结业测试卷（范围：第五、六、七章）（提高篇）（寒假预科讲义）-2025年高二数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019）

结业测试卷（范围：第五、六、七章）（提高篇） 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高二下·江苏扬州·期中）学校为丰富高中生的课外生活，开设了兴趣小组，有3名学生想要报名书法、绘画、篮球、羽毛球兴趣小组，每人限报1项、则不同的报名方式种数有（    ） A． B．36 C．24 D． 2．（5分）（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知，则（    ） A． B．此二项展开式系数最大的项为第4项 C．此二项展开式的二项式系数和为32 D． 4．（5分）（23-24高二下·天津·期中）已知函数，且、、，则、、的大小关系（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为（    ）（附：若，则 A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014 6．（5分）（23-24高二下·江苏南京·期末）某罐中装有大小和质地相同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球，连续摸两次.记“第一次摸球时摸到红球”，“第一次摸球时摸到绿球”，“第二次摸球时摸到红球”，“第二次摸球时摸到绿球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（    ） A．与R2为互斥事件 B． C． D． 7．（5分）（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）一个不透明的袋子中有10件外观一样的产品，其中有6件正品，4件次品．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出2件产品，记取得次品的件数为，期望方差分别为；试验二： 逐个有放回地随机摸出2件产品，记取到次品的件数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 8．（5分）（23-24高二下·湖南·期中）已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（    ） A．可组成300个不重复的四位数 B．可组成156个不重复的四位偶数 C．可组成120个能被5整除的不重复四位数 D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数字为2301 10．（6分）（23-24高二下·山东聊城·期末）五一假期过后，车主小王选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车.已知小王第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小王第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小王第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（    ） A．小王第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为 B．小王第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率大 C．若小王第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 D．若小王第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 11．（6分）（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知函数，则下列正确的是（   ） A．的极小值为 B．在单调递增 C．有三个实根 D．，当时，恒成立，则的取值范围是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高二下·全国·课后作业）已知，的二项展开式中各项系数和为，则展开式中项的系数是 ． 13．（5分）（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）在高三的一个班中，有的学生数学成绩合格，若从班中随机找出10名学生，那么数学成绩合格的学生人数，则取最大值时 . 14．（5分）（23-24高二下·四川广安·期中）已知函数对任意一个负数x，不等式恒成立，则整数a的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）设，求： (1)； (2) 16．（15分）（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案： (1)男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上； (2)男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻； (3)男选手小钱和男选手小周至少一人参加. 17．（15分）（23-24高二下·吉林长春·期末）目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一. 当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分，笔试通过后才能进入面试环节. 已知某市2024年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，笔试成绩，只有笔试成绩高于70分的考生才能进入面试环节. (1)利用正态分布的知识，估计该市报考中小学教师资格的10000名笔试考生中，进入面试的人数（结果只保留整数）； (2)现有甲、乙、丙3名考生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为，设这3名考生中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 参考数据：若，则，，. 18．（17分）（23-24高二下·浙江杭州·期中）在我校开展的文化节知识竞赛活动中，共有A、B、C三道必答题，答对A、B、C分别得10分，10分，20分，答错不得分.已知甲同学答对问题A、B、C的概率分别为，，，乙同学答对问题A、B、C的概率均为，甲、乙两位同学都回答了这三道题，且各题回答正确与否相互独立. (1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率； (2)运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强. 19．（17分）（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若函数有两个不同的零点，， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 结业测试卷（范围：第五、六、七章）（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高二下·江苏扬州·期中）学校为丰富高中生的课外生活，开设了兴趣小组，有3名学生想要报名书法、绘画、篮球、羽毛球兴趣小组，每人限报1项、则不同的报名方式种数有（    ） A． B．36 C．24 D． 【解题思路】根据题意，分析可得每名学生都有4种选法，结合分步计数原理，即可求解. 【解答过程】根据题意，每名学生都可以在书法、绘画、篮球和羽毛球兴趣小组中任选1个， 都有4种选法，由分步计数原理得，共有种不同的选法. 故选：D. 2．（5分）（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由求出，再利用导数的几何意义计算即可. 【解答过程】依题意，，则，解得， 则， 所以，即切线经过点， 则该切线的方程为， 即. 故选：C. 3．（5分）（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知，则（    ） A． B．此二项展开式系数最大的项为第4项 C．此二项展开式的二项式系数和为32 D． 【解题思路】对A：借助二项式的展开式的通项公式计算即可得；对B：计算出第4项的系数可得其小于0，再计算出第1项的系数可得其大于0，可得其错误；对C：借助二项式系数和为计算即可得；对D：借助赋值法，令代入计算后结合即可得. 【解答过程】对A：，则，故A错误； 对B：，即第4项的系数为， 令，有，故B错误； 对C：，故此二项展开式的二项式系数和为，故C错误； 对D：令，则，又， 故，故D正确. 故选：D. 4．（5分）（23-24高二下·天津·期中）已知函数，且、、，则、、的大小关系（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，求导得，即可得到在上单调递增，从而可比较函数值的大小关系. 【解答过程】由可得， 当时，， 所以在上单调递增， 又，所以， 即，则， 所以. 故选：D. 5．（5分）（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为（    ）（附：若，则 A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014 【解题思路】由题意，根据二项分布的期望与方差公式分别求出和，然后再利用正态分布的对称性即可求解. 【解答过程】抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为，则， 所以， 由题意，，且，则， 因为， 所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为， 故选：A. 6．（5分）（23-24高二下·江苏南京·期末）某罐中装有大小和质地相同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球，连续摸两次.记“第一次摸球时摸到红球”，“第一次摸球时摸到绿球”，“第二次摸球时摸到红球”，“第二次摸球时摸到绿球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（    ） A．与R2为互斥事件 B． C． D． 【解题思路】利用事件互斥，古典概型，条件概率，全概率的计算公式，以及相互独立事件的概念和计算，逐项求解，即可求解. 【解答过程】对于A，“第一次摸球时摸到红球”，“第二次摸球时摸到红球”， 每次不放回地随机摸出1个球，存在事件“两次都摸到红球”，故A错误； 对于B，根据题意计算得 ，故B错误； 对于C，根据题意计算得，故C错误； 对于D，由条件概率的公式，故D正确； 故选：D. 7．（5分）（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）一个不透明的袋子中有10件外观一样的产品，其中有6件正品，4件次品．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出2件产品，记取得次品的件数为，期望方差分别为；试验二： 逐个有放回地随机摸出2件产品，记取到次品的件数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出2件产品、从中随机地有放回摸出2件产品的期望、方差，再做比较可得答案． 【解答过程】试验一：从中随机地无放回摸出2件产品，记次品的件数为， 则的可能取值是0，1，2， 则， ， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出2件产品，则每次摸到次品的概率为， 则， 故， 方差为： ， 所以， 故，． 故选：A． 8．（5分）（23-24高二下·湖南·期中）已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】变形为有两个实根，变形得到，设，求导得到单调性，进而求出，只需使有两个根，设，求导,即可求解最值得出的取值范围． 【解答过程】要使函数有两个零点，即有两个实根， 即有两个实根， 即，整理为， 设函数，则上式为， 因为恒成立，所以单调递增，所以， 所以只需使有两个根，设， ， 易知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 故函数在处取得极大值，也是最大值，则， 当时，；当时，， 要想有两个根，只需，解得， 即的取值范围是． 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（    ） A．可组成300个不重复的四位数 B．可组成156个不重复的四位偶数 C．可组成120个能被5整除的不重复四位数 D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数字为2301 【解题思路】应用分类分步原理，结合分组讨论的方法研究不同选项中的计算问题：A中6个数中选4个全排列再排除首位为0的情况或首位在1、2、3、4、5任选一个数再从剩余数中选3个数全排；B中分末位为0，为2、4两种情况分别计数再求和；B中分末位为0，为5两种情况分别计数再求和；D中分首位为1、2、依次计数，找到第85个数字的位置再确定数字即可. 【解答过程】A选项，有个，故A正确； B选项，分为两类：在末位，则有种； 不在末位，则有种， 所以共有种，故B正确； C选项，分为两类：在末位，则有种； 5在末位，则有种， 所以共有种，故C错误； D选项，首位为的有个；前两位为的有个；前两位为的有个， 所以第个数字是前两位为的最小数，即为，故D正确； 故选：ABD. 10．（6分）（23-24高二下·山东聊城·期末）五一假期过后，车主小王选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车.已知小王第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小王第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小王第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（    ） A．小王第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为 B．小王第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率大 C．若小王第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 D．若小王第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 【解题思路】记第次去洗车店为，第次去洗车店为，根据乘法公式以及全概率公式判断AB；由条件概率结合全概率公式求解CD. 【解答过程】记第次去洗车店为，第次去洗车店为， 由题意可知， ， 对于A：，故A正确； 对于B：， ，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误； 故选：AC. 11．（6分）（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知函数，则下列正确的是（   ） A．的极小值为 B．在单调递增 C．有三个实根 D．，当时，恒成立，则的取值范围是 【解题思路】求导后可得单调性，结合极值定义可知AB正误；作出图象，根据与的交点个数可得C正确；将D中问题转化为在上单调递增，由，采用分离参数的方式可求得D正确. 【解答过程】由题意知：定义域为，； 当时，；当时，； 的单调递减区间为，；单调递增区间为； 对于A，的极小值为，A正确； 对于B，当时，单调递减，B错误； 对于C，的极大值为，且当时，，由此可得图象如下图所示， 由图象可知：与有三个不同的交点， 即有三个实根，C正确； 对于D，由当时，恒成立可得：， 令，则在上单调递增， 在上恒成立，在上恒成立； 在上的最大值为，，D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高二下·全国·课后作业）已知，的二项展开式中各项系数和为，则展开式中项的系数是 ． 【解题思路】由二项展开式的各项系数和为，求出，再利用二项展开式的通项公式，即可求解． 【解答过程】因为的二项展开式的各项系数和为， 令，得，解得， 所展开式的通项公式为， 令，得， 所以项的系数为． 故答案为：． 13．（5分）（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）在高三的一个班中，有的学生数学成绩合格，若从班中随机找出10名学生，那么数学成绩合格的学生人数，则取最大值时 . 【解题思路】根据题意得到，得到且，进而求得的值. 【解答过程】由数学成绩合格的学生人数，可得， 则满足且， 解得且，所以， 所以取最大值时，实数的值为. 故答案为：. 14．（5分）（23-24高二下·四川广安·期中）已知函数对任意一个负数x，不等式恒成立，则整数a的最小值为 2 ． 【解题思路】对任意一个负数x，不等式恒成立，转化为对恒成立，构造函数，利用导数以及零点的存在性定义求解的最大值，即可得到答案． 【解答过程】对任意一个负数x，不等式恒成立，即对恒成立， 设，则， 设，则，令，解得， 当时，，故单调递减，当时，，故单调递增， 又，，时， 故存在，使得，即，     当时，，则单调递增，当时，，则单调递减， 所以当时，取得最大值，因为中，，， 故，所以的最大值， 当时，，又整数，所以整数a的最小值为2． 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）设，求： (1)； (2) 【解题思路】（1）先代入得，进而分别代入和后两式相加可得，从而可得的值. （2）根据（1）可得，由通项公式可知，当 r 为偶数时，对应系数为正；当 r 为奇数时，对应系数为负，从而得的值. 【解答过程】（1）取 ,得到 ； 取 得到 ， 取得到 ， 两式相加得到 ， 所以 . （2）根据（1）知： . 展开式的通项为： ， 故当 r 为偶数时，对应系数为正；当 r 为奇数时，对应系数为负， 故 . 16．（15分）（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案： (1)男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上； (2)男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻； (3)男选手小钱和男选手小周至少一人参加. 【解题思路】根据先选后排的原则，结合排列数、组合数运算求解. 【解答过程】（1）因为男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上，所以只需再在剩余的5男5女中，选1男2女，排在前3个位置即可， 所以排法种数为：种. （2）完成这件事可以分两步： 第一步：先选人，有种选法； 第二步：再排列，4人排列，小李和小赵不相邻的排法种数为：. 由分步计数乘法原理得：不同的排法种数为：. （3）完成这件事的方法可以分两类： 第一类：小钱和小周只有一人参加，方法有：种； 第二类：小钱和小赵都参加，方法有. 由分类加法计数原理得：不同的排法种数为：. 17．（15分）（23-24高二下·吉林长春·期末）目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一. 当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分，笔试通过后才能进入面试环节. 已知某市2024年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，笔试成绩，只有笔试成绩高于70分的考生才能进入面试环节. (1)利用正态分布的知识，估计该市报考中小学教师资格的10000名笔试考生中，进入面试的人数（结果只保留整数）； (2)现有甲、乙、丙3名考生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为，设这3名考生中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 参考数据：若，则，，. 【解题思路】（1）由题意可知，根据正态分布的性质即可求出概率； （2）分析可知随机变量的可能取值有，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值. 【解答过程】（1）由题意可知， 则 ， 则共，即人进入面试. （2）由题意可知，随机变量的可能取值有， 甲、乙、丙3名考生没通过面试的概率分别为, 则， , ， , 故随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 故. 18．（17分）（23-24高二下·浙江杭州·期中）在我校开展的文化节知识竞赛活动中，共有A、B、C三道必答题，答对A、B、C分别得10分，10分，20分，答错不得分.已知甲同学答对问题A、B、C的概率分别为，，，乙同学答对问题A、B、C的概率均为，甲、乙两位同学都回答了这三道题，且各题回答正确与否相互独立. (1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率； (2)运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强. 【解题思路】（1）先求其对立事件的概率即可. （2）分别求甲乙两同学得分的概率分布及均值，比较甲乙两同学得分的均值的大小即可. 【解答过程】（1）设甲同学三道题都答对的事件为,则， 所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为. （2）设甲同学本次竞赛中得分为，则的可能取值为分， 则, , , , , 所以的概率分布列为： 0 10 20 30 40 所以 设乙同学本次竞赛中得分为，由的可能取值为分 , , , , , 所以的概率分布列为： 0 10 20 30 40 所以, 所以，所以乙的得分能力更强. 19．（17分）（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若函数有两个不同的零点，， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 【解题思路】（1）求导，根据导数判断函数单调性进而确定极值； （2）（i）求导，根据导数判断函数单调性与极值情况，结合零点存在定理可得参数范围；（ii）设，根据，，可得，即可将不等式转化为，设，即，则需证，构造函数，，求导可得函数的单调性与最值，即可得证. 【解答过程】（1）由已知，则，， ，， 令，即， 令，即， 即在上单调递增，在上单调递减， 则函数在处取得极大值为，无极小值； （2）（i）由，， 则，， 当时，恒成立，即函数在上单调递减，与有两个零点矛盾，不成立； 当时，令，则，令，则， 则在上单调递增，在上单调递减， 若函数有两个不同的零点，， 则， 设，， 则， 即在上单调递减，且， 则当时，， 又，， 当时，， 由零点存在性定理可知，此时函数有两个不同的零点. 综上所述，若函数有两个不同的零点，，则； （ii）设，则， 又，， 两式做差可得， 即，则，所以若证， 即证，即证， 设，即，则只需证， 设，， 则， 所以在上单调递增， 则，即， 所以. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$