2026年寒假结业测试卷01-2026年高一数学寒假预科讲义（人教A版）

2026年寒假结业测试卷01 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版必修第二册 第六章、第七章、第八章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·广西河池·期末）下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 2．（5分）（24-25高一下·福建福州·期末）已知（i是虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（5分）（24-25高一下·河北·月考）如图，利用斜二测画法画出的四边形的直观图为等腰梯形，已知，，则的长为（   ） A．6 B． C． D． 4．（5分）（24-25高一下·天津·期末）已知向量.若与共线，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知是关于的方程在复数范围内的一个根，则实数（    ） A．4 B． C．2 D． 6．（5分）（24-25高一下·海南·月考）如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C．224 D． 7．（5分）（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高一下·甘肃张掖·期中）三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·江苏南京·期中）复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A． B．的共轭复数为 C．的实部与虚部之和为1 D．在平面内的对应点位于第一象限 10．（6分）（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知向量与满足，，且 则下列说法正确的是（    ） A．若， 则向量与向量共线 B．向量与的夹角为 C． D．向量与向量垂直 11．（6分）（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，则（   ） A． B．平面 C．直线与平面所成角的正切值为 D．三棱锥外接球的表面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知是虚数单位，则 . 13．（5分）（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）一条渔船距对岸3km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为6km，则河水的流速为 km/h． 14．（5分）（24-25高一下·江西抚州·期末）如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·吉林长春·月考）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 16．（15分）（24-25高一下·河南商丘·期末）设，复数． (1)若为纯虚数，求实数a的值； (2)若复数是关于x的方程的一个根，求的值． 17．（15分）（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 18．（17分）（24-25高一下·福建福州·期末）已知，其内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)，，是的中点，求的长. 19．（17分）（24-25高一下·福建三明·期末）如图，在四棱锥中，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年寒假结业测试卷01 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版必修第二册 第六章、第七章、第八章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·广西河池·期末）下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 【答案】D 【解题思路】根据零向量，相等向量，共线向量的定义即可求解. 【解答过程】对于A, 零向量的长度为0，且方向是任意的，故A正确， 对于B，规定零向量与任意向量共线，故B正确， 对于C，相等向量的模长和方向都相同，故相等向量一定是共线向量，但共线向量是方向相同或者相反的两个向量，模长不一定相等，故共线向量不一定相等，C正确， 对于D，当为零向量时，此时不一定能得到，故D错误， 故选：D. 2．（5分）（24-25高一下·福建福州·期末）已知（i是虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解题思路】由共轭复数的定义及复数的坐标表示判断即可. 【解答过程】由题设，对应点为，该点位于第四象限. 故选：D. 3．（5分）（24-25高一下·河北·月考）如图，利用斜二测画法画出的四边形的直观图为等腰梯形，已知，，则的长为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据斜二测画法画出原四边形ABCD求解即可. 【解答过程】如图1，根据斜二测画法的性质可得，作，垂足为， 作，垂足为，则和是两个全等的等腰直角三角形， 从而，故． 画出原四边形，如图2，则，且， 故． 故选：C. 4．（5分）（24-25高一下·天津·期末）已知向量.若与共线，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据向量的坐标运算法则求，结合向量 的坐标表示列方程求. 【解答过程】因为， 所以，又，与共线， 所以， 所以， 故选：C. 5．（5分）（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知是关于的方程在复数范围内的一个根，则实数（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】利用实系数一元二次方程两虚根共轭，得到方程另一根，最后利用韦达定理得到答案. 【解答过程】是方程的一个根，是方程的另一个根. 则由韦达定理得：，解得：， 故选：B. 6．（5分）（24-25高一下·海南·月考）如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C．224 D． 【答案】D 【解题思路】检验所给定条件，结合正四棱台的结构特征求出正四棱台的高扩底面边长，再利用台体的体积公式计算得解. 【解答过程】设，则，正四棱台的各个侧面都为等腰梯形，上､下底面为正方形， 在四边形中，过点作于点，，则， ，解得， 在平面中，过点作于点，则为正四棱台的高， 且，因此， 该正四棱台的体积为. 故选：D. 7．（5分）（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【解答过程】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C. 8．（5分）（24-25高一下·甘肃张掖·期中）三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】过点作平面于，在平面内过作，，垂足分别为，，连接，，可得为直线与平面所成的角，进而结合题设求角即可. 【解答过程】过点作平面于，在平面内过作，， 垂足分别为，，连接，， 则为直线与平面所成的角， 由平面，平面，所以，， 又，，，平面，则平面， 因为平面，则， 同理可得，由， 得，又， 因此四边形为正方形，，， 所以直线与平面所成角的正弦值. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·江苏南京·期中）复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A． B．的共轭复数为 C．的实部与虚部之和为1 D．在平面内的对应点位于第一象限 【答案】AD 【解题思路】由复数的除法运算化简复数，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】由得， 则，，故A正确，B错误， 的实部和虚部之和为，故C错误， 对应的点为，位于第一象限，故D正确， 故选：AD. 10．（6分）（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知向量与满足，，且 则下列说法正确的是（    ） A．若， 则向量与向量共线 B．向量与的夹角为 C． D．向量与向量垂直 【答案】ACD 【解题思路】根据条件得，对于A，由向量的共线定理判断即可；对于B，利用向量的夹角公式，即可求解；对于C，利用模长的计算公式，即可求解；对于D，利用向量的垂直表示，计算，即可求解； 【解答过程】因为，，，则， 得到， 对于A，若，则， 故向量与向量共线，故A项正确； 对于B，，又，所以，故B错误， 对于C，因为，则，所以C正确， 对于D，因为， 所以向量与向量垂直，故D正确． 故选：ACD. 11．（6分）（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，则（   ） A． B．平面 C．直线与平面所成角的正切值为 D．三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【解题思路】由线面垂直的性质、判定定理判断A；由平面即为平面，结合平面判断B；由线面角的定义及已知求其正切值判断C；根据已知求外接球的半径，即可求表面积判断D. 【解答过程】由题设，，则， 由平面，平面，则， 都在平面内，则平面， 平面，则，A对； 由平面，即为平面，又平面，， 所以平面，即与平面相交，B错； 由平面，则直线与平面所成角为， 又 所以，C对； 由为等腰直角三角形，且，则，故其外接圆半径， 由平面，，则三棱锥外接球半径， 所以外接球的表面积，D对. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知是虚数单位，则 . 【答案】 【解题思路】根据复数的乘法运算求解. 【解答过程】. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）一条渔船距对岸3km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为6km，则河水的流速为 km/h． 【答案】 【解题思路】画出图形，在直角三角形中求河水的流速即可. 【解答过程】如图，用表示河水的流速，表示船的速度， 则为船的实际航行速度． 由图知，，，则． 又， 所以． 即河水的流速是 km/h． 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一下·江西抚州·期末）如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为 ． 【答案】 【解题思路】首先，根据正四棱台的体积公式求出棱台的高；然后，通过建立关于外接球半径的方程来求解外接球半径；最后，利用球的表面积公式计算出外接球的表面积. 【解答过程】已知，，则上底面积，下底面积，体积 ， 由棱台体积公式得， 设外接球球心到下底面中心的距离为，则到上底面中心的距离为， 由正四棱台的上下底面都是正方形可得，， 设外接球半径为，则. 展开并化简：（负值舍去）， 则， 最终外接球表面积：， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·吉林长春·月考）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量共线的坐标表示即可求解； （2）根据向量减法的坐标表示和向量垂直的坐标表示即可求解. 【解答过程】（1）∵向量，， ∴，解得. （2）∵向量，∴. ∵， ∴ ，解得. 16．（15分）（24-25高一下·河南商丘·期末）设，复数． (1)若为纯虚数，求实数a的值； (2)若复数是关于x的方程的一个根，求的值． 【答案】(1)或． (2)1或-1 【解题思路】（1）根据复数的乘法和虚数的概念进行求解即可. （2）将复数代入方程中得到关于的等式，然后可求得，进而求出结果. 【解答过程】（1）由题意知， 又为纯虚数，所以，解得或． （2）因为复数是关于的方程的一个根， 所以，整理得， 所以，解得，或， 所以，或． 17．（15分）（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【答案】(1)面积为5； (2)体积为，表面积为． 【解题思路】（1）把直观图还原为原平面图，得四边形是直角梯形，由此求出平面四边形的面积即可； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱和圆锥的组合体，计算其体积和表面积即可. 【解答过程】（1）把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形， 其中，，，如图所示： 所以平面四边形的面积. （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体， 其中圆柱的底面半径为2，高为2，圆锥的底面半径为2，高为1，母线长为， 则旋转体的体积为， 表面积为. 18．（17分）（24-25高一下·福建福州·期末）已知，其内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)，，是的中点，求的长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据，结合已知条件整理化简，求得，则得解； （2）根据面积公式，求得，再由余弦定理求得，利用余弦定理求得，再在△中，由余弦定理求得. 【解答过程】（1）由题意， 且， 即， 得，且，则， 可得，且，所以． （2）如图： 因为，， 由，所以，解得， 在中，由余弦定理得，则， 又D为BC边上的中点，所以， 在中，由余弦定理得，则， 在中，由余弦定理得， 所以． 19．（17分）（24-25高一下·福建三明·期末）如图，在四棱锥中，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用线面垂直的判定定理证平面，最后利用面面垂直的判断定理即可得证； （2）过点作交于点，连接，则与平面所成角即为与平面所成角，由平面，即为直线与平面所成角，在中计算即可. 【解答过程】（1）平面平面，， ，又，平面， 平面，又平面， 平面平面； （2）过点作交于点，连接， 则与平面所成角即为与平面所成角， 平面，为在平面上的射影， 为直线与平面所成角， ，四边形为平行四边形， ， ， 在中，， 在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $