第七章 随机变量及其分布全章综合测试卷（寒假预科讲义）-2025年高二数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019）

第七章 随机变量及其分布全章综合测试卷 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）若随机变量服从正态分布，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（23-24高二下·吉林·期末）下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（    ） 0 1 2 0.36 A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 3．（5分）（23-24高二下·山东临沂·期末）随机变量，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知某羽毛球小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员6人，三级运动员10人.现在举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.2，则这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（    ） A．0.42 B．0.46 C．0.58 D．0.62 5．（5分）（23-24高二下·河南商丘·期中）已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（23-24高二下·安徽黄山·期中）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值可能是（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知随机变量的分布列是 0 2 随机变量的分布列是 3 5 7 下列选项中正确的是（    ） A． B． C．当增大时，递增 D．当增大时，递减 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二下·陕西咸阳·期末）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布、，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．甲类水果的平均质量 B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从正态分布的参数 10．（6分）（24-25高二下·全国·课后作业）现有10道判断题，某学生对其中7道题有思路，3道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.5．该同学从这10道题中随机选择1题，记事件A：选择的是有思路的题，记事件B：答对该题，则（    ） A． B． C． D． 11．（6分）（23-24高二下·广西·期中）已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高二下·广东珠海·阶段练习）已知随机变量，若，则的值为 ． 13．（5分）（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是，和，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为 . 14．（5分）（23-24高二下·湖北·期末）甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”的游戏．游戏规则为：剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀．每一局游戏甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且相互独立．在一局游戏中某人赢1个人得1分，赢2个人得3分，其他情况得0分．设一局游戏后3人总得分为，则随机变量的数学期望的值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·全国·课前预习）下列随机变量哪个是离散型随机变量． (1)掷一枚骰子一次，用表示所得点数； (2)白炽灯的使用时间． 16．（15分）（24-25高二下·全国·课前预习）有两个箱子，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，求某人从中随机取一箱，再从中任意取出一球，若取出的是红球，则此球来自1号箱的概率为多少？ 17．（15分）（24-25高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 18．（17分）（23-24高二下·广东广州·期末）某食品加工厂为了检查一条新投入使用的全自动包装线的效能，随机抽取该包装线上的100件产品，检测出产品的重量（单位：克），重量的分组区间为，，由此得到样本的频率分布直方图（如图）． (1)求直方图中的值； (2)估计这100件产品的重量的中位数（结果保留小数点后一位）； (3)若产品重量在区间上，则判定该产品包装合格．在这100件产品中任取2件，记包装不合格的产品件数为，求的分布列和数学期望． 19．（17分）（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立． (1)求甲以获胜的概率； (2)设比赛场数为．试求的分布列及数学期望； (3)如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 随机变量及其分布全章综合测试卷 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）若随机变量服从正态分布，且，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，利用正态分布的对称性得到，即可求解. 【解答过程】因为服从正态分布，且， 所以， 故选：A. 2．（5分）（23-24高二下·吉林·期末）下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（    ） 0 1 2 0.36 A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【解题思路】直接根据分布列的概率和为1列方程计算即可. 【解答过程】由已知得，解得或（舍去）. 故选：B. 3．（5分）（23-24高二下·山东临沂·期末）随机变量，若，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据二项分布的期望和方差公式可求，进而根据二项分布的概率公式即可求解. 【解答过程】因为，所以， 解得，所以. 故选：B. 4．（5分）（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知某羽毛球小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员6人，三级运动员10人.现在举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.2，则这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（    ） A．0.42 B．0.46 C．0.58 D．0.62 【解题思路】由全概率公式即可求解. 【解答过程】设事件B为“选出的运动员能晋级”， 为“选出的运动员是一级运动员”， 为“选出的运动员是二级运动员”， 为“选出的运动员是三级运动员”， 则，，， 又根据题意可得，，， 由全概率公式可得： ， 任选一名运动员能够晋级的概率为0.46. 故选：B. 5．（5分）（23-24高二下·河南商丘·期中）已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件概率公式计算，注意在时，． 【解答过程】因为， 所以，， ， ， ， ， 故选：C． 6．（5分）（23-24高二下·安徽黄山·期中）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值可能是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】分别计算出发球1次、2次、3次所对应的概率，然后计算数学期望进行判断计算即可. 【解答过程】根据题意，发球次数为1的概率为， 发球次数为2的概率， 发球次数为3的概率， 则 ， 解得或，由可得. 故选：C. 7．（5分）（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数学期望，方差的公式及性质计算即可． 【解答过程】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布， 故 所以 ， ， 故选：D． 8．（5分）（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知随机变量的分布列是 0 2 随机变量的分布列是 3 5 7 下列选项中正确的是（    ） A． B． C．当增大时，递增 D．当增大时，递减 【解题思路】求出、、、，逐项判断可得答案. 【解答过程】对于A，由题意知：， ，所以A错误； 对于B，因为， ， 即，故B错误； 对于C，，所以当增大时，也增大，故C正确； 对于D,由， 因为，所以当增大时，增大，可知D错误. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二下·陕西咸阳·期末）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布、，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．甲类水果的平均质量 B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从正态分布的参数 【解题思路】利用正态分布的性质，逐一进行判断即可. 【解答过程】由图象可知，甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，故A，C正确； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确； 因为乙图象的最大值为，即，所以，故D错误； 故选：ABC. 10．（6分）（24-25高二下·全国·课后作业）现有10道判断题，某学生对其中7道题有思路，3道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.5．该同学从这10道题中随机选择1题，记事件A：选择的是有思路的题，记事件B：答对该题，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用条件概率及全概率公式依次求解各选项即可. 【解答过程】由题意可得： ，，，A错误； ，则，B错误； 由全概率公式可得，所以，C正确； ，D正确． 故选：CD. 11．（6分）（23-24高二下·广西·期中）已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．的最小值为 【解题思路】根据分布列的性质结合已知条件判断各个选项即可. 【解答过程】对于A，由题意得，若，则，A错误； 对于B，若，则，，B正确； 对于C，若，则，又，所以，C正确； 对于D，由，得， ， 因为，，D错误. 故选：BC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高二下·广东珠海·阶段练习）已知随机变量，若，则的值为 ． 【解题思路】由条件结合正态分布的性质可得，，再结合条件可求结论. 【解答过程】因为，， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 13．（5分）（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是，和，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为 . 【解题思路】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件、、，甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级为事件，乙没有达优秀等级为事件，由相互独立事件及条件概率公式计算可得. 【解答过程】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件、、， 则，且，，相互独立， 设甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级为事件， 则， 设乙没有达优秀等级为事件，则， 所以. 故答案为：. 14．（5分）（23-24高二下·湖北·期末）甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”的游戏．游戏规则为：剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀．每一局游戏甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且相互独立．在一局游戏中某人赢1个人得1分，赢2个人得3分，其他情况得0分．设一局游戏后3人总得分为，则随机变量的数学期望的值为 ． 【解题思路】利用排列组合知识计算为0，2，3时，对应的概率，进而由分布列的胡期望. 【解答过程】可取0，2，3. 0 2 3 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·全国·课前预习）下列随机变量哪个是离散型随机变量． (1)掷一枚骰子一次，用表示所得点数； (2)白炽灯的使用时间． 【解题思路】根据离散型随机变量的概念，逐一判断即可. 【解答过程】（1）离散型随机变量指它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个的随机变量，依题意，掷一枚骰子一次，所得点数为1，2，3，4，5，6，可以一一列举，所以是离散型随机变量. （2）白炽灯的使用时间是随机的，但任意白炽灯的使用时间是不确定的非负数，不能一一列举，所以不是离散型随机变量. 16．（15分）（24-25高二下·全国·课前预习）有两个箱子，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，求某人从中随机取一箱，再从中任意取出一球，若取出的是红球，则此球来自1号箱的概率为多少？ 【解题思路】根据互斥事件的加法概率公式，结合条件概率公式和全概率公式进行求解即可. 【解答过程】设事件表示“球取自号箱”，事件表示“取得红球”，其中，互斥，发生总是伴随着，之一同时发生， 即，且，互斥，， 所以． ，， ，即此球来自1号箱的概率为. 17．（15分）（24-25高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 【解题思路】（1）由题意可知，进而根据参考数据求事件的概率； （2）根据正态分布性质求事件的概率，结合频数频率关系求结论. 【解答过程】（1）∵， ∴. ∵， . 且， ∴. （2）∵， ， 且， ∴， ∴考试成绩位于区间内的考生人数为（人）. 18．（17分）（23-24高二下·广东广州·期末）某食品加工厂为了检查一条新投入使用的全自动包装线的效能，随机抽取该包装线上的100件产品，检测出产品的重量（单位：克），重量的分组区间为，，由此得到样本的频率分布直方图（如图）． (1)求直方图中的值； (2)估计这100件产品的重量的中位数（结果保留小数点后一位）； (3)若产品重量在区间上，则判定该产品包装合格．在这100件产品中任取2件，记包装不合格的产品件数为，求的分布列和数学期望． 【解题思路】（1）由频率之和为1即可求解； （2）利用频率分布直方图中中位数的求解方法即可得解； （3）由题可得X所有可能的取值为0，1，2，然后利用超几何分布求出对应的概率即可得解． 【解答过程】（1）依题意，，解得， 所以直方图中a的值是0.05； （2）由直方图可知，各组频率分别为：0.05，0.3，0.35，0.25，0.05， 则，， 所以抽取的100件产品的重量的中位数在内，设中位数为， 则，解得：， 所以这100件产品的重量的中位数约为497.1克； （3）样本中合格产品数量为， 在这100件产品中任取2件，记包装不合格的产品件数为X， 则X所有可能的取值为0，1，2， 于是，，， 所以X的分布列为： 0 1 2 则． 19．（17分）（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立． (1)求甲以获胜的概率； (2)设比赛场数为．试求的分布列及数学期望； (3)如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 【解题思路】（1）根据乘法公式计算即可求解； （2）根据独立事件的乘法公式计算出，列出分布列，即可求出； （3）分别求出采用“五局三胜制”和“三局两胜制”甲获胜的概率，比较大小即可下结论. 【解答过程】（1）若甲以获胜，则第四局甲获胜，且前三局的比分为， 所以． （2）易知取值为3，4，5． ， ， ， 故的概率分布列为： 3 4 5 所以的数学期望为：． （3）采用“五局三胜制”甲会以、、获胜，所以甲采用“五局三胜制”获胜的概率： ； 采用“三局两胜制”甲会以、获胜，所以甲采用“三局两胜制”获胜的概率： 因为，所以甲应该采用“五局三胜制”． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$