2026年寒假结业测试卷02-2026年高一数学寒假预科讲义（人教A版）

2026年寒假结业测试卷02 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版必修第二册 第六章、第七章、第八章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·天津·月考）设、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解题思路】由线面和面面的位置关系依次判断各选项即可. 【解答过程】对于A，若，，则与平行、相交或异面，故A错误； 对于B，若，，则与平行或相交，故B错误； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，若，，则或在内或与相交，故D错误. 故选：C. 2．（5分）（24-25高一下·陕西咸阳·期末）设为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B． C．5 D．或5 【答案】C 【解题思路】由纯虚数的概念，建立方程与不等式，可得答案. 【解答过程】由题意可得，解得. 故选：C. 3．（5分）（24-25高一下·江苏常州·期中）已知向量，，，则m的值为（   ） A．0 B．-2 C．0或-2 D．0或2 【答案】D 【解题思路】直接利用向量的坐标运算和向量的模，求出结果 【解答过程】向量，，故， 所以，解得或2． 故选：D． 4．（5分）（24-25高一下·山西·期中）已知复数是关于x的方程（）的一个根，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】根据复数的乘法、加法运算化简复数，结合复数相等列方程组得的值，确定复数，由复数的几何意义确定象限即可. 【解答过程】由题知， 整理得，即解得 所以在复平面内的对应点为，位于第二象限. 故选：B. 5．（5分）（24-25高一下·河南·期中）如图，在中，，，且与交于点M，设，则（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】分别利用和三点共线表示出，再利用平面向量的基本定理列方程组，解出即可. 【解答过程】因为三点共线，且， 所以， 又因为三点共线，且， 所以， 可得， 即， 解得， 所以， 故选：A. 6．（5分）（24-25高一下·山西太原·月考）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先判断球心在三棱锥的高线上，由正弦定理求得，设球的半径为，结合题意列方程求出外接球半径即得. 【解答过程】如图，设点在底面的射影为点， 因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上， 连接，设球的半径为，则， 由正弦定理，解得， 在中，，则， 在中，由，解得， 则球的表面积为． 故选：B． 7．（5分）（24-25高一下·天津滨海新·期末）在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解题思路】由正弦定理得，进一步讨论得或即可判断. 【解答过程】因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以符号相同， 若，则，而这会导致，这与三角形内角和矛盾， 从而只能，所以， 所以或， 所以或, 所以的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 8．（5分）（24-25高一下·重庆·期末）如图，将棱长为4的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，为棱上一点，则下列四个结论中错误的是（    ） A．平面 B．八面体的体积为 C．的最小值为 D．点到平面的距离为 【答案】D 【解题思路】证明依据线面平行判定定理判断A，棱锥体积公式求出，再根据八面体的体积等于棱锥体积的2倍，判断B，将几何体展开，利用余弦定理判断C，等体积法求点到面的距离判断D. 【解答过程】 在正方体中，连接，可知相交于点，且被互相平分， 故四边形是平行四边形， 所以，而平面，平面， 所以平面，故A正确； 因为正方体棱长为，所以四边形是正方形且， 面,， 所以八面体的体积等于棱锥体积的2倍， 而棱锥体积等于， 故八面体的体积为，B正确； 因为为棱上一点，将和展开成一个平面， 由题和均为正三角形，且边长为， 由三角形两边之和大于第三边知最小值为， 在中由余弦定理可知： ，故C正确； 对于D选项：设点到平面的距离为，由等体积法知： 即， ，故D错误. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·甘肃天水·月考）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若非零向量，满足，则 【答案】BD 【解题思路】对A，若，则与不一定平行；对B，由向量相等的定义判断；对C，利用向量数量积的运算性质判断；对D，根据数量积的运算律及垂直的向量表示判断. 【解答过程】对于A，若，满足，，但与不一定平行，故A错误； 对于B，由向量相等的定义可知B正确； 对于C，若，即，但不一定成立，故C错误； 对于D，由，则，即， 整理得，又是非零向量，所以，故D正确. 故选：BD. 10．（6分）（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形或直角三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．若，则为锐角三角形 【答案】ABC 【解题思路】由余弦定理角化边，因式分解得到或，从而判断的形状，得到A选项；根据正弦函数在的单调性得到B选项；根据三角形的个数判断C选项；利用正弦定理只能得到为锐角，无法证明D选项. 【解答过程】对于A，若，则由余弦定理得， 即，， 所以，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确； 对于B，在锐角中，，故且， 故，所以不等式恒成立，故B正确； 对于C，若，且有两解， 则，故，即，故C正确； 对于D，若，则， 即，由正弦定理得，所以角为锐角， 但角未知，无法判断为锐角三角形，故D错误. 故选：ABC. 11．（6分）（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在正方体中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的是（　　） A．MO⊥平面 B．平面MAC与平面ABC夹角的正切值为 C．异面直线BC1与AC所成的角等于60° D．若正方体的棱长为1，则到平面AMC的距离为 【答案】ACD 【解题思路】对于A，连接，交BC1于，设正方体的棱长为1，首先由三角形中位线可得，其次根据线面垂直的判定定理证明平面，即可证明MO⊥平面，即可判断A；对于B，首先根据二面角的定义证明就是平面MAC与平面ABC夹角，然后在求出的值，即可判断B；对于C，首先找到（或其补角）就是异面直线BC1与AC所成的角，然后在中求出的值即可判断C；对于D，设到平面AMC的距离为，根据等体积法，由求出，即可判断D. 【解答过程】 连接，交BC1于，设正方体的棱长为1， 因为M为棱BB1的中点，又因为O为底面正方形ABCD的中心， 所以，， 所以，所以， 因为，所以 因为四边形是正方形，所以. 因为是正方体，所以平面， 因为平面，所以 , 又因为，所以平面， 因为平面，所以 ， 因为，所以平面， 因为，所以MO⊥平面，故A正确； 因为O为底面正方形ABCD的中心，所以， 又由选项A知， 所以就是平面MAC与平面ABC夹角， 所以，故B错误； 因为，所以（或其补角）就是异面直线BC1与AC所成的角， 在正方体中，是正三角形，所以， 即异面直线BC1与AC所成的角等于60°，故C正确； 设到平面AMC的距离为， 因为，又由选项A可知，， 所以， 因为是正方体，所以平面， 所以就是三棱锥的高， 因为，即， 即， 解得，即到平面AMC的距离为，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·上海金山·期末）若复数满足，其中为虚数单位，则 . 【答案】 【解题思路】根据复数的除法和模的公式即可求解. 【解答过程】由，得，故. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高一下·广西钦州·期末）如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，；，且在点测得塔顶A的仰角为，则 ． 【答案】 【解题思路】由题及正弦定理可得，然后由在点测得塔顶A的仰角为可得AB. 【解答过程】在中，由正弦定理，， 则，又因在点测得塔顶A的仰角为， 则. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一下·重庆·期末）如图，半径为2的四分之一球形状的玩具储物盒，放入一个玩具小球，合上盒盖，当小球的半径最大时，小球的表面积为 . 【答案】 【解题思路】作出截面图形，可知小球最大半径满足，求出半径后代入球的表面积公式即可得解. 【解答过程】设四分之一球的球心为，小球的球心为，最大半径为，作出截面图形如下： 由题意得，，因为，所以，解得， 小球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·陕西渭南·月考）已知复数. (1)若z为实数，求m的值； (2)若z为纯虚数，求m的值； (3)若复数z在复平面内所对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【解题思路】（1）若为实数，则虚部为0，列出方程求解即可； （2）若为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，列出方程组求解即可； （3）若复数在复平面内所对应的点位于第四象限，则实部大于0，虚部小于0，列出不等式组求解即可. 【解答过程】（1）若z为实数，则虚部为0，所以，解得或； （2）若z为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，所以，解得； （3）若复数z在复平面内所对应的点位于第四象限，则实部大于0，虚部小于0， 所以，解得. 16．（15分）（24-25高一下·贵州遵义·月考）如图，在平行四边形中，.    (1)用向量，表示，； (2)若，证明：，，三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见详解 【解题思路】（1）根据向量的线性运算求解； （2）结合（1）得，从而，根据向量共线定理证明. 【解答过程】（1）由平行四边形，可得； ，， ，即. （2）由（1），又， 所以， 所以三点共线. 17．（15分）（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在三棱锥中，， (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的外接球体积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由直角三角形面积公式得到面积，由余弦定理和三角形面积公式得到面积，相加得到表面积； （2）由两两垂直可知补成长方体，长方体体对角线即为外接球直径，再由球的体积公式得到外接球体积. 【解答过程】（1）由题意得， ， 以下计算， 在中，，所以， 在中，，所以， 在中，，所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 所以， 所以三棱锥的表面积. （2）因为两两垂直， 所以三棱锥的外接球直径即为以长度为边长的长方体的体对角线， 根据长方体体对角线公式得， 所以三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥的外接球体积. 18．（17分）（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)求的取值范围． 【答案】(1)，1 (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理与和角的正弦公式求出角，再由条件求出边； （2）利用正弦定理求出边，代入所求式，经过三角恒等变换化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得其范围. 【解答过程】（1）由和正弦定理可得， 化简得， 即 因，则，即， 因，故． 又由且， 可得． （2）由正弦定理，， 可得，， 则，（*） 因，将其代入（*），可得： ． 因，则，故， 则的取值范围是． 19．（17分）（24-25高一下·广西柳州·期末）如图1，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且，如图2所示.    (1)求证：平面ABC1⊥平面AC1D； (2)求点C1到平面ABD的距离d； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明详见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）根据勾股定理可证，再结合线面垂直的判定定理可证平面，然后根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）根据等体积法，利用三棱锥的体积求点到平面的距离即可； （3）根据二面角的定义做出二面角的平面角，然后利用直角三角形的性质求解即可. 【解答过程】（1）由题得，在△中，，所以. 又因为矩形，所以. 因为，平面，平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）在△中，，所以，所以. 在直角△中，. 由（1）知平面，所以点到平面的距离为. 设点C1到平面ABD的距离为d， 由，得， 所以. （3）如图，在平面内作于点，在平面内作于点，连接.    由（2）知，，又， 平面，所以平面， 因为平面，故. 因为，，平面，所以平面. 又平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 所以为二面角的平面角. 因为，所以，解得， 因为平面，又平面，故， 所以． 由题意知直角三角形中，，， 故，又，则， 所以， 故二面角的余弦值为． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年寒假结业测试卷02 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版必修第二册 第六章、第七章、第八章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·天津·月考）设、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（5分）（24-25高一下·陕西咸阳·期末）设为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B． C．5 D．或5 3．（5分）（24-25高一下·江苏常州·期中）已知向量，，，则m的值为（   ） A．0 B．-2 C．0或-2 D．0或2 4．（5分）（24-25高一下·山西·期中）已知复数是关于x的方程（）的一个根，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（5分）（24-25高一下·河南·期中）如图，在中，，，且与交于点M，设，则（   ） A．0 B． C． D．1 6．（5分）（24-25高一下·山西太原·月考）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高一下·天津滨海新·期末）在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 8．（5分）（24-25高一下·重庆·期末）如图，将棱长为4的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，为棱上一点，则下列四个结论中错误的是（    ） A．平面 B．八面体的体积为 C．的最小值为 D．点到平面的距离为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·甘肃天水·月考）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若非零向量，满足，则 10．（6分）（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形或直角三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．若，则为锐角三角形 11．（6分）（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在正方体中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的是（　　） A．MO⊥平面 B．平面MAC与平面ABC夹角的正切值为 C．异面直线BC1与AC所成的角等于60° D．若正方体的棱长为1，则到平面AMC的距离为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·上海金山·期末）若复数满足，其中为虚数单位，则 . 13．（5分）（24-25高一下·广西钦州·期末）如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，；，且在点测得塔顶A的仰角为，则 ． 14．（5分）（24-25高一下·重庆·期末）如图，半径为2的四分之一球形状的玩具储物盒，放入一个玩具小球，合上盒盖，当小球的半径最大时，小球的表面积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·陕西渭南·月考）已知复数. (1)若z为实数，求m的值； (2)若z为纯虚数，求m的值； (3)若复数z在复平面内所对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 16．（15分）（24-25高一下·贵州遵义·月考）如图，在平行四边形中，.    (1)用向量，表示，； (2)若，证明：，，三点共线. 17．（15分）（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在三棱锥中，， (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的外接球体积． 18．（17分）（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)求的取值范围． 19．（17分）（24-25高一下·广西柳州·期末）如图1，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且，如图2所示.    (1)求证：平面ABC1⊥平面AC1D； (2)求点C1到平面ABD的距离d； (3)求二面角的余弦值. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $