舍去）， 点的坐标是； ②当时，作出图形如下： 轴，， ， ， ，， ，即此时符合题意， ， ，即， ，， ， ，， 设点的横坐标为，则，， ，，则，解得，（舍去）， 点的坐标是， 综上所述：点的坐标是，； （4）解：设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到新抛物线，将点向右平移个单位长度得到点，作出图形如下：    由平移的性质可知，，， 的值最小就是最小值，显然点在直线上运动，作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度，    点关于直线对称的点是，， ， ； 设直线的解析式是：，将点，代入得：，解得：， 直线的解析式是：， 令，解得：， ， 平移的距离是， 又， 平移前的抛物线的顶点坐标是， 根据平移性质可得新抛物线的顶点坐标为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图像与性质，二次函数与三角形面积，二次函数与几何变换综合，二次函数与相似三角形综合，最短路径问题等知识，难度较大，综合性强，根据题意作出恰当辅助线及转化思想是解题的关键，第二问的解题关键是掌握平面直角坐标系中三角形面积的计算方法，第三问的关键是转化成直角三角形的讨论问题，第四问的关键是将点M向反方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决． 题型09 通过瓜豆得出轨迹后将军饮马 36．（2023·湖北鄂州·模拟预测）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段绕点P逆时针旋转得到线段，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接、，则的最小值是（    ）    A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】在y轴的正半轴上截取，使得，连接、，首先证明，点B在直线上运动，作点O关于直线的对称点E，连接交于点T，当点B与T重合时，的值最小，再利用勾股定理进行求值即可． 【详解】解：如图，在y轴的正半轴上截取，使得，连接、，且的延长线与x轴交于点M， ∴、是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴, ∴点B在直线上运动， 作点O关于直线的对称点E，与交于点F，连接、连接交于点T， 当点B与T重合时，的值最小， ∵,， ∴， 根据对称得：，，， ∴， ∴、 ∵， ∴， ∴的最小值为：， 故选：B．    【点睛】本题考查轴对称最短问题、相似三角形的判定与性质，学会添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 37．（2022·四川成都·二模）在中，斜边，，点D是AC边上的一个动点，连接BD，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接CE，则BE＋CE的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，取AB的中点T，连接DT，CT，证明△DBT≌△EBC（SAS），推出DT=CE，欲求BE+CE的最小值，只要求出DT+BD的最小值即可，作点B关于AC的对称点L，连接DL．AL，TL，则DB=DL，由DT+DB=DT+DL≥LT=，可得结论． 【详解】解：如图，取AB的中点T，连接DT，CT， ∵∠CAB=30°，∠ACB=90°， ∴∠ABC=60°， ∵AT=TB， ∴CT=AT=TB， ∴△BCT是等边三角形， ∴∠TBC=∠DBE=60°， ∴∠DBT=∠EBC， 在△DBT和△EBC中， ∴△DBT≌△EBC（SAS）， ∴DT=CE， 欲求BE+CE的最小值，只要求出DT+BD的最小值即可， 作点B关于AC的对称点L，连接DL．AL，TL，则DB=DL， ∵AC⊥BL，CL=CB， ∴AL=AB， ∵∠ABL=60°， ∴△ABL是等边三角形， ∵AT=TB=1， ∴LT⊥AB， ∴LT=BT=， ∵DT+DB=DT+DL≥LT=， ∴DT+DB的最小值为， ∴BE+EC的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 38．（2023·江苏徐州·模拟预测）等边边长为6，是中点，在上运动，连接，在下方作等边，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】连接，由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明，从而可以得出，作点关于的对称点，连接，，则，依据当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小． 【详解】解：如图，连接， 、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， 如图，作点关于的对称点，连接，，则，， 当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小， ， ． 周长：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解直角三角形．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 39．（2021·陕西榆林·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M为BC上一点，连接MA，将线段MA绕点M顺时针90°得到线段MN，连接CN、DN，则CN+DN的最小值为 ． 【答案】 【分析】在BC上取一点H，使得BH＝BA，连接AH，HN．证明∠HTC＝45°，推出点N的运动轨迹是射线HN，设射线HN交CD的延长线于T，作点D关于NH的对称点J，连接CJ交HT于O，连接OD．当点N与O重合时，OC+OD＝OC+OJ＝CJ，此时CN+DN的值最小． 【详解】在BC上取一点H，使得BH＝BA，连接AH，HN． ∵△ABH，△AMN都是等腰直角三角形， ∴AH＝AB，AN＝AM，∠BAH＝∠MAN＝45°， ∴＝，∠BAM＝∠HAN， ∴△BAM∽△HAN， ∴∠AHN＝∠B＝90°， ∵∠AHB＝45°， ∴∠NHC＝45°， ∴点N的运动轨迹是射线HN，设射线HN交CD的延长线于T，作点D关于NH的对称点J，连接CJ交HT于O，连接OD． 当点N与O重合时，OC+OD＝OC+OJ＝CJ，此时CN+DN的值最小， ∵AB＝CD＝4，BH＝4，BC＝9， ∴CH＝CT＝5，DT＝TJ＝1， ∵∠CTH＝∠HTJ＝45°， ∴∠CTJ＝90°， ∴CJ＝＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称——最短问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 题型10 三动点问题 40．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，菱形中，，，E，F，P分别是，，上的动点，的最小值等于（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．作点P关于的对称点G，连接，作，作，可推出，而，再进一步得出结果． 【详解】解：作点F关于的对称点G，连接，作于，作交于， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴点G在上，，， ∵， ∴最小值为：， 故选B． 41．（2021·江苏苏州·二模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 ． 【答案】 【分析】如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接．首先证明E，A，F共线，则，推出EF的值最小时，的值最小，求出PA的最小值，可得结论． 【详解】如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，PA，EM，FN，AE，AF． ∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3， ∴BC＝＝＝5， 由对称的性质可知，AE＝AP＝AF，∠BAP＝∠BAE，∠CAP＝∠CAF， ∵∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝90°， ∴∠EAF＝180°， ∴E，A，F共线， ∵ME＝MP，NF＝NP， ∴PM+MN+PN＝EM+MN+NF， ∵EM+MN+NF≥EF， ∴EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小， ∵EF＝2PA， ∴当PA⊥BC时，PA的值最小，此时PA＝＝， ∴PM+MN+PN≤， ∴PM+MN+PN的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称添加辅助线，把问题转化为两点之间线段最短． 42．（2019·陕西西安·模拟预测）如图，已知，点为边中点，点在线段上运动，点在线段上运动，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】作梯形ABCD关于AB的轴对称图形，将BC'绕点C'逆时针旋转120°，则有GE'=FE'，P与Q是关于AB的对称点，当点F'、G、P三点在一条直线上时，△FEP的周长最小即为F'G+GE'+E'P，此时点P与点M重合，F'M为所求长度；过点F'作F'H⊥BC'，M是BC中点，则Q是BC'中点，由已知条件∠B=90°，∠C=60°，BC=2AD=4，可得C'Q=F'C'=2，∠F'C'H=60°，所以F'H=，HC'=1，在Rt△MF'H中，即可求得F'M． 【详解】作梯形ABCD关于AB的轴对称图形， 作F关于AB的对称点G，P关于AB的对称点Q， ∴PF=GQ， 将BC'绕点C'逆时针旋转120°，Q点关于C'G的对应点为F'， ∴GF'=GQ， 设F'M交AB于点E'， ∵F关于AB的对称点为G， ∴GE'=FE'， ∴当点F'、G、P三点在一条直线上时，△FEP的周长最小即为F'G+GE'+E'P，此时点P与点M重合， ∴F'M为所求长度； 过点F'作F'H⊥BC'， ∵M是BC中点， ∴Q是BC'中点， ∵∠B=90°，∠C=60°，BC=2AD=4， ∴C'Q=F'C'=2，∠F'C'H=60°， ∴F'H=，HC'=1， ∴MH=7， 在Rt△MF'H中，F'M； ∴△FEP的周长最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了动点问题的最短距离，涉及的知识点有：勾股定理，含30度角直角三角形的性质，能够通过轴对称和旋转，将三角形的三条边转化为线段的长是解题的关键． 43．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称，最短问题，垂线段最短，直角三角形角的性质，勾股定理，利用轴对称性，找到正确的的位置是解答本题的关键． 作直线与轴关于直线对称，直线与直线关于轴对称，点是点关于直线的对称点，作，作，此时最小，即，在中，利用勾股定理得到答案． 【详解】如图，直线与轴关于直线对称， 直线与直线关于轴对称，    点是点关于直线的对称点， 作，垂足为，交轴于点，交直线于点， 作， ，， ， 此时最小， 在中， ，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 44．（2021·湖北武汉·模拟预测）已知如图，所在圆的圆心是点，分别在、线段和上选取点，则的最小值为 ． 【答案】． 【分析】如图，连接BC，AO，作点P关于AB的对称点M，作点P关于AC的对称点N，连接MN交AB于E，交AC于F，此时△PEF的周长＝PE＋PF＋EF＝EM＋EF＋FM＝MN，想办法求出MN的最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，作点P关于的对称点M，作点P关于的对称点N，连接交于E，交于F， 此时的周长， ∴当的值最小时，的值最小， ， ， ， ∴当的值最小时，的值最小， 取的中点J，连接． ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ∵当点P在直线上时，的值最小，最小值为， 的最小值为． 故答案为． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，轴对称−最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题． 【真题训练】 45．（2021·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝AB时，PB＋PM的最小值为（    ） A．3 B．2 C．2＋2 D．3＋3 【答案】B 【分析】作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，则PB＋PM的最小值为B'M的长，过点B'作B'H⊥AB交H点，在Rt△BB'H中，B'H＝3，HB＝3，可求MH＝1，在Rt△MHB'中，B'M＝2，所以PB＋PM的最小值为2． 【详解】解：作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P， ∴BP＝B'P，BC＝B'C， ∴PB＋PM＝B'P＋PM≥B'M， ∴PB＋PM的最小值为B'M的长， 过点B'作B'H⊥AB交H点， ∵∠A＝30°，∠C＝90°， ∴∠CBA＝60°， ∵AB＝6， ∴BC＝3， ∴BB'＝BC＋B'C＝6， 在Rt△BB'H中，∠B'BH＝60°， ∴∠BB'H＝30°， ∴BH＝3， 由勾股定理可得：， ∴AH＝AB－BH＝3， ∵AM＝AB， ∴AM＝2， ∴MH＝AH－AM＝1， 在Rt△MHB'中，， ∴PB＋PM的最小值为2， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，涉及到解直角三角形，解题的关键是做辅助线，找出PB＋PM的最小值为B'M的长． 46．（2023·安徽·一模）如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】根据得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将进行转化即可求解． 【详解】解：如图，设点O为的中点，由题意可知， 点E在以为直径的半圆O上运动，作半圆O关于的对称图形（半圆）， 点E的对称点为，连接,则， ∴当点D、P、、共线时，的值最小，最小值为的长， 如图所示，在中，，， ， 又， ，即的最小值为8， 故选：A． 【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将进行转化时解题的关键． 47．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）探究式子的最小值.小胖同学运用“数形结合”的思想：如图，取，作于．于，且，，点在上，设，则，于是，，，因此，可求得的最小值为 ，已知，则的最大值是 ．    【答案】 【分析】作关于的对称点，连接交于，连接，利用勾股定理求的最小值即可；构造图形如图，过点作交于，求的最大值结合三角形的三边关系，根据矩形的性质，利用勾股定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接交于，连接，   ， 则，， 此时的值最小为：， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，， ， 如图，，   ， 则， ， 的最大值为的长度， 过点作交于， 则四边形为矩形， ， ， ， 的最大值为， 故答案为： ，． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，最值问题等知识，解题的关键学会利用数形结合的思想解决问题． 48．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则 ，的最小值为 ． 【答案】 /30度 【分析】①与为等边三角形，得到，，，从而证，最后得到答案． ②过点D作定直线CF的对称点G，连CG，证出为等边三角形，为的中垂线，得到， ，再证为直角三角形，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：①∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∵，， ∴， ， ∴， 在和中 ∴， 得； 故答案为：． ②（将军饮马问题） 过点D作定直线CF的对称点G，连CG， ∴为等边三角形，为的中垂线，， ∴， 连接， ∴， 又， ∴为直角三角形， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，将军饮马，线段垂直平分线的判定及性质，勾股定理等内容，熟练运用将军饮马是解题的关键，具有较强的综合性． 49．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接， 关于对称， ∴， 同理，，， ，， 是等腰三角形． ， 故答案为：． 50．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．    【答案】/ 【分析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵为高上的动点． ∴ ∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∴点在射线上运动， 如图所示，    作点关于的对称点，连接，设交于点，则 在中，，则， 则当三点共线时，取得最小值，即 ∵，， ∴ ∴ 在中，, ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键． 51．（2021·湖北恩施·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；（3）存在最小值，最小值为，此时点M的坐标为． 【分析】（1）由题意易得，进而可得，则有，然后把点B、D代入求解即可； （2）设点，当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当时，②当时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可； （3）由题意可得如图所示的图象，连接OM、DM，由题意易得DM=EM，四边形BOMP是平行四边形，进而可得OM=BP，则有，若使的值为最小，即为最小，则有当点D、M、O三点共线时，的值为最小，然后问题可求解． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形，， ∴，， ∴， ∴OB=1， ∴， 把点B、D坐标代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）由（1）可得，抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线， ∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴由两点距离公式可得， 设点，当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分： ①当时，如图所示： ∴由两点距离公式可得，即， 解得：， ∴点F的坐标为或； ②当时，如图所示： ∴由两点距离公式可得，即， 解得：， ∴点F的坐标为或； 综上所述：当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或； （3）由题意可得如图所示： 连接OM、DM， 由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，， ∴，DM=EM， ∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为， ∴， ∴四边形BOMP是平行四边形， ∴OM=BP， ∴， 若使的值为最小，即为最小， ∴当点D、M、O三点共线时，的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图所示： ∵， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为， 设线段OD的解析式为，代入点D的坐标得：， ∴线段OD的解析式为， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键． 52．（2020·江苏南京·中考真题）如图①，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向同侧的A、B两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． （1）如图②，作出点A关于的对称点，线与直线的交点C的位置即为所求， 即在点C处建气站， 所得路线ACB是最短的，为了让明点C的位置即为所求，不妨在直线上另外任取一点，连接，， 证明， 请完成这个证明． （2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）， ①生市保护区是正方形区域，位置如图③所示 ②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示． 【答案】（1）证明见解析；（2）①见解析，②见解析 【分析】（1）连接，利用垂直平分线的性质，得到，利用三角形的三边关系，即可得到答案； （2）由（1）可知，在点C处建燃气站，铺设管道的路线最短．分别对①、②的道路进行设计分析，即可求出最短的路线图． 【详解】（1）证明：如图，连接 ∵点A、关于l对称，点C在l上 ∴， ∴， 同理， 在中，有 ∴； （2）解：①在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD+DB（如图，其中D是正方形的顶点）． ②在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是（如图，其中CD、BE都与圆相切）． 【点睛】本题考查了切线的应用，最短路径问题，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握题意，正确确定点C的位置，从而确定铺设管道的最短路线． 类型二 逆等线模型 逆等线模型的介绍：两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等，那么这两条始终相等的线段称为逆等线段. 解题方法： 1）找三角形.找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形.(图中本身就有的三角形不要添加辅助线以后构成的三角形) 2.确定该三角形的不变量.在动点移动过程中，该三角形有一个边长度不变，有一个角的大小不变. 3.从另一逆等线段的定点引一条线.使得线段长度等于第二步中的那个不变的边长,与这个逆等线段的夹角等于第二步中那个不变的角. 4.问题转化为将军饮马问题求最值. 【模型解读】 △ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线，就是怎么别扭怎么来。观察图形，我们很容易发现，AD和CE没有首尾相连，所以，一般通过平移或者作平行等方法构造全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题。 备注：一般情况下，题目中有两个没有首尾相连的线段相等，即两定两动，也归为逆等线问题。 例：如上图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC=8，AC=10，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。 解题策略：① AD在△ADC中，那么我们就以CD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等. ② 即过点C作CF//AB，且CF=AC.（构造一边一角，得全等） ③ 构造出△ADC≌△CEF ( SAS),证出EF=CD. ④ CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求.此时，B、E、F三点共线，本题中，也可以利用三角形三边关系去求最值. ⑤ 求BF 题型01 构造SAS型全等拼接线段 53．（21-22九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，在边长为的正方形中，点、分别是边、上的动点．且，连接、，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接AE，利用转化线段BF得到,则通过作点A关于BC的对称点H，连接DH交BC于点E，利用勾股定理求出DH的长即可． 【详解】解：连接，如图， 四边形是正方形， ，，又， ≌． ．    所以最小值等于最小值． 作点关于的对称点点，如图， 连接，则A、B、三点共线， 连接，与的交点即为所求的点． 根据对称性可知， 所以．    在中，， 最小值为． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段． 54．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，等腰的直角边长为4，D、E分别为边上两个动点，且，则的最小值 【答案】 【分析】过点A作，且，连接，如图所示，证明，得到，则，当为最小时，即为最小，则当点C、D、H三点共线时即为最小，连接，交于点M，证明 ，得到，，利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：由题意可得如图所示： 过点A作，且，连接，如图所示， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当为最小时，即为最小， ∴当点C、D、H三点共线时即为最小， 连接，交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴CD+BE的最小值为； 故答案为∶ ． 【点睛】本题主要考查勾股定理及等腰直角三角形的性质，解题的关键在于构造三角形全等把问题转为两点之间线段最短进行求解即可． 55．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为5的菱形中，，，分别是，上的动点，，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形，全等三角形．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，是解决问题的关键． 过点作，使，连接，，得到，．根据菱形的边长为5，得到．根据，得到．得到．得到．推出．得到．得到．即得的最小值为． 【详解】如图，过点作，使，连接，，则，． ∵菱形的边长为5， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∴． 即． ∴的最小值为． 故答案为：． 56．（2024·贵州黔南·模拟预测）如图，在中，，过点作直线于点，，分别是直线，边上的动点，且，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系的应用， 如图，过作，使，连接，证明，可得，，可得的最小值为，再进一步利用勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，过作，使，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵，， ∴， ∴的最小值为； 故答案为： 57．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，矩形中，，，点、分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】设点D关于的对称点为G，在上截取，连接，可证，从而，那么，A、H都是固定点，过点H作于点M，结合相似三角形和勾股定理即可求得， 【详解】如图，设点D关于的对称点为G，在上截取，连接，过点H作于点M， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质．这里根据把的最小值转化为是关键． 题型02 平移，对称或构造平行四边形 58．（2021·安徽宿州·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，CE，PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：如图，连接BP， 在矩形ABCD中，ADBC，AD=BC， ∵AP=CQ， ∴AD-AP=BC-CQ， ∴DP=QB，DPBQ， ∴四边形DPBQ是平行四边形， ∴PBDQ，PB=DQ， 则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值， 在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE， ∵PA⊥BE， ∴PA是BE的垂直平分线，   ∴PB=PE， ∴PC+PB=PC+PE， 连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE， ∵BE=2AB=12，BC=AD=5， ∴CE==13． ∴PC+PB的最小值为13． 故选：D． 【点睛】本题考查的是最短路径问题，勾股定理，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，中垂线的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 59．（2022·四川内江·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 ． 【答案】10 【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，证明四边形EFGC是平行四边形，得出CE＝FG，得出当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，根据勾股定理求出AG即可． 【详解】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG， ∵，EF＝CG， ∴四边形EFGC是平行四边形， ∴CE＝FG， ∴AF+CE＝AF+FG， ∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG， 由勾股定理得，AG＝＝＝10， ∴AF+CE的最小值为10， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，根据题意作出辅助线，得出当A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，是解题的关键． 60．（2022·山东滨州·中考真题）如图，在矩形中，．若点E是边AD上的一个动点，过点E作且分别交对角线AC，直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点D作交BC于M，过点A作，使，连接NE，当N、E、C三点共线时，，分别求出CN、AN的长度即可． 【详解】 过点D作交BC于M，过点A作，使，连接NE， 四边形ANEF是平行四边形， ， 当N、E、C三点共线时，最小， 四边形ABCD是矩形，， ， ， 四边形EFMD是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键． 61．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，正方形的边长为2，M是的中点，N是上的动点，过点N作分别交，于点E，F．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质求得与，再由勾股定理求得；过F作于G，证明得，再将沿方向平移至，连接，当A、F、H三点共线时，的值最小，由勾股定理求出此时的的值便可． 【详解】解：过F作于G，则，， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将沿方向平移至，连接，则，，， 当A、F、H三点共线时，的值最小， 此时， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，平移的性质，两点之间线段最短性质，关键是通过平移变换确定取最小值的位置． 题型03 加权逆等线 62．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，，，、分别为、上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，延长到H，使得，连接，证明，得到，则，故当三点共线时，最小，即此时最小，最小值即为的长，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值即为的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 63．（2021·四川成都·二模）如图，平行四边形ABCD，，，，点E、F为对角线BD上的动点，，连接AE、CF，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，在直线DB的上方作，且使得．过点T作交AD的延长线于H．首先利用相似三角形的性质证明，解直角三角形求出AT，根据，推出，即可解决问题． 【详解】解：如图，在直线DB的上方作，且使得． 过点T作交AD的延长线于H，连接ET、AT． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题属四边形综合题目，考查平行四边形的性质，两点之间线段最短，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，作辅助线构造直角 三角形和相似三角形是解题的关键． 64．（2024·吉林·模拟预测）如图，在菱形中，，，点E，F分别是，上的点，若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理，会构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意构造相似三角形，作，取，连接，，得到，进而得出，当三点共线时，的值最小，即的值最小，最后利用勾股定理即可解出． 【详解】作，取，连接，，如图所示， 在菱形中， ， ， ， ， ， 当三点共线时，的值最小，即的值最小， 在菱形中，， ，是等腰三角形， ，， ， 在中，， ， 故答案为：． 65．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值； (3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）在中，，则，得到直线的表达式为：，进而求解； （3）作，证明且相似比为，故当、、共线时，为最小，进而求解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 即，则， 故抛物线的表达式为：①； （2）解：在中，， ， 则， 故设直线的表达式为：②， 联立①②得：， 解得：（不合题意的值已舍去）； 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 题型04 取到最小值时对其它量进行计算 66．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正方形的边长为2，M是的中点，N是上的动点，过点N作，分别交、于点E、F，若的值为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形综合，涉及三角形全等的判定和性质，矩形和平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．过F作于G，证明，得到，将沿方向平移至，连接，得四边形是平行四边形，得，证点、、三点共线，过H作的垂线，交的延长线于点I，延长交的延长线于点K，得四边形为矩形，证，求出，，最后利用即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为2，M是的中点， ∴，，， ∴， 如图，过作于G， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将沿方向平移至，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 过H作的垂线，交的延长线于点I，延长交的延长线于点K， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点、、三点共线， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即：， 解得：， 故答案为：． 67．（16-17八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知直线：分别交轴、轴于点两点，，分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求得， 取点，连接，证明，即可推导，即有，因为，即当共线时，的值最小；利用待定系数法求出直线的解析式，即可获得答案． 【详解】解：对于直线：， 当时，可有， 当时，可有，解得， ∴， 又∵， ∴， 如下图，取点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为线段的长， 即当共线时，的值最小， 设直线的解析式为， 将点代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点， ∴当的值最小时，点的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图像上的点的特征、待定系数法求一次函数解析式、最短路径、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用相关知识，并学会构建全等三角形解决问题． 68．（23-24八年级上·山东·期末）如图，为等边的高，M、N分别为线段，上的动点，且，当取得最小值时， ． 【答案】 【分析】作，使，连接 交于点F，连接，则，可证，从而得证，于是，，当点N与点F重合时，取最小值； 【详解】解：作，使，连接 交于点F，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 当点N与点F重合时，，取最小值，则取最小值， 此时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形外角性质、两点之间线段最短，添加合适的辅助线是解题的关键． 69．（2022·陕西西安·一模）如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，点M，N分别为CB，CA上的动点，且始终保持BM＝CN，则当AM+BN取最小值时，CN＝ ． 【答案】 【分析】过点B作BDAC，使BD＝BC＝2，连接AD与BC交于点，连接DM，可证得，得到BN＝DM，AM+BN＝AM+DM，则有当A、M、D在同一直线上时，即M在点位置时，即有，利用BDAC，证得，得到，设CN＝BM′＝x，则CM′＝2﹣x，再利用已知的线段长度即可求出x，即问题得解． 【详解】过点B作BDAC，使BD＝BC＝2，连接AD与BC交于点，连接DM，如图： 在△CBN与△BDM中， ， ∴， ∴BN＝DM， ∴AM+BN＝AM+DM， ∴当A、M、D在同一直线上时，即M在点位置时，AM+BN最小为AD， 此时， ∵BDAC， ∴， ∴， ∵∠C＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2， ∴， 设CN＝BM′＝x，则CM′＝2﹣x， ∴， 解得x． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形、相似三角形、解直角三角形、特殊角的三角函数以及最短距离问题等知识，作出合理的辅助线是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$