结业测试卷（范围：第六、七、八章）（基础篇）（寒假预科讲义）-2025年高一数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019必修第二册）

结业测试卷（范围：第六、七、八章）（基础篇） 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若与共线，则与方向相同或相反 C．若为单位向量，则 D．与非零向量共线的单位向量是 2．（5分）（24-25高一下·全国·随堂练习）若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 3．（5分）（24-25高一下·全国·课前预习）如图所示的组合体，则由下列所示的哪个三角形绕直线l旋转一周可以得到（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高一下·全国·期中）已知为实数，i为虚数单位，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．－1 5．（5分）（23-24高一下·广西玉林·期中）已知向量，若，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（    ） A．56 B． C． D． 7．（5分）（23-24高一下·甘肃临夏·期末）在中，若，则此三角形为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 8．（5分）（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在正方体中，E，F，M，N分别为棱AB，AD，，的中点，过E，F，M，N四点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（    ） A．该截面是六边形 B．平面 C．平面平面 D．该截面过棱的一个三等分点 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·全国·课后作业）若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B．为纯虚数 C．的实部为1 D．是实数 10．（6分）（24-25高一下·全国·课后作业）中，D为AB上一点且满足．若P为线段CD上一点，且（为正实数），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为3 11．（6分）（24-25高一下·全国·单元测试）如图，在正方体中，为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．二面角等于 D．异面直线与所成的角等于 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·全国·随堂练习）已知（其中），则实数x，y的值分别为 ． 13．（5分）（24-25高一下·全国·课后作业）如图A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，则A，B两点间的距离为 米． 14．（5分）（23-24高一下·天津南开·期末）长方体中，，，O是的中点，则直线AO与平面所成角的正切值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高一下·安徽六安·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 16．（15分）（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知i是虚数单位，复数． (1)当复数z为虚数时，求m的取值范围； (2)当复数z在复平面对应的点在第二象限，求m的取值范围． 17．（15分）（23-24高一下·河南郑州·期中）如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积及周长； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 18．（17分）（23-24高一下·青海·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 19．（17分）（23-24高一下·广西玉林·期中）如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 结业测试卷（范围：第六、七、八章）（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若与共线，则与方向相同或相反 C．若为单位向量，则 D．与非零向量共线的单位向量是 【解题思路】由零向量的定义判断A；通过举反例判断B；由单位向量的定义判断C；直接写出与非零向量共线的单位向量来判断D． 【解答过程】对于A，只有零向量的模为，故A正确； 对于B，当时，显然与共线，但零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可知，单位向量的模相同，但方向是任意的，所以不一定相等，故C错误； 对于D，与非零向量共线的单位向量有两个，与方向相同的是，与方向相反的是，故D错误． 故选：A． 2．（5分）（24-25高一下·全国·随堂练习）若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【解题思路】根据纯虚数的定义即可列关系求解. 【解答过程】由于为纯虚数， 所以且， 解得， 故选：C. 3．（5分）（24-25高一下·全国·课前预习）如图所示的组合体，则由下列所示的哪个三角形绕直线l旋转一周可以得到（    ） A． B． C． D． 【解题思路】旋转后的几何体是由两个共底的圆锥组合而成的立体图形，再根据四个选项中三角形的特征及旋转轴即可作出判断． 【解答过程】A旋转一周是圆锥，不满足题意； B旋转一周是两个圆锥，满足题意； C旋转一周是圆锥，不满足题意； D旋转一周是圆柱挖去一个圆锥的几何体，不满足题意. 故选：B. 4．（5分）（24-25高一下·全国·期中）已知为实数，i为虚数单位，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．－1 【解题思路】根据虚数不能比较大小，可以求出m，进而再用复数的除法运算求解即可. 【解答过程】因为，所以为实数，且解得． 故． 故选：A. 5．（5分）（23-24高一下·广西玉林·期中）已知向量，若，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平面向量垂直的坐标表示求得向量，再利用平面向量夹角的坐标计算公式求值即可. 【解答过程】因为，所以， 因为，所以，解得，所以， 设与夹角为，则， 即与夹角的余弦值为． 故选：A. 6．（5分）（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（    ） A．56 B． C． D． 【解题思路】先根据正四棱台的侧面积求出斜高，再求正四棱台的高，根据四棱台的体积公式求解. 【解答过程】由 为四棱台的斜高. 设四棱台的高为，则， 所以四棱台的体积为：. 故选：C. 7．（5分）（23-24高一下·甘肃临夏·期末）在中，若，则此三角形为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【解题思路】根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得求解. 【解答过程】由可得， 又， 所以， 由于为的内角，所以， 故为等腰三角形， 故选：B. 8．（5分）（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在正方体中，E，F，M，N分别为棱AB，AD，，的中点，过E，F，M，N四点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（    ） A．该截面是六边形 B．平面 C．平面平面 D．该截面过棱的一个三等分点 【解题思路】先根据已知四个点确定截面判断A,D选项，根据面面平行判定定理判断C,应用线面垂直判断B选项. 【解答过程】过E，F，M，N四点,确定截面的一条边，延长交 于一点，连接该点与点即可得到与棱的交点，利用公理3确定交线,同样的方法找出其它交线，即可得到截面如图所示： 该截面是六边形,分别是的中点，故A正确，D选项错误； 在正方形中，,平面平面 , 平面,平面,所以平面平面,所以, 同理可得平面平面,所以平面； 因为平面平面,所以平面, 因为平面平面,所以平面, 平面,平面, 所以平面平面,C选择正确； 因为平面，平面平面，所以平面，B选项正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·全国·课后作业）若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B．为纯虚数 C．的实部为1 D．是实数 【解题思路】利用复数除法求出，再逐项判断即得. 【解答过程】依题意，， 对于AC，的实部是1，虚部是，A错误，C正确； 对于B，是纯虚数，B正确； 对于D，是实数，D正确． 故选：BCD. 10．（6分）（24-25高一下·全国·课后作业）中，D为AB上一点且满足．若P为线段CD上一点，且（为正实数），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为3 【解题思路】根据平面向量基本定理，结合三点共线的向量性质、基本不等式逐一判断即可. 【解答过程】，故A正确； 由， 所以，又三点共线， ，即，故B错误； 由为正实数，，得，当且仅当时等号成立，故C错误； ，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：AD．    11．（6分）（24-25高一下·全国·单元测试）如图，在正方体中，为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．二面角等于 D．异面直线与所成的角等于 【解题思路】对于A，连接，交于，连接、，证明即可由线面平行判定定理得平面；对于B，证明平面即可得证平面；对于C，求证为二面角的平面角即可得解；对于D，由得为异面直线与所成的角，从而依据正三角形得解. 【解答过程】对于A，连接，交于，连接、， 则由正方体性质可知且， 所以四边形为平行四边形，故． 因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，因为为底面的中心，为棱的中点，所以， 由正方体性质有、平面， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以，同理可得，又，平面， 所以平面，故平面，故B正确； 对于C，由正方体性质可知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，，又 所以为二面角的平面角，显然不等于，故C错误； 对于D，因为，所以为异面直线与所成的角， 由正方体性质可知为等边三角形，所以，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·全国·随堂练习）已知（其中），则实数x，y的值分别为 1，1 ． 【解题思路】根据复数相等的充要条件，即可求解. 【解答过程】根据可得且， 解得或者， 由于，所以， 故答案为：1，1. 13．（5分）（24-25高一下·全国·课后作业）如图A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，则A，B两点间的距离为 米． 【解题思路】求出，结合正弦定理即可求解. 【解答过程】由题意， 由正弦定理得， 故，故A，B两点间的距离为． 故答案为：. 14．（5分）（23-24高一下·天津南开·期末）长方体中，，，O是的中点，则直线AO与平面所成角的正切值为 ． 【解题思路】根据给定条件，利用几何法求出直线与平面所成角的正切即可. 【解答过程】长方体中，平面平面， 则直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 取中点，连接，由是的中点，得，而平面， 于是平面，即为直线与平面所成的角， 由，，得， 在中，. 所以直线与平面所成角的正切为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高一下·安徽六安·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【解题思路】（1）根据相等向量的定义写出即可； （2）根据共线向量的定义直接写出. 【解答过程】（1）由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知， 与的长度相等且方向相同，所以与相等的向量为. （2）由题干图可知，与方向相同，与方向相反， 所以与共线的向量有. 16．（15分）（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知i是虚数单位，复数． (1)当复数z为虚数时，求m的取值范围； (2)当复数z在复平面对应的点在第二象限，求m的取值范围． 【解题思路】（1）由虚数的概念列方程求解即可； （2）由复数的几何意义得，解不等式即可得解. 【解答过程】（1）因为复数虚数，所以 解得，且 （2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以， 解之得，得． 所以实数的取值范围为. 17．（15分）（23-24高一下·河南郑州·期中）如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积及周长； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【解题思路】（1）把直观图还原为原平面图形，得四边形是直角梯形，由此求出平面四边形的面积和周长； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，计算它的体积和表面积即可． 【解答过程】（1）把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形， 其中，，，如图所示： 所以平面四边形的面积， 又， 所以四边形的周长； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体， 其中圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为，母线长为， 则旋转体的体积为， 表面积为． 18．（17分）（23-24高一下·青海·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 【解题思路】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式即可求解； （2）利用三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可得出的值，即可得解. 【解答过程】（1）因为， 所以 即． 因为，所以， 所以，因为，所以． （2）由（1）可知，则． 因为的面积为，所以，解得 由余弦定理得， 则． 故的周长为． 19．（17分）（23-24高一下·广西玉林·期中）如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【解题思路】（1）根据已知可得，再由线面平行的判定证结论； （2）根据已知是等腰直角三角形，应用线面垂直的判定和性质证 ，并求出相关线段长，应用等体积法有，求点面距离. 【解答过程】（1）由O是的交点，又为正方形，则O为的中点，又D是中点， 在中，又面面，故平面. （2）三棱柱中，，且， 易知是等腰直角三角形，点D是棱的中点， 所以， 四边形为正方形，，则， 又，而，且，则， 由在面内，则面，面， 所以 ，而，在面内， 则面，面，故 ，所以， 由，则，又， 若到平面的距离为d，则，可得. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$