专题1.7 角平分线（2大知识点5大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.7 角平分线（2大知识点4大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】角平分线的性质 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 内心：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 【知识点2】角平分线的判定 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 考点与题型目录 【考点一】角平分线的性质 【题型1】利用角平分线性质定理求值..........................................2 【题型2】利用角平分线性质定理证明..........................................2 【考点二】角平分线的判定 【题型3】利用角平分线判定定理求值与证明....................................3 【考点三】角平分线的性质与判定综合 【题型4】利用角平分线的性质与判定求值与证明................................4 【题型5】角平分线与折叠....................................................5 【题型6】角平分线与最值....................................................6 【题型7】角平分线与一次函数................................................7 【题型8】角平分线与动点问题................................................8 【题型9】角平分线与尺规作图................................................9 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型10】中考链接.........................................................10 【题型11】拓展延伸.........................................................11 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【题型1】利用角平分线性质定理求值 ★【例1】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且，若，，求的长． ★【变式1】（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，，点C落在上，于点H．若，则的长为（　　） A．3.5 B．4 C．5 D．6 【变式2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，若，，则的面积为 ．    【题型2】利用角平分线性质定理证明 ★【例2】（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． （1）求证：； （2）求的长． ★【变式1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点E，给出四个结论：①，②，③，④，其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ★【变式2】（2024·山东临沂·模拟预测）如图，在中，，，以点A为圆心长度2为半径作弧，分别交边于两点，再分别以点为圆心，长度r为半径作弧交于点F，连接并延长交边于点G，点分别在边上，且，．下列说法：①射线平分；②；③；④．正确的有： （填上所有符合要求的条件的序号） 【题型3】利用角平分线判定定理求值与证明 ★【例3】（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，于E，于F，若． （1）求证：平分； （2）已知，求的长． ★【变式1】（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知点P在射线上，，垂足分别为A，C，且，则下列结论错误的是（  ） A． B．点D在的平分线上 C． D． ★【变式2】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，中，，延长至点D，使，连接AD，过点C作的垂线，交的平分线于点E，则的度数为 ． 【题型4】利用角平分线的性质与判定求值与证明 ★【例4】（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，在的两边，上分别取点M，N，连接．若平分，平分． （1）求证：平分； （2）若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． ★【变式1】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为点P．其中一把直尺的一边恰好在射线上，E为该直尺的一个顶点，而另一把直尺的一边在直线上，一边与射线交于点M，连接．若，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 ★【变式2】（24-25八年级上·四川广元·期中）如图，中，点、分别是、延长线上一点，、的角平分线、交于点，连接，过点作、，垂足分别是点、，则、、之间的数量关系是 ． 【题型5】角平分线与折叠 ★【例5】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，求度数． ★★【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上．已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有．若，，则： （1） °； （2） ． ★【题型6】角平分线与最值 【例6】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，平分为的中点，，垂足为为上的一个动点，是的延长线与的交点，求线段的最小值．    ★【变式1】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连接．作的两个外角平分线交于点C，小明认为点C一定也在的平分线上，你认为对吗？在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（ ） A． B． C． D． ★【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，的面积为，平分，点，分别为，上动点，连结，，则的最小值为 ． ★【题型7】角平分线与一次函数 【例7】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，交轴于点． （1）求点A、点的坐标及的面积； （2）线段上存在一动点从点出发沿以每秒2个单位的速度向A运动，设点运动时间为秒，连接，当为何值时平分； ★★【变式1】（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，已知、、、是平面坐标系中坐标轴上的点，且，设直线、直线交于点，两条直线表达式分别为，，下列结论中正确的个数有（　　）    ①；②平分；③． A． B． C． D． ★【变式2】（22-23九年级上·江苏南通·开学考试）如图，直线与轴、轴分别交于点A、，的角平分线与轴交于点，则点的坐标为 ． 【题型8】角平分线与动点问题 ★【例8】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点、在轴正半轴上，点、分别在轴上，平分与轴交于点，． （1）求证：； （2）在（）中点的坐标为点为上一点，且，如图，求的长； （3）在（）中，过作于点，点为上一动点，点为上一动点（如图），当点在上移动、点在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． ★【变式1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，直线，垂足为 O，点A 是射线上一定点，以为边在 右侧作，且满足，若点 B 是射线上的一个动点（不与点O 重合），连接．作的两个外角平分线交于点C，连接．在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（        ） A． B． C． D． ★【变式2】（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，若点为轴负半轴上的一个动点，当时，与的角平分线交于点，则的度数为 ． ★【题型9】角平分线与尺规作图 【例9】（24-25八年级上·四川广元·期中）如图，已知：在中，，． （1）作的平分线，交于点，作的垂直平分线，分别交、于点、．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； （2）求证：点是中点； （3）连接，求的度数． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，若，，，则的面积是（   ） A．5 B．8 C．12 D．15 ★【变式2】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，观察作图痕迹，若，则 ．（用含的代数式表示） 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型10】中考链接 ★【例1】（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ★★【例2】（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【题型11】拓展延伸 ★★【例1】（24-25八年级上·全国·期末）如图1，在直角三角形中，，，，，分别是与的角平分线，且，相交于点O． （1）的度数为 °． （2）求点O到边的距离及的面积． （3）如图2，若过点C作，分别交，于P，Q两点，垂足为点D，求的长． ★★【例2】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． （1）求的面积； （2）如图1，以为斜边构造等腰直角，当点在直线上方时，请直接写出点的坐标； （3）如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.7 角平分线（2大知识点4大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】角平分线的性质 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 内心：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 【知识点2】角平分线的判定 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 考点与题型目录 【考点一】角平分线的性质 【题型1】利用角平分线性质定理求值..........................................2 【题型2】利用角平分线性质定理证明..........................................5 【考点二】角平分线的判定 【题型3】利用角平分线判定定理求值与证明....................................8 【考点三】角平分线的性质与判定综合 【题型4】利用角平分线的性质与判定求值与证明...............................11 【题型5】角平分线与折叠...................................................15 【题型6】角平分线与最值...................................................19 【题型7】角平分线与一次函数...............................................22 【题型8】角平分线与动点问题...............................................27 【题型9】角平分线与尺规作图...............................................31 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型10】中考链接........................................................35 【题型11】拓展延伸........................................................37 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【题型1】利用角平分线性质定理求值 ★【例1】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且，若，，求的长． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得． 解：如图，过点作于点， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ★【变式1】（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，，点C落在上，于点H．若，则的长为（　　） A．3.5 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】过点作于点，如图，先根据全等三角形的性质，由得到，，，，再证明，则根据角平分线的性质得到，接着证明得到，证明得到，然后计算即可．本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．也考查了直角三角形的判定与性质． 解：过点作于点，如图， ∵， ，，，， ， ， ， 平分， 而，， ， 在和中， ， ∴ ， 在和中， ， ∴， ， ． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，若，，则的面积为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质．根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式即可求解． 解：如图，作于M，    ∵平分，，， ∴， ∴的面积为． 故答案为：4． 【题型2】利用角平分线性质定理证明 ★【例2】（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2）． 【分析】（）如图所示，连接，，先利用证明得到，再由角平分线的性质得到，即可利用证明则； （）证明，得到，由（）得，则，据此求出的长，即可求出的长； 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：（1）证明：如图所示，连接，， ∵是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：在和中， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ★【变式1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点E，给出四个结论：①，②，③，④，其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线定义，垂线段最短，判定，推出，由垂线段最短得到，因此． 解：∵是的角平分线， ∴， ∵于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①②③符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 故④不符合题意． ∴其中正确的有3个． 故选：B． ★【变式2】（2024·山东临沂·模拟预测）如图，在中，，，以点A为圆心长度2为半径作弧，分别交边于两点，再分别以点为圆心，长度r为半径作弧交于点F，连接并延长交边于点G，点分别在边上，且，．下列说法：①射线平分；②；③；④．正确的有： （填上所有符合要求的条件的序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了尺规作图—作已知角的角平分线，角平分线的性质，勾股定理．利用角平分线的作法，角平分线的性质，30度角的直角三角形的性质，勾股定理对选项逐一分析即可． 解：①根据作图痕迹知射线平分，故①说法正确； ②因为平分， ∴， ，， ，，， ，故②说法错误； ③、，， ，， ，故③说法错误； ④、，， ∴为等边三角形， ， ，故④说法正确； 故答案为：①④． 【题型3】利用角平分线判定定理求值与证明 ★【例3】（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，于E，于F，若． （1）求证：平分； （2）已知，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）6 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定： （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线的判定定理，即可求证； （2）根据得出，再由线段的和差关系求出答案，即可． 解：（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）解：在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． ★【变式1】（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知点P在射线上，，垂足分别为A，C，且，则下列结论错误的是（  ） A． B．点D在的平分线上 C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了角平分线判定和全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等． 根据得出点在的平分线上，再证明和即可证明． 解：∵， ∴是的角平分线， ∴点在的平分线上，故B正确， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴，故C正确， ∴，故D正确． 故选：A． ★【变式2】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，中，，延长至点D，使，连接AD，过点C作的垂线，交的平分线于点E，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，先利用三线合一得出平分，平分，然后利用角平分线的判定与性质可得出平分，求出，利用等边对等角得出，，即可求解． 解：过E作于H，作于G，于M，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴平分，平分， ∴，是的垂直平分线， ∴，， 又，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【题型4】利用角平分线的性质与判定求值与证明 ★【例4】（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，在的两边，上分别取点M，N，连接．若平分，平分． （1）求证：平分； （2）若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 【答案】（1）见分析；（2）20 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线．添加垂线，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形面积面积公式求三角形面积，是解题的关键． （1）过点P作 ，垂足为C，过点作，垂足为D，过点作，垂足为，先利用角平分线的性质定理可得，，再利用角平分线判定定理，即可解答； （2）根据的面积是16，，可求出，从而可得，然后再利用 的面积的面积，进行计算即可解答． 解：（1）证明：过点P作 ，垂足为C，过点作，垂足为D，过点作，垂足为. ∵平分，，， ∴. ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵的面积是16，， ， ， ， ∴. ∵的面积是24， ∴四边形的面积的面积的面积， ∴ 的面积的面积， ， ∴ ， ∴， ∴线段与的长度之和为20. ★【变式1】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为点P．其中一把直尺的一边恰好在射线上，E为该直尺的一个顶点，而另一把直尺的一边在直线上，一边与射线交于点M，连接．若，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】过点P作，垂足为D，根据题意，得到，从而判定平分，得到，根据直尺的对边平行，得到，推出，求出，利用直角三角形的性质即可求出，由即可解答． 解：如图，过点P作，垂足为D， ，， 平分， ， 直尺对边平行， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点拨】本题考查了角的平分线的判定定理，平行线的性质，直角三角矮星的性质，三角形外角性质及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握角的平分线的判定定理是解题的关键． ★【变式2】（24-25八年级上·四川广元·期中）如图，中，点、分别是、延长线上一点，、的角平分线、交于点，连接，过点作、，垂足分别是点、，则、、之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是根据全等三角形的性质找到边之间的关系．首先过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证，利用可证和，根据全等三角形对应边相等可证、，从而找到、、之间的数量关系． 解：如下图所示，过点作， 平分，、， ， 又平分， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， 同理可证， ， ， 故答案为： ． 【题型5】角平分线与折叠 ★【例5】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，求度数． 【答案】． 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质．连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，根据等腰三角形三线合一得出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可． 解：如图，连接、， ，为的平分线， ， 又， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 为的平分线，， ∴垂直平分， ， ， 将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合， ， ， 在中，． ★★【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上．已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，过作于点，作于点，由折叠性质可知，，，，由角平分线的性质得出，再由勾股定理得，设，点到得距离为，则，再通过等面积法得出，，然后由列出解方程即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，过作于点，作于点， ∴，， 由折叠性质可知，，， ∴， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， 设，点到得距离为，则， ∴，， ∴，，即，， ∴， 解得：， ∴， 故选：． 【变式2】（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有．若，，则： （1） °； （2） ． 【答案】 135 / 【分析】本题主要考查折叠的性质、角平分线性质和等腰三角形的判定和性质； （1）由折叠得和，由题意得和，根据，即可求得； （2）延长交于H，根据题意，进一步得到是等腰直角三角形，求得，，有三角形面积求得，即可求得答案． 解：（1）由折叠的性质得到：，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）延长交于H，如图， ∵，平分， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质得到， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． ★【题型6】角平分线与最值 【例6】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，平分为的中点，，垂足为为上的一个动点，是的延长线与的交点，求线段的最小值．    【答案】6 【分析】根据，，可以证明，得到继而得到，故线段的最小值转化为线段得最小值，根据垂线段最短，结合角的平分线的性质定理计算即可． 解：∵， ∴， ∵点A为的中点 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值转化为线段得最小值， 根据垂线段最短， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点拨】本题考查了角的平分线性质定理，三角形全等的判定和性质，垂线段最短原理，熟练掌握角的平分线性质定理，三角形全等，垂线段最短是解题的关键． ★【变式1】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连接．作的两个外角平分线交于点C，小明认为点C一定也在的平分线上，你认为对吗？在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线．熟练掌握角平分线的性质定理和判定定理，垂线段最短，根据角平分线构造垂线，是解题的关键． 连接，过C作于点D，作于点E，作于点G，根据角平分线性质得到，得到，得到平分，得到，求出，当时，最小，．得到． 解：如图，连接，过C作于点D，作于点E，作于点G， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴平分，则小明的观点正确， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小，． ∴． 故选：B． ★【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，的面积为，平分，点，分别为，上动点，连结，，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质，轴对称的性质，垂线段最短等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键． 如图，作关于的对称点，连接，作于，由平分，可知在上，由，可知当三点共线，且时，的值最小为，根据，计算求解即可． 解：如图，作关于的对称点，连接，作于， ∵平分， ∴在上， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小为， ∴， 解得， 故答案为：4． ★【题型7】角平分线与一次函数 【例7】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，交轴于点． （1）求点A、点的坐标及的面积； （2）线段上存在一动点从点出发沿以每秒2个单位的速度向A运动，设点运动时间为秒，连接，当为何值时平分； 【答案】（1）；（2）当时，平分 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，角平分线的定义，勾股定理等, （1）根据一次函数的解析式可直接求出点A和点B的坐标，根据三角形的面积公式进行计算即可； （2）连接，作，根据角平分线定理可以得到，利用勾股定理求出，利用可以求出，即可求得答案． 解：（1）解：在中，令，则；令，则， ，； 即，， ； （2）解： 如图所示，作， ，， ，， ； 平分，，， ， ， ， ， ， 即， ； 当时，平分． ★★【变式1】（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，已知、、、是平面坐标系中坐标轴上的点，且，设直线、直线交于点，两条直线表达式分别为，，下列结论中正确的个数有（　　）    ①；②平分；③． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，于点，由，全等三角形对应高相等，得，根据角平分线的判定定理可证平分，再证明，可得，直线与轴交点的坐标，与轴交点的坐标，得，，同理可得，，由，，得，，得， ，可证． 解：过点作于点，于点，    ∵． ∴，，，，， ∴， ∵，， ∴平分，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 直线与轴交点的坐标，与轴交点的坐标， ∴，， 同理可得，， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴，故③正确． 故选：C． 【点拨】本题考查了两条直线相交问题，交点坐标与线段长度之间的关系，角平分线的判定，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． ★【变式2】（22-23九年级上·江苏南通·开学考试）如图，直线与轴、轴分别交于点A、，的角平分线与轴交于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】过M点作于N，如图，先利用坐标轴上点的坐标特征求出A、B点的坐标，由勾股定理可计算出，再利用角平分线的性质得，然后利用面积法得到，，从而可求出的长，即可求解． 解：过M点作于N，如图， 当时，，解得，则； 当时，，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． ∴ 故答案为：． 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，角平分线的性质，勾股定理，点的坐标．正确作出辅助线是解题的关键． 【题型8】角平分线与动点问题 ★【例8】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点、在轴正半轴上，点、分别在轴上，平分与轴交于点，． （1）求证：； （2）在（）中点的坐标为点为上一点，且，如图，求的长； （3）在（）中，过作于点，点为上一动点，点为上一动点（如图），当点在上移动、点在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】（1）证明见分析；（2）；（3），理由见分析． 【分析】（）由题意，可知，再结合平分，所以可由定理证明，由全等三角形的性质可得； （）过作于点，可证明、，则，所以，即可得的长； （）在轴的负半轴上取，可证明，则，所以，即可证明所得结论； 本题考查坐标与图形，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，能正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 解：（1）证明：由题意得：， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（）知， ∴， 过作于点，如图， ∵， ∴， 在和中，在和中， ， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：，理由， 由（）知：， 在轴的负半轴上取，连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ★【变式1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，直线，垂足为 O，点A 是射线上一定点，以为边在 右侧作，且满足，若点 B 是射线上的一个动点（不与点O 重合），连接．作的两个外角平分线交于点C，连接．在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过作于点，作于点，作于点，根据角平分线性质得到，，得到，得到平分，得到，求出，当时，最小，．得到．本题主要考查了角平分线．熟练掌握角平分线的性质定理和判定定理，垂线段最短，根据角平分线构造垂线，是解题的关键． 解：如图，连接，过作于点，作于点，作于点， 平分，平分， ，， ， 平分， ， ， ， 当时，最小，． ． 故选：A． ★【变式2】（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，若点为轴负半轴上的一个动点，当时，与的角平分线交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，过点作，根据平行公理，则，根据，则，根据平行线的性质，则，根据角平分线的性质，则，，推出，在根据平行线的性质，得到，，根据，即可． 解：过点作， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵与的角平分线交于点 ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． ★【题型9】角平分线与尺规作图 【例9】（24-25八年级上·四川广元·期中）如图，已知：在中，，． （1）作的平分线，交于点，作的垂直平分线，分别交、于点、．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； （2）求证：点是中点； （3）连接，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3） 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的定义，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图： （1）根据线段垂直平分线和角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）先求出，则由直角三角形的性质得到，再证明，则，进而得到，则，即E是中点． （3）证明，又，连接，由等腰三角形的性质可知，又，从而求得 解：（1）如图所示， 即为所求； （2）∵在中，， ∵垂直平分， 即是的中点 （3）平分， ， 又， 连接， 则， 即 【变式1】（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，若，，，则的面积是（   ） A．5 B．8 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质及其画法，得到平分是解答的关键．根据作图痕迹得到平分，过D作于H，根据角平分线的性质得到，进而利用三角形的面积公式求解即可． 解：过D作于H， 由作图痕迹知，平分， ∵，，， ∴， ∵，， ∴ ， 故选：B． ★【变式2】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，观察作图痕迹，若，则 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，角平分线的作法和性质，三角形内角和定理，由作图可知，直线为线段的垂直平分线，射线为的角平分线，即得，，得到，再根据三角形内角和定理得到，进而由角的和差关系得到，最后根据角平分线的定义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：由作图可知，直线为线段的垂直平分线，射线为的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型10】中考链接 ★【例1】（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定①；再说明可得垂直平分线段可判定②；根据直角三角形的性质可得可判定③，根据三角形的面积公式即可判定④． 解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故②正确， ∵， ∴，故③正确， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． ★★【例2】（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【难度】0.4 【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可． 解：过点P作于点Q，过点C作于点H， 由题意知：平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法． 【题型11】拓展延伸 ★★【例1】（24-25八年级上·全国·期末）如图1，在直角三角形中，，，，，分别是与的角平分线，且，相交于点O． （1）的度数为 °． （2）求点O到边的距离及的面积． （3）如图2，若过点C作，分别交，于P，Q两点，垂足为点D，求的长． 【答案】（1）135；（2）O到的距离为1；；（3） 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得，在中，根据三角形内角和定理可得的度数． （2）作于G，于H，于I．根据角平分线的性质可得，设，根据即可求出x的值为1，即点O到边的距离为1，再根据可求得的值，进而可求得的面积． （3）先利用面积法求得，再根据勾股定理可求得，则可得，作于E，根据角平分线的性质可得，再根据可求得．作于F，同理可求得，进而可求得的长． 解：（1）解： ，分别平分，， ，， ∵在中，， ， ， 在中， ． 故答案为：135； （2）解：作于G，于H，于I，连接． 平分，平分， ，， 设， 在中， ，， ∴根据勾股定理，得， ， ∴， 即． 解得， ∴O到的距离为1； 解得． ． （3）， ∴， ∴． 在中， 根据勾股定理，得， ． 作于E， ∵平分，，， ∴． ， ， ， ，  解得． 作于F， ∵平分，，， ∴． ， ， ， ，  解得， ． 【点拨】本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理，以及利用面积法求三角形的高．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． ★★【例2】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． （1）求的面积； （2）如图1，以为斜边构造等腰直角，当点在直线上方时，请直接写出点的坐标； （3）如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】（1）；（2）；（3）①证明见分析②的大小不变，总为，理由见分析 【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得，，进而可得，，再利用三角形的面积公式即可求解． （2）当点C在上方时，作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，利用全等三角形的判定及性质即可求解． （3）①延长，，它们相交于点，利用全等三角形的判定及性质及等腰三角形的性质即可求解； ②作，，垂足分别是，，利用全等三角形的判定及性质及角平分线的性质即可求解． 解：（1）解：， ，， 解得：，． ，， 的面积． （2）解：当点C在上方时： 作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：    ∴， ∵， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ，即：， 解得：， ，， ． （3）解：①延长，，它们相交于点，如图：    等腰直角中，，，且， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， 即， ． ②的大小不变，总为，理由如下： 作，，垂足分别是，，如图：    ， 由①可知：，， 在和中， ， ， ， 是的角平分线， ． 【点拨】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质及绝对值和平方的非负性，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$